MATEMATIKA TEKNIKMATEMATIKA TEKNIK

Disusun Oleh :Disusun Oleh :Andika Tri C.Andika Tri C.

108533411090108533411090

Putriana PrihadiPutriana Prihadi 108533411094108533411094

FAKULTAS TEKNIKFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI MALANGUNIVERSITAS NEGERI MALANGPENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA 2008PENDIDIKAN TEKNIK INFORMATIKA 2008

FUNGSI HIPERBOLIK

FUNGSI HIPERBOLIKFUNGSI HIPERBOLIK

...!4!3!2

1

...!4!3!2

1

432

432

xxxxe

xxxxe

x

x

Fungsi dinyatakan deret pangkat x

Fungsi Hiperbolik Fungsi Hiperbolik TrigonometriTrigonometri

xx

xx

xx

xx

ee

eex

eex

eex

tanh

2cosh

2sinh

Untuk fungsi hiperbolik yan Untuk fungsi hiperbolik yan g lain : g lain :

Grafik Fungsi Grafik Fungsi HiperbolikHiperbolik

0

y=e-x y=ex

x

Y

y=ex dan y=e-x memotong sumbu y di titik y=1(e0=1)

ex dan e-x akan bernilai positif untuk semua nilai x

1

Untuk sinh x, cosh x dan tanh x, Untuk sinh x, cosh x dan tanh x, bentuk grafiknya adalah sebagai bentuk grafiknya adalah sebagai

berikut :berikut :

0

y=sinh x

y=cosh x

x

Y

1

y=tanh x

Kita lihat dari grafik y = cosh x Kita lihat dari grafik y = cosh x bahwa :bahwa :

a.) cosh 0 = 1a.) cosh 0 = 1b.) nilai cosh x tidak pernah lebih b.) nilai cosh x tidak pernah lebih kecil dari 0kecil dari 0c.) kurva ini simetrik terhadap sumbu c.) kurva ini simetrik terhadap sumbu y, yakni :y, yakni :

cosh(-x) = cosh xcosh(-x) = cosh xd.) untuk sembarang nilai cosh x yang d.) untuk sembarang nilai cosh x yang diketahui, terdapat dua nilai x yang diketahui, terdapat dua nilai x yang berjarak sama terhadap titik asal, berjarak sama terhadap titik asal, yakni x = yakni x = ±a±a

Kita lihat dari grafik y = sinh x Kita lihat dari grafik y = sinh x bahwa :bahwa :

a.) sinh 0 = 0a.) sinh 0 = 0

b.) sinh x dapat memiliki semua nilai x b.) sinh x dapat memiliki semua nilai x dari -~ke +~ c.) kurva ini simetri dari -~ke +~ c.) kurva ini simetri terhadap titik asal, yakni :terhadap titik asal, yakni :

sinh(-x) = -sinh xsinh(-x) = -sinh xd.) untuk nilai x yang diketahui, hanya d.) untuk nilai x yang diketahui, hanya terdapat satu nilai x real.terdapat satu nilai x real.

Kita lihat dari grafik y = tanh x Kita lihat dari grafik y = tanh x bahwa :bahwa :

a.) tanh 0 = 0a.) tanh 0 = 0b.) nilai tanh x selalu terletak di b.) nilai tanh x selalu terletak di antara y=-1 dan y=1antara y=-1 dan y=1c.) c.) tanh(-x) =- tanh xtanh(-x) =- tanh xd.) jika x=~, tanh x=1 dan jika d.) jika x=~, tanh x=1 dan jika x=-~, tanh x=-1x=-~, tanh x=-1

Menentukan Nilai Fungsi Menentukan Nilai Fungsi HiperbolikHiperbolik

Kita dapat menggunakan rumus-rumus Kita dapat menggunakan rumus-rumus di atas untuk menentukan suatu nilai di atas untuk menentukan suatu nilai fungsi hiperbolikfungsi hiperbolik

Contoh :Contoh :Tentukan nilai sinh 1,275!Tentukan nilai sinh 1,275!

65,1275,1sinh

65,1

2794,0579,32

1275,1sinh

2794,0579,3

2

1275,1sinh

2

1sinh

275,1275,1

275,1275,1

edane

ee

eex xx

Penyelesaian :Penyelesaian :

Berikut beberapa identitas yang berlaku Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik : pada fungsi hiperbolik :

Turunan dan Integral Fungsi H Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolikiperbolik

Misal y = sinh u. Maka Misal y = sinh u. Maka

Untuk fungsi hiperbolik yan Untuk fungsi hiperbolik yan g lain: g lain:

FUNGSI INVERS HIPERBO FUNGSI INVERS HIPERBOLIKLIK

Tidak semua fungsi hiperbolik pada d Tidak semua fungsi hiperbolik pada d -omainnya merupakan fungsi satu sat -omainnya merupakan fungsi satu sat

u sehingga tidak mempunyai invers. u sehingga tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, agar didapatkan fun Oleh karena itu, agar didapatkan fun

gsi invers hiperbolik maka kita batasi gsi invers hiperbolik maka kita batasi domain fungsinya. domain fungsinya.

Sedangkan untuk mencari turunan d Sedangkan untuk mencari turunan d ari fungsi invers hiperbolik dilakukan ari fungsi invers hiperbolik dilakukan

terlebih dahulu cara sebagai berikut. terlebih dahulu cara sebagai berikut.

Misal y = sinh Misal y = sinh-1-1 u. Maka u = sinh y u. Maka u = sinh y Jadi : Jadi :

Turunan Fungsi invers Hipe Turunan Fungsi invers Hiperbolikrbolik

Maka :

Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperbolik, didapatkan :

Dengan cara sama diperoleh turunan da Dengan cara sama diperoleh turunan da n integral fungsi invers hiperbolik, seba n integral fungsi invers hiperbolik, seba

gai berikut : gai berikut :

3.

4.

5.