MATEMATIKAKELOMPOK 5

Ketua: Y. G. BrilliantyAsisten: M. Y. SandyAnggota: Citra Rachmawati

Ratna Apriia Turisaina A. Nurina P.D. Septiany

04/29/14 2

FUNGSI1. Pengertian Fungsi

Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .

Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :

04/29/14 3

Contoh : Contoh :

Perhatikan diagram panah dibawah ini :Perhatikan diagram panah dibawah ini :

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

04/29/14 4

Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa :

1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B.

2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah

asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan

{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

04/29/14 5

2. Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x .

04/29/14 6

Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .

Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan .

04/29/14 7

Jawab :

a . Diagram panah

. 1

. 2

. 3

. 4

a .

i .

u .

e .

o .

BA

04/29/14 8

b. Diagram cartesiusb. Diagram cartesius

1

a i u e o0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

04/29/14 9

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

c. Himpunan pasangan berurutan

04/29/14 10

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan

Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari

himpunan A ke B adalah ba dan

himpunan B ke A adalah ab

Contoh :Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }

04/29/14 11

c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}

d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}Jawab :

a. n(A) = 1 , n(B) = 1

Banyak pemetaan 11 = 1

b. n(C) = 1 , n(D) = 2

Banyak pemetaan 21 = 2

04/29/14 12

c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625

04/29/14 13

f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < x << 6, x 6, x ∈ A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

4. Merumuskan suatu fungsi

04/29/14 14

a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13

Jawab :

04/29/14 15

5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari :

a. A = {a, b, c} B = {1, 2}

b. A = {1, 2} B = {a, b, c}

c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}

d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}

e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}

04/29/14 16

C. Menghitung Nilai Fungsi Untuk menghitung nilai fungsi dapat Untuk menghitung nilai fungsi dapat

digunakan rumus : digunakan rumus :

f (x) = ax + bf (x) = ax + b

Contoh :Contoh :

1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5x -3 5x -3

Tentukan :Tentukan :

a. Rumus fungsi .a. Rumus fungsi .

b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .

04/29/14 17

Jawab :Jawab :

a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3

b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3

untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17

x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8

Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dandan

x = -1 adalah -8x = -1 adalah -8

04/29/14 18

2. Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3Tentukan : a. g ( -2 ) b. Nilai a jika g (a) = -5

04/29/14 19

Jawab :Jawab :

a. g (x) = -4x + 3 g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3 = 8 + 3 = 11 b. g (a) = - 4a + 3 - 4a + 3 = - 5 - 4a = - 5 – 3 - 4a = - 8 a = 2

04/29/14 20

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI

Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika

data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier

dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .

Contoh :

Suatu fungsi ditentukan dengan rumus

f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .

Tentukan :

a. Nilai a dan b

b. Bentuk fungsinya

c. Bayangan dari – 3

04/29/14 21

Jawab :Jawab :

a. f (x) = ax + ba. f (x) = ax + b f (2) = 2a + b = 10 f (2) = 2a + b = 10 2a + b = 10 f (-4) = -4a + b = -8 f (-4) = -4a + b = -8 -4a + b = -8 - -4a + b = -8 - 6a = 186a = 18 a = 3a = 3 untuk a = 3 untuk a = 3 2a + b = 10 2 . 3 + b = 10 6 + b = 10 b = 4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4

04/29/14 22

b. f (x) = ax + b b. f (x) = ax + b

f (x) = 3x + 4f (x) = 3x + 4

Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 44

c. Bayangan dari – 3c. Bayangan dari – 3

f (x) = 3x + 4f (x) = 3x + 4

f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4

= - 9 + 4= - 9 + 4

= - 5 = - 5

04/29/14 23

E. Menggambar Grafik Fungsi

Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya .

1. Grafik Fungsi Linier

Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1

dengan domain {x/0 x 5 , x ∈ C}≤≤

04/29/14 24

Jawab :Jawab :

f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }

{x,f(x)}

x+1

x

(2,3)

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

(0,1) (1,2) (3,4) (4,5) (5,6)

04/29/14 25

Grafiknya : Grafiknya :

f (x) = x + 1 , x f (x) = x + 1 , x ∈ c (0,1,2,3,4,5)c (0,1,2,3,4,5){(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

1

1 2 3 4 50

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x +

1

x

04/29/14 26

2. a. Buatlah tabel fungsi g : x 2. a. Buatlah tabel fungsi g : x -2x + 1 dengan dengan

daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !

b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :

(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !

(ii) himpunan pasangan berurutan !(ii) himpunan pasangan berurutan !

(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut (iii) gambarlah grafik fungsi tersebut padapada

bidang cartesius , kemudian bidang cartesius , kemudian

hubungkan titik-titik tersebut hubungkan titik-titik tersebut sehinggasehingga

menjadi suatu garis lurus. menjadi suatu garis lurus.

04/29/14 27

Jawab :Jawab :

a. g (x) = - 2x + 1a. g (x) = - 2x + 1

1

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-2x

1

g (x)

8 6 4 2 0 -2 -4 -6

1

9 7 5 3 -1 -3 -5

1 1 1 1 1 1 1

04/29/14 28

b. (i) Bayangan dari :b. (i) Bayangan dari :

-2 adalah 5-2 adalah 5

0 adalah 10 adalah 1

2 adalah -32 adalah -3

(ii) Himpunan pasangan (ii) Himpunan pasangan berurutan :berurutan :

{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-1),(1,-1),

(2,-3),(3,-5) } (2,-3),(3,-5) }

04/29/14 29

(iii) Grafiknya :(iii) Grafiknya :9

0-1-2-3-4

-1

-2

-3

-4-5

1 2 3

1

2

3

4

5

6

78

g (x) = -2x + 1