TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI - · PDF fileSMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan...

SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Soal 1

Jika xxxxf tancossin)( maka ....)0( f

Jawab:

Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri:

xyxy cossin

xyxy sincos

xyxy 2sectan

Karena xxxxf tancossin)(

maka xxxxf 2secsincos)(

0sec0sin0cos)0( 2 f

0cos

101

2

.21

101

Oya, jangan lupa tabel nilai fungsi trigonometri ya…!


2

Soal 2

Jika xxxf cos42sin)( maka ....)( xf

Jawab:

Perhatikan fungsi pada soal mengandung unsur 2x dan x yang merupakan bentuk

u = fungsi dari (x).

Ingat rumus:

uuyuy )(cossin

uuyuy )(sincos

Karena xxxf cos42sin)(

maka 1

21

21).sin(42).2(cos)(

xxxxf

21

21).(sin42cos2

xxx

21

1)(sin22cos2

xxx

)(sin2

2cos2 xx

x .

Keterangan:

Karena 21

xx maka turunan dari x adalah x

xx1

212

1

21

121

21

.

Perhatikan pada perkalian 2)2(cos x tidak bisa menjadi )4(cos x , juga perkalian

x

x1

)(sin tidak bisa menjadi .1sin


Soal 3

Diketahui xaxxxf cosecsec2cot)( dan 2)(41 f . Tentukan nilai a.

Jawab:

Perhatikan iklan pada kereta cepat berikut ini!

xyxy 2coseccot

xxyxy sectansec

xxyxy coseccotcosec

Dengan menggunakan rumus tersebut, maka

xaxxxf cosecsec2cot)(

xxaxxxxf cosec cotsectan2cosec)( 2

)(cosec )cot()sec()tan(2)(cosec)(41

41

41

41

412

41 af

)sin(

1

)tan(

1

)cos(

1)tan(2

)(sin

12

41

41

414

1

412

a

Ingat 41

rad = 4518041

, sehingga persamaan menjadi:

)2(

1

1

1

)2(

112

2

12

21

212

21

a

2

2

2

412

)21(

a

2

2422

a

2

244

a

a2424

a2424 222 a .


Soal 4

Diketahui )2sin(5)( 2 xxxf . Tentukan )(xf .

Jawab:

Gunakan formula: uuaxfuaxf )(cos)(sin)(

Karena )2sin(5)( 2 xxxf

maka )22)](2[cos(5)( 2 xxxxf

)2cos()1010( 2 xxx

)2cos()1(10 2 xxx .

Soal 5

Diketahui xxf 3cos)( . Tentukan )(91 f .

Jawab:

Gunakan formula: UUnxfUxf nn ..)()( 1

Karena 21

)3(cos3cos)( xxxf

maka 3)3sin()3(cos2

1)(

121

xxxf

)3(sin)3(cos2

3 21

xx

x

x

3cos2

3sin3 .

(Di atas kita gunakan turunan dari cos 3x adalah (–sin3x).3)

Sehingga

60cos2

60sin3

3cos2

3sin3)(

91

91

91f

62

6

2

33

432

3

21

21

.


Soal 6

Diketahui xxxf 2tan)( 2 . Tentukan )(xf .

Jawab:

Gunakan formula: VUVUxfVUxf )(.)(

dengan 2xU dan xV 2tan .

Jadi, VUxxxf .2tan)( 2

VUVUxf )(

2).2(sec2tan2 22 xxxx

xxxx 2sec22tan2 22 .

Soal 7

Diketahui x

xxf

sin1

6cos)(

. Tentukan )

2(

f .

Jawab:

Gunakan formula: 2)()(

V

VUVUxf

V

Uxf

dengan xU 6cos dan 21

)(sin1sin1 xxV .

Cari dulu U dan V :

xxU 6sin66).6(sin

x

xxxxxV

sin

cos)(cos)(sin)(cos)(sin

212

1

21

121

21

Maka 2

21

2 )sin1(

sin

cos).6(cos)sin1)(6(sin6

)(x

x

xxxx

V

VUVUxf

Masukkan

902

x ,


2

21

)90sin1(

90sin

90cos).540(cos)90sin1)(540(sin6

)90()2

(

ff

.04

00

)11(

1

0).1()11(06

)2

(2

21

f

Soal 8

Jelasin aku dong tentang titik maksimum global (mutlak), titik maksimum lokal (relatif),

titik minimum global (mutlak), titik minimum lokal (relatif), titik ekstrim, titik

stasioner, titik singular, fungsi naik, fungsi turun, cekung ke atas, cekung ke bawah dan

titik belok dari fungsi y = f (x) ! Maaf ya merepotkan…!

Jawab:

Titik maksimum global (atau disebut juga titik maksimum mutlak) dari grafik

)(xfy adalah titik yang paling tinggi pada grafik tersebut. Tidak ada titik lain yang

lebih tinggi dari titik tersebut (catatan: yang sama mungkin saja ada).

Nilai y dari titik maksimum global disebut nilai maksimum global.

Titik minimum global (atau disebut juga titik minimum mutlak) dari grafik

)(xfy adalah titik yang paling rendah pada grafik tersebut. Tidak ada titik lain

yang lebih rendah dari titik tersebut (catatan: yang sama mungkin saja ada).

Nilai y dari titik minimum global disebut nilai minimum global.

Titik maksimum lokal (atau disebut juga titik maksimum relatif) dari grafik

)(xfy adalah titik yang paling tinggi pada bagian grafik di dekat titik tersebut,

tetapi (mungkin) bukan paling tinggi pada semua bagian grafik.

Nilai y dari titik maksimum lokal disebut nilai maksimum lokal.

Titik minimum lokal (atau disebut juga titik minimum relatif) dari grafik

)(xfy adalah titik yang paling rendah pada bagian grafik di dekat titik tersebut,

tetapi (mungkin) bukan paling rendah pada semua bagian grafik.

Nilai y dari titik maksimum lokal disebut nilai maksimum lokal.


Perhatikan grafik )(xfy pada (GAMBAR 1) di bawah ini!

Fungsi )(xfy tersebut didefinisikan pada selang [2, 16] yaitu pada selang

162 x saja. Titik A dan D di sini merupakan titik-titik ujung grafik.

Titik A adalah titik maksimum global, titik yang paling tinggi pada grafik.

Titik B adalah titik minimum global, titik yang paling rendah pada grafik.

Titik C adalah titik maksimum lokal, titik yang paling tinggi di daerah sekitar titik C

tersebut, namun kalah tinggi dengan titik A.

Titik D adalah titik minimum lokal, titik yang paling rendah di daerah sekitar titik D

tersebut, namun kalah rendah dengan titik B.

Nilai maksimum globalnya adalah 14, nilai minimum globalnya 5.

Nilai maksimum lokalnya 10 (maksimum hanya “lokal” di daerah sekitar titik C) dan

nilai minimum lokalnya 6 (minimum hanya “lokal” di daerah sekitar titik D)

CATATAN CUKUP PENTING!!

Jika suatu titik (misal titik P) adalah titik maksimum global, maka titik P juga bisa

disebut titik maksimum lokal, karena titik P juga paling tinggi di daerah sekitar titik

P tersebut.

Namun jika diketahui titik P adalah titik maksimum lokal, maka belum tentu titik P

adalah titik maksimum global. Ada kemungkinan titik P adalah titik maksimum

global, namun mungkin juga bukan.

Jadi, pada grafik di (GAMBAR 1), titik A adalah titik maksimum global, namun titik A

juga bisa dikatakan titik maksimum lokal.

Begitu pula dengan titik minimum!!


Logikanya, mirip dengan TNI yang terdiri dari Angkatan Udara (AU), Angkatan

Darat (AD), dan Angkatan Laut (AL). Kita anggap Angkatan Udara (AU) adalah

anggota TNI yang khusus, yaitu yang bisa mengendarai pesawat terbang.

Aku adalah

anggota AU

Berarti kamu termasuk

anggota TNI juga dong..!

Aku adalah

anggota TNI

Kamu belum tentu

anggota AU ….!


Aku adalah titik

maksimum global.

Berarti kamu juga titik

maksimum lokal dong…!

Sebab di daerah lokal

sekitar kamu, kamu juga

paling tinggi…!

Aku adalah titik

maksimum lokal.

Kamu belum tentu titik

maksimum global.


Perhatikan grafik )(xfy pada (GAMBAR 2) di bawah ini!

Fungsi f (x) di atas didefinisikan pada semua x bilangan real x dengan

bagian grafik makin tinggi pada sisi kiri dan kanan. Titik G dan I terletak sejajar sama

rendah.

Pada grafik ini, kita katakan:

Titik E adalah titik minimum lokal. Titik F adalah titik maksimum lokal.

Titik G dan titik I adalah dua titik minimum global, sebab tidak ada bagian grafik

lainnya yang lebih rendah dari titik G dan titik I.

Titik H adalah titik maksimum lokal, bukan global, sebab ada bagian grafik yang lebih

tinggi dari titik H, misalnya titik J dan K.

Grafik tidak memiliki titik maksimum global, sebab kedua sisi grafik kiri dan

kanannya makin meninggi.

Titik Ekstrim adalah titik maksimum atau titik minimum. Jadi, titik maksimum

maupun titik minimum termasuk titik ekstrim.

Titik Stasioner adalah titik yang garis singgung di titik tersebut mendatar. Dengan

kata lain, titik stationer adalah titik yang berlaku 0)( xf .

Pada grafik di atas, titik B dan C adalah titik-titik stationer, tetapi A dan D bukan.


Titik Singular adalah titik dimana )(xf nya tidak ada. Bisa berupa:

a) Titik dengan sudut tajam

b) Titik dengan garis singgung vertikal (asymptot)

c) Titik lompatan

d) Titik yang di dekatnya fungsi bergetar(bergoyang) sangat hebat, seperti grafik

fungsi x

xf 1sin)( di x = 0.

Titik Kritis adalah titik yang merupakan salah satu dari:

1) Titik ujung

2) Titik stasioner

3) Titik singular

TEOREMA: Titik Ekstrim (Maksimum atau Minimum) terjadi pada titik kritis,

yaitu salah satu dari titik ujung, titik stasioner, atau titik singular.

Perhatikan grafik pada (Gambar 3) berikut ini:

Pada grafik di samping, titik Q

adalah titik ujung, titik R adalah titik

singular (denga sudut tajam), titik S

adalah titik singular (dengan

lompatan) dan titik T adalah titik

ujung.

Titik maksimum global terjadi

pada R dan titik minimum global

terjadi pada Q.

Perhatikan pula grafik (GAMBAR 4) di bawah ini!

Pada grafik di samping,

grafik didefinisikan pada

selang ),0[ .

Titik O adalah titik ujung

kiri. Titik ujung kanan tidak

ada.

Titik U (titik di x = 4)

adalah titik stasioner, juga

merupakan titik maksimum

lokal

Titik V (titik di x = 6)

adalah titik minimum, juga

merupakan titik minimum

lokal


Titik di x = 7 adalah titik singular (dengan garis singgung vertikal (asymptot)).

Garis x = 7 merupakan garis asymptot yang semakin didekati grafik dari sebelah kiri

maupun kanan, tapi tidak pernah disentuh.

Fungsi naik yaitu fungsi yang jika dilihat dari kiri ke kanan, grafiknya naik.

Pada fungsi naik, berlaku: 0)( xf .

Fungsi turun yaitu fungsi yang jika dilihat dari kiri ke kanan, grafiknya turun.

Pada fungsi turun, berlaku: 0)( xf .

Pada grafik fungsi yang bentuknya cekung ke atas, berlaku: 0)( xf .

Sedangkan jika cekung ke bawah, berlaku: 0)( xf .

Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari cekung ke atas ke cekung ke

bawah, atau sebaliknya. Pada titik belok berlaku: 0)( xf .

Perhatikan grafik pada (GAMBAR 5) berikut ini:

Pada grafik di atas, fungsi f (x) naik pada selang 81 x , dan turun pada selang

14 x juga .128 x

Cekung ke atas pada 44 x dan cekung ke bawah pada 124 x .

Titik belok berada pada x = 4.

Soal 9

Tentukan nilai maksimum dari fungsi:

xxxf cos6sin321)(

untuk selang 20 x .

Jawab:

Kita cari turunannya terlebih dahulu.


xxxxxf sin6cos32)sin(6cos320)( .

Fungsi )(xf mencapai maksimum saat 0)( xf

0sin6cos32 xx

xx sin6cos32

x

x

cos

sin

6

32

xtan3

3

30x atau 150x

(Cek tanda positif-negatifnya: Ambil x =0 masukkan ke f ’(x), kita peroleh:

)( 0320320sin60cos32)0( positiff

Maka daerah paling kiri (yang memuat x = 0) bertanda positif. Untuk daerah lain tinggal

disesuaikan)

Jadi, fungsi f (x) mencapai maksimum saat x = 30o.

30cos630sin321)30(ffmaks

3632121

21

3413331 .

CARA LAIN:

Soal ini dapat diselesaikan tanpa menggunakan turunan. Tapi menggunakan rumus

trigonometri yang menawan berikut ini!


)cos(cossin xkxbxa

dengan 22 bak dan

b

atan .

Karena xxxf cos6sin321)( maka di sini 32a dan 6b .

Sehingga

343164836126)32( 2222 bak

Jadi, )cos(341cos6sin321)( xxxxf

Fungsi )(xf mencapai maksimum jika 1)cos( x .

Jadi, 341maksf .

Soal 10

Tentukan persamaan garis singgung kurva )sin(2 xy di titik berabsis 3

.

Jawab:

Kita gunakan teorema berikut:

Teorema

Misalkan garis singgung kurva y = f

(x) di titik (x1, y1) adalah y = mx + c.

Maka berlaku:

1 di

)(xx

xfm

Eh kawan, rumusnya

menawan nggak sih? Hhmmmm…..


Pada soal, kurvanya )sin(2)( xxfy dan 31x .

Gradien garis singgungnya adalah:

3

di)(

x

xfm

3

di)cos(2

xx

12240cos2)180cos(2)cos(2)cos(221

34

34

3

Maka persamaan garis singgungnya berbentuk:

cxy 1

cmxy

cxy ……………(*)

Karena 31x maka )sin(2)sin(2)sin(2

34

311 xy

332)240sin(221

Masukkan nilai )3,(),(311yx ke persamaan (*) untuk mendapatkan nilai c.

c

33

3

3 c

Jadi, persamaan garis singgungnya:

cxy

3

3 xy .

Soal 11

Untuk selang x , tentukan daerah dimana fungsi xxf 2sin)( naik !

Jawab:

Ingat bahwa:

0)(xf fungsi f naik

0)(xf fungsi f turun

0)(xf fungsi f mencapai nilai stasioner


Karena fungsi f naik, maka 0)( xf

0)(cos)(sin2 12 xx

0))(cos(sin2 xx

02sin x

Untuk titik nol (titik batas),

02sin x

0sin2sin x

2.02 kx atau 2.)0(2 kx

.kx

.2

kx

xk 1 22

1

xk

00 xk 2

0

xk

xk 1

Buat garis bilangan:

Untuk mengisi tanda positif-negatifnya, cek saja daerah antara 0 dan /2.

Misal kita ambil x = /4.

Lalu kita masukkan ke fungsi xxf 2sin)( .

01)2

sin()4

2sin()4

(

f (positif)

Jadi daerah antara 0 dan /2 tandanya positif. Untuk daerah lain tinggal disesuaikan (selang-

seling positif-negatifnya)


Fungsi f naik pada daerah f ’ nya yang positif.

Jadi, fungsi f naik pada daerah 2

x dan daerah

20

x .

Tambahan: Berikut adalah grafik xxf 2sin)( .

Soal 12

Untuk selang [0, ] tentukan interval dimana fungsi xxf cos)( cekung ke

bawah!

Jawab:

Teorinya pakai turunan kedua:

bawah ke cekung 0)(

atas ke cekung 0)(

fxf

fxf

Karena 21

coscos)( xxxf

maka )sin(cos)(

121

21 xxxf

V

U

x

xxx

21

21

21

)(cos2

sin)sin(cos


Dan turunan keduanya,

2)(

V

VUVUxf

2

21

21

212

1

)(cos2

)sin()(cos2)sin()(cos2cos

x

xxxxx

x

x

xxx

cos4

cos

)(sincoscos2

2

xx

xx

coscos4

sincos2 22

Untuk selang [0, /2] (yaitu 2

0 x ) nilai cos x dan sin x selalu positif , sehingga

bentuk )()(

)(

coscos4

sincos2)(

22

xx

xxxf , selalu negatif.

Dengan demikian, pada selang [0, /2], fungsi f selalu cekung ke bawah.

Jadi, jawabannya interval [0, /2] = Rxxx ,02

.

Tambahan: Berikut adalah sketsa grafik xxf cos)( .

xy cos


Soal 13

Tentukan koordinat titik ekstrim dari fungsi:

x

xxf

cos2

sin)(

pada interval 20 x .

Gambarkan pula sketsa grafiknya!

Jawab:

Titik ekstrim adalah titik maksimum dan minimum. Pertama, kita cari turunannya dahulu:

V

U

x

xxf

cos2

sin)(

22 )cos2(

)sin)((sin)cos2)((cos)(

x

xxxx

V

VUVUxf

22

22

)cos2(

1cos2

)cos2(

sincoscos2

x

x

x

xxx

(Ingat 1sincos 22 xx )

Untuk mencari titik ekstrim, kita cari titik stasionernya, yaitu saat:

0)( xf

0)cos2(

1cos22

x

x

01cos2 x

21cos x

Nilai x pada interval 20 x yang nilai cos nya – ½ adalah:

120x atau 240x

32x atau

34x .

Buat garis bilangan:


Lalu tentukan tanda positif-negatif daerahnya. Misal kita ambil daerah yang

mengandung x = 0. Cek ke 2)cos2(

1cos2)(

x

xxf

, kita peroleh

03

1

9

3

)12(

112

)0cos2(

10cos2)0(

22

f (positif)

Jadi, daerah paling kiri positif ! Daerah lainnya disesuaikan (selang-seling positif

negatifnya)

Dari bagan di atas, jelaslah titik maksimum tercapai saat 32x dan titik minimum

saat 34x .

Untuk titik maksimum,

)(2

3

120cos2

120sin

cos2

sin)(

21

21

32

32

32

xffmaks

33

31

23

21

.

Untuk titik minimum,

)(2

3

240cos2

240sin

cos2

sin)(

21

21

34

34

34

min

xff

33

31

23

21

.

Jadi, koordinat titik maksimumnya 3 ,31

32 sedangkan titik minimumnya

3 ,31

34 - .


Sketsa grafiknya:

(Catatan: titik potong grafik dengan sumbu X (yakni yang berkaitan dengan nilai x = 0,

, dan 2diperoleh dari persamaan y = 0 f (x) = 0)

Soal 14

Gambarlah sketsa grafik fungsi x

xxf

cos

sin1)(

.

Jawab:

Untuk menentukan naik-turunnya fungsi, kita gunakan turunan pertama.

xxx

x

xx

xxf tansec

cos

sin

cos

1

cos

sin1)(

.

xxxxf 2secsectan)(

xxx

x2cos

1

cos

1

cos

sin

x

x2cos

1)(sin …………………….. (*)

Titik stasioner saat 0)( xf

0cos

1)(sin2

x

x

331

331


01)(sin x

1sin x

270sinsin x

360.270 kx atau 360.90 kx

,....810,450,90

,...990 ,630 ,270

x (jarak terdekat 360o)

Perhatikan persamaan(*). Asymptot (tegak) saat:

[penyebut )(xf ] = 0

0cos2 x

0cos x

90coscos x

360.90 kx atau 360.90 kx

,...450,90,270,630..., x atau ,...630,270,90,450..., x

Dihimpun, ,...630,450,270,90 x (jarak terdekat 180o)

Bandingkan hasil )( dengan )( , ternyata semua nilai )( terkandung di dalam

)( .

Untuk menentukan apakah nilai pada )( ini titik stasioner atau asymptot, atau bukan,

kita hitung langsung saja nilai )(xf nya dengan mengambil limit. Sebagai contoh,

untuk titik

90x kita hitung:

)sin)((cos2

coslim

cos

1)(sinlim)(lim

9029090 xx

x

x

xxf

xxx

2

1

)1(2

1

sin2

1lim

90

xx.

Hasilnya bukan 0 dan bukan pula , maka bukan titik stasioner bukan pula

asymptot.

Untuk nilai-nilai lainnya pada )( , kita dapatkan hasil yang sama. Bukan titik

stasioner bukan pula asymptot.

)(

)(

Digunakan Teorema l’Hopital


Kesimpulan:

Asymptot saat ,...630,450,270,90 x

Titik stasioner tidak ada!

Gambar garis bilangan:

Garis putus-putus menunjukkan asymptot.

Karena turunan pertama berbentuk x

xxf

2cos

1)(sin)(

terlihat bahwa )(xf

selalu positif , dan tidak pernah negatif karena x2cos merupakan bilangan kuadrat

sehingga selalu positif atau nol, dan 1)(sin x juga selalu positif atau nol karena nilai

xsin selalu berada di antara –1 dan 1.

Kemungkinan 0)( xf dihapus karena tidak ada titik stasioner. Nilai-nilai x pada

)( menghasilkan 2

1)( xf > 0 yang juga positif !

Sehingga pengisian tanda daerah selalu positif fungsi f (x) selalu naik.

Untuk menggambar grafiknya, coba cari titik potong antara grafik dengan sumbu X,


yaitu saat

0cos

sin1)(

x

xxf

0sin1 x dengan syarat 0cos x

1sin x

270sinsin x

360.270 kx atau 360.90 kx

,....810,450,90

,...990 ,630 ,270

x (&&)

Untuk semua nilai-nilai x ini, ternyata tidak memenuhi syarat 0cos x .

Jadi, nilai-nilai x menunjukkan titik singular yang tidak terdefinisi (karena

menghasilkan nilai fungsi 0

0)( xf ).

Namun kita bisa menghitung nilai limitnya. Contoh, untuk x = –90o :

01

0

sin

coslim

cos

sin1lim)(lim

909090

x

x

x

xxf

xxx.

Untuk semua nilai x pada (&&) juga menghasilkan limit yang sama.

Jadi, nilai-nilai x pada (&&) merupakan titik potong grafik dengan sumbu X,

dalam pengertian limit!

Kita simpulkan sketsa grafiknya adalah sebagai berikut:


Soal 15

Pada selang (–270o, 90o) tentukan kapan fungsi x

xxf

cos

sin1)(

cekung ke atas dan

kapan cekung ke bawah? Tentukan pula titik beloknya!

Jawab:

Fungsi pada soal ini sama dengan fungsi pada Soal 12, yaitu x

xxf

cos

sin1)(

.

Untuk menentukan cekung ke atas, cekung ke bawah atau titik belok, kita lihat dari

turunan kedua dari f (x).

Review : Cekung ke atas 0)( xf

Cekung ke bawah 0)( xf

Titik belok 0)( xf

Turunan pertama sudah kita dapatkan dari Soal 12, yaitu:

x

xxf

2cos

1)(sin)(

V

U

Maka turunan keduanya:

2)(

V

VUVUxf

22

2

)(cos

)sin.(cos.2)1)((sincos)(cos

x

xxxxx

x

xxxxx4

23

cos

sincos2sincos2cos

x

xxxx4

22

cos

)sin2sin2)(cos(cos

x

xxxx3

222

cos

)sin2sinsin(cos

x

xx3

2

cos

)sin2sin1(


Inget:

x

x3

2

cos

)sin1(

Bagian pembilang, yaitu 2)sin1( x selalu positif atau nol.

Maka positif-negatif x

xxf

3

2

cos

)sin1()(

sekarang tergantung pada positif-

negatif bagian penyebutnya, yaitu x3cos .

Untuk titik batas, 0cos3 x

0cos x

,...450,270,90 x

Buat garis bilangan memuat titik-titik batas:

Sementara itu,

Pembilang = nol jika 0)sin1( 2 x

1sin x ,....810,450,90

,...990 ,630 ,270

x

Untuk nilai-nilai x ini, 0cos x . Jadi, untuk nilai-nilai ini 0

0)( xf tidak

terdefinisi.

Kita coba hitung limitnya, misalkan pada x = 270o

)sin(cos3

))(cossin1(2lim

cos

)sin1(lim)(lim

22703

2

270270 xx

xx

x

xxf

xxx

xx

x

x sincos3

)sin1(2lim

270

x

x

x 2sin

sin22lim

23270

xxx cossin22sin

Digunakan Teorema l’Hopital


2)2(cos

cos20lim

23270

x

x

x (digunakan teorema l’Hopital lagi)

02)1(

02lim

23270

x.

Bisa diperiksa untuk nilai-nilai ,....810,450,90

,...990 ,630 ,270ˆ

x

berlaku 0)(limˆ

xfxx

.

Jadi, untuk nilai-nilai

,....810,450,90

,...990 ,630 ,270ˆ

x

f ’’(x) tidak terdefinisi, namun kita bisa anggap itu adalah titik belok dalam

pengertian limit, yaitu 0)(limˆ

xfxx

.

Sekarang kita isi positif-negatif pada garis bilangannya:

Cek untuk x =0,

karena x

xxf

3

2

cos

)sin1()(

maka 011

)01(

0cos

)0sin1()0(

3

2

3

2

f (positif)

Untuk daerah lain tinggal disesuaikan positif-negatifnya (selang-seling)

Kesimpulan:

Fungsi f (x) cekung ke atas pada interval (–90o, 90o) + k.360o

Fungsi f (x) cekung ke bawah pada interval (90o, 270o) + k.360o

Fungsi f (x) tidak memiliki titik belok, namun jika dianggap ada dalam pengertian limit,


maka titik beloknya terjadi pada ,....810,450,90

,...990 ,630 ,270ˆ

x

Soal 16

Sebuah talang air terbuat dari papan aluminium selebar 3 m, ditekuk kedua tepinya

sehingga membentuk sudut terhadap bidang horizontal seperti pada gambar.

Tentukan sudut agar kapasitas talang air maksimum!

Jawab:

Kapasitas talang air menjadi maksimum jika volum talang air maksimum. Misalkan

panjang talang air adalah t meter (lihat gambar!)

Untuk menyederhanakan gambar, kita lihat dari depan:

Jika bagian berwarna hijau dipindahkan ke kiri seperti pada gambar di atas, kita

dapatkan bangun balok (dengan penampang persegi panjang)


Ingat: turunan dari UV

adalah U’V+UV’

Ingat:

Maka volume talang tinggilebarpanjangV

))()(sincos1( t

sincossin tt

Volume mencapai maksimum sa’at turunannya nol,

0d

dV

0cos)(cossin)sin(cos tt

0cossincos 22 tt

0cos1coscos 22 tt

01cos2cos 2 tt

01coscos2 2 t

0)1)(cos1cos2( t

01cos2 atau 01cos

21cos atau 1cos

60 atau 180cos

Volume mencapai maksimum saa’t 60 .

22

22

sin1cos

1cossin

panjang

lebar


Soal 17

Sebuah kertas karton berbentuk lingkaran dengan jari-jari 8 cm, dipotong sebuah

sektornya dengan sudut pusat . Dengan kertas karton yang telah terpotong ini dibuat

selimut kerucut. Tentukan sudut agar volume kerucut yang terbentuk sebesar-

besarnya!

Jawab:

Perhatikan bahwa jari-jari karton terpotong dengan panjang 8 cm akan menjadi garis

pelukis kerucut, dan keliling karton terpotong s (lihat gambar!) akan menjadi keliling

lingkaran alas kerucut.

Misal panjang busur yang terpotong = b (lihat gambar di atas!). Misalkan pula jari-jari

dan tinggi kerucut yang terbentuk berturut-turut adalah r dan t (lihat gambar di

atas!)

Misal K = keliling kertas karton lingkaran mula-mula, maka:

168.2K cm

Dari definisi sudut dalam radian,

lingkaran jari-jari

sudut depan dibusur panjang


8

b 8b cm.

Karena s menjadi keliling lingkaran alas kerucut yang terbentuk, maka berlaku:

rs 2

Hubungan antara K, s dan b adalah:

bsK

8216 r

8162 r

48

2

816r .

Karena t, r dan garis pelukis 8 cm membentuk segitiga siku-siku, berlaku:

222 648 rrt

Volume kerucut yang terbentuk:

22

312

31 64 rrtrV

Volume akan mencapai maksimum ketika turunannya nol,

0d

dV

0d

dr

dr

dV

0d

dr

dr

dV

0)()2()64(642 421

2

2122

31

rrrrr

(Di sini gunakan turunan u.v yaitu u’v+uv’ dengan 2ru dan 264 rv ,

sedangkan )( 4

d

drdidapat karena

48r )

0

64

1642

2

32

34

r

rrr

0

64

1642

2

32

r

rrr


2

32

64

1642

r

rrr

2

22

64

1642

r

rr

22)64(2 rr

222128 rr

23128 r

3

1282 r

63

3

3

28

3

28

3

12838r

Untuk mendapatkan sudut , kita gunakan persamaan yang sudah ada:

48r

4

38 86

68384

)68(38

4

)62(32

rad.

Atau jika diukur dalam satuan derajat, maka :

66180)449,22(180)6(2rad )62(32

32

32

.

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI - · PDF fileSMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan...

Documents

Transcript of TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI - · PDF fileSMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan...