BAB IIILIMIT DAN FUNGSI KONTINU3.1 Pengertian Limit3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit3.3 Limit Satu Sisi3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga3.5 Limit Fungsi Trigonometri3.6 Bilangan Alam3.7 Fungsi KontinuKonseplimit mempunyai perananyangsangat pentingdi dalamkalkulus danberbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelahdipraktekkanmasalahhitunglimit relativemudah. Mengingat hal itu, makapada bagianpertamaBabinilimitditerangkansecaraintuitive(numeris).Kemudianpadabagianselanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.3.1 Pengertian LimitTerlebih dahulu diperhatikan fungsi 3 ) (2 + x x f. Grafik ) (x f y diberikan pada Gambar 3.1.1 di bawah ini.58(a). Apa yang terjadi dengan ) (x f apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.Tabel 3.1.1x3 ) (2 + x x fx3 ) (2 + x x f3 12 1,5 5,252,05 7,2025 1,95 6,80252,001 7,004001 1,999 6,9960012,0001 7,00040001 1,9999 6,99960001Dari table terlihat bahwa apabilaxcukup dekat dengan 2, maka) (x fmendekati 7. Hal ini tidak mengherankan, karenaapabiladihitung7 3 2 ) 2 (2 + f. Dalamhal ini dikatakanbahwalimit f(x)x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:7 ) ( lim2x fxSelanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus: 11) (2xxx f59Gambar 3.1.127(a). Fungsiftersebut tidakterdefinisikandix=1karenadi titikinif(x)berbentuk00. Tetapi masihdapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi1 x . Untuk1 x ,) ( 11) 1 )( 1 (11) (2x g xxx xxxx f + + Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai ) (x f mendekati 2. Jadi,211lim21 xxxTabel 3.1.2x111) (2+ xxxx fx111) (2+ xxxx f2 3 0,5 1,560(a). (b). 1Gambar 3.1.21,05 2,05 0,99 1,991,001 2,001 0,999975 1,9999751,00000017 2,00000017 0,9999999 1,9999999Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsif tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untukx mendekati c mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa4lim x(2x 5) = 3.Penyelesaian:|(2x 5) 3| = |2x 8| = |2(x 4)| = |2| |x 4| = 2|x 4|Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil = /2, makauntuk setiap x di dalam domainfyang memenuhi 0 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat bilangan > 0 sehingga untuk setiapfD x dengan < < c x 0 berlaku < L x f ) (.|(2x 5) 3| = 2 |x 4| < 2 = 2./2 = .Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0, c xc xlim.Penyelesaian:(3.1.1)( )c xc xc xc xc x c x+++ Ditinjau x >0 dengan sifat 2cc x < . Menurut ketidaksamaan segitiga:2 2c cc c x c x x > Hal ini berakibat:(3.1.2)2cx >Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:cc xc xc xc x32 0. Diberikanbilangan>0sebarang. Apabiladiambil)'23,2minc c makauntuk setiap x>0 dengan < < c x 0 berlaku: 0 sehingga untuk setiap x>0 dengan < < c x 0 berlaku: sehingga:i.2) (< L x f ,untuk setiapfD x dengan 10 < < c x.ii.2) (< K x f , untuk setiapfD x dengan 20 < < c x.Apabila diambil{ }2 1, min maka untuk setiapfD x dengan < < c x 0 berlaku: < + K x f x f L K L ) ( ) (Hal ini berartiK L .Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa xxx 0lim tidak ada.Penyelesaian: Untuk0 > x ,1 lim lim0 0 xxxxx xSementara, untuk0 < x ,1 lim lim0 0 xxxxx xKarena nilai limit tidak tunggal maka xxx 0lim tidak ada.3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit63Teorema 3.1.4 Jika ) ( lim x fc x ada maka nilainya tunggal.Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).Contoh 3.2.3(a). 6 lim 7 lim 2 lim ) 6 7 2 ( lim2 222 ) i ( 2 . 2 . 322 + + x x x xx x x x64Teorema 3.2.1 (i). A Ac xlim,R c A,.(ii). c xc xlim.Teorema 3.2.2 Jika ) ( lim x fc x dan ) ( lim x gc x keduanya ada danR kmaka berlaku pernyataan-pernyataan berikut:i.{ } ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x fc x c x c x t t

ii.) ( lim ) ( lim x f k x kfc x c x iii.) ( lim ). ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x fc x c x c x iv.) ( lim) ( lim) () (limx gx fx gx fc xc xc x, asalkan 0 ) ( lim x gc xv. UntukN n : (a).( )nc xnc xx f x f

,_

) ( lim ) ( lim(b).( )nc xnc xx f x f

,_

) ( lim ) ( lim , asalkan 0 ) ( lim x fc x(c).( )nc xnc xx f x f11) ( lim ) ( lim

,_

, asalkan untuk n genap 0 ) ( lim >x fc x 0 6 2 . 7 2 . 26 lim lim 7 lim 26 lim lim 7 lim 221 . 2 . 32 222 ) v.a ( 2 . 2 . 32 222 ) ii ( 2 . 2 . 3 + +

,_

+ x x xx x xx xx x(b). 1 2 lim . 7 lim 1 2 7 lim1 1 ) iii ( 2 . 2 . 3 1 x x x xx x x

( ) 7 1 1 . 2 1 . 7 ) 1 2 ( lim lim 71 1 ) (v.c & ii) ( 2 . 2 . 3

,_

x xx x(c). 312 ) 1 .( 53 ) 1 .( 2) 2 5 ( lim) 3 2 ( lim2 53 2lim11) iv ( 2 . 2 . 3 1 + + ++++ xxxxxxx.Contoh 3.2.4 Hitung 42 3lim222+ xx xx.Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan. Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk xmendekati 2, bukan nilai untuk xsama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk2 xdiperoleh:21) 2 )( 2 () 1 )( 2 (42 322++ + xxx xx xxx xSehingga:412 21 221lim42 3lim) iv ( 2 . 2 . 3 2222+++ xxxx xx x.Contoh 3.2.5 Tentukan 11lim1 xxx.65Penyelesaian:( )( )( ) 2 1 1 1 lim11 1lim11lim1 1 1 + + + xxx xxxx x x.Contoh 3.2.6 Tentukan 168lim432+ xxx.Penyelesaian:( ) ( )( ) ( )3 2 2 32 224 43 32432) 2 ( ) 2 .( ) 2 .( ) 2 () 2 ( ) 2 .( ) 2 (lim) 2 () 2 (lim168lim + + + + + + x x x xx x xxxxxx x x

( )( )838 8 8 84 4 48 4 24 2lim2 322 + + + + x x xx xx.Padacontoh-contohdi atastelahdigambarkanbagaimanateknik-teknikaljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan cara demikian. Sebagai contoh, misalnya xxxsinlim0 .Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.Contoh 3.2.8 Tentukan,_

xxx1sin lim0.Penyelesaian: Untuk0 x , 11sin x. Oleh karena itu, untuk0 xberlaku:66Teorema 3.2.7 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga ) ( ) ( ) ( x h x g x f untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c,kecuali mungkin di c. Jika L x h x fc x c x ) ( lim ) ( lim maka L x gc x) ( lim.xxxxx 1sin1sinHal ini berakibat:xxx x 1sinSelanjutnya, karena ( ) 0 lim lim0 0 x xx x maka 01sin lim0

,_

xxx.Soal LatihanUntuk soal 1 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit. 1. 3 ) 2 ( lim1 +xx 2. 21 1lim2 x x 3. 1 lim21 xx 4. 212lim0 + xxx 5. 2 lim4xx 6.211lim21 xxx 7. Jika '< 0 , 10 , 1) (xxx f, tunjukkan bahwa ) ( lim0x fx tidak ada.Untuk soal 8 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.8. ) 20 ( lim25xx9. ) 1 3 ( lim22+ + x xx10. 32lim0 + xxx11. 48 2lim222 +xx xx12. 11lim1 xxx13. 864lim362xxx14. 11lim341+ sss15. uuu 11lim2 3116. 22113 2limxxx+ 6717. 5 34lim222+ xxx18. a xa xn na x lim 19. a xa xn na x ++ lim20. hx h xh +0lim 21. 2) 2 1 ( ) 1 (lim2 xxx22. xxx1 1lim30 +3.3 Limit Satu SisiKiranya mudah dipahami bahwa xx 0limtidak ada, karenax tidak terdefinisikan untuk0 < x . Namun demikian, apabila 0 > x maka xx 0limada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita kepada definisi berikut ini.Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:(i). L x fc x+) ( lim jika dan hanya jika untuk setiap0 > ada0 > sehingga untuk setiap ) , ( + c c x berlaku < L x f ) (.68Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval ) , ( + c c. Apabila untuk x di dalam ) , ( + c cyang cukup dekat dengan c,nilai f(x)mendekati L,maka dikatakan bahwa L merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:L x fc x+) ( lim(ii).Misalkan f(x)terdefinisikanpadasuatu interval) , ( c c .Apabila untuk x di dalam ) , ( c c yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri f(x) untuk x mendekati c, ditulis:L x fc x) ( lim(ii). L x fc x) ( lim jika dan hanya jika untuk setiap0 > ada0 > sehingga untuk setiap ) , ( c c x berlaku < L x f ) (.Contoh 3.3.2 (a). 0 lim0+xxdanxx0lim tidak ada.(b).Untukbilangan bulat n,

[ ] n xn x+limdan[ ] 1 lim n xn xContoh 3.3.3 Tentukan ) ( lim dan ), ( lim ), ( lim ), ( lim1 1 0 0x f x f x f x fx x x x+ + jika diketahui:'>< 1 ,111 , 1 2) (2xxxx xx fPenyelesaian:69L + L Lcc+ + LL Lc- cGambar3.3.1(a) (b)(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), 1 2 ) ( x x f. Oleh karena itu,1 ) 1 2 ( lim ) ( lim1 ) 1 2 ( lim ) ( lim0 00 0 + + x x fx x fx xx x(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 danx < 1, 1 2 ) ( x x f. Sehingga:1 ) 1 2 ( lim ) ( lim1 1 x x fx xTetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 danx > 1, 11) (2 xxx f. Sehingga:2111lim) 1 )( 1 (1lim11lim ) ( lim1 121 1++ + + + + x x xxxxx fx x x x.Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan limit kiri dankanansuatufungsi adadannilainyasama. Selanjutnya, karenaketunggalanlimit maka diperoleh pernyataan berikut.Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena ) ( lim ) ( lim1 1x f x fx x+ maka ) ( lim1x fx tidak ada.Contoh 3.3.6 Diberikan:'>< 1 ,1 , 1 2) (3x xx xx fKarena untuk1 < x , 1 2 ) ( x x f, maka:70Teorema 3.3.4L x fc x) ( lim jika dan hanya jika L x f x fc x c x + ) ( lim ) ( lim.Akibat 3.3.5Jika ) ( lim ) ( lim x f x fc x c x+ maka ) ( lim x fc x tidak ada.1 ) 1 2 ( lim ) ( lim1 1 x x fx x.Secara sama,1 lim ) ( lim31 1 + + x x fx x.Selanjutnya, karena ) ( lim 1 ) ( lim1 1x f x fx x+ maka: 1 ) ( lim1x fx.Contoh 3.3.7 Tentukan ) ( lim2x fx jika diketahui:[ ]'>2 ,2 ,) (x xx xx fPenyelesaian:2 lim ) ( lim2 2 x x fx x[ ] 2 lim ) ( lim2 2 + + x x fx xJadi, 2 ) ( lim2x fx.3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak HinggaTerlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: 201limxx. Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai 21) (xx f diberikan pada table berikut ini.Tabel 3.4.1x21xx21x1 1 1 10,5 4 0,5 40,01 10.000 0,01 10.00071Definisi3.4.1(i). jikauntuksetiapxcukupdekatdenganc,tetapi,makaf(x)menjadibesartak terbatas arah positif.(ii). jikauntuksetiapxcukupdekatdenganc,tetapi,makaf(x)menjadibesartakterbatasarah negatif. (atau ) jika untuk setiap bilangan realterdapat bilangan realsehingga untuk setiapdengan sifatberlaku(atau )0,0001 100.000.000 0,0001 100.000.0000,000005 40.000.000.000 0,000005 40.000.000.000Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai 21) (xx f menjadi semakin besar. Bahkan nilai 21) (xx f akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi 21) (xx f dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis: ) ( lim0x fxSecara sama mudah diperlihatkan: 201limxx7221) (xx f Gambar 3.4.1Definisi3.4.1(i). jikauntuksetiapxcukupdekatdenganc,tetapi,makaf(x)menjadibesartak terbatas arah positif.(ii). jikauntuksetiapxcukupdekatdenganc,tetapi,makaf(x)menjadibesartakterbatasarah negatif. (atau ) jika untuk setiap bilangan realterdapat bilangan realsehingga untuk setiapdengan sifatberlaku(atau )Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:Contoh 3.4.2(a). + 11lim1 x x(b). ,_

11 1lim1lim202 30 xx x xx x.Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk c x , dengan csuatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai ) (x f apabila nilai x cukup besar. Sebagai contoh, bagaimana nilaixx f1) ( apabila nilaixcukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah memperlihatkan nilaifuntukberbagai nilaix. Ternyata semakin besar nilaix(arah positif),nilai) (x f semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:01lim x xTabel 3.4.273Definisi3.4.1(i). jikauntuksetiapxcukupdekatdenganc,tetapi,makaf(x)menjadibesartak terbatas arah positif.(ii). jikauntuksetiapxcukupdekatdenganc,tetapi,makaf(x)menjadibesartakterbatasarah negatif. (atau ) jika untuk setiap bilangan realterdapat bilangan realsehingga untuk setiapdengan sifatberlaku(atau ) (a)(b)xxx f1) ( xxx f1) ( 10 0,1 1 11.000.000 0,000001 1.000.000 0,0000015.000.000 0,0000002 5.000.000 0,0000002100.000.000 0,00000001 100.000.000 0,00000001Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat ) (x f mendekati nol, yaitu:01lim x xKemudiandapatditurunkanpengertian limit menuju tak hingga.Hal itu dituliskan dalam definisi berikut.Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:74Definisi 3.4.3 (i). L x fx ) ( limjika ) (x f terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka ) (x f mendekati L.(ii). ) ( lim x fx jika ) (x f terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka ) (x f mendekati L.(i). L x fx ) ( lim jika untuk setiap bilangan real0 > terdapat bilangan0 > Msehingga untuk setiapM x >berlaku < L x f ) (.(ii). L x fx ) ( lim jika untuk setiap bilangan real0 > terdapat bilangan0 > Msehingga untuk setiapM x x ,x x > + 93. Sehingga xx19103 +