Limit Dan Fungsi Kontinu(1)

BAB IIILIMIT DAN FUNGSI KONTINU

3.1 Pengertian Limit

3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit

3.3 Limit Satu Sisi

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

3.5 Limit Fungsi Trigonometri

3.6 Bilangan Alam

3.7 Fungsi Kontinu

Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang

matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep

limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa

dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal

itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian

selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.

3.1 Pengertian Limit

Terlebih dahulu diperhatikan fungsi . Grafik diberikan pada Gambar 3.1.1 di

bawah ini.

58

Apa yang terjadi dengan apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.

Tabel 3.1.1x x

3 12 1,5 5,25

2,05 7,2025 1,95 6,8025

2,001 7,004001 1,999 6,996001

2,0001 7,00040001 1,9999 6,99960001

Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka mendekati 7. Hal ini tidak

mengherankan, karena apabila dihitung . Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x

mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:

Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:

59

Gambar 3.1.1

●

2

7

Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk . Tetapi masih dapat

dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi . Untuk ,

Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai mendekati 2.

Jadi,

Tabel 3.1.2

x x

60

○

(a). (b).

1

Gambar 3.1.2

2 3 0,5 1,5

1,05 2,05 0,99 1,99

1,001 2,001 0,999975 1,999975

1,00000017 2,00000017 0,9999999 1,9999999

Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.

Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.

Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c

mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.

Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa (2x –5) = 3.

Penyelesaian:

|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|

61

Definisi 3.1.1 Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) mendekati L.

jika untuk setiap bilangan > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat bilangan

> 0 sehingga untuk setiap dengan berlaku .

Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil = /2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang

memenuhi 0 <|x – 4| < berlaku:

|(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 = 2./2 = .█

Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0, .

Penyelesaian:

(3.1.1)

Ditinjau x >0 dengan sifat . Menurut ketidaksamaan segitiga:

Hal ini berakibat:

(3.1.2)

Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:

,

untuk setiap x>0. Diberikan bilangan > 0 sebarang. Apabila diambil maka untuk

setiap x>0 dengan berlaku:

Jadi, untuk setiap > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan berlaku:

.█

Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.

62

Teorema 3.1.4 Jika ada maka nilainya tunggal.

Bukti: Misalkan dan . Akan ditunjukkan bahwa .

Diberikan sebarang, maka terdapat sehingga:

i. , untuk setiap dengan .

ii. , untuk setiap dengan .

Apabila diambil maka untuk setiap dengan berlaku:

Hal ini berarti .█

Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa tidak ada.

Penyelesaian: Untuk ,

Sementara, untuk ,

Karena nilai limit tidak tunggal maka tidak ada.█

3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam

hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).

63

Teorema 3.2.1 (i). , .

(ii). .

Contoh 3.2.3

(a).

(b).

64

Teorema 3.2.2 Jika dan keduanya ada dan maka berlaku pernyataan-

pernyataan berikut:

i.

ii.

iii.

iv. , asalkan

v. Untuk : (a).

(b). , asalkan

(c). , asalkan untuk n genap

(c). .█

Contoh 3.2.4 Hitung .

Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan.

Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai

limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan

teknik-teknik aljabar, untuk diperoleh:

Sehingga:

.█

Contoh 3.2.5 Tentukan .

Penyelesaian:

.█


Penyelesaian:

65

.█

Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan

untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan

cara demikian. Sebagai contoh, misalnya .

Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.


Penyelesaian: Untuk , . Oleh karena itu, untuk berlaku:

Hal ini berakibat:

Selanjutnya, karena maka .█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.

66

Teorema 3.2.7 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga

untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c. Jika

maka .

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. Jika , tunjukkan bahwa tidak ada.

Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.

8. 9. 10.

11. 12. 13.

14. 15. 16.

17. 18. 19.

20. 21. 22.

3.3 Limit Satu Sisi

Kiranya mudah dipahami bahwa tidak ada, karena tidak terdefinisikan untuk .

Namun demikian, apabila maka ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita

kepada definisi berikut ini.

67

Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

(i). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap

berlaku .

(ii). jika dan hanya jika untuk setiap ada sehingga untuk setiap

berlaku .

68

Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di

dalam yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L

merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:

(ii). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di dalam

yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri f(x)

untuk x mendekati c, ditulis:

Contoh 3.3.2 (a). dan tidak ada.

(b). Untuk bilangan bulat n,

dan

Contoh 3.3.3 Tentukan jika diketahui:

Penyelesaian:

(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0), . Oleh karena itu,

(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1, . Sehingga:

69

L

L

L

c c+δ

LL

L

c-δ c

Gambar 3.3.1

(a) (b)

Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1, . Sehingga:

.█

Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit

kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan

limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka

diperoleh pernyataan berikut.

Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:

Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena maka tidak ada.

Contoh 3.3.6 Diberikan:

Karena untuk , , maka:

.

Secara sama,

.

Selanjutnya, karena maka: .█

70

Teorema 3.3.4 jika dan hanya jika .

Akibat 3.3.5 Jika maka tidak ada.

Contoh 3.3.7 Tentukan jika diketahui:

Penyelesaian:

Jadi, .█

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut: . Untuk nilai-nilai x yang cukup

dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada table berikut ini.

Tabel 3.4.1

x x

1 1 −1 1

0,5 4 −0,5 4

0,01 10.000 −0,01 10.000

0,0001 100.000.000 −0,0001 100.000.000

0,000005 40.000.000.000 −0,000005 40.000.000.000

71

Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai

menjadi semakin besar. Bahkan nilai akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik

dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

Secara sama mudah diperlihatkan:

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:

72

21

)(x

xf

Gambar 3.4.1

Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:

Contoh 3.4.2

(a). (b). .

Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk , dengan c suatu bilangan berhingga. Akan

tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar.

Sebagai contoh, bagaimana nilai apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah

memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai

semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:

Tabel 3.4.2 (a) (b)

x x

73

Definisi 3.4.1 (i). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) menjadi besar tak

terbatas arah positif.

(ii). jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah

negatif.

(atau −∞) jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan real sehingga untuk setiap dengan

sifat berlaku (atau )

10 0,1 −1 −1

1.000.000 0,000001 −1.000.000 −0,000001

5.000.000 0,0000002 −5.000.000 −0,0000002

100.000.000 0,00000001 −100.000.000 −0,00000001

Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat mendekati nol, yaitu:

Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi

berikut.

Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:

Mudah ditunjukkan bahwa:

74

Definisi 3.4.3 (i). jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif)

dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka mendekati L.

(ii). jika terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x

menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka mendekati L.

(i). jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan sehingga untuk

setiap berlaku .

(ii). jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan sehingga untuk

setiap berlaku .

dan


Penyelesaian: Untuk , . Sehingga . Selanjutnya, karena maka dengan

Teorema Apit diperoleh:

.█


Penyelesaian: Karena:

maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-

sama dibagi dengan maka:

.█


Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:

75

.█


Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan , diperoleh:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya!

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

76

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

21. Tentukan , , dan jika diberikan:

22. Fungsi f yang terdefinisikan pada dikatakan genap (atau ganjil) jika (atau

) untuk setiap . Jika maka tentukan jika: (a). f

genap, (b). f ganjil.

3.5 Limit Fungsi Trigonometri

Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.


77

Teorema 3.5.1 (i). .

(ii). .

Penyelesaian:

Tetapi untuk berakibat dan , sehingga:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

3.6 Bilangan Alam

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang

dan :

(3.6.1)

Apabila diambil , maka dari (3.6.1) diperoleh:

78

Karena maka menurut Teorema Apit nilai ada. Berdasarkan perhitungan, untuk

diperoleh:

Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:

(3.6.2)

Mudah ditunjukkan bahwa untuk berlaku:

Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n

sehingga . Hal ini berakibat:

dan karena maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh:

(3.6.3)

Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa:

(3.6.4)

Selanjutnya, apabila diambil substitusi , maka untuk berakibat . Sehingga, dari (3.6.3)

dan (3.6.4) diperoleh:

(3.6.5)


79

Penyelesaian: Apabila diambil substitusi maka berturut-turut diperoleh:

(i). , sehingga .

(ii). Karena maka untuk berakibat .

Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):

.█


Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Diambil substitusi . Jika maka . Selanjutnya, menurut (3.6.5) diperoleh:

.█

Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan

dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.


80

Teorema 3.6.3 Apabila dan maka:

Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Apabila berturut-turut diambil dan maka:

Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:

.█


Penyelesaian:

Selanjutnya, jika diambil dan maka:

Sehingga menurut Teorema 3.6.3:

.█

Contoh 3.6.6 Selesaikan .

Penyelesaian: Tulis:

81

Berturut-turut diambil substitusi:

maka:

(i).

(ii).

Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

3.7 Fungsi Kontinu

82

Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai sama dengan ,

kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun tidak terdefinisikan akan tetapi

mungkin ada. Apabila = maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:

(i). f(a) ada atau terdefinisikan,

(ii). ada, dan

(iii).

Secara grafik, fungsi f kontinu di jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak

terpotong di titik . Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada

Gambar, f kontinu di x1 dan di setiap titik di dalam kecuali di titik-titik x2, x3, dan x4. Fungsi f

diskontinu di x2 karena tidak ada, diskontinu di x3 karena nilai tidak sama dengan nilai

fungsi di x3 (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x4 karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

83

a x1 x2 x3 x4 b

Gambar 3.7.1

Definisi 3.7.1 Fungsi f dikatakan kontinu di jika

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.

Contoh 3.7.2

(a). Fungsi f dengan rumus diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh

diskontinu di x = 0 sebab tidak ada.

(c). Fungsi g dengan definisi:

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan . Namun

demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab .█

Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.

Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu

diberikan pada definisi berikut ini.

84

Teorema 3.7.3 Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka f+g,

f – g, kf, dan fg kontinu di a. Demikian pula, kontinu di a asalkan .

Definisi 3.7.4 (i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika .

(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika

Contoh 3.7.5 Diberikan Selidikilah kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada dan pada sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut.

Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

Jadi, f kontinu pada (1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:

dan

sehingga f kontinu dari kanan di x = 1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada .█

Contoh 3.7.7

(a). kontinu pada R .

(b). kontinu pada R ; .

(c). kontinu pada .█

Hubungan antara fungsi kontinu dan hitung limit dinyatakan dalam teorema berikut.

85

Teorema 3.7.6 Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan

fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.

Teorema 3.7.8 Jika f kontinu di b dan maka Dengan kata lain


Penyelesaian: Namakan dan . Karena dan f kontinu di x = 2 maka

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, tentukan titik-titik di mana fungsi berikut diskontinu.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9. Selidiki kontinuitas pada

10.Jika maka tunjukkan bahwa f kontinu pada .

Untuk soal 11 – 13, tentukan nilai a dan b agar fungsi-fungsi berikut kontinu untuk pada R.

11. 12.

86

Limit Dan Fungsi Kontinu(1)

Documents

Transcript of Limit Dan Fungsi Kontinu(1)