limit

MODUL PEMBELAJARAN LIMIT FUNGSIKELAS 11 SMA PROGRAM IPA

Oleh Bagoes Darmawan, S.Pd

www.mawan24.wordpress.com

LIMIT FUNGSI

A. Pengertian Limit FungsiPada pelajaran terdahulu, kita sering menjumpai notasi f(x) yang berarti fungsi dari x, dengan x adalah suatu bilangan yang ditentukan. Akan tetapi, tidak semua fungsi terdefinisi,

misalnya pada fungsi tidak terdefinisi untuk x = 2. Namun, apakah ada suatu

bilangan a (tetapi x ≠ 2) sehingga fungsi f(x) menjadi terdefinisi?Jawabnya adalah ya, yakni dengan mensubstitusikan domain a yang mendekati 2 kedalam

fungsi . Pernyataan diatas dapat kita katakan bahwa limit dari fungsi

dimana x mendekati 2. Limit fungsi tersebut dapat kita tulis

. Sehingga secara umum limit fungsi dapat dinotasikan

Sebagai ilustrasi, misalkan seorang peneliti berharap memperoleh pengukuran terhadap suatu objek ketika tekanan udara nol. Karena tidak mungkin tekanan udara di dalam laboratorium kosong, maka peneliti berusaha memperoleh tekanan udara yang sekecil-kecilnya, yakni tekanan udara yang mendekati nol. Jika objek yang diteliti kita misalkan M dan tekanan udara adalah p, maka ilustrasi diatas dapat kita nyatakan dalam bentuk limit

, dimana L adalah hasil pengukuran dengan tekanan udara yang mendekati nol.Berdasarkan contoh dan ilustrasi diatas dapat kita katakan bahwa limit merupakan suatu pencapaian hasil yang sedekat-dekatnya, akan tetapi pencapaian tersebut tidak sampai mencapai hasil yang sebenarnya. Dengan kata lain limit fungsi merupakan suatu nilai yang fungsi dengan domain yang merupakan pendekatan sedekat-dekatnya dari suatu bilangan tertentu.

Contoh 1:

Tentukan jika

Jawab:Untuk menentukan limit dari g(x), kita buat tabel pendekatan nilai g(x)(x) 1,8 1,99 1,999 …. 2,001 2,01 2,05g(x) 3,8 3,99 3,999 …. 4,001 4,01 4,05

Berdasarkan tabel diatas, untuk nilai x yang mendekati 2, maka nilai g(x) mendekati 4. Sehingga yang berarti bahwa untuk x yang mendekati 2 diperoleh nilai g(x) yang mendekati 4.

Penggambaran limit fungsi diatas secara grafis adalah sebagai berikut:,


4

2

B. Syarat Terdapatnya Limit

Jika f(x) = maka nilai f(x) untuk x yang mendekati 1 dapat ditentukan dengan

(x) 0,8 0,99 0,999 …. 1,001 1,01 1,05f(x) -9 -199 -1999 …. 2001 201 41

Berdasarkan tabel diatas, dapat kita lihat bahwa nilai f(x) untuk pendekatan kiri tidak sama

dengan pendekatan dari kanan. Sehingga dapat kita katakan bahwa fungsi f(x) = untuk

x mendekati 1 tidak memiliki limit.Sebagai bahan pembanding, perhatikan contoh di bawah ini!

Nilai f(x)= untuk x mendekati 1 adalah

Dengan menggunakan tabel pendekatan x, maka(x) 0,8 0,99 0,999 …. 1,0001 1,001 1,01f(x) O,2 0,01 0,001 …. 0,0001 0,001 0,01

Berdasarkan tabel tersebut, jika x mendekati 1 dari kiri maka nilai f(x) mendekati nol. Sedangkan jika x mendekati 1 dari kanan nilai f(x) juga mendekati nol pula. Sehingga dapat

kita kita katakan bahwa nilai f(x)= untuk x mendekati 1 adalah nol, atau dapat

juga kita tulis .

Berdasarkan kedua contoh diatas, untuk f(x) yang didekati dari kiri dapat kita katakan sebagai limit kiri dan dinotasikan , sedangkan untuk f(x) yang didekati dari kanan

dapat kita katakan sebagai limit kanan dan dinotasikan . Jika limit kiri sama dengan

limit kanan maka dapat dikatakan mempunyai limit, atau = = .

Contoh 2

Jika f(x) = tentukan apakah memiliki limit. Jika ya, tentukan nilainya!

Jawab:Untuk menentukan ada tidaknya limit, kita perlu membuat tabel nilai pendekatan nilai f(x)(x) -0,1 -0,01 -0,001 …. 0,001 0,01 0,05g(x) -2 -2 -2 …. 2 2 2

Berdasarkan tabel diatas kita peroleh dan

Karena ≠ , maka tidak mempunyai limit.Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut


2

0

-2

Soal LatihanUntuk soal nomor 1-10, tentukan apakah limit-limit berikut ada!

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Untuk soal nomor 11-16, buktikan nilai limit-limit berikut ini!

11. 14.

12. 15.

13. 16.

Kuis Waktu 12 menit

1. Buktikan bahwa ada dan tentukan pula nilainya

2. Tentukan apakah limit ada atau tidak

DiskusiDiskusikan dengan teman sebangku atau kelompok mengenai masalah berikutSeorang kimiawan ingin menguji suatu

C. Teorema limitUntuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian suatu limit fungsi, kita perlu menggunakan teorema-teorema limit sebagai berikut:

Teorema 1Untuk setiap a dan c bilangan real, maka Teorema diatas menyatakan bahwa limit dari konstanta adalah konstanta itu sendiri


Contoh

Teorema 2Jika f(x) adalah suatu polynomial dan a adalah sembarang bilangan real, maka

Teorema diatas memberikan arti bahwa limit dari f(x) dapat kita peroleh dengan mensubstitusi x dengan a.Contoh

Teorema 3Jika f(x) dan g(x) adalah fungsi dari x dan a adalah sembarang bilangan real, maka

Dengan kata lain, limit dari jumlah atau selisih dari suatu fungsi adalah sama dengan jumlah atau selisih masing-masing limit fungsi tersebut.


Dengan kata lain, limit dari perkalian fungsi adalah sama dengan perkalian masing-masing limit fungsi tersebut.

Akibat dari teorema 4 adalah


Dengan kata lain, limit dari pembagian fungsi adalah sama dengan pembagian masing-masing fungsi tersebut.

Contoh

Contoh Soal dan Pembahasan1. Buktikan bahwa !


Jawab:

Berdasarkan teorema 4

Terbukti bahwa

2. Dengan menggunakan teorema limit, tentukan !

Jawab:

Soal Latihan

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.


7. 15.

8. 16.

KuisDengan menggunakan teorema limit, tentukan !

a.

b.

DikusiDiskusikan dengan kelompok kalian, bagaimana membuktikan teorema dibawah ini!Jika f(x) adalah suatu polynomial yang dinyatakan f(x)= axn+bxn-1+cxn-2+ … +rx+s dan x mendekati a, maka

D. Cara Menentukan Limit Untuk menentukan limit, jelas memerlukan waktu dan nilai pendekatannya kadang-kadang kurang tepat jika hanya menggunakan tabel atau grafik. Berikut ini akan dijelaskan cara menentukan nilai limit dengan berbagai metode menurut bentuknyaa. Substitusi Langsung

Untuk menentukan nilai suatu limit, kita dapat mensubstitusikan langsung nilai dari x dalam fungsi yang diketahui. Metode ini digunakan untuk menentukan limit fungsi yang bentuknya sederhana, misalkan untuk fungsi linier, fungsi kuadrat, atau fungsi polynomial. Akan tetapi, metode ini juga dapat digunakan untuk fungsi yang berupa pecahan dengan syarat hasil substitusi untuk penyebutnya tidak sama dengan nol atau kedua-duanya tidak sama dengan nol (pembilang dan penyebut tidak sama dengan nol). Contoh 1

dapat kita substitusikan langsung, karena

Contoh 2

jika kita substitusikan, maka

lesaikan limit diatas.

b. Metode Pemfaktoran


Metode ini digunakan untuk menyelesaikan limit yang tidak dapat diselesaikan dengan metode substitusi. Langkah penyelesaian dengan metode pemfaktoran adalah

1. Faktorkan pembilang, penyebut, atau keduanya2. Sederhanakan hasil pemfaktoran tersebut3. Substitusikan x

Contoh 1

Berdasarkan metode substitusi, kita peroleh

. Karena hasil substitusi merupakan bentuk tak tentu,

maka kita perlu menggunakan metode pemfaktoran

Contoh 2

Sebelum memfaktorkan, kita perlu mensubstitusikan terlebih dahulu

. Karena substitusi menghasilkan bentuk tak tentu,

maka kita perlu memfaktorkan

c. Metode Akar SekawanMetode ini digunakan jika kita menjumpai limit dengan fungsi yang berbentuk akar. Contoh

Penyelesaian limit diatas adalah dengan menggunakan metode akar sekawan, karena pada pembilang kita jumpai bentuk akar, yakni .

Contoh

Jawab:


Contoh Soal dan Pembahasan

1.

Jawab: Untuk menyelesaikannya, langkah pertama kita substitusi

. Maka

2.

Jawab:Dengan mensubstitusi kita dapatkan

yang merupakan bentuk tak tentu, sehingga

3.

Jawab:Dengan mensubstitusi kita dapatkan

merupakan bentuk tak tentu, sehingga kita

gunakan metode akar sekawan

=

=


=

=

=

=

4.

Jawab:Dengan mensubstitusikan x = 3 kita peroleh

merupakan bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menyelesaikannya

dengan metode pemfaktoran, yakni

Soal LatihanDengan menggunakan metode dalam menentukan nilai limit yang telah kita pelajari, tentukan nilai limit-limit berikut ini!

1. 9.

2. 10.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

7. 15.

8.

KuisSetelah kalian mempelajari bagaimana cara menentukan limit, selesaikan soal dibawah ini dalamwaktu 15 menit!


1.

2.

3.

4.

Soal Tantangan

1. Buktikan apakah memiliki limit? Jika ya, tentukan limitnya!

2.

E. Limit Fungsi Aljabar Berbentuk Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari limit fungsi f(x) dengan x yang mendekati suatu bilangan. Konsep tersebut dapat kita perluas dengan limit fungsi f(x) dengan

x yang mendekati tak hingga. Untuk memahami limit di tak hingga, misal diberikan f(x) =

dan akan ditentukan nilai .

Berdasarkan uraian pada pembahasan sebelumnya, dikatakan memiliki limit jika

= , sehingga kita perlu membuat tabel pendekatan nilai f(x) untuk x mendekati

~x -1 -10 -102 -103 -104 -105 -10n

f(x) -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 ……….

Berdasarkan tabel diatas, maka

Sedangkan untuk x yang didekati dari kananx 1 10 102 103 104 105 10n

f(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 ……….

Berdasarkan tabel diatas, maka

Karena = =0, maka =0

Konsep diatas merupakan konsep dasar sebelum kita menentukan nilai dari limit yang berbentuk

Selain konsep tersebut, hal-hal yang perlu kita ketahui dalam mempelajari ketakhinggaan adalah 1. ~ - ~ ≠ 0, akan tetapi ~ - ~ = ~


2. ~ + ~ ≠ 2(~), akan tetapi ~ + ~ = ~3. ~ . ~ ≠ (~)2, akan tetapi ~ . ~ = ~

4. , akan tetapi

5. untuk setiap a Real




a. Menentukan

Cara menentukan nilai limit bentuk diatas adalah dengan cara membagi (x) dan g(x) dengan variable x yang memiliki pangkat tertinggi. Setelah menjadi sederhana, kemudian kita substitusikan dengan x = ~.

Contoh 1

Jawab:

(pangkat tertinggi dari x adalah 2, sehingga dibagi x2

Substitusi x dengan ~ diperoleh,

Karena , maka

Contoh 2


Jawab:

b. Menentukan nilai dari bentuk

Bentuk jika diselesaikan dengan cara substitusi, maka diperoleh hasil bentuk tak tentu (~ - ~). Selanjutnya cara menyelesaikan limit fungsi seperti bentuk diatas digunakan cara perkalian sekawan sehingga diperoleh:

= . Setelah kita menyederhanakan limit

tersebut, kemudian kita membaginya dengan pangkat tertinggi.

Contoh 1

Jawab:



1.

Jawab:

2.

Jawab:


3.

Jawab:

4.

Jawab:


Tips Jitu! Untuk mempermudah dalam menyelesaikan soal disamping, ikuti trik berikut:

dapat kita

tulis lengkap menjadi

a1=1, b1=1, c1=0 dan a2=1, b2=-1, c2=0Maka nilai limit tersebut dicari menggunakan

rumus: , sehingga

=

(rumus ini berlaku jika a1=a2!

Dengan menggunakan tips jitu, maka

5.

Jawab:


Ingat!

Soal LatihanUntuk nomor 1-22, tentukan nilai tiap limit fungsi berikut ini!

1. 14.

2. 15.

3. 16.

4. 17.

5. 18.

6. 19.

7. 20.

8. 21.

9. 22.

10.

11.

12.

13.

23. Jika diketahui f(x) = 3x3+6x2+6x, maka nilai dari adalah ….

24. Jika berlaku , maka nilai a adalah ….

25. Buktikan untuk setiap a,b Real!

Kuis(waktu: 15 menit)

1.

2.

3.


4.

PenemuanUntuk setiap a,b,c,d,e, Real, buktikan bahwa

!

F. Limit Fungsi TrigonometriSemua limit yang kita pelajari sebelumnya adalahsuatu limit dimana semua fungsinya berupa fungsi aljabar, namun bagaimana cara menentukan limit yang fungsinya berupa fungsi trigonometri?Untuk menjawab pertanyaan diatas, kita perlu mengetahui kedua rumus penting berikut ini!

1.

2.

3. Untuk memahami aplikasi dari rumus-rumus tersebut, perhatikan contoh di bawah ini !


1.

Jawab:

2.

Jawab:


3.

Jawab:Sebelum menyelesaikan soal diatas, perlu kita ingat bahwa sin2x = 2sinx.cosx

4.

Jawab:


= 4+8=12

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

5.

6.


limit

Documents

Transcript of limit