BAB I

9. ∫x+1

x2−4 x+8=

12

∫ 2(x+1)x2−4 x+8

dx=12∫

2 x+2x2−4 x+8

dx = 12∫

(2x−4 )+6

x2−4 x+8dx

= 12∫

2 X−4

x2−4 X+8dx +

12

∫6

x2−4 x+8dx

= 12

ln (x2−4 x+8¿+1

2.6 ∫

dx

x2−4 x+8

= 12

ln (x2−4 x+8¿+¿3∫dx¿¿

= 12

ln (x2−4 x+8¿+3.

12arc tan

x−22

+c

13. ∫(5−4 x )dx

√12 x−4 x2−8=

12∫

2 (5−4 x )dx

√12 x−4 x2−8dx =

12∫

10−8x

√12 x−4 x2−8dx

= 12∫−2x+(12−8 x)

√12x−4 x2−8dx

= 12∫

−2

√12 x−4 x2−8dx+ 1

2∫12−8 x

√12 x−4 x2−8dx

= 12∫

−2dx

√(1 )2−(2 x−3 )2+√12x−4 x2−8+c

= 12.−1∫ 2dx

√(1 )2−(2 x−3)2+√12 x−4 x2−8+c

= −12arc sin

2x−31

+√12 x−4 x2−8+c

15. ∫ ( x−1 )dx3 x2−4 x+3

=

16∫

6 ( x−1 )dx3 x2−4 x+3

=16∫

6 x−6

3 x2−4 x+3dx=1

6∫(6 x−4 )−2

3 x2−4 x+3dx

= 16∫

6 x−4

3 x2−4 x+3dx+ 1

6∫−2

3 x2−4 x+3dx =

16

ln ( 3x2−4 x+3 )+ 16.−2∫ dx

3 x2−4 x+3

= 16

ln ( 3x2−4 x+3 )−13∫

dx¿¿¿ ¿¿

= 16

ln ( 3x2−4 x+3 )−13.

1

√5arc tan

3 x−2

√5+c

BAB II

7. ∫ arc tan x dx=x arc tan x−ln√1+x2+c

∫ arc tan x dx = uv−∫ vdu

U= arc tan x dv = dx du = 1

1+ x2dx v = x

∫ arc tan x dx = arc tan x . x−¿∫ x . 1

1+ x2dx¿

= x arc tan x−12∫

2x

1+ x2dx

= x arc tan x−12

ln|1+x2|+c

= x arc tan x−ln √1+x2+c

9.∫cosmudu= cosm−1u sinum

+m−1m

∫cosm−2udu

∫cosmudu=∫ cosm−1+ 1udu=∫ cosm−1ucosudu

y=cosm−1u

dy=m−1 cosm−2u−sinu=−(m−1 ) .cosm−2sinudu

dx= cos u du

x= sin u

→∫ cosmudu=cosm−1u sinu−∫sinu .−m−1. cosm−1

¿cosm−1sinu+m−1∫sin2u .cosm−2du

¿cosm−1sinu+m−1∫(1−cos¿¿2u) .cosm−2udu¿

¿cosm−1sinu+m−1∫cosm−2−cosmudu

¿cosm−1sinu+m−1∫cosm−2−(m−1)∫cosmudu

¿cosm−1sinu+m−1∫cosm−2−m∫ cosmudu+∫ cosmudu

∫cosmudu+m∫ cosmudu−∫ cosmudu=cosm−1sinu+m−1∫cosm−2du

m∫cosmudu=cosm−1 sinu+m−1∫ cosm−2du

∫cosmudu= cosm−1 sinu

m+m−1m

∫ cosm−2udu

REDUKSI

1. ∫ dx

(1−x2)3 = 1

12{x

(2.3−2)(12−x2)3−1+ 2.3−3

2.3−2∫dx

(1−x2)3−2

¿ x

4 (12−x2 )2+ 3

4∫dx

(1−x2)2

¿ x

4 (12−x2 )2+ 3

4{ x

(2.2−2 ) (1−x2 )+ 2.2−3

2.2−2∫dx

(1−x2)∫ ydx= yx−∫ xdy

¿ x

4 (12−x2 )2+ 3

4{ x

2 (1−x2)+ 1

2.12

ln|1+x1−x|+c

¿ x

4 (12−x2 )2+ 3 x

8(1−x2)+ 3

16ln|1+x

1−x |+c

¿ 2x8(1−x2)2 +

3x (1−x2)8(1−x2)2

+ 316

ln|1+x1−x|=c

¿ 5 x−3 x3

8(1−x2)2 +3

16ln|1+x

1−x |+c¿x(5−3 x2)8(1−x2)2

+ 316

ln|1+x1−x|+c

3. ∫cos5 xdx = 15

(3 cos4 x+4 cos2 x+8 ) sinx+c

Rumus reduksi 7 →

cosmx dx= cosm−1 xsinxm

+m−1m

∫ cosm−2 xdx

∫cos5 xdx = cos5−1 xsinx5

+5−15

∫cos5−2 x dx

¿ cos5−1 xsinx5

+ 45∫ cos3 x dx

¿ cos4 sinx5

+ 45 {cos2 xsinx

3+ 2

3∫ cosx dx}

¿ cos4 xsinx5

+ 4 cos2 xsinx15

815sinx

¿ 115

{3 cos4 xsinx+4 cos2 xsinx+8 sinx }+c

¿ 115

{3 cos4 x+4 cos2 x+8 }sinx+c

5. ∫ e2 x(2 sin 4 x−5 cos¿4 x)dx= 125e2 x¿¿

e2x ¿

e3x ¿

Maka:

3A+4B=-5 x3 9A+12B=-15-4A+3B=2 x4 -16A=12B=8 _

25A= -23A= -23/25

3B=2+4 A=2−9225

=−4225

↔B=−1425

↔E2X ¿

¿e2x ¿

¿− 125e2x¿

¿ 125e2x ¿

BAB III

10. ∫( sec xtan x )4

dx= 13 tan 3 x

− 1tan x

+c

¿∫(1cosxsinxcosx

)4

dx=∫( 1cosx

.cos xsinx )

4

dx=∫( 1sinx )

4

dx

¿∫cosec 4 xdx=∫ cosec2 ( 1+cot2 x )dx

¿∫cosec2dx+∫cosec2 xcot2 x dx

¿−cotx+∫cot2 x cosec2 x dx

¿−cotx+∫cot 2 x d (−cotx )

¿−cotx±13

cot3 x+c

¿− 1

3 tan3 x− 1tanx

+c

13.

15. ∫ cot3 x dxcosec x

= ∫ cot2 x . cotx dxcosec x

= ∫ (cosec¿¿2x−1) .cot x dxcosec x

¿

= ∫ cosec2 x .cot x

cosec xdx−∫ cot x

cosec xdx

= ∫ cosec x .cot xdx−∫ cosdx

= -cosec x – sin x+c = -sin x- cosec x +c

BAB IV

9. ∫ √25−x2

X=5 ln|5−√25−x2

x |+√25−x2+c

a=5 b=1 u= x u=ab

sin z x=5 sinz

dx= 5 cos z

sin z=¿ x5

¿

√25−x2=acos z=5 cos z

∫ √25−x2

Xdx = ∫¿¿¿ = ∫ 25 cos2 z

5sin zdz

= 5∫ cos2 zsin z

dz = 5∫ (1−sin ¿¿2 z )sin z

dz ¿

= 5¿

= 5∫ cosec z dz−5∫ sin z dz

= 5|cosec z−cot z|+5 cos z+c

= 5|5x−√25−x2

x |+5. √25−x2

x+c

= 5|5−√25−x2

x |+√25−x2+c

13.

BAB V

12. ∫ x2+3 x−4x2−2 x−8

dx=x+ ln|(x+2)(x−4)4|+c

→x2−2x−81

√ x2+3 x−4x2−2x−8

5 x+4−¿

¿

→∫ 1+ 5 x+4

x2−2 x−8dx

→x2−2 x−8=(x+2)(x−4 )

5 x+4

x2−2x−8= Ax+2

+ Bx−4 dikali (x+2)(x-4)

5x+4 = A(x-4)+B(x+2) = (A+B)x-4A+2B

A=1,B=4

→∫1+ 5 x+4

x2−2 x−8dx ¿∫1dx+∫ A dx

( x+2)+∫ Bdx

(x−4)

¿ x+∫ dx(x+2)

+4∫ dxx−4

¿ x+ln ( x+2 )+4 ln (x−4 )+c

¿ x+ln|(x+2)(x−4)4|+c