Teorema Integral

(Divergence Theorem)

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 1

KALKULUS III

Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Divergensi pada Tiga Dimensi

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 2

Divergensi suatu bidang vektor 𝐅 = 𝑀 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐢 + 𝑁 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐣 + 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝐤

Berbentuk fungsi skalar sebagai berikut :

div 𝐅 = 𝛻 ∙ 𝐅 =𝜕𝑀

𝜕𝑥+𝜕𝑁

𝜕𝑦+𝜕𝑃

𝜕𝑧. (1)

Simbol “div 𝐅” dibaca “divergensi F” atau “div F”

div 𝐅 pada tiga dimensi memiliki interpretasi di bidang fisika

yang sama dengan dua dimensi

Jika F bidang kecepatan dari aliran gas, nilai div 𝐅 pada titik

(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah laju gas dalam kasus compressing atau

expanding di (𝑥, 𝑦, 𝑧).

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 3

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 4

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 5

Teorema Divergensi

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 6

Teorema – Divergence Theorem

Misalkan F bidang vektor yang komponennya kontinu di

turunan parsial pertama. Misalkan S piecewise smooth

berorientasi pada bidang tertutup. F berpotongan S ke arah

vektor normal bidang permukaan n adalah integral dari 𝛻 ∙ 𝐹 atas daerah D.

𝐹 ∙ 𝑛

𝑆

𝑑𝜎 = 𝛻 ∙ 𝐹

𝐷

𝑑𝑉. (2)

Outward flux

Divergence integral

Teorema Divergensi

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 7

𝛻 ∙ 𝐹 𝑑𝑉 adalah volume per detik dari fluida yang keluar

dari sebuah elemen yang memiliki volume 𝑑𝑉. Oleh karena

itu, maka volume total per detik dari fluida yang keluar dari

semua elemen volume dalam permukaan tertutup S adalah

= 𝛻 ∙ 𝐹

𝐷

𝑑𝑉

Jadi,

𝐹 ∙ 𝑛𝑆𝑑𝜎 = 𝛻 ∙ 𝐹𝐷

𝑑𝑉

Contoh :

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 8

Hitunglah 𝐹 ∙ 𝑛𝑆 𝑑𝑆 dimana

𝐹 = 2𝑥 − 𝑧 𝐢 + 𝑥2𝑦𝐣 − 𝑥𝑧2𝐤

dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh

𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 1.

Solusi :

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 9

Berdasarkan Teorema Divergensi :

𝛻 ∙ 𝐹

𝑉

𝑑𝑉

= 𝜕

𝜕𝑥𝐢 +𝜕

𝜕𝑦𝐣 +𝜕

𝜕𝑧𝐤

1

0

1

0

1

0

∙ 2𝑥 − 𝑧 𝐢 + 𝑥2𝑦𝐣 − 𝑥𝑧2𝐤 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

= 2 + 𝑥2 − 2𝑥𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

1

0

1

0

1

0

= ⋯ = 11/6

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 10

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 11

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 12

Teorema Divergensi

pada daerah selainnya

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 13

Teorema Divergensi dapat diperluas untuk daerah yang dapat

dipartisi menjadi beberapa daerah sederhana.

Sebagai contoh,

Teorema Divergensi

pada daerah selainnya

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 14

Teorema Divergensi dapat diperluas untuk daerah yang dapat

dipartisi menjadi beberapa daerah sederhana.

Sebagai contoh,

Teorema Divergensi

pada daerah selainnya

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 15

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 16

Jadi,

Teorema Divergensi

pada daerah selainnya

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 17

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 18

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 19

Hukum Gauss : Hukum pada Teori Elektromagnetik

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 20

Hukum Gauss :

𝐸 ∙ 𝒏

𝑆

𝑑𝜎 =𝑞

𝜖0

Dimana,

𝐸 = aliran 𝑞

𝜖0 = aliran keluar (berpotongan dengan bidang S)

Teorema Integral

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 21

Tugas !

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 22

1. Hitung 𝐹 ∙ 𝑛𝑆𝑑𝑆 untuk

𝐹 = 2𝑥𝑦 + 𝑧 𝑖 + 𝑦2𝑗 − 𝑥 + 3𝑦 𝑘

pada daerah yang dibatasi

2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 0

Tugas !

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 23

2. Hitunglah 𝐹 ∙ 𝑛𝑆𝑑𝑆 untuk

𝐹 = 2𝑥𝑦 𝐢 + 𝑦𝑧2𝐣 − 𝑥𝑧𝐤

S adalah

a. Permukaan balok yang dibatasi oleh

𝑥 = 0, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0, 𝑦 = 1, 𝑧 = 0, 𝑧 = 3

b. Permukaan daerah yang dibatasi oleh

𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑦 = 3, 𝑧 = 0, 𝑥 + 2𝑧 = 6

Tugas !

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 24

Kalkulus III - Puji Andayani (2015) 25

Thank you Good Luck