Tugas Matematika

Integral Hal 49- 59

Disusun Oleh :

Nama : 1. Ricky Adi Pratama2. Devi Yunita 3.Gustiana

Kelas : 1EA

POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG

TAHUN AJARAN 2014/2015

Industri Air Kantung Sungailiat 33211

Bangka Induk, Propinsi Kepulauan Bangka Belitung

Telp : +62717 93586

Fax : +6271793585 email : polman@polman-babel.ac.id

http://www.polman-babel.ac.id

Dua aturan integrasi berguna

Latihan 7.7

Cari integral tak tentu yang paling umum..

1.∫ (3x 4−5 x3−21x2+36 x−10 )dx

2.∫ [3x2−4cos (2 x ) ] dx

3.∫( 8t5 +5t )dt4.∫( 1

√25−θ2+

1100+θ2 )dθ

5.∫ e5x−e4x

e2 xdx

6.∫( x7+ x4x5 )dx7.∫( x7+x4x5 )dx8.∫ (x2+4 )2dx=∫ x 4

9.∫( 73√ t )dt10.∫ 20+x√ x

dx

Penyelesaian :

1.

∫ (3x4−5 x3−21x2+36 x−10 )dx=∫3 x4dx−∫5 x3dx−∫ 21x2dx+∫ 36x dx−¿∫10dx=¿3∫ x4dx−5∫ x3dx−21∫ x2dx+36∫ x dx−10∫dx=3 ( x55 )−5( x44 )−21( x33 )+36 ( x22 )−10x+c=35 x5−54 x4−7 x3+18x2−10 x+c ¿¿2.

∫ [3 x2−4cos (2 x ) ]dx=∫ 3x2dx−∫4 cos (2 x )dx=3∫ x2dx−4∫ cos (2x )dx=3( x33 )−4 (12 sin 2x)+c=x3−2sin 2x+c

3. ∫( 8t5+ 5t )dt=∫ 8t 5dx+∫ 5t dx=8∫ t

−5dx+5∫ 1t dx=8t−4

−4+5 ln|t|+c=−2 t−4+5 ln|t|+c

4.

∫( 1√25−θ2

+1

100+θ2 )dθ=∫ 1√25−θ2

dx+∫ 1100+θ2

dx=∫ 1√52+θ2

dx+∫ 1102+θ2

dx=sin−1( θ5 )+ 110 tan−1 θ10 +c

5. ∫ e5x−e4 x

e2 xdx=∫ (e3 x−e2x )dx=∫e3x dx−∫ e2x dx=13 e

3x−12e2x+c

6. ∫( x7+x4x5 )dx=∫ x7

x5dx+∫ x4

x5dx=¿

7. ∫ 1(e6+x2 )

dx=∫ (e6+x2 )dx= ln|e6+x2|+c

8.∫ (x2+4 )2dx=∫ x4+16+2.x2 .4 dx=∫ x4+8 x2+16dx= 1

4+1x4+1+ 8

2+1x2+1+16 x+c=1

5x5+ 8

3x3+c

9. ∫( 73√t )dt=∫7 t−13 dt= 7

−13

+1t−13 +1

+c= 723

t23+c=21

2t23+c

10.

∫ 20+x√xdx=∫ (20+ x ) x

−12 dx=∫ (20 x

−12 +x

12 )dx= 20

−12

+1x

−12 +1

+ 112+1x12+1+c=20

12

x12+ 132

x32+c=40 x

12+ 23x32+c

Integrasi dasar teknikIntegrasi dengan substitusi

Latihan 8.1

Gunakan integrasi dengan substitusi untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.

1.∫ 3 (x3−5 )4 x2dx

2.∫ ex4

x3dx

3.∫ tt 2+7

dt

4.∫ (x5−3 x )14 (5 x4−3 )dx

5.∫ x3−2x(x4−4 x2+5 )4

dx

6.∫ x3−2 xx4−4 x2+5

dx

7.∫ cos (3 x2+1 )dx

8.3co s2√x ¿¿

9.∫ e2x

1+e4 xdx

10.∫ 6 t2 et3−2dt

PENYELESAIAN

1.∫ 3 (x3−5 )4 x2dx

u = x3 – 5 du = 3x2 dx

=∫u4du

¿ 15u5+c

¿(x¿¿3−5)5

5+c¿

2.∫ ex4

x3dx

u=x4

¿∫ex4 14.4 x3dx

¿ 14∫ e

x34 x3dx

¿ 14∫ e

udu

¿ 14eu+c

¿ 14ex

4

+c

3.∫ tt 2+7

dt

u=t2+7 du=2 t dx

∫ tt 2+7

dt

∫ 122 tt2+7

dt

12∫

2tt 2+7

dt

12∫

duu

12∈|u|+c

12∈(t 2+7 )+c

4.∫ (x5−3 x )14 (5 x4−3 )dx

u=(x5−3 x ) du=5 x4−3dx

¿∫u14 du

¿4 u54+c

¿4 (x5−3 x)54+c

5.∫ x3−2x(x4−4 x2+5 )4

dx

u=x4−4 x2+5 du=4 x3−8 xdx

¿∫ 14 .4 (x3−2 x)u4

dx

¿ 14∫

duu4

¿ 14∈|u|+c

¿ 14∈(x4−4 x2+5 )+c

6.∫ x3−2 xx4−4 x2+5

dx

u=x4−4 x2+5 du=4 x3−8 xdx

¿4 (x3−2 x )

¿∫ 14 .4 (x3−2 x)x4−4 x2+5

dx

¿ 14∫

duu

¿ 14∈|u|+c

¿ 14∈(x4−4 x2+5 )+c

9.∫ e2x

1+e4 xdx

¿∫ e2 x

1+e2 x(2)dx

u=1+e2 x du=2.e2 xdx

¿∫ 12 .2.e2 x

1+e2x(2)

¿ 12∫

duu

¿ 12∈|u|dx

¿ 12∈1+e4x+c

10.∫ 6 t2 et3−2dt

u=t3−2 du=3 t2dt

¿∫6 t 2e t3−2dt

¿∫2 (3 t2 )e t3−2dt

¿∫ 13 .3 (2 ) . (3 t 2 ). e t3−2dt

¿ 13∫6du . e

u

¿ 13eu .6 du

¿ 13e t

3−2 .6+c

¿2 et3−2+c

Integrasi dengan bagian

Latihan 8.2

Gunakan integrasi dengan bagian untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.

1. ∫2 x.sin2x dx

2. ∫ x3lnx dx

3. ∫ tetdt

4. ∫ x cos x dx

5. ∫cot−1 (x )dx

6. ∫ x2 ex dx

7. ∫w(w−3)2dw

8. ∫ x3∈(4 x )dx

9. ∫ t (t+5)−4dt

10. ∫ x √x+2 . dx

PENYELESAIAN

1. ∫2 xsin 2 x dxMisalnya :u = 2x du = x

dv = sin 2x dx v= ∫sin 2 xdx = - 12 cos2x

∫u .dv=uv –∫u .du

∫2 xsin 2 x dx = (2x) (- 12 cos 2x ) - ∫(−1

2cos2 x) . 2x

= - 22 cos 2x +

12∫ cos2 xdx

= - x cos 2x + 12 . 12 sin 2x

= - x cos 2x + 12 . sin 2x + c

2. ∫ x3∈xdxMisalnya :

U= inx du = 1x dx

dv= x3dx v = ∫ x3dx=¿ x4

4

∫u .dv=uv –∫u .du

∫ x3∈xdx = (in x) ( x4

4) - ∫ x4

4 . 1x dx

= x4 inx4

- 14 . x

4

4

= x4inx4

- x4

16 + c

3. ∫ t et dtMisalnya :U = t du = dtdv = e t dt v = ∫ etdt = e t

∫u .dv=u . v –∫u .du∫ t et dt = (t) (e t ¿ - ∫ etdt

= t et - ∫ etdt = t et - e t + c

4. ∫ x cos x dxMisalnya : U= x du = dxdv = cos x dx v = ∫cos xdx = sin x

∫u .dv=u . v –∫u .du∫ x cos x dx = ( x ) ( sin x ) - ∫sin x dx = sin x + cosx dx = sin x + cosx + c

5. ∫cot−1( x ) dxMisalnya :U = sinx−1

Du= cosx−1

Subtitusi du = sinx−1 du = cosx−1

∫ cosx−1

sinx−1 dx = ∫ duu

Salve integral= in (u) + cSubsitusi kembaliU=sinx−1

= in (sinx−1 ¿+c

6. ∫ x2 ex dxMisalnya : U = x2 du = 2xdv = exdx v = ∫ exdx = ex

∫u .dv=¿¿ u.v - ∫u.du

∫ x2 ex dx = x2e x-∫ x2 .2x =xe2x-∫2 x .dx =xe2x - x+c

7. ∫w ¿¿

Misalnya :U= w du= dwdv = ¿

∫u .dv=¿¿ u.v - ∫u.du

∫w ¿¿

= (w2−3w )−12w+c

8. ∫ x3∈(4 x )dx

Misalnya :

U= in4x du= 14 xdx

dv= x3dx v = ∫ x3dx = 14x4

∫u .dv=¿¿ u.v - ∫ v.du

∫ x3∈(4 x )dx = in4x.14x4-∫¿ 4 x . 1

4 xdx

= 14x4∈4 x−1

5x5 : 1216 x2+c

= 14x4∈4 x - 2x

5

80 x2 + c

9. ∫ t (t+5)−4dt

Misalnya : U= t du= dtdv =(t+5)−4v=∫−4 t−3−20−3 = 2t−2+10−2

∫u .dv=¿¿ u.v - ∫ v.du

∫ t (t+5)−4dt =( t. 2t−2+10−2 ) - ∫2 t−2+10−2 . dt = 20 t−4+¿

10. ∫ x √x+2 .dxMisalnya :U = x du = dx

Dv=√ x+2 dx v= ∫¿¿ =2x112 +0.67

1 12

∫u .dv=¿¿ u.v - ∫ v.du

∫ x √x+2 .dx = x . 2x112 +0.67

1 12 - ∫2 x112+0.67

112 . dx

= x.2,67x32 - (2x

32 + 0,67

32 ) dx

= 2,67x232 - 2,67x

62 + c

Integrasi dengan menggunakan tabel rumus terpisahkan

Latihan 8.3

Gunakan tabel rumus integral dalam Lampiran C untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum.

1. ∫cot x dx

2. ∫ 1( x+2 )(2x+5)

dx

3. ∫ ( lnx )2dx

4. ∫ x cos x dx

5. ∫ x( x+2 )2

dx

6. ∫3 xex dx

7. ∫√10w+3dw

8. ∫ t (t+5)−1dt

9. ∫ x √x+2dx

10.∫ 1sin ucosu

du

PENYELESAIAN

1. ∫cot x dx

( Formula nomor 7)

Penyelesaian :

∫cot x dx=∫ cosxsinxdx

Misalkan :u=sin xdu=cos x dx

Subsitusi du=cos x ,U=sin x

∫ cos xsin xdx=∫ duu

salveintegral

ln|u|+C

subsitusi kembaliU=sin x

ln|sin x|+c

2. ∫ 1( x+2 )(2x+5)

dx

¿ 1( x+2 )(2x+5)

= Ax+2

+ A2 x+5

A= 1( x+2 )(2.2+5)

=19

B= 1(5+2 )(2 x+5)

=17

Sehingga :

∫ 1( x+2 ) (2 x+5 )

dx=∫ 1( x+2 ) (2 x+5 )

¿∫19

(x+2 )dx+∫

19

(2 x+5 )dx

¿ 19ln|x+2|+ 1

7ln|2x+5| + c

3. ∫ (lnx )2dx=∫ (lnx ) (lnx )dx

Missal : U = ln x ❑

⇒du=¿ ¿2

Dv = dxdv =∫ dx v = x∫¿¿ (x ln )

¿¿. x - ∫ x 1x2dx

¿ x .¿ - ∫ 1x dx¿ x .¿ x - ∫ x−1dx

¿ x .¿ - 10x0+c

¿ x .¿ - +c

= ln x ( x ln x-x ) – ∫(x ln x−x¿)¿ . 1x

=x (ln x¿2 - x ln x -

4. ∫ x cos x dx

Penyelesaian :

U=X→du=dxdv=cosx→v=sinx

∫udv=uv−∫ vdu∫ xcosxdx=xsinx−∫ sinx dx∫ xcosxdx=xsinx+cosx+c

5. ∫ x( x+2 )2

dx

Penyelesaian :

x

( x+2 )2= A

( x+2 )+ B

( x+2 )= A ( x+2 )+B

( x+2 )2

A=2

A+B=0=−2

Sehingga :

∫ x( x+2 )2

dx=∫ dx( x+2 )

– dx( x+2 )2

Misall u=x+2→du=dx

∫ dx( x+2 )

–∫ dx( x+2 )2

=∫ duu–∫ du

u2=2 ln+ 2

u+c

2 ln ( x+2 )+ 2( x+2 )

+c

6. ∫3 xex dx

U = 3x dv =ex dxdudx

=3 v = ∫ exdx=ex

du = 3 dx∫udv = u.v –∫ v du= (3x) . (e¿¿ x)¿ – ∫ ex .3dx= 3x ex−3 ex

7. ∫√10w+3 dw( Formula nomor 2)

∫√10w+3 dw = ∫¿¿ dw

¿ 112+1

¿

¿23¿

8. ∫ t (t+5)−1dt

=∫ tt+5 dt = ∫ t ¿¿

Missal:

U = t + 5 U= t+5

dudt = 1 t = (u-5)

du=dt t=u❑→ u=t+5 =5

t = 2 ❑→ u=t+5 = 7

=∫ tt+5 dt = ∫ t ¿¿

(u0−5u¿………….=u−u

∫−5u−1 +1 du

∫−5 (u1¿−15x)dx¿

-5 (ln |u| - 150+1

x0+1)

-5 ( ln |t+5| - 15 x)

-5 ln |t+5| + x

9. ∫ x √x+2dx

misal u=x+2→x=u−2du=dx

Sehingga integral diatas dapat menjadi :¿∫ (u−2 )√U du

¿∫ (u−2 )U12 du

¿∫ (U52 )−U

12 du

¿ 27U27−23U32+C

¿∫(x+2)52−23( x+2)

32+C