Matematika Umum (Kalkulus II)

1. Menghitung Volume Benda Putar Dengan Metode Kulit Silinder

Misalkan fungsi f kontinu pada selang [a,b], dan R adalah daerah pada kuadran

pertama yang di batasi kurva y = f (x), x = a dan x = b. jika R diputar mengelilingi sumbu y,

carilah volume benda putar . Untuk menyelesaikan masalah tersebut, ikutilah uraian

dibawah ini.

( gambar )

Buatlah partisi P pada selang tertutup [a,b], yaitu dengan cara membagi selang [a,b],

menjadi n bagian sehingga diperoleh titik pembagian.

A = x0 < x1 < x2 < . . . < xi-1 <xi < . . . < xn = b

Selang bagian ke-I dari partisi P adalah [ xi-1 - xi ] , panjang partisi P adalah

‖P‖= maks ∆ x i

1<i<n

Pilihlah ci c [ xi-1 - xi ] . Buatlah persegi panjang dengan ukuran alasnya ∆ xi dan

tingginya adalah f ( ci ), I = 1, 2, 3, . . . . , n. Misalkan persegi panjang ke-i tersebut adalah ∆Ri

. Bila ∆Ri diputar mengelilingi sumbu Y, maka benda yang terjadi adalah satu tabung yang

berjari-jari ci dan tingginya f ( ci ). Misalkan volume benda putar ke-i adalah ∆V i dan volume

yang akan dicari. Benda putar ke-i diperlihatkan pada gambar berikut.

( gambar )

Kelompok VIII Page 1

Matematika Umum (Kalkulus II)

Apabila kulit tabung yang tampak pada gambar dipotong sepanjang garis yang sejajar

sumbu Y dan kemudian membukanya, maka akan diperoleh bangun balok tipis sebagai

berikut :

( gambar )

Maka volume partisi ke-i adalah ∆V i ~ 2 cπ i f ( ci ) ∆ xi . Volume benda putar

dihampiri oleh volume n buah kulit tabung bagian ke-i . Jadi volume benda putar adalah :

V = ∑i−1

n

πv ∆V i = ∑i−1

n

π ci f ( ci ) ∆ xi

Nilai eksak volume benda tersebut , tercapai bila‖P‖ 0 . Karena itu volumenya

adalah :

V = lim‖p‖→0

∑i=1

n

2π c1 f ( c1 ) ∆ x1

= 2π lim‖p‖→0

∑i=1

n

c1 f (c1)∆ x1

= 2π ∫a

b

x f ( x )dx

Dengan cara yang sama seperti diatas, bila daerah di kuadran 1 yang di batasi oleh

grafik fungsi x = f(y), sumbu Y, garis x = a dan garis y = b diputar mengelilingi sumbu x,

maka volume benda tersebut adalah :

V = 2π lim‖p‖→0

∑i=1

n

c i f (c i)∆ y 1

= 2π ∫a

b

y ( f )dy

1.1 Definisi

Kelompok VIII Page 2

Matematika Umum (Kalkulus II)

Misalkan f kontinu pada [a,b]. Daerah R adalah daerah di kuadran 1 yang dibatasi

oleh grafik fungsi y = f(x), sumbu x dan garis x = a dan garis y = b. Jika R diputar

mengelilingi sumbu Y , maka volume benda putar yang terjadi :

V = 2 π lim‖p‖→0

∑i=1

n

ci f ( ci ) ∆ x1

= 2π ∫a

b

x (f )dx

Contoh :

Tentukan volume benda yang terjadi jika daerah R yang dibatasi kurva y = √ x , sumbu

x dan garis x = d diputar melalui sumbu Y.

Penyelesaian :

( gambar )

Volumenya adalah

V = 2π ∫a

b

x f ( x )dx

= 2π ∫0

4

x √x dx

= 2π ∫0

4

x32 dx

= 2π ( 25 x 52 ]=1285

2. Panjang Kurva

Misalkan f dan f’ kontinu pada selang [a,b]. Untuk mencari panjang busur kurva y =

f(x) antara titik (a, f(a)) dan (b, f(b)), dikonstruksi seperti berikut ini. Perhatikan gambar

berikut :

Kelompok VIII Page 3

Matematika Umum (Kalkulus II)

( gambar )

Buatlah partisi P pada selang tertutup selang tertutup [a,b], yaitu dengan cara membagi

selang [a,b], menjadi n bagian sehingga diperoleh titik pembagian.

A = x0 < x1 < x2 < . . . < xi-1 <xi < . . . < xn = b

Selang bagian ke-I dari partisi P adalah [ xi-1 - xi ] , panjang partisi P adalah ‖P‖= maks ∆ x i

1<i<n

Ambil selang bagian ke- i pada partisi P adalah [ xi-1 , xi ]. Misalkan panjang busur AB=

∆ SI . dengan titik A [ xi-1 , f( xi -1 )] dan B [ xi , f( xi )], maka panjang busur AB = ∆ SI . Dengan

menggunakan rumus jarak antara dua buah titik, diperoleh :

∆ S = |AB| = √ (x i− x i−1 )2+¿(f(x) – f(xi - xi-1)

= √∆ xi2−∆ yi2

= √1+(∆ y i∆ x i )2

. ∆ xi

Oleh karena f dapat diturunkan pada selang [a,b], maka f ada pada tiap selang [xi -1 –

xi]. Jadi dapat diturunkan teorema nilai rata-rata, yaitu terdapat ci = ( xi -1 , xi ), sehingga

f’ (ci ) = f (x i)−f (x i−1)x i – x i−1

= (∆ y i∆ x i )Dengan demikian :

Kelompok VIII Page 4

Matematika Umum (Kalkulus II)

∆ Si ~ √1+[ f ’ (c i)]2 . ∆ xi

Panjang kurva tersebut didekati oleh n buah panjang kurva bagian ke-i . Jadi, panjang

kurva antara titik (a, f(a)) dan titik (b, f(b)) adalah :

S ~ ∑i−1

n

∆Si=¿√1+[ f ’(c i) ]2 ¿ . ∆ xi

Nilai eksak panjang kurva tersebut, tercapai bila ‖P‖ 0, karena panjang

kurvanya adalah :

S = lim‖→0‖

∑i=1

n

∆S i

¿ lim‖p‖→0

∑i=1

n

√1+[ f ’ (x)]2 . ∆ xi

= ∫a

b

√1+ [ f ’ (x)]2 . dx

= ∫a

b √1+[( dydx )]2

. ∆ xi

Dengan cara sama, jika f kontinu dan dapat diturunkan pada [a,b], maka panjang

busur kurva x = f(y) antara y = a sampai y = b adalah :

S ¿ lim‖p‖→0

∑i=1

n

√1+[ f ’ (c i)]3 . ∆ y i

= ∫a

b

√1+[ f ’ ( y )]2dx

= ∫a

b √1+[( dydx )]2

dy

2.1 Definisi

Kelompok VIII Page 5

Matematika Umum (Kalkulus II)

Misalkan f kontinu dan dapat diturunkan pada selang tertutup [a,b]. Maka panjang

busur kurva y = f(x), antara titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) adalah :

S = ∫a

b

√1+ [ f ’ (x)]2 dx

= ∫a

b √1+[( dydx )]2

dx

Kelompok VIII Page 6