BAB I BARISAN DAN DERET

I.1. Definisi dan NotasiBarisan adalah himpunan x1, x2, x3 ... yang disusun dalam urutan tertentu dan masing-masing sukunya dibentuk atas pola yang tertentu. Secara matematika dapat diformulasikan sebagai berikut :

Xn = f (n)Contoh : 1. 2.3. 4.

Barisan angka bulat positif : 1, 4, 9, 16, 25, ..... Barisan angka pecahan : , , 1/8, 1/16, 1/32, .... Barisan himpunan x : x, - x2, 1/3 x3, - x4 , ... Barisan himpunan x : x, -x2, x3, 1/6 x4, ...

Deret merupakan hasil dari pembentukan suku-suku barisan dimana notasinya ditulis sebagai berikut : Deret terdiri ada dua bagian : 1. Deret hingga 2. Deret tak hingga Contoh :1. 1 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 adalah deret tak hingga, dapat ditulis menjadi :n= n =1

n

2

atau

n1

2

2. Deret tak hingga : , , 1/8, 1/16, 1/32, ....

Untuk mendapatkan rumus matematika, deret ini disusun kembali menjadi : 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n 1 2 2 2 2 2n=

sehingga :

2n =1

1n

I.2. Uji Konvergensi dan Divergensi Pengertian Dasar :1. Suatu deret disebut konvergen jika deret dimana jumlah sukunya (Sn) menuju ke

suatu harga tertentu, untuk harga n menuju tak hingga.2. Jika deret tak hingga jumlah sukunya tidak menuju ke harga yang tertentu, maka

disebut deret divergen.

Untuk mengetahui deret tak hingga ini konvergen atau divergen, dilakukan melalui uji : 1. Uji Limit :a. deret divergen, jika lim an 0

n

~

b. jika lim an = 0, uji dengan cara lain

n 2. Uji Integral :

~

a. deret divergen, jika

an dn

=

b. Deret konvergen, jika

an dn

= ada (riil )

3. Uji Ratio :

n =

a

n +1 dimana = lim n a n n ~

Jika : < 1 = 1 >1 deret konvergen uji dengan cara lain deret divergen

I.3. Deret Taylor dan Deret Mac LaurinTeori :1. Jika f (x) dan turunan-turunannya adalah f (x), f (x), ... fn (x) ada dan kontinyu dalam

selang tertutup a x b dan fn+1 (x) ada dalam selang terbuka a x b, maka : f (x) = f (a) + f (a) (x-a) + f n ( a) ( x a ) n + Rn n! dimana : Rn = suku sisa Rn =(Lagrange)

f " (a ) ( x a ) 2 + 2!

f "' (a) ( x a ) 3 + ... + 3!

f

n +1

(a ) ( ) ( x a ) n +1 ( n + 1) ! (a ) ( ) ( x ) n ( x a) n!

Rn = dan terletak di (a,x).

f

n +1

(Cauchy)

Jika n berubah, juga berubah. Jika untuk semua x dan dalam (a,b), maka akan didapatkan bahwa lim Rn = 02.

n

~