BAB II

BAB II

FUNGSI DAN GRAFIK

Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus eksplisit).

TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan grafik fungsi yang diberikan

2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi

Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua, misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A.

Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A ( B. Himpunan A disebut domain (daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dari fungsi f.

Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu :a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jarijari r lingkaran tersebut. Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A = ( r2. Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A adalah fungsi dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus eksplisit.

b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu.

Tabel taksiran populasi penduduk dunia (dalam jutaan)

Tahun (t)Populasi (P)

19001650

19101750

19201860

19302070

19402300

19502520

19603020

19703700

19804450

19905300

19965770

Untuk setiap nilai t terdapat nilai padanannya P, sehingga kita katakan bahwa P merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut disajikan dalam bentuk tabel.c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w, kantor pos mempunyai aturan tertentu (dapat disajikan dengan uraian kata kata) untuk menentukan C bila w diketahui. Aturan yang digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat tahun 1998 sebagai berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai dengan satu ons, ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11 ons. d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah fungsi dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang menyatakan hubungan antara a dan t.

2.2. Domain dan Kodomain Fungsi

Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f mendapat nilai (suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang anggota-anggotanya merupakan nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f disebut range (daerah hasil) dari fungsi f.

Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan penting dalam fungsi karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi mempunyai makna.

f

Domain Range

Keterkaitan antar variabel

Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain f disebut variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan pada range f disebut variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian fungsi di atas, apabila fungsi disajikan dalam bentuk rumus eksplisit berikut A = ( r2 maka r merupakan variabel bebas, sedangkan A adalah variabel terikat.

Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi bentuk eksplisit ditulis y = f(x).Contoh :

a. y = 3 sin x + cos xb. y = x2 - 8 x + 10

Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikat letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0.Contoh :

a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0

b. x2 x y2 + 6 x y 7 x = 0

Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas dan variabel terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan parameter. Jika x variabel bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka notasi bentuk fungsi implisit dapat di tulis sebagai berikut : , t sebagai parameter

Contoh :

a. , a sebagai parameter

b. , t sebagai parameter

Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel yakni x, sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua varibel yaitu x dan y.

Contoh :

a. Fungsi satu variabel

1. y = 3 x 2

2. z = sin y + cos yb. Fungsi dua variabel

1. z = x3 + 4 x2 y - 8

2. c = a2 b2 + a b4

Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat dianggap bahwa domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga fungsi tersebut bernilai bilangan real. Domain tersebut disebut daerah asal alamiah. Contoh :a. Tentukan domain dan range f(x) =

b. Tentukan domain dan range g(x) =

Penyelesaian :

a. Domain fungsi f(x) = adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilaibilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2 ( 0. Jadi

D(f) = {x ( R : 25 - x2 ( 0}

= {x ( R : x2 ( 25 }

= {x ( R : -5 ( x ( 5}.

Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam D(f). Jadi

R(f) = {y ( R : y = , -5 ( x ( 5} = {y ( R : 0 ( y ( 5}b. Domain fungsi g(x) = adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai real. Fungsi g(x) bernilai real apabila x 5 ( 0, jadi D(g) = {x ( R : x ( 5}.

Range fungsi g(x) adalah R(g) = {y ( R : y = , x ( 5}

R(g) = {y ( R : y ( 10}Latihan :

Carilah domain dan range dari fungsi f

1. f(x) = 6. f(x) =

2. f(x) = 7. f(x) =

3. f(x) = 8. f(x) = |x| + x

4. f(x) = 9. f(x) = |2 x + 3|

2.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi2.3.1. Operasi Fungsi Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka fungsi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara kedua fungsi itu didefinisikan sebagai berikut :

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A ( B

2. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A ( B

3. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A ( B

4. ( daerah asal adalah { x (A ( B ; g(x) ( 0 }Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan f + g, f g, fg, dan daerah asalnya

Penyelesaian :

Daerah asal f(x) adalah [0, + ) ( 0 x dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2] ( -2 x 2 sehingga

irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, + ) [-2, 2] = [0, 2].

Jadi menurut definisi diperoleh

(f + g)(x) = f(x)+g(x)= + , dan daerah asal : [0, 2].

(f g)(x) = - , dan daerah asal : [0, 2].

(f g)(x) =

EMBED Equation.3 = , dan daerah asal : [0, 2].

( = = , dan daerah asal : [0, 2) Latihan :Tentukan f + g, f g , f g , dan daerah asalnya. 1. f(x) = x3 + 2 x2, g(x) = 3 x2 1

2. f(x) = , g(x) =

3. f(x) = , g(x) =

4. f(x) = x2 + x , g(x) =

5. f(x) = x , g(x) = x2 + 1

6. Jika f(x) = x2 + x , g(x) = , carilah (f g)(2), ()(1), g2(3)

7. Jika f(x) = , g(x) = , carilah f 4(x) + g 4(x)

8. f(x) = x , g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g 2(2)

2.3.2. Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f g (disebut juga komposisi dari f dan g), didefinisikan oleh

(f g)(x) = f(g(x)) Daerah asal f g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah asal g sedemikian hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata lain, (f g)(x) akan terdefinisi jika g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penjelasan f g dapat dilakukan dengan gambaran diagram mesin berikut :

x

g(x)

f(g(x))(masukan) (keluaran) Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g dan akan diperoleh hasil g(x), selanjutnya g(x) akan menjadi masukan bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x))

Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan komposisi fungsi berikut a. f g

c. f f

b. g f

d. g g Penyelesaian :

a. (f g)(x) = f(g(x)) = f() = = .

b. (g f)(x) = g(f(x)) = g() = .

c. (f f)(x) = f(f(x)) = f() = = d. (g g)(x) = g(g(x)) = g(2 - ) = .

Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya fgh, adalah dengan memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya diproses pada g, dan terakhir hasil dari proses g diproses pada f, rumusannya adalah sebagai berikut

(fgh)(x) = f(g(h(x)))Contoh :

Carilah fgh jika f(x) = , g(x) = x5 dan h(x) = x + 3

Penyelesaian : (fgh)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3)5) = Latihan :

1. Tentukan (a). f g , (b). g f, (c). f f, (d). g g

a. f(x) = , g(x) = x2 b. f(x) = , g(x) = x3 + 2 x c. f(x) = , g(x) =

d. f(x) = , g(x) =

2. Tentukan fgh jika

a. f(x) = x 1, g(x) = , h(x) = x 1

b. f(x) = , g(x) = x3, h(x) = x2 + 2

3. Tentukan f dan g sedemikian hingga g f =

4. Tentukan f dan g sedemikian hingga f g =

5. Tentukan f, g dan h sedemikian hingga

a. f g h = 1 -

b. f g h =

2.3.3. Invers Fungsi.

Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A dengan nilai tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B diperoleh kembali nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi yang baru ini, yang memadankan nilai y dengan x, dilambangkan dengan f -1 dan disebut invers dari f. Daerah asal f -1 adalah B dan daerah hasilnya adalah A. Lambang f -1 bukan berarti .

Hal ini dapat dituliskan

y = f(x) ( x = f -1(y)Contoh :

Tentukan f -1(x) dari f(x) = 2 x + 6

Penyelesaian :

Variabel x dapat dicari dari y = f(x) = 2 x + 6, yaitu x = = f -1(y)Sehingga f -1(x) = Latihan :

Tentukan f -1(x) dari

1. f(x) = - + 5 6. f(x) = -

2. f(x) = 5 4 x3

7. f(x) =

3. f(x) = (x 4)3

8. f(x) =

4. f(x) = x3/2

9. f(x) =

5. f(x) = 10. f(x) =

.2.4. Macam-macam Fungsi

Beberapa macam fungsi yang disajikan dalam sub bab ini adalah fungsi tangga, fungsi gasal, fungsi genap, fungsi aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial2.4.1. Fungsi Tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong Fungsi-fungsi yang sering digunakan adalah dua fungsi yang sangat khusus yaitu fungsi nilai mutlak , dinotasikan | |, dan fungsi bilangan bulat terbesar, dinotasikan

EMBED Equation.3.

Fungsi nilai mutlak disajikan sebagai | x | =

Grafiknya mempunyai sudut tajam pada titik asal. Perhatikan grafik berikut :

y

-x 0 xFungsi bilangan bulat terbesar disajikan sebagai , yaitu bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya melompat pada tiap bilangan bulat.Contoh :

Biaya pengiriman surat C(w) dengan berat w disajikan sebagai berikut.

C(w) =

Jika berat surat w = 1,5 maka C(1,5) = 0,55. Selanjutnya C(2,1) = 0,78, C(2,7) = 0,78 dan seterusnyaLatihan :Ubahlah menjadi fungsi tangga untuk fungsi nilai mutlak di bawah ini1. f(x) = | 2x 1|

2. f(x) = 3 + | x + 2 |

3. f(x) = | 1 x | - 2

4. f(x) =

5. f(x) = | x | + x

2.4.2. Fungsi Genap dan Fungsi Gasal

Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f( - x ) = f( x )Fungsi y = f(x) disebut fungsi gasal jika f( - x ) = - f( x )Grafik fungsi genap simetris dengan sumbu y, sedangkan grafik fungsi gasal simetri terhadap titik asal.Contoh :

a. Apakah f(x) = 3 x6 2 x4 + 11 x2 5 genap, gasal , atau bukan keduanya ?b. Apakah f(x) = x3 2 x genap, gasal, atau bukan keduanya ?

Penyelesaian :

a. Karena f(-x) = 3 (-x)6 2 (-x)4 + 11 (-x)2 5 = 3 x6 2 x4 + 11 x2 5 = f(x)maka f(x) adalah fungsi genap.

b. Karena f(-x) = (-x)3 2 (-x) = -x3 + 2 x = -( x3 2 x) = - f(x) maka f(x) adalah fungsi gasal Latihan :Nyatakan apakah fungsi yang diberikan genap, gasal, atau bukan keduanya1. f(x) = 3 x2 + 2 x -1 6. f(x) =

2. f(x) = 7. f(x) =

3. f(x) = 8. f(x) =

4. f(x) = 9. f(x) = | 2 x2 + 2|

5. f(x) = 2 x5 3 x3 + x 10. f(x) = - | x + 3 |

2.4.3. Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar). Fungsi aljabar dikatakan rasional jika variabel x tidak terdapat di bawah tanda akar dan dikatakan irrasional jika x terdapat di bawah tanda akar. Fungsi aljabar dikatakan bulat rasional jika x tidak terdapat sebagai penyebut dan dikatakan pecah rasional jika x terdapat sebagai penyebut.

Contoh :

a. f(x) = x3 x2 + 4 x + 1 dan g(x) = x2 + 5 x + 7 adalah fungsi aljabar bulat rasional

b. f(x) = dan g(x) = adalah fungsi aljabar pecah rasional.

c. f(x) = merupakan fungsi aljabar pecah irrasional, dan g(x) = adalah fungsi aljabar bulat irrasional.

2.4.4. Fungsi Eksponensial

Fungsi f(x) = 2x disebut fungsi eksponensial karena variabel x merupakan eksponen. Secara umum fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk

f(x) = axSifat-sifat fungsi eksponensial

Jika a, b > 0 dan x , y

EMBED Equation.3, maka

1. ax + y = ax ay2. a x - y =

3. (ax) y = xx y4. (a b) x = ax bxJika a = e bilangan natural maka diperoleh fungsi eksponensial natural,yaitu

y = ex2.4.5. Fungsi Logaritma

Fungsi eksponensial f(x) = ax mempunyai invers yang disebut fungsi logaritma dengan bilangan pokok a, dilambangkan dengan . Sifat fungsi logaritma Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka

1. (x y) = x + y2. (xr) = r x3. () = x y

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural dan mempunyai lambang khusus

x = ln x

e ln x = x untuk setiap x > 0

Untuk x = 1, diperoleh

ln e = 1

Sifat-sifat logaritma Natural

Jika x dan y bilangan positip dan r bilangan rasional, maka

1. ln (x y) = ln x + ln y

2. ln () = ln x ln y

3. ln (xr) = r ln x

2.5. Grafik Fungsi

Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan bilangan real, maka fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).Contoh :

a. Sketsa grafik y = (x(b. Sketsa grafik y = x2 3 x + 2

Penyelesaian :

a. Jika diambil beberapa nilai x akan diperoleh pula beberapa nilai y berikut

xy = (x(

-2

-1

0

1

22

1

0

1

2

Sehingga grafiknya adalah

b. Grafik untuk fungsi kuadrat di atas berupa parabola yang terbuka ke atas. Untuk menggambarkan grafik y = x2 3 x +2, maka dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :

Titik potong dengan sumbu x, y = 0

x2 3 x +2 = 0

(x 1) (x 2) = 0

x = 1 atau x = 2

Titik potong dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (1, 0).

Titik potong dengan sumbu y, x = 0

y = 02 3.0 + 2 = 2

Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2)

Sumbu simetri y =

Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas .

LatihanGambarkan grafik fungsi-fungsi di bawah ini 1. f(x) = - 1

2.

3. f(x) = 2 x2 4 x + 2

4.

5. f(x) = a (cm/det2)

t (detik)

x

a

f(x)

f(a)

g

f

EMBED Word.Picture.8

PAGE 22

_1377312920.unknown

_1377313029.unknown

_1377313047.unknown

_1377313063.unknown

_1377313072.unknown

_1377313076.unknown

_1377313080.unknown

_1377313084.unknown

_1408741828.unknown

_1408742364.unknown

_1377313082.unknown

_1377313083.unknown

_1377313081.unknown

_1377313078.unknown

_1377313079.unknown

_1377313077.unknown

_1377313074.unknown

_1377313075.unknown

_1377313073.unknown

_1377313067.unknown

_1377313069.unknown

_1377313070.unknown

_1377313068.unknown

_1377313065.unknown

_1377313066.unknown

_1377313064.unknown

_1377313055.unknown

_1377313059.unknown

_1377313061.unknown

_1377313062.unknown

_1377313060.unknown

_1377313057.unknown

_1377313058.unknown

_1377313056.unknown

_1377313051.unknown

_1377313053.unknown

_1377313054.unknown

_1377313052.unknown

_1377313049.unknown

_1377313050.unknown

_1377313048.unknown

_1377313039.unknown

_1377313043.unknown

_1377313045.unknown

_1377313046.unknown

_1377313044.unknown

_1377313041.unknown

_1377313042.unknown

_1377313040.unknown

_1377313035.unknown

_1377313037.unknown

_1377313038.unknown

_1377313036.unknown

_1377313033.unknown

_1377313034.unknown

_1377313032.unknown

_1377312948.unknown

_1377312975.unknown

_1377312995.unknown

_1377313013.unknown

_1377313025.unknown

_1377313027.unknown

_1377313028.unknown

_1377313026.unknown

_1377313015.unknown

_1377313020.unknown

_1377313024.unknown

_1377313023.doc

_1377313019.unknown

_1377313014.unknown

_1377313009.unknown

_1377313011.unknown

_1377313012.unknown

_1377313010.unknown

_1377313007.unknown

_1377313008.unknown

_1377313006.unknown

_1377312984.unknown

_1377312988.unknown

_1377312993.unknown

_1377312994.unknown

_1377312992.unknown

_1377312986.unknown

_1377312987.unknown

_1377312985.unknown

_1377312980.unknown

_1377312982.unknown

_1377312983.unknown

_1377312981.unknown

_1377312977.unknown

_1377312979.unknown

_1377312976.unknown

_1377312967.unknown

_1377312971.unknown

_1377312973.unknown

_1377312974.unknown

_1377312972.unknown

_1377312969.unknown

_1377312970.unknown

_1377312968.unknown

_1377312954.unknown

_1377312965.unknown

_1377312966.unknown

_1377312955.unknown

_1377312950.unknown

_1377312953.unknown

_1377312949.unknown

_1377312929.unknown

_1377312933.unknown

_1377312938.unknown

_1377312939.unknown

_1377312937.unknown

_1377312931.unknown

_1377312932.unknown

_1377312930.unknown

_1377312925.unknown

_1377312927.unknown

_1377312928.unknown

_1377312926.unknown

_1377312922.unknown

_1377312924.unknown

_1377312921.unknown

_1377312904.unknown

_1377312912.unknown

_1377312916.unknown

_1377312918.unknown

_1377312919.unknown

_1377312917.unknown

_1377312914.unknown

_1377312915.unknown

_1377312913.unknown

_1377312908.unknown

_1377312910.unknown

_1377312911.unknown

_1377312909.unknown

_1377312906.unknown

_1377312907.unknown

_1377312905.unknown

_1377312896.unknown

_1377312900.unknown

_1377312902.unknown

_1377312903.unknown

_1377312901.unknown

_1377312898.unknown

_1377312899.unknown

_1377312897.unknown

_1377312892.unknown

_1377312894.unknown

_1377312895.unknown

_1377312893.unknown

_1377312890.unknown

_1377312891.unknown

_1377312889.unknown