kalkulus fungsi

7/30/2019 kalkulus fungsi

1/67

Koordinat Kartesian, Relasi dan Fungsi

KOORDINAT KARTESIAN,

RELASI DAN FUNGSI

2.1. Sistem Koordinat Kartesian.Sebelum kita membahas konsep relasi dan fungsi, perlu disajikan kembali geometrianalitis bidang yang diarahkan pada pembuatan sketsa-sketsa grafik persamaan dan pertaksamaanyang melibatkan dua peubah.

Perhatikan gambar 2.1 yang merupakan dua garis lurus pada bidang berpotongan tegak

lurus di titik 0. Garis mendatar dinamakan sumbu x dan garis tegak dinamakan sumbu y.Titik perpotongannya 0 dinamakan titik asal (origin).

Sistem koordinat kartesian seringkali ditulis RxR atau 2R yang menyatakan pasangan

terurut ( ) xyx ,, dan Ry . Jadi 2R = RxR = ( ){ }Ryxyx ,:, . Misalkan P sembarang titikpada bidang kartesian, maka setiap titikP kita kaitkan dengan dua bilangan yang masing-masing

dinamakan absis x dan ordinat y titik P tersebut. P ( )yx, dinamakan titik koordinat P

dengan absis x yang merupakan proyeksi P terhadap sumbu x dan ordinat y yangmerupakan proyeksi P terhadap sumbu y (lihat gambar 2.1). Jadi P ( )yx, dimaksudkan sebuahtitik yang absisnya x dan ordinatnya y.

Absis x yang terletak disebelah kanan titik asal 0 bertanda positif, dan disebelah kiri titik asal 0

bertanda negatif. Sedangkan ordinat y yang terletak diatas titik asal 0 bertanda positif dandisebelah bawah titik asal 0 bertanda negatif (gambar 2.2).

Sistem koordinat kartesian ini kita bagi atas empat daerah (kuadran) :

Kuadran I adalah himpunan titik-titik ( )yx, Ryxyx ,;0;0;

35

P(x,y)

x X0

y

Y

Gambar-2.1

IV

X0

Y

Gambar-2.2

III

II IKuadran

- - - - - - - - - - - + + + + + + +

+

+

+

+

-

-

-

-


2/67


Kuadran II adalah himpunan titik- titik ( )yx, ; x Ryxy ,;0;0 KuadranIII adalah himpunan titk-titik ( )yx, ; x Ryxy ,;0;0 KuadranIV adalah himpunan titik-titik ( )yx, ; .,;0;0 Ryxyx

Koordinat P(x,y) adalah pasangan bilangan terurut(x,y). Misalnya titik (2,3) adalah sebuah titk yang

absisnya 2 yang terletak 2 satuan disebelah kanantitik asal,dan ordinatnya 3 yang terletak 3 satuan

diatas titik asal . Titik (-3,1) sebuah titik yang

aabsisnya -3 terletak 3satuan disebelah kiri titik asal, dan ordinatnya 1 terletak 1 satuan diatas titik asal .

Titik (4,0) adalah sebuah titik yang absisnya 4 ,

terletak 4 satuan disebelah kanan titik asal , dan

ordinatnya 0 . Titik (3,-3) sebuah titik yang absisnya3 , terletak 3 satuan disebelah kanan titik asal dan

ordinatnya -3 terletak 3 satuan dibawah titik asal .(lihat gambar 2-3).

2.1.1 Jarak ; Titik tengah dan Tanjakan.

JARAK ANTARA DUA TITIK.

Misalkan P 1,1 yx dan Q 2;2 yx dua titik pada bidang kartesian . Misalkan pula ruas

garis PQ tidak sejajar sumbu-sumbu koordinatnya (gbr-2.4) . Dengan menggunakan dalilPytagoras diperoleh

22222

RQPRPQRQPRPQ +=+=Karena 1212 yyRQdanxxPR == diperoleh

2

12

2

12yyxxPQ +=

yang merupakan jarak dua titik P dan Q.

Catatan

Jika ruas garis PQ sejajar sumbu X maka jarak PQ adalah 12 xxPQ =

Jika ruas garis PQ sejajar sumbu Y maka jarak PQ adalah ,12 yyPQ = gambar 2 5.

36

(2,3)

(4,0)

X0-3

Y

Gambar-2.3

(-3,1)

-3

(3,-3)

2

Q(x2,y

2)

x2 X0

y2

Y

Gambar-2.4

y1

x1

P R

x2 X0

y2

Y

Gambar-2.5

y1

x1

P QP

Q


3/67


TITIK TENGAH SEBUAH RUAS GARIS .

Misalkan T(x,y) adalah titik tengah ruas garis yang titik-titik ujungnya

P ( )221,1 ,yxQdanyx (gambar 2 6) , maka titik tengah T(x , y) mempunyai absis dan ordinatmasing-masing

x =22

2121yy

Qdanxx +

=+

Sehingga dapat dituliskan

T(x , y) = T

++2

,2

2121yyxx

yang merupakan titik tengah ruas garis PQ.

TANJAKAN (GRADIEN) SEBUAH RUAS GARIS

Misalkan sebuah ruas garis PQ yang tidak sejajar dengan sumbu sumbu koordinat .Misalkan P

( 1,1 yx adalah ujung kirinya , ujung yang lain adalah Q ( )22 , yx lihat gambar 2 7 ,melalui titik P di buat garis sejajar dengan sssumbu X yang memotong dititik R( )12 , yx garisyang melalui Q sejajar dengan sumbu Y. Maka diperoleh

1212xxPRdanyyRQ == adalah jarak-jarak berarah.

Perbandingan kedua jarak tersebut adalah

12

12

xx

yy

PR

RQ

= yang dinamakan tanjakan ruas garis PQ yang biasanya

dilambangkan dengan m

Perhatikan bahwa nilai m tidak tergantung titik yang mana yang dinamakan P atau Q, karena

21

21

12

12

xx

yy

xx

yy

=

, sehingga tanjakan suatu ruas garis yang melalui titik P 1,1 yx y dan Q

(2,2

yx adalah :

12

12

12 , xxxx

yym

=

37

Q(x2,y

2)

X0

Y

P(x1,y

1)

R(x2,y

1)

X0

Y

Gambar-2.7

m > 0

m < 0

P(x1,y

1)

R(x2,y

1)

Q(x2,y

2)

y2

y1

x1

x2

Q(x2,y

2)

T(x,y)

P(x1,y

1)

x

y


4/67


Catatan :

- jika 21 yy = maka ruas garis PQ sejajar sumbux, dan tanjakannya adalah 0 (gbr 2-5).- jika 21 xx maka ruas PQ sejajar sumbuy, dan tanjakannya tidak ada.

Contoh 1:Jika diberikan dua titik P(6,-2) dan Q(2,1) maka :

- jarak PQ adalah ( ) ( )( ) 52162 22 =+=PQ

- Titik tengah ruas garis PQ adalah

=

++

2

1,4

2

12,

2

26TT

- Tanjakan garis PQ adalah4

3

62

21=

+

=m

Selanjutnya bila ( ) ( )2211 ,, yxQdanyxP adalah dua titik yang berbeda pada bidang kartesian

dengan 21 xx maka persamaan garis yang melalui titik P dan Q adalah :

( )1

12

12

1

12

1

12

1 xxxxyyyy

xxxx

yyyy

=

=

( )11 xxmyy =

dengan12

12

xx

yym

=

Sebuah garis yang memotong sumbu y dititik

(0,n) dengan tanjakan m, persamaannya

adalah;nmxyatauxmny +== )0(

karena pada bidang kartesian, tiap garis adalah vertical atau memiliki tanjakan, maka persamaan

garis adalah :

takonsnmknmxyataukx tan,,;+==

Persamaan-persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk:

0=++ cbyax

dengan bdana tidak nol bersama-sama.

Misalkan 0b , maka tanjakannya adalahb

am =

GARIS-GARIS SEJAJAR DAN TEGAK LURUS

Garis-garis vertikal tidak mempunyai tanjakan, akan tetapi semua garis vertical adalah sejajar.

Sekarang pandang ldan h dua buah garis dengan tanjakan masing-masing 21 mdanm maka :

- garis-garis l dan h adalah sejajar jika dan hanya jika tanjakannya sama ( 21 mm = ),gambar 2.9 a

38

Q(x2,y

2)

X0

Y

Gambar-2.8

P(x1,y

1)


5/67


- garis-garis ldan h saling tegak lurus jika dan hanya jika2

1

1

mm = atau 1. 21 =mm ,

gambar 2.9 b

Contoh 2 :1). Tentukan tanjakan dan persamaan garis yang melalui titik-titik (2,-1) dan (-5,4)

2). Tentukan tanjakan garis 01234 =+ yx , serta titik-titik potongnya dengan sumbu x dansumbuy, kemudian gambar garis tersebut.

Solusi

1).7

5

25

14

12

12 =+

=

=xx

yym

Persamaan garisnya =25

2

14

1

12

1

12

1

=

++

= xy

xx

xx

yy

yy

( ) 037527

5

1 =+=+ yxatauxy

2). Tanjakan garis 0=++ cbyax adalahb

am =

* Jadi tanjakan garis 01234 =+ yx adalah3

4

3

4=

=m

*Titik potong dengan sumbu x dicapai jikay=0. Diperoleh 30124 ==+ xx . Jadi garis01234 =+ yx memotong sumbux dititik (-3,0).

* Titik potong dengan sumbu y dicapai jikax=0. Diperoleh 40123 ==+ yy . Jadigaris 01234 =+ yx memotong sumbuy dititik(0,4).

* Gambar 2.10

39

(0,4)

X0

Y

Gambar-2.10

(-3,0)

4x 3y + 12

l

X0

Y

lhm

1= m

2

X0

Y

Gambar-2.9a

h

m < 0

l | h

h

l

Gambar-2.9b

m > 0


6/67


Diskusikan di kelas (Dosen + Mahasiswa)

1) Diberikan 6 garis lurus berikut :

095055 41 ===++= yxlyxl

08420563 52 =+==++= yxlyxl

062042 63 =+==+= yxlyxla) Tentukan tanjakan masing-masing garis tersebutb) Manakah diantara garis garis tersebut yang sejajar atau saling tegak lurus .

c) Gambar grafik garis-garis tersebut.

2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-1,4) dan tengak lurus pada garis yangmemotomg sumbu X pada titik 3 satuan disebelah kanan titik asal dan memotong sumbu Y

pada titik 2 satuan dibawah titik asal .

RANGKUMAN GARIS LURUS PADA BIDANG KARTESIAN (BIDANG DATAR),

1) Panjang ruas garis dari titik P ( )11 ,yx ke titik Q ( )22 ,yx adalah

( ) ( ) 212

2

12yyxxPQ +=

2) Persamaan garis lurus

persamaan garis lurus yang melalui dua titik ( )11 ,yx dan ( )22 ,yx adalah

22

1

12

1

xx

xx

yy

yy

=

persamaan garis yang melalui sebuah titik ( )11 ,yx dengan tanjakan m adalah( )

11xxmyy =

persamaan garis yang sejajar sumbux adalahy = p, p konstanta persamaan garis yang sejajar sumbuy adalahx = q, q konstanta persamaan garis yang tidak sejajar sumbu y dengam tanjakan m adalah nmxy +=

(fungsi linier)

persamaan garis yang melalui titik asal (0,0) adalahbdanadenganbyaxataumxy 0=+= tidak keduanya nol.

persamaan garis yang melalui titik ( ) ( ) 1,00, =+q

y

p

xadalahqdanp

3) Bentuk umum persamaan garis lurus adalah0

=++cbyax

bdanadengan

tidak semuanya nol. Jika 0b maka tanjakannya adalah

b

am=

4) Hubungan antara dua garis.

Misalkan garisg: 0=++ cbyax dan garis h : 0=++ rqypx maka

g sejajar h ( )hg jika dan hanya jika :r

c

q

b

p

a= ;

40


7/67


gtegak lurus h ( )hg jika dan hanya jika 0,,01 =+= gbbqapataubq

ap

g berimpit h ( )hg jika dan hanya jikar

c

q

b

p

a==

g berpotongan h jika dan hanya jika bpaqatauq

b

p

a

5) jikag; 11 nxmy += dan h ; y = 22 nxm + maka :

gsejajarh , jika danhanya jika .21 mm =

gsaling tegak lurus h jika dan jika 21 mm =

6) Jarak titik P ( 00 ,yx ) ke sebuah garisg ; ax + by + c = 0 adalah

d ( p , g) =22

00

ba

cbyax

+

++

Soal soal latihan1) Tentukan persamaan garis yang melalui : a) Titik (-3,1) dan titik (2,3)

b) Titik (2,3) dan titik (4,0)

2) Tentukan persamaan garis yang : a) melalui titik ,(4,-2) dengan tanjakan 3.b) melalui titik (-5,1) dengan tanjakan -1

3) Tentukan persamaan garis yang :

a) melalui titik P (2,3) dan sejajar dengan garisx + 3y -3 = 0b) melalui titik P(-5,0) dan sejajar dengan garis x 2y + 2 = 0

4) Tentukan persamaan garis yang

a) melalui titik P (2,1) dan tegak lurus garisx + 2y + 4 = 0b) melalui titik P (-1,-4)dan tegak lurus garis x 2y +2 = 0

5) Di ketahui titik A (2,4) dan B (6,-2) serta garis 033 =+yx . Tentukan sebuah titikP yangterletak pada garis tersebut dan berjarak sama dari titik A dan titik B.

Petunjuk Misalkan P (x,y) sebuah titik pada garis tersebut )()( BPdAPd = selanjutnya selesaikan dua sistem persamaan 0)()( = BPdAPd dan

persamaan garis yang diketahui6) Diketahui titik P(3,-4), Q(1,2) dan R(-2,0). Tentukan :

a. Persamaan garis yang melalui titik Q dan sejajar garis PR

b. Persamaan garis h yang melalui titik tengah PQ dan tegak lurus garis g

c. Jarak dari titik Q ke garis PRd. Luas segitiga PQR

7) Tunjukkan bahwa titik-titik A(-3,2) ; B (0,3) ; C(1,0) dan D(-2,-1) adalah titik-titik sudutsebuah bujur sangkar ABCD.

41


8/67


GARIS LURUS DAN NILAI MUTLAK

Grafik dari persamaan 0=++ cbyax merupakan garis lurus. kita akan tinjau grafik daribentuk-bentuk persamaan berikut :

0:&;0:0: 321 =++=++=++ cybxaGcybaxGcbyxaGAda dua cara untuk menggambarkan grafik ini :Cara 1. menggunakan defenisi nilai mutlak untuk mengubah persamaannya ke dalam bentuk

tanpa nilai mutlak dengan memperhatikan daerah berlakunya.

_ grafiknya berbentuk gabungan dari beberapa garis lurus

Cara 2. Menggunakan sifat simetri dari bentuk ydanx . Diskusikan cara yang kedua ini.

Contoh 3. Gambarkan grafik a). 013 =+yx

b). 03 =+ yx

Solusi

a). 013 =+yx 13 += xyDengan menggunakan definisi nilai mutlak, maka persamaannya dalam bentuk tanpa nilai

mutlak adalah


9/67


Latihan

Gambarkan grafik :

4).

22).

012).

==+

=+

yxc

yxb

yxa

2.1.2 Grafik Pertaksamaan

Untuk memudahkan pemahaman, kita mulai dengan membandingkan grafik dari bentuk-

bentuk berikut :

4).44).34).24).1 22222222 >++


10/67


4). Grafik pertaksamaan 422 >+yx adalah

sebuah daerah terbuka yang terdiri atas semua

titik pada bidang yang terletak diluar lingkaran422 =+yx , lihat gambar 2.16

Catatan

1. disebut daerah terbuka karena tidak memuat titik-titik pembatasnya, dan disebut

daerah tertutup karena memuat titik-titik pembatasnya.

2. perhatikan bahwa daerah 422 >+yx tidak lain dari komplemen daerah 422 +yx (lihat

gambar 2.16 dan 2.15).

Sekarang kita perhatikan bahwa persamaan x=3 adalah garis vertikal yang sejajar sumbu y danterletak 3 satuan disebelah kanan sumbu y (gambar 2.17 .a). maka grafik pertaksamaan x < 3 dan

x > 3 adalah masing-masing daerah terbuka (setengah bidang) yang dibatasi oleh garis x=3,gambar 2.17. b. sedangkan grafik pertaksamaan

3x adalah daerah setengah bidang tertutupyang terdiri atas semua titik-titik disebelah kanan

dan pada garisx=3, gambar 2.17. c.

gambar 2.17.a gambar 2.17.b gambar 2.1 .c

garis x=3 tidak termuat dalam garis x=3 termuat dalamdaerah setengah bidang daerah setengah bidang.

Karena sumbu x tidak lain dari garis y = 0, maka daerah diatasnya mempunyai aturany > 0 dan

daerah dibawahnya mempunyai aturany < 0. Demikian juga halnya sumbu y tidak lain dari garisx = 0, sehingga daerah disebelah kanannya mempunyai aturanx > 0 dan daerah disebelah kirinya

x < 0.Fenomena ini dapat diperluas untuk garis nmxyg +=: , maka Himpunan semua titik-titik ( )yx, yang memenuhi persamaan nmxy += adalah sebuah

garis lurus. gambar 2.18.a

Himpunan semua titik-titik (x,y) yang memenuhi pertaksamaan nmxy +> adalah daerahsetengah bidang terbuka yang terlertak diatas garis nmxy += . sedangkan himpunansemua titik-titik yang memenuhi pertaksamaan nmxy +< adalah daerah setengah bidang

terbuka yang terletak dibawah garis nmxy += , gambar 2.18.b

44

2

20

y

x

x2 + y2 > 4

Gambar 2.16

x0 3

x=3y

x0 3

x 3y

x0 3

x > 3y x < 3


11/67


gambar 2.18.a gambar 2.18.b

Contoh 4

a). grafik pertaksamaan -2 < x < 3 adalahdaerah yang terletak antara garis-garisx =

-2 dan x = 3. Daerah tersebut adalahirisan dua bidang terbuka yaitu32 xx , gambar 2.19

b). Himpunan titik-titik ( ){ }31;21:, yxyxadalah daerah tertutup seperti terlihat pada

gambar 2.20

c). Grafik pertaksamaan 3+ yx adalahdaerah tertutup yang dibatasi oleh 4 buah

garis x + y = 3 ; -x + y = 3 ; -x y =3

dan x y = 3 , gambar 2.21

d). Himpunan semua titik-titik (x,y) yang

memenuhi pertaksamaan 52 < x dan31


12/67


BC. Ketiga sudutnya yang lain dan sisiAD dan DC tidak termuat dalam daerah

tersebut.


ABCD adalah sebuah bujur sangkar dengan

panjang sisinya 4 cm dan berpusat di titik

asal. Pada diagonal BD pilih titik P, dan

andaikan x adalah jarak antara titik D darike titik P. Misalkan A(x) menyatakan luas

segitiga APC (lihat gambar 2.23)

a.Tentukan nilai x yang mungkin dalambentuk selang.

b.Ttentukan titik manakah pada ruas garisBD sedemikian sehingga luas segitigaAPC sama dengan sepertiga luas

segitiga ACD.

c.Representasikan grafik fungsi A(x).

Soal Latihan

Gambarkan daerah

xydxyxb

yxycxyxa


13/67


dalam hal ini 63.23;2 ==== BxAmakaBA

jadi banyaknya unsur kali kartesian A x B adalah 6=BxA , yaitu pasangan( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rbqbpbraqapa ,,,,,,,,,,, . keenam pasangan ini semuanya merupakan unsur

dalam A x B sedangkan (p,a) bukan unsurA x B, karena sesungguhnya pasangan (p,a)adalah salah satu unsur dalamB x A.

Dalam kasus khusus, bila A = B, hasil kali kartesian A x B adalah A x A yang sering dituliskan

sebagaiA2.

Dalam himpunan bilangan real R, hasil kali kartesian R x R atau R2 adalah himpunan semuapasangan bilangan real terurut (x, y) yang dikenal dengan Ruang Euklid Dimensi Dua, atau

bidang kartesian. Disekolah lanjutan, hal ini diperkenalkan sebagai bidang datarXY, atau sistem

koordinat tegak lurus.

Perhatikan contoh 4 d) diatas gambar 2.22 adalah hasil kali kartesian ( ] [ )3,15,2 x

* RELASI BINER (Hubungan Binier)Hasil kali kartesian A x B memberikan semua kemungkinan pasangan unsur di dalamA

dengan unsur di dalamB. SedangkanRelasi BinerdariA ke B merupakan gagasan intuitif bahwasebagian unsur didalam himpunan A berhubungan (berelasi) dengan sebagian unsur didalam

himpunan B. Jelaslah bahwa RELASI BINER (binary relation) dari A ke B ialah suatu

himpunan bagian dari hasil kali kartesian A x B. Jika Hmerupakan relasi dari A ke B makaBxAH

Suatu relasi biner dariA keB ,biasanya diberi nama atau lambing huruf-huruf kapitalseperti R,H,Satau tanda ~. Dengan demikian pernyataan unsur a A berhubungan melaluirelasiHdengan unsure Bb dapat dituliskan secara singkat dalam bentuk lambing

a H b atau (a,b) H .(baca: a berelasi H dengan b)

sebaliknya lambing a H/ b atau (a,b) H menyatakan bahwa a tidak beralasi H

dengan b atau disingkat a tidak berelasi dengan b.

Catatan

Bila relasi binernya diberi namaR , maka hurufHpada contoh diatas digantidengan hurufR.

Contoh 6.

Misalkan A = { }ZIDANJORDANTYSONMARADONA ,,, adalah himpunan4 olahragawan .

B = { }TinjuBolaTenis ,, adalah himpunan 3 jenis Olah Raga .

Misalkan S suatu relasi biner dari A ke B jika unsur unsur didalam A mempunyaihubungan professi dengan unsur-unsur di dalam B

Maka relasi S= ( ) ( ) ( ){ }BolaZidanTinjuTisonBolaMaradona ,,,,,Dalam hal ini relasi Sdinytakan dalam bentuk daftar pasangan terurut . Disamping itu suatu relasi

biner dapat juga disajikan dalam bentuk grafik atau tabel . Perhatikan relasi Spada contoh diatas

dapat disajikan dalam bentuk grafik dan tabel sebagai berikut :

47


14/67


Maradona TennisM Tyson BolaJordan Tinju

Zidane

Tanda menyatakan ada relasi

Perhatikan bahwa relasi binerSyang kita bentuk diatas . Kita membuat pasangan antara unsur-

unsur didalamA dengan unsur-unsur didalam B menurut aturan atau ketentuan relasi Syang kita

tetapkan .Didalam contoh diatas ,ketentuan relasi Sadalah berprofessi. dengan aturan tersebutmudah dipahami bahwa unsur-unsur

pasngan (Bola,Zidan)bukan unsure relasi S, mengapa ?.

Dari contoh diatas terlihat bahwa Jordan sebagai salah satu unsur didalamhimpunam A tidak mempunyai relasi dengan unsure didalam B.Ini berarti suatu relasi Biner dari

A ke B tidak mengharuskan setiap unsur didalam A berpasangan dengan unsur didalam B.Dengan kata lain Setiap unsur didalam A tidak selalu mempunyai pasangan dengan sebuah

unsur didalam B.Bandingkan dengan hasil kali kartesiun :A X B .

Didalam kehidupan sehari-hari ,sering dijumpai adanya relasi atau hubungan diantara benda

benda atau unsur-unsur tertentu .Misalnya , diantara sekelompok mahasiswa , kita mungkin mengaitkan dua mahasiswa saling

berhubungan bila mereka berasal dari jurusan yang sama .Akan tetapi pada situasi yang lain ,kita

mungkin mengatakan bahwa dua mahasiswa saling berhubungan bila mereka berasal dari jurusanyang berbeda .

Hal ini tergantung aturan relasi yang kita kehendaki .

Definisi:......

a. Suatu pengawanan (pemasangan )dari unsur-unsur himpunan A ke unsur-unsur

himpunan B dinamakan RELASI BINER dari A ke B.b. Suatu relasi biner S dari A ke B adalah sebuah himpunn bagian tak kosong dari

A X B .

Dengan kata lain ,hipunan S adalah relasi biner dariA keB jika dan hanyajika S BxA .

Contoh : 7

Misal A = B adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 5 . Tentukanhimpunan relasi pada A berikut :

a). Dua bilangan asli a dan b A di definisikan berelasi S jika jumlahnyagenap.

b) Dua bilangan asli a dan b A didefinisikan berelasi H jika selisihnyahabis dibagi 3.

Solusi:

A = { }4,3,2,1

a) Relasi S = ( ){ }bulatbilangankkbaAba ,2;, =+ .

48


15/67


Ini berarti relasi S dari A ke A. bilangan a dan b =+ baA genap1 + 1 = 2 genap jadi (1,1) S 3 + 1 = 4 genap (3,1) S1 + 2 = 3 ganjil jadi (1,2) S 3 + 2 = 5 ganjil (3,1) S1 + 3 = 4 genap jadi (1,3) S 3 + 3 = 6 genap (3,3) S

1 + 4 = 5 ganjil jadi (1,4) S 3 + 4 = 7 ganjil (3,4) S2 + 1 = 3 ganjil (2,1) S 4 + 1 = 5 ganjil (4,1) S2 + 2 = 4 genap (2,2) S 4 + 2 = 6 genap (4,2) S2 + 3 = 5 ganjil (2,3) S 4 + 3 = 7 ganjil (4,3) S2 + 4 = 6 genap (2,4) S 4 + 4 = 8 genap (4,4) S

jadi relasi S = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,4,2,4,3,3,1,3,4,2,2,2,3,1,1,1

b). Relasi H = ( ){ }3:, dibagihabisbaAba =Jadi H = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,4,1,4,3,3,2,2,4,1,1,1

Contoh 8 :

Misalkan A = B = R (himpunan bilangan real). Suatu relasi L pada R yang didefenisikan

lebih besar dari adalah himpunan :

( ){ }yxRyxyxL >= ,,, , dengan demikian

(2,1) L ; (3,-1) L ; (5,0) L ; akan tetapi (1,2) L, sebab 1 < 2.

SIFAT-SIFAT RELASI BINER

Refleksif . Suatu relasi L dari A ke A (disingkat pada A) dinamakan refleksif jika

( ) AaLaa ,, . Dengan kata lain setiap unsur didalam A berelasi dengan dirinyasendiri. Jadi kesamaan ( )xxx = , adalah refleksif, tetapi < bukan relasi refleksif.

Simetri. Suatu relasi L pada A dinamakan Simetri. jika ( ) Rba , berimplikasi( ) Rab , .Misalkan A = himpunan para mahasiswa di UNHAS. L sebuah relasi pada A yang

didefenisikan sebagai a berelasi L dengan b jika a sama jurusan dengan b, Aba , .Jelaslah bahwa a satu jurusan dengan b, tentunya b juga satu jurusan dengan a.

Transitif Suatu relasi L pada A dinamakan transitif jika ( ) ( ) LcbdanLba ,,

berimplikasi ( ) Lca , . jadi a berelasi b, b berelasi c, maka a berelasi dengan c. Relasi >


16/67


Contoh 9.

Misalkan L adalah relasi padaR x R

a). { }yxRyxyxL = ,,, adalah hasil relasi refleksif dan transitif.

b). { }yxZyxyxL = ,,, adalah relasi simetric). Didefenisikan suatu relasi S = mod. m (baca sama dengan mod. m)

Himpunan ( ) ( ){ }qpmqp :, adalah relasi reflexif, simetri dan transtif.

2.3 Fungsi Real

Fungsi memegang peranan penting dalam aljabar dan trigonometri.Suatu fungsi adalah

hal khusus dari suatu relasi biner yang sudah dibicarakan pada bagian 2.2Jika L suatu relasi dari A ke B yang bersifat untuk setiap Ax berpasangan tepat satu

dan hanya satu unsur By , maka L dinamakan sebuah fungsi. Dalam hal ini dikatakan y

adalah fungsi dari x yang biasanya dilambangkan sebagai : ( )xfy =x dinamakan peubah bebas dan y dinamakan peubah terikat karena nilainya tergantung pada x

Defenisi

Misalkan RBA , , maka fungsifdariA keB , ditulis : BAatauBAf

f: , dandidefenisikan

sebagai suatu aturan pemasangan yang mengkaitkan setiap unsur

Ax dengan tepat satu unsur By . Unsur yang berkaitan dengan unsurxini dilambangkan sebagai ( )xfy = , yang dinamakan aturan fungsi.

Daerah asal fungsi f adalah himpunan A, ditulis :A = Df

dan daerah hasil fungsi f adalah himpunan B, ditulis

B = Rfdimana

=fD ( ){ } ( ){ }ff DxRxfRdanRxfRx ==Bilaman daerah asal tidak disebutkan secara spesifik, maka daerah asal yang dimaksud adalah daerah asal alamiah (natural domain) dari fungsif.

Catatan

Istilah fungsi biasa juga disebut pemetaan (mapping). Daerah asal biasa disebut daerah defenisi atau domain Daerah hasil biasa juga disebut daerah nilai atau Range

Disini,Df atauRf semuanya merupakan himpunan bagian dari R sehingga fungsifini dinamakan

fungsif dengan peubah real dan bernilai real , disingkat fungsi real

Fungsi real y = f(x) dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti pada gambar 2.24.

50


17/67


Gambar diagram panah fungsi y = f(x).

Jadi jika kita mempunyai persamaan fungsi y = f(x) , ( ) ,, ff RxfDx maka :f(x) adalah peta (image) darix yang dibawa olehf, dan x adalah prapeta (antesenden) dariy.

Jadi sebuah bilanganx dengan bayangannyaf(x) direpresentasikan melalui sebuah titikP (x, f(x)),yang biasanya dituliskan sebagai titikP(x,y).

Himpunan titik(x,y) yang memenuhiy = f(x) dinamakan grafik fungsifyaitu

( ) ( ){ }ff RydanDxxfyRxRyx = ,,

Ciri-ciri fungsi ditinjau dari diagram panah adalah

a) Setiap unsur didalam domain , melepaskan sebuah anak panah ke sebuah unsur didalamdaerah hasil (range). Artinya tidak satupun unsur dalam domainnya yang tidak

melepaskan sebuah anak panah.

b) Setiap anak panah yang dilepaskan dari daerah asal (domain akan mengenai tepat satu

sasaran dalam daerah hasil. Ini berarti bahwa tidak mungkin sebuah anak panah akan

mengenai lebih dari satu sasaran . Hal ini berbeda dengan suatu relasi yangmemungkinkan hal tersebut bisa terjadi.

c) Mungkin saja terjadi kasus beberapa anak panah yang dilepaskan oleh masing-masing

unsur didalam domain akan mengenai sasaran yang sama didalam daerah hasilnya.

GRAFIK

Misal kita mempunyai fungsi y = f(x), ( ) ,, ff RxfDx Nilai-nilai xdirepresentasikan oleh absis atau sumbu x, sedangkan nilai-nilai f(x) direpresentasikan olehordinat atau sumbuy. Untuk menelusuri bayangan darix atau ansenden dariy dapat ditunjukan

oleh arah panah pada gambar 2.25.

f

domainimage

range

Gambar 2.24a

x

Df

Rf

f(x)f

f

Gambar 2.24b

51


18/67


Menelusuri image dari x (ikuti panah) Menelusuri anteseden dari y (ikuti panah)Gambar 2.25

MENENTUKAN DOMAIN DAN RANGE SUATU FUNGSI

Domainfadalah suatu himpunan : ( ){ }RxfRxDf = dan

Rangefadalah suatu himpunan : ( ){ }ff DxRxfR =Untuk menentukan domain dan range fungsi, perhatikan contoh-contoh berikut

Contoh .1.Perhatikan gambar 2.26 merepresentasikan suatu grafik fungsi perubahan temperature

pada suatu ruangan tertentu selama 24 jam.

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Misal persamaan fungsi temperatur adalah ( ) *; Rttfy =

maka [ ] ( ) danRtfRtDf == *24,0

[ ] ( ){ }*21,10 RtRtfRf == ; R* bilangan real non negatif. Dari grafik terlihat bahwa untuk ( ) Ctfmakat 00 2110240 f(14) = 21. pada jam 1400, temperature mencapai 21 0 C

f(5) = 10, pada jam 5, temperature mencapai 100C

f(x2)

f(x1)

f

x1

x2

0

y

x

y2

y1

f

0

y

x

t = waktu dlm jam

f(t) = temperatur dalam oC

Df

Rf

Gambar 2.26

52


19/67


Lengkapi hal berikut : jika ( ) .............123 tfmakatjika ( ) ...............2416 tfmakat

Tentukan suhu ruangan pada masing-masing : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )24;18;8;2;0 fdanffff

Tentukan nilai t yang bersesuaian dengan : ( ) ( ) ( ) ( ) 20;11;14;11 ==== tftftftf Dalam hal ini 0t mengapa ?

Dalam gambar diatasf(t) >0, tetapi secara umum mungkinkah ( )?0tf , bilakah hal ituterjadi ..?

Contoh 2

Fungsi ( ) 122 = xxxf pada -1 x 2 mempunyai Domain[ ] { }212,1 == xRxDf dan Range [ ] { }222,2 == yRyRf gambar 2.28

Catatan

Pada contoh (2) ini, bilamana x dapat mengambil sembarang bilangan real (tidak

dibatasi seperti contoh diatas) maka domainnya adalah domain natural yaitu

{ }


20/67


Daerah asal (Domain) fungsi f adalah

=

=

2

1,

2

1xRxDf

Karena untuk setiap Dfx berlaku 021 x , maka ( ) 3213 += xxf , sehingga

Daerah nilai (Range) fungsi f adalah { } [ )+== ,33yRyRfGrafik fungsi [ )=

=+= ,3

2

1,213 RfdanDfdenganxf diperlihatkan

pada gambar 2.29

Gambar 2.29

b). ( )x

xxg

2

1+=

Agar ( ) Rxg , syaratnya adalah penyebut tidak nol, berarti 0x sehingga daerah asalfungsi g adalah

{ } { }00 == RxRxDguntuk menentukan daerah nilainya , kita tuliskan

x

xy

2

1+= , kemudian nyatakan x dalam y, dan perhatikan syarat yang harus

dipenuhi olehy. Prosedurnya sebagai berikut :

( ) 11212122

1==+=

+= yxxxyxxy

x

xy

2

1,

12

1

= y

yx

jadi daerah nilai fungsigadalah

=

=

21

21: RyRyRg

grafik fungsigdengan daerah asal { }0=RDg

dan daerah hasil

=

2

1RRg ditujukan pada

gambar 2.30

1

4

3

0

Df

Rff

x

y

y =

3

2

1

-1

-2

-1 0-2 1 2

y

Grafik fungsi g

u/ x > 0

Grafik fungsi g

u/ x < 0

Gambar 2.30

54


21/67


c). ( ) 2= xxhAgar ( ) Rxh , syaratnya 0x , sehingga Daerah asal fungsi h adalah

{ } [ )+== ,00xRxDh

Karena setiap ,0 xberlakuDhx sehingga daerah nilai fungsi h adalah

{ } [ )== ,22yRyRh

Grafik fungsi h dengan daerah asal [ )= ,0Dhdan daerah hasil [ )= ,2Rh ditunjukkan padagambar 2.31

d). ( )1

12

+=x

xf

karena penyebut adalah definit positif

maka ( ) ,RxRxf artinya f(x)terdefenisi untuk setiap Rx , sehinggaDf =R dan { } ( ]1,010 == aaxxf R [ ),0 Parabola puncak

(0,0), terbuka

keatas. 2.33.b

3 ( ) 0,2


22/67


Grafiknya masing-masing ditunjukkan pada gambar 2.33

Contoh 5.

Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi ( ) 22 xxxf = Solusi

Agar ( ) Rxf , syaratnya adalah 02 2 xx . Dengan menyelesaikan pertaksamaan inidiperoleh

( ) ( ) 12012022 ++ xxxxx jadi daerah asal fungsifadalah

{ } [ ]1,212 == xRxDf

sedangkan daerah nilai fungsifdapat ditentukan dengan beberapa cara :

f(x)=ax+b

a>0

f(x)=ax+b a


23/67


Cara 1

Tuliskan 0,22 = yxxy Unsur dibawah tanda akar dibuat bentuk

kuadrat sejati, diperoleh. 0,

2

1

4

92

+= yxy Kuadratkan kedua ruas diperoleh

0,2

1

4

92

2

+= yxy

0,2

3

2

12

2

2

=+

+ yyx

Bentuk ini merupakan persamaan bagian atas

lingkaran yang berpusat dititik

0,

2

1dan

berjari-jari 2

3

Akibatnya rentang nilai yang harusmemenuhi

2

300

2

3

2

3 ysehinggaydany Jadi

daerah nilai f adalah

=

=

2

3,0

2

30 yRyRf

Cara .2

Tulis2

22 xxy = , kuadratkan, diperoleh

( ) 0,020,2

22

22

=++

=

yyxx

yxxy

karena fungsi fbernilai real, maka persamaan kuadrat dalam x ini harus mempunyai akar-akar

real, syaratnya adalah deskriminan 0D , yaitu

(

2

30

0,2

3

2

3

0,094

0,0241

2

2

y

yy

yy

yy

jadi daerah nilai fungsi f adalah

=

2

3,0Rf

Catatan : * Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dengan jari-jari r adalah

( ) ( ) 222 rbyax =+

* Deskriminan dari cabDadalahcbxax ..4022 ==++

-3/2 -1 - 0 1 x

3/2

y

Gambar 2.34

57


24/67


Cara .3

Karena

= 1,

2

3Df , ini berarti

diperolehruastiapkuadratkanx

ruastiappadatambahkanx

,2

3

2

11

2

1

,12

3

+

diperolehruastiaptambahkanx

diperolehnegatifdikalikanx

,4

9,0

2

1

4

9

,1,4

9

2

10

2

2

+

+

( )

=

+

+

2

3,0

2

30

2

30

2

320

2

3

2

1

4

90

,,

4

9

2

1

4

90

2

2

2

Rfadalahffungsinilaidaerahjadiy

xf

xxx

diperolehkuadratakardiambilx


Lengkapi tabel berikut, dan jelaskan dengan argument yang benar untuk menjawab beberapa

pertanyaan berikut.No Persamaan fungsi f Daerah

asalDf

Daerah

nilaiRf

Grafiknya

Ci

1( )

1

1

+=

xxf

- - -

2( ) 1

1+=

xxf

- - -

3

( ) 1

1

= xxf- - --

4( ) 1

1=

xxf

- - -

5 ( ) 33 += xxf - - -

6 ( ) ( ) 13 3 += xxf - - -

7 ( ) 1062 += xxxf - - -

Lihat gambar

2.35a dan 2.35b

58


25/67


-6

-1

4

9

-7 -2 3 8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

Cari grafik fungsi yang bersesuaian Ci, i = 1,2, .., 7

x

y

C1 C2

C3

Gambar 2.35a

C7C5

C6C4

x

y

Gambar 2.35b

59


26/67


Soal Latihan

Untuk soal no 1 sampai dengan no 15, tentukan daerah asal dan daerah hasil/daerah nilai dari

setiap fungsi berikut.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )2

2

22

3

2

22

2

2

2

1).152.

1

1

1

1).14

1.).7

1

1).13

1

2).6

1

1).12

1

2).5

1

1).11

1).4

sin21).1031

).3

sin4sin).9232).2

4).823).1

x

xxfxxfb

xxfdan

xxf

x

xxfa

x

xf

x

xxxf

xxf

x

xxxf

xxf

x

xxf

xxfx

xxf

xxxfxxf

xxxfxxxf

=+=

=

=

=

=

=

=

=

=

+=

=+=

=+= ==

TERMINOLOGI FUNGSI : FUNGSI PADA DAN FUNGSI SATU-SATU

Misalkan RBA , dan f suatu fungsi dari A ke BBAf : , maka

1) Fungsi fdikatakan fungsi pada (ontofunction) atau Surjective jika setiap unsur dalam

himpunan B (range) merupakan bayangan satu atau beberapa unsur dalam himpunan A

(domain), gambar 2.36.a2) Fungsi f dikatakan fungsi satu-satu (one- to- one function) atau injective bila tidak ada

dua unsure dalam himpunan A yang memiliki bayangan yang sama dalam himpunan B, gambar

2.36.b3) Fungsi f dikatakan fungsi satu-satu dan pada one-to-one ontofunction atau bijective jika f

fungsi pada dan sekaligus satu-satu, gambar 2.36.c

*

*

*

*

*

*

*

f

Fungsi pada

Gambar 2.36a

A B

*

*

*

*

*

*

*

*

f

Fungsi satu-satu

Gambar 2.36b

A B

*

*

*

*

*

*

*

*

f

Fungsi pada dan satu-satu

Gambar 2.36c

A B

60


27/67


Catatan

Untuk fungsi satu-satu, bila ( ) ( )212121, xfxfxxdanDfxx

Jika A = B, fungsifdari A ke A dinamakan fungsi pada AContoh

( ) 3xxf = adalah fungsi yang bersifat satu-satu, sebab setiap unsure yang berlainan dalamdaerah asal mempunyai bayangan yang berlainan pula. Bila ditarik garis-garis mendatar, makasetiap garis hanya memotong grafikfdisatu titik.

SIFAT SIMETRI GRAFIK FUNGSIKadang-kadang dengan melihat kesimetrian dari suatu aturan atau grafik fungsi, sifat fungsi

tersebut lebih mudah dikenali atau digambarkan. Sifat simetri yang langsung mudah dapat

dikenali adalah simetri terhadap sumbu x, sumbu y atau simetri terhadap titik asal.1. Simetri terhadap sumbu x. Grafik fungsiy = f(x) dikatakan simetri terhadap sumbux jika

(x,y) terletak pada grafikfmaka (x,-y) juga terletak pada grafikf. Ini berarti grafik fungsif

sekaligus memuat titik (x,y) dan (x,-y), dengan kata lain kedua titik tersebut memenuhipersamaan fungsif.

2. Simetri terhadap sumbuy, yaitu bahwa jika (x,y) terletak pada grafik fungsi fpada (-x,y)

juga terletak pada grafik fungsif.3. Simetri terhadap titik asal, yaitu bahwa jika (x,y) terletak pada grafik fungsifmaka (-x,-y)

juga terletak pada grafik fungsi f. Ini berarti grafik fungsi fmemuat sekaligus titik (x,y)

dan (-x,-y).

Contoh :

o Fungsix = y2dan 2y2 3x + 1 = 0, grafiknya simetri terhadap sumbux.

o Fungsiy = x2, grafiknya simetri terhadap sumbuy.

o Fungsiy = x3 dan lingkaranx2 + y2 = r- 2, grafiknya simetri terhadap titik asal (0,0).

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Defenisi

1. Fungsifdikatakan Fungsi Genapjika untuk setiapx Dfberlaku)()( xfxf =

2. Fungsifdikatakan Fungsi Ganjiljika untuk setiapx Df berlaku)()( xfxf =

Catatan : pada defenisi diatas, unsurx danx Df.

Berdasarkan defenisi diatas, maka grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y dan grafikfungsi ganjil simetri terhadap titik asal (0,0). Dari pengertian diatas, sebuah fungsi bukan fungsi

genapjika terdapat suatu x Df sehingga f(-x) f(x) , dan bukan fungsi ganjil jika terdapatsuatux Df sehinggaf(-x) -f(x).

Contoh :

(1) a). Fungsif(x) = x2 + 3 adalah fungsi genap, karenaf(-x) = (-x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x).

Dengan demikian grafiknya simetri terhadap sumbuy.

61


28/67


b). Fungsif(x) = 5x4 3x2 + 1 adalah fungsi genap, karenaf(x) = 5(-x)4 3(-x)2 + 1 = 5x4 3x2 + 1 = f(x).

c). Fungsif(x) = cos x adalah fungsi genap karena

f(-x) = cos(-x) = cos x = f(x)

d). Fungsif(x) = 1,1

xx

x adalah fungsi genap (periksa).

(2) a). Fungsif(x) = 2x3 + 4x adalah fungsi ganjil, karena

f(-x) = 2(-x)3 + 4(-x) = -2x3 - 4x = -(2x3 + 4x) = - f(x).Dengan demikian grafiknya simetri terhadap titik asal (0,0).

b).f(x) = 4x5 + 2x3 6x adalah fungsi ganjil, karena

f(x) = 4(-x)5 + 2(-x)3 6(-x)= -4x5 2x3 + 6x

= - (4x5 + 2x3 6x)

= - f(x).

(3) a). Fungsi f(x) = x4 + x3 2x2 + 3 adalah bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil,

karena f(-x) =(-x)4

+ (-x)3

2(-x)2

+ 3= x4 x3 2x2 + 3 f(x) -f(x)

b). Fungsif(x) = x + cos x adalah fungsi yang tidak genap dan juga tidak ganjil karena

terdapatx = 4 Df = sehinggaf(- 4

) f( 4 ) danf(- 4

) -f( 4 ).

(4) Fungsif(x) = 0 adalah fungsi genap dan sekaligus fungsi ganjil karena f(-x) = 0 = -0. Ini

berartif(-x) = f(x) danf(-x) = -f(x)

(5) Fungsif(x) = x tidak dapat dikelompokkan sebagai fungsi genap ataupun fungsi ganjil,

karenaDf = [0,) tidak memuatx danx secara bersamaan.

OPERASI PADA BEBERAPA FUNGSIDefenisiMisalkan diberikan dua buah fungsi f dan g, dengan peubah bebas x, makajumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi darifdangditulis sebagaif + g ; f g ;

f.gdan gf

, didefenisikan sebagai

a). (f + g)(x) = f(x) + g(x) b). (f g)(x) = f(x) g(x)

c). (f g)(x) = f(x) . g(x) d). 0)(,)(

)()( =

xg

xg

xfx

g

f

jika daerah asal fungsi hasil operasi aljabar ini ditentukan setelah aturan operasinya maka

a). Df + g= Df Dg b). Df g = DfDg

c). Df . g = Df Dg d). gfD = Df Dg { x R : g(x) = 0 }

Tampak bahwaDf + g=Df g=Df . g ; tetapi tidak sama dengang

fD

62


29/67


Contoh :

Diberikan1

)(+

=x

xxf dan

x

xxg

=

1)( ; Tentukan aturan fungsi f + g ; f g ; g f ; f . g ; g

f

;f

gdan tentukan daerah defenisinya masing-masing.

Solusi :

a). Jumlah darifdangadalah

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

=x

x

x

x +

+1

1=

)1(

1

)1(

1)(1(2

+=

+++

xxxx

xxx

daerah defenisinya adalah

Df + g= Df Dg = R {-1} R {0} = R {-1,0}Jadi daerah asal darif + gadalah semua bilangan real kecuali -1 dan 0b). Selisih darifdangadalah

(f g)(x) = f(x) g(x)

=)1(

12

)1(

)1)(1(1

1

22

=++

=

+ xx

x

xx

xxx

x

x

x

x

daerah defenisinya (daerah asal) adalah :

Df g= Df Dg= R {-1} R {0} = R {-1,0}Sedangkan

(g f)(x) = g(x) f(x) =)1(

21

)1(

)1)(1(

1

1 22

+

=++

=+

xx

x

xx

xxx

x

x

x

x

Daerah defenisi (daerah asal) adalah

Dg f = DgDf = R {-1,0}

c) Hasil kali dari fungsi f dan g adalah( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

{ }0,1

1

1

1

11.

1..

==+

=+

=

+

==

RDDDdan

x

x

xx

xx

x

x

x

xxgxfxgf

gffg

d). Hasil bagi darifdangadalah

( )( )

( )

( ){ } { } { }

{ }0,1

00,10;

,11

.11

12

2

= ===

=

+=

+==

R

RxgRxDDDdengan

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xg

xfx

g

f

gfgf

Sedangkan

63


30/67


( )( )( )

( ){ }

{ } { } { }0,110,1

0:

111

1

1

2

2

==

==

=

+

=

+

==

RR

xfRxDDDdengan

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xf

xgx

f

g

fgfg

Soal Diskusi Kelas

( ) ( )

( ) ( )

gmagmaasanyadaerahsertaf

gdan

g

fgffggfTentukan

xxgdan

x

xxfJikab

xxgdanxxfJikaa

sinsin;;;

1

1).

13).

+

=

=

+==

Soal Latihan

1. Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan fungsigenap dan bukan fungsi ganjil.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 1).

22).13).132).

1

1).).75).

6

2724

2

23

=

++=+=+=

+

=+

==

ttfc

xxxfgttfexxxfb

x

xxff

tt

tttfdxxxfa

2. a. Jika f fungsi ganjil dan g fungsi ganjil

Tunjukkan bahwaf+g danf gjuga fungsi ganjil

b. Jika f fungsi genap dangfungsi genapTunjukkan bahwaf + g , f.gdanf/gjuga fungsi genap

c. Jika f fungsi genap dangfungsi ganjil

Tunjukkan bahwafgadalah fungsi ganjil.3. Tentukan aturan fungsi f + g ; f g dan f/g dari fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan

pula daerah asal dari hasil operasinya.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )x

xxg

x

xxfe

xxgxxfdxxgxxfc

xxgxxfbxxgxxfa

1;

1).

1;2).1;1).

1;).1;5).

2

22

=+=

====

+====

64


31/67


FUNGSI-FUNGSI KHUSUS1 FUNGSI POLINOM (FUNGSI SUKU BANYAK)

Fungsifyang didefenisikan sebagai

( ) nnxaxaxaaxf ++++= 2

210

dengan n bilangan bulat non negative dan a0 , a1 , ....., an adalah konstanta real,

dinamakan fungsi polinom (fungsi suku banyak).

jika ,0na maka derajat fungsi polinom tersebut adalah n. jika n = 0, maka diperoleh ( ) 0axf = untuk semua x, maka fungsi polinom tersebut

adalah fungsi konstan. Jadi suatu fungsi konstan yang nilainya tidak nol dianggap sebagai

suatu fungsi polinom yang derajatnya nol

jika 00 =a dan n = 0, maka derajat fungsi polinom tidak terdefenisi. Fungsi polinomtanpa derajat ini disebut fungsi nol oleh karena nilainya ( ) 0=xf untuk semuax

Fungsi linier adalah fungsi polinom berderajat 1, yang dapat dituliskan dalam bentuk

( )( ) 0,tan,

10

+= += adantakonsadalahbdanadenganbaxxfatauxaaxf

Grafiknya merupakan garis lurus dengan tanjakan a dan memotong sumbu y dititik (0,b).

(gambar 2.34)

Jika a = 1 dan b = 0 diperoleh ( ) xxf = yang dinamakan fungsi kesatuan.

Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat 2 yang dapat dituliskan dalam bentuk( )

( ) 0tan,,2

2210

++=

++=

adantakonsadalahcbadengancbxaxxf

atauxaxaaxf

Grafiknya adalah suatu parabola yang simetri dengan garis vertikal

a

bx

2

= , dan

mempunyai titik puncak di

a

D

a

b

4,

2dimana acbD 42 =

Grafik ini terbuka keatas bila a > 0 dan terbuka kebawah bila a < 0 (gambar 2.35).

Gambar 2.34.a Gambar 2.34.b Gambar 2.34.c

Grafik Fungsi Konstan Grafik Fungsi Kesatuan Grafik Fungsi Linier

y

0 x

f(x) = 3

y

0 x

f(x) = x

y

0 x

f(x) = ax + b3

65


32/67


Gambar 2.35

Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat dapat terjadi dalam beberapa kasus yaitu : memotong sumbu x didua titik;menyinggung sumbux (memotong sumbux di satu titik) dan tidak memotong sumbu x. kasus ini

digambarkan sebagai berikut :

( )

acbD

cbxaxxf

42

2

=

++=

Gambar 2.36

Contoh

1. Misalkan C1 , C2 , C3 , berturut-turut grafik fungsi kuadrat

( ) ( ) ( ) 2222

13, xxfdanxxfxxf === , lihat gambar 2.37

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Gambar 2.37

y

0 x

f(x) =ax2 +bx+c

a > 0x = -b/a

y

0 x

f(x) =ax2 +bx+c

a < 0

x = -b/a

a > 0

D > 0

a > 0

D = 0

a > 0

D < 0

a < 0

D > 0 a < 0

D = 0 a < 0

D < 0

Sumbu x

C1C2 C3

66


33/67


Perhatikan bahwa grafikC2lebih ramping dari grafikC1, sedangkan grafikC3 lebih lebar dari C1.2. Misalkan C1, C2 , C3 , C4 dan C5 berturut-turut grafik dari fungsi kuadrat berikut :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22222 14;3;3; xxfdanxxfxxfxxfxxf ==+=+== lihat gambar 2.38

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

Perhatikan gambar 2.38

Grafik C2 diperoleh dengan menggeser C1 sejauh 3 satuan diatas titik asal (0,0). Grafik C3dipeorleh dengan menggeser C1 sejauh 3 satuan kesebelah kiri titik asal. Grafik C4 diperolehdengan menggeserC1 sejauh 4 satuan disebelah kanan titik asal dan 1 satuan dibawah sumbu x.

Sedangkan grafikC5adalah cerminan C1 terhadap sumbux.

Fungsi Kubik (Fungsi Pangkat Tiga) adalah fungsi polinom berderajat 3 yang dapatdituliskan dalam bentuk

( )( ) .0tan,,,,23

33

2210

+++=+++=

adantakonsdcbadcxbxaxxf

atauxaxaxaaxf

Grafik fungsi kubik ini selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik.

Untuk kasus a > 0, grafiknya selalu naik atau mempunyai dua titik puncak (gambar 2.39a).Untuk kasus a < 0, grafiknya selalu turun atau mempunyai dua titik puncak (gambar 2.39.b).

Gambar 2.39.a Gambar 2.39.b

Gambar 2.38

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

y = ax3

a > 0

-2 0

-1 0

0

1 0

2 0

-3-2-10123

y = ax3

a < 0

y = ax3+bx2+cx+d

a > 0

y = ax3+bx2+cx+d

a < 0

C3

C2

C1

C5

C4

67


34/67


2. FUNGSI RASIONAL adalah suatu fungsi yang dapat dituliskan sebagai hasil bagi duafungsi polinom, yaitu :

( )m

m

nn

xbxbxbb

xaxaxaaxf

++++++++

=

2210

2210

Untuk semuax yang membuat penyebut tidak nol

Contoh

53

10

2+

+=

xx

xxf adalah fungsi rasional

3. FUNGSI IRRASIONAL, adalah fungsi aljabar yang tidak rasional yaitu mengandung fakctorpenarikan akar.

Contoh

( ) ( ) 6;1

12; 2

2

3 32 +

=+= xx

x

xxgxxxxf

semuanya adalah fungsi irrasional.

Perhatikan pula grafik fungsi irrasional berikut :

gambar 2.40

Perhatikan gambar 2.40 bahwa grafikC2 diperoleh dengan menggeser grafikC1sejauh 1 satuandisebelah kiri sumbu y. Grafik C3 diperoleh dengan menggeser C1 sejauh 1 satuan disebelah

kanan sumbuy.

2.4. Fungsi Nilai Mutlak

Domain : R, himpunan bilangan real

Range : Bilangan real non negatif

Lambang : x

Defenisi : ( )


35/67


Gambar 2.41

Fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak dapat dituliskan sebagai fungsi dengan banyakaturan.

Contoh :

1. fungsi ( ) 2= xxf dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan yaitu :

( )


36/67


( )


37/67


[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )[ ] ( )

[ ] ( ) 33433

2232211211

00100

11011

22122

==


38/67


[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( ) 2221

1122

111

00202

10

1122

101

22212

12

===

==


39/67


c). ( ) 22,2 = xxxfMenurut defenisi bilangan bulat terbesar

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

( ) [ ]

==


40/67


Soal LatihanGambarkan grafik fungsi berikut:

1. ( ) xxf 2= 11. ( ) [ ] 22; = xxxf

2. ( ) 3+= xxf 12. ( ) [ ] 22; += xxxxf

3. ( ) 1= xxxf 13. ( ) [ ] 22; = xxxxf

4. ( ) xxxf2= 14. ( ) [ ] 22;12 += xxxxf

5. ( ) ( ) xxxfdanx

xxf == 15. ( ) [ ] xxxf =

6. ( ) xxf sin= 16. ( ) [ ]( )

x

xxfdan

x

xxf ==

7. ( ) xxf sin= 17. ( ) [ ]xxxf +=

8.


41/67


Daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi g o f masing-masing adalah :

Dgf = {xA | f(x) B}={x Df |f(x) Dg}, danRgf = {yC| y = g(t), tRf}Dalam hal ini Dg o f adalah himpunan bagian dari Df. Selanjutnya, fungsi komposisi f o g

dirancang serupa, dengan f dan g saling bertukar peran.Misalnya Rg Df , maka fungsi komposisi dari f dan g (g dilanjutkan f) ditulis f o g danaturannya ditentukan oleh

( f o g ) (x) = f ( g(x) )Daerah asal dan derah hasil fungsi komposisi f o g masing-masing adalah

Df o g = { x Dg | g(x) Df } danRf o g = { y Rf | y = f(t), t Rg }Dalam hal ini Df o g adalah himpunan bagian dari Dg.

Catatan :

f o g g o f

Contoh1:Tentukan fungsi komposisi fg; gf dan tentukan pula daerah definisi fungsi komposisinya darifungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = x ; g(x) = 2x + 1

b. f(x) = x2 ; g(x) =4

42 xx

c. f(x) = 4x ; g(x) = 2xPenyelesaian:

a. f(x) = x ; g(x) = 2x + 1

(i) menentukan fg:Rg Df = (-, +) [0, +) = [0, +) , ini berarti menjamin adanya fungsikomposisi fgdengan persamaan :(fg)(x) = f(g(x)) =f(2x +1) = 12 +x dan daerah definisinya adalah :Dfg ={x Dg| g(x) Df }= {xR| 2x+1 [0,}= {xR| 2x+1 0} = [- , ).

(ii) menentukan gf:Rf Dg = [0, +) (-, +) = [0, +) , ini berarti menjamin adanya fungsikomposisi gfdengan persamaan :(gf)(x) = g(f(x)) = 12)( += xxg dan daerah definisinya adalah :

Dgf = {xDf| f(x) Dg } = {x [o,)| )},(- x

= {x [o,)| - < x < }= {x [o,)| 0 < x < } = [0, )

b. f(x) = x2 ; g(x) =4

42 xx

(lakukan penyelidikan seperti soal (a) dan diskusikan)

(i) menentukan (fg)(x)

75


42/67


(f o g)(x) = f(g(x)) =

4

42x

xf =

4

42

2x

x=

4

22

4

8

22 =

x

x

x

x

dan daerah definisinya: Dfg = {x| x > 2} = (2,+).

(ii) menentukan (gf)(x) = g(f(x)) = xg 2 =2

2242

24= xx

xx dan daerah definisinya:

Dgf = (0,2) (2,+)

c. f(x) = 4x ; g(x) = x2 ; ingat :


43/67


G(x) = (fgh)(x) = f(g(h(x))) dengan h(x) = cos x; g(x) = 1-x; f(x )= xPerhatikan cara pengerjaannya cukup sederhana :

Misalkan cos x = h ; 1 cos x = 1- h = g dan g= fsehingga

G(x) = f(g(h(x))) = (fgh)(x)

G(x) = f(g(h(x)) = f(g(cos x)) = f(1-cos x) = xcos1c. H(x) = ln(sin(1/x)) dapat ditulis dalam dua komposisi fungsi (fg)(x) = f(g(x)) dengan

f(x) = ln x dan g(x) = sin(1/x), dan dapat pula ditulis dalam 3 komposisi fungsi : (fgh)(x)= f(g(h(x))) dengan h(x) = ln x; g(x) = sin x dan f(x) = 1/x.

Contoh 3

Tentukan aturan fungsi f(x) jika diketahui (g o f)(x) = 8x2

+ 2x + 1 dang(x) = 2x + 1Solusi

g(x) = 2x + 1 (g o f)(x) = g(f(x)) = 2. f(x) + 1 ..(1)(g o f)(x) = 8x2 + 2x + 1

g(f(x)) = 8x2 + 2x + 1 (2)dari (1) dan (2) diperoleh :

2. f(x) + 1 = 8x2 + 2x + 1

2f(x) = 8x2 + 2x

f(x) =2

2x8x2 +

f(x) = 4x2 + x

Contoh 4

Jikaf(x) = 1 x dang(x) =2

2

+

x

x, tentukan fungsi komposisi

x

gf1

Solusi

G(x) =2

2

+

x

x

x

x

x

x

xg

21

21

21

21

1

+

=+

=

, maka

xgf

1= x

xx

x

x

x

xf 21

)21()21(

21

21121

21

++

=+

= +

x

gf1

=x

x

21

4

+

Contoh 5

JikaF(x) = 9 x2 dan G(y) = 0,3

>yy

x Cos x1 - Cos

x

co1h g f

77


44/67


Tentukan fungsi komposisi (G o F)(t)

Solusi

(G o F)(t) = G(F(t))

= G(9 t2)

=29

3t

, dengan 9 t2 > 0

Diskusi kelas (Mahasiswa dan Dosen)

1. Diketahui (f o g)(x) =3

1

x

xdang(x) = x 2

Tentukan :

a. Aturan fungsi f(x)

b. Syarat yang menjamin eksistensi fungsi komposisi (f o g)(x)c. Domain fungsi komposisiDf o g

d. ( )( ) )()( 111 xgofdanxogf

2. Jikaf(x) = 3x + p2 dang(x) 6x

Tentukan nilaip agarf(x) =

+

2

3xg

2.6.2 FUNGSI INVERS (FUNGSI BALIKAN)

Perhatikan kembali definisi fungsi satu-satu pada pembahasan terdahulu. Jika f : A Bsuatu fungsi dari A ke B. fdikatakan fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk setiap dua

elemenx1, x2 A , x1 x2mengakibatkanf(x1) f( x2). Dengan kata lain f dikatakan fungsi satu-satu jika hanya jika tidak terdapat dua elemen berlainan dalam daerah asal yang memiliki

pemadanan (peta) yang sama dalam daerah nilai.Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dapat diperiksa dengan menarik garis mendatar

sejajar sumbux. Setiap garis mendatary = k , k Rf, hanya memotong grafik fungsi di satu titik.Fungsifbersifat satu-satu (one-to-one function) menjamin adanya fungsi invers (fungsi balikan )

f1.

Definisi 2.3.2.1:

Jika ffungsi satu-satu dengan persamaan y = f(x), maka fungsi f1yang didefinisikan oleh x= f1(y) dinamakan fungsi invers (balikan) dari f. Daerah asal f1adalah daerah nilai f dan

daerah nilai f1adalah daerah asalf

yf(x)

x

y = f(x)

A Bf

yxf-1(y)

x = f-1 (y)

AB

f-1

Gambar 22

78


45/67


Teorema 1:

Sebuah fungsi dari A ke B mempunyai fungsi inversf1dari B ke A jika dan hanya jika f

adalah fungsi monoton (naik atau turun)

Teorema 2:Misalkan f fungsi satu-satu dengan fungsi balikan f1 , maka f1 adalah fungsi satu-satu

dengan fungsi balikanf.

Jadi :

f1 (f(x)) = x , x Df dan f(f1(y)) = y , y 1fD

Grafik fungsi f dan grafik fungsi f1simetri terhadap garisy = x (fungsi kesatuan).

fmemetakan unsurx ke unsuryf1memetakan unsury ke unsurx atau y=f(x)f1(y) = x.Ini menunjukkan bahwa koordinat titik(x,y)grafik fungsi fkoordinat titik(y,x) grafikfungsi f1 .

Contoh 1:

Tentukan fungsi balikan dari fungsi-fungsi berikut:1. f(x) = ax + b, a,b bilangan konstan , a 0

2. f(x) = 22

4

+

x;x

x

3. f(x) = x2 + 2x 3, x -14. f(x) = 3 1+x5. f(x) = x + 2; x>0 dan g(x) = 15/x ; x>0, tentukan nilaix yang memenuhi (f--1g-1)(x) = 1

Penyelesaian:

1. f(x) = ax + b, atau

y = ax + b y b = ax x =a

by

Jadi

x = f1(y) = 0

a;a

by

Jadi f(x) = ax + b mempunyai fungsi invers :

x = f1(y) = 0

a;a

by

jikay diganti denganx, maka dapat kita tuliskan

f1(x) = 0

a;

a

bxjadi f(x) = ax+bf-1(x)= 0,

a

a

bx

Penggantian variabel y dengan x dimaksudkan agar grafik fungsi f dan f 1 dapat

digambarkan pada sistem sumbu yang sama.

2. f(x) = 22

4

+

x;x

xmaka

y = 22

4

+

x;x

xadalah fungsi satu-satu.

y(x 2) = x + 4

79


46/67


yx 2y = x + 4yx x = 2y + 4x(y 1) = 2y + 4

x =( )

1

42

1

42 1

+==

+ y

yyfx

y

y

jika variabely diganti denganx diperoleh :

( ) 1;1

421 +

= xx

xxf

jadi :

f(x) = 22

4

+

x;x

xf-1(x) = 1,

1

42

xx

x

3. f(x) = x2 + 2x 3 ; x -1; f(x)bersifat satu-satu untuk x -1

tuliskan y = x2 + 2x 3 y = x2 + 2x + (1-1) 3

y = x2 + 2x +1 4 y = (x + 1)2 4 y + 4 = (x+1)2

x + 1 = 4+y maka x = 4+y - 1

sehingga ( ) 141 += yyf atau dengan mengganti variabel y dengan x diperoleh: fungsi

balikan dari fadalah: ( ) 141 += xxf

Jadi f(x) = x2 + 2x 3 ; untuk x -1 maka fungsi inversnya adalah: ( ) 141 += xxf

untuk x -4

Catatan:

Untuk membuktikan kebenarannya dapat diuji dengan rumus f1(f(x)) = x.

Jadi

f1(f(x)) = f1(x2 + 2x 3)

= 111432 22 +=++ )x(xx =x + 1 1 = x

Grafik f dan f -1 ditunjukkan pada

gambar 23. Grafik f dan f -1 simetri

terhadap garis y = x. Dengan kata

lain grafik f-1 adalah cerminan dari

grafik f terhadap cermin y = x.1

-1-3

-3

1

-2

y = x

f1(x)

f(x)=x2+2x-3

Gambar 23

x

y

0

-4

80


47/67


4. f(x) = 3 1+x atau y = ( ) 31

1+x adalah fungsi satu-satu y3 = x + 1 maka x = y3 1

atau f1(y) = y3 1 ,jika y diganti denganx diperoleh:

f1(x) = x3 1jadi f(x) = 1)(1 313 =+ xxfx

uji kebenaran hasil yang diperoleh :

f1(f(x)) = f1(3 1+x ) = ( ) 113

3

1

+x = x + 1 1 = x (benar)

5. f(x) = x + 2, untukx > 0 dan g(x) = 15/x , untuk x > 0, diperoleh

f1(x) = x - 2 dan g1(x) = 15/x.Diketahui bahwa

(f-1g1)(x) = 1 f-1(g-1(x))=1 f1(15/x) = 1 (15/x) 2 = 1 15/x = 3 maka x = 5.

Beberapa rumus praktis untuk menghitung fungsi invers:

1. Jika f(x) = ax + b , a0 maka 0;)(1

= aa

bxxf

2. Jikadcx

baxxf

++

=)( makaacx

bdxxf

+

= )(1

3. Jika f(x) = ax2 + bx + c; a0 makaa

xcabbxf2

)(4)(

2

1 =

4. Jika (fg)(x) adalah fungsi komposisi maka inversnya:(fg) -1 (x) = (g-1f1)(x)

5. (f-1g1)(x) = f1( g1)(x))

1-1-2

-2

1

-1

y = x

f1(x)

f(x)=

Gambar 24

x

y

0

Grafikfdanf-1 ditunjukkan dalamgambar 24

81


48/67


2.7 Fungsi Transenden

Fungsi yang dibahas pada uraian terdahulu adalah fungsi-fungsi Aljabar. Selanjutnya, fungsi

yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden, meliputi fungsi trigonometri dan inversnya,

fungsi logaritma dan inversnya.

2.7.1. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERSNYA

Perhatikan suatu titikP(x,y) pada sistem koordinat kartesian, ditransformasi menjadi titikP(u,v)pada sistem koordinat kutub (polar), maka diperoleh hubungan persamaan:

sin x = xrvr

vsin=

cos x = xrur

ucos= ;

r = jari-jari lingkaran kutub yang berpusat di titik asal OApabila dipilih sebuah lingkaran satuan (r=1), diperoleh hubungan :

sin x = v ; tan x =u

v

x

x=

cos

sin; secx =

ux

1

cos

1 =

cos x = u ; cot x =v

u

x

x=

sin

cos; cosec x =

vx

1

sin

1=

Pilih sudut = x, P disebut titik tunggal pada lingkaran satuan dengan pusat O. Perhatikanbahwa titikP(u,v) pada lingkaran satuan di atas berpadanan dengan bilangan x, tetapi juga

berpadanan dengan tiap bilangan (x+k.2) dengan kbilangan bulat sembarang sehingga berlaku :v = sin x = sin(x+2k)u = cos x = cos(x+2k) ; k = 0,1, 2,

Ini berarti nilai-nilai fungsi trigonometri berulang dalam selang-selang kelipatan 2. Oleh karenaitu fungsi trigonometri disebut periodik. Suatu fungsi f disebut periodik jika terdapat suatubilangan positifp sedemikian sehingga:

f(x+p) = f(x), untuk setiap x Df

X

Y

x

y P(x,y)

u

v

u-1

P(u,v)=P(cos x,sin x)

1

vr =1

x

0

Lingkaran satuan

Gambar 25

Koordinat Kutub

Koordinat Kartesian

82


49/67


bilangan positifp terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periodik fungsi. Fungsi

Sinus, Cosinus, Secan, Cosecan mempunyai periode 2. Fungsi tangen dan cotangenmempunyai perioda .

2.7.1.1 Ukuran Sudut dan Ukuran Radian

= 1800 maka 10 = radian180

jadi x0 = radian

.x

180

Ukuran sudut dalam derajat dan radian serta nilai-nilai fungsinya yang sering digunakan

disajikan dalam tabel berikut:

Ukuran sudut

xdalam Nilai Fungsi

DeraRadian sin x= v

cos x=utan x=

u

vcot x=

v

u sec x=cscx=

v

1

00 0 0 1 0 1 300

6

21

23

33 3

332 2

450

4

22

22 1 1 2 2

600

3

23

21 3

33 2

332

900

2 1 0 0 1

1200

32 23 21 3 33-2

332

1350

43

22

22 -1 -1 2 2

1500

65

21

23

33 3

332 2

1800 0 -1 0 - -1 2700

23 -1 0 - 0 -1

3600 2 0 1 0 1 Perhatikan pula segitiga siku-siku ABC siku siku di B

m

sxec

s

mx

h

sx

s

hx

m

sx

m

hx

==

==

==

cos;sec

cot;tan

cos;sin

A

C

B

h

s

m

x0

(i)

83


50/67


Perhatikan : Ani (murid SMP) punya cara tersendiri menghitung nilai sinus dan cosinus untuk

sudut-sudut istimewa 00, 300, 450, 600, 900 dengan menggunakan tangan kanan.

sin 00 = 02

1= 0 sin 450 = 2

2

1sin 900 = 4

2

1= 1

sin 300 =211

21 = sin 600 = 3

21

cos 00 = 42

1= 1 cos 300 = 3

2

1cos 450 = 2

2

1

cos 600 =2

11

2

1= cos 900 = 0

2

1

2.7.1.2 Rumus-Rumus Kesamaan Trigonometri:

1. sin(-x) = - sin(x)2. cos(-x) = cos(x)

3. tan(-x) = -tan(x)4. sin(x

2

) = cos(x)

5. cos(x 2

) = cos(x)

6. tan(x 2

) = cot(x)

7. sin2x + cos2x = 1

8. 1 + tan2x = sec2x

3

P

R

Q

1

3

2

6

(ii)

2

1

0o

30o45o

60o

90o

4321

0Sin x

2

1

0o30o

45o

60o

90o

4 32

10

Cos x

Perhatikan segitiga PQR siku-siku di Q. Misalkan sudut P = 6

Maka sudut R = 3 . Maka perbandingan panjang sisi-sisinya

adalah QR : RP : PQ = 1 : 2 : 3berdasarkan hal ini diperoleh

33

tan;2

1

3cos;3

2

1

3sin

3

16

tan;32

16

cos;2

16

sin

===

===

84


51/67


9. 1 + cot2x = cosec2x10. sin2x = 2 sin x cos x

11. cos2x = cos2x sin2x = 2cos2x - 1 = 1 2sin2x

12. sin2(

2

x ) =

2

1(1 - cos x)

13. cos2( 2x ) =

2

1(1+ cosx)

14. sin (x y) = sin x cos y sin y cos x15. cos (x y) = cos x cos y sin y sin x

16. tan(x y) =yx

yx

tantan1

tantan

17. sin x + sin y = 2 sin(2

yx +)cos(

2

yx )

18. cos x + cos y = 2 cos( 2

yx +

)cos( 2

yx

)

Grafik Fungsi Trigonometri:

1. Grafik y = sin x dany = cos x

2. Grafik y = tan x

0

-1

1

/23/2

-/2--3/2 Gambar 28

0

-1

1

cos x sin x

/2

3/2 2-/2--

3/2-2

Gambar 27

y

85


52/67


3. Grafik y = cot x

4. Grafiky = Sec x

5. Grafik cosec x

0

-1

1

/23/2

-/2-

Gambar 29

0

-1

1

/23/2

-/2--3/2

sec x -1 sec x1

Gambar 30

0

-1

1

/2 3/2-/2--3/2

cosec x -1 secx1

Gambar 3186


53/67


Contoh 1:

Tentukan perioda kemudian gambar grafik dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = 3 sin (1/2)x

b. g(x) = sin 2x

c. h(x) = x2sin

Penyelesaian:

a. f(x) = 3 sin (1/2)x; karena sin x mempunyai perioda 2, berarti sin(1/2)x mempunyaiperioda 4, berarti f(x) = 3sin(1/2)x berperioda 4

f(x) memotong sumbux jika 3 sin(1/2)x = 0, yaitu untukx = 0, 2, 4, 6,f(x) mencapai maksimum 3 bilax = 4k, k = 0, 1, 2, f(x) mencapai minimum -3 bilax = - 4k, k = 0, 1, 2,

Gambar Grafik sebagai berikut:

b. f(x) = sin 2x; karena sin x mempunyai perioda 2, berarti sin 2x mempunyai perioda .g(x) memotong sumbux jika sin 2x = 0, yaitu untukx = 0, /2, , 3/2,g(x) mencapai maksimum 1 bilax = /4 k, k = 0, 1, 2, g(x) mencapai minimum -1 bilax = -/4 k, k = 0, 1, 2,

Gambar Grafik sebagai berikut:

c. h(x) = x2sin , h(x) selalu non negatif yaitu x2sin 0 sin 2x 0 sin 2x


54/67


Jadi

h(x) = x2sin

=

=+


55/67


Karena fungsi sinus kontinu dan monoton naik pada selang tutup [-/2,/2], maka fungsi inverssinus juga kontinu dan monoton naik pada selang tertutup [-1,1]. Perhatikan grafik berikut:

Perhatikan kedua grafik di atas :1. Domain fungsi sinus merupakan range fungsi invers sinus demikian pula sebaliknya.

2. Grafikarcsin x dan sin x merupakan pencerminan terhadap garisy = x

Dengan metode yang serupa di atas kita dapat menentukan fungsi invers kosinus. Fungsi invers

kosinus kontinu dan monoton turun pada selang tertutup [0,], maka ia mempunyai invers yaitu

Arkus Cosinus yang disebut fungsi invers kosinus. Jadiy = cos x x = arccos y yang dinotasikan f1(x) = arccos x yang merupakan

fungsi invers kosinus.

Daerah definisi fungsi invers cosinus adalah [-1,1] dan daerah hasilnya (Range) adalah [0,],gambar grafik sebagai berikut:

x

-1

1

y

/20

y =cos x

Df

= [0,]

Rf

= [-1,1]

x

/2

y =arccos x

-1 1

y

0

Df

1 =[-1,1]

Rf

-1 = [0,]Gambar 36

/2-/2

-1

1

y

x

y =sin x

y = x

/2

/2

-11

y

x

y =sin-1 x

Df

= [-/2,/2]

Rf

= [-1,1]

Df

1 =[-1,1]

Rf

-1 = [-/2,/2]

Gambar 35

y = x

89


56/67


Grafik f dan f-1 simetri terhadap garis y = x. Perhatikan bila kedua grafik di atas di gambardalam satu sumbu sebagai berikut:

Fungsi Invers Tangen

f(x) = tg x ; x (-/2, /2) f-1(x) = arctg x ; x(-,+)(invers fungsi tangen)

Fungsi Invers Cotangen

f(x) = ctg x ; x (0, ) f-1(x) = arcctg x ; x(-,+)(invers fungsi cotangen)

x

/2f-1(x)= arctg x

y

0

-/2

Df -1

= (-, +)

Rf

= (-/2, /2)

y

x

/2

y =arccos x

-1 10 /2

y = x

y = cosx

-1Gambar 37

x/2

f(x) = tg x

y

0

-

/2

Df

= (-/2, /2)

Rf = (-, ) Gambar 38

90


57/67


Fungsi Invers Secan

f(x) = sec x ; x [0, /2) (/2,] f-1(x) = arcsec x ; x(-,-1][1,+)(invers fungsi secan)

Fungsi Invers Cosecan

f(x) = cosec x ; x [-/2,0)(0,/2] f-1(x) = arccosec x ; x(-,-1][1,+)(invers fungsi cosecan)

x

f(x)= ctg x

y

0 /2

Df

= (0, )

Rf

= (-,

+)

x

f-1(x) = arcctg x

y

0

/2

Df -1

= (-, +)

Rf

= (0, )

Gambar 39

x

f-1(x) = arcsec x

y

0

/2

Df-1 = (-,-1] [1,+)

Rf -1 = (0, )

1 2 3-1-2-3

Gambar 40

91


58/67


Contoh 2:

Diketahui xxfy 21sin3)( == , tentukanlah:

a. Periode fungsi f

b. Pilih sebuah selang dimana f(x) kontinu dan monoton turun, kemudian tentukan fungsiinversnya dan gambar grafiknya.

Penyelesaian:

a. Karena sin x mempunyai periode 2, maka x21sin mempunyai periode 4 berarti

xxf21sin3)( = mempunyai periode 4.

b. Kita pilih sebuah selang [

,3

] dimana f(x) kontinu dan monoton turun, maka f(x)

mempunyai invers f1yang dapat dihitung sebagai berikut:

xy21sin3= maka

)3

arcsin(2)3

arcsin(2

1sin

321

yx

yxx

y===

Jadi x =f1(y) = 2 arcsin )3

(y

atau dengan menggantiy denganx maka diperoleh:

f1(x) = 2 arcsin )3

(x

grafiknya adalah:

f

-1

(x) = arccosec x

y

-

/2

Df-1 = (-,-1] [1,+)

Rf

-1= (0, )

x0 1 2 3-1-2-3

Gambar 41

x

3 f1(x)= 2 arcsin(x/3)

y

0

2

3-3

x3

f(x) = 3 sin(1/2x)y

0 2

3

-3

Gambar 42

Df= [ , 3]

Rf= [-3,3]

= [ , 3]= [-3,3]

92


59/67


2.7.2. FUNGSI LOGARITMA DAN FUNGSI EKSPONEN

2.7.2.1 FUNGSI LOGARITMA ASLI

Logaritma basis a dari suatu bilanganx ditulisa

log x atau logax a>0, a 1Logaritma basis 10 ( a = 10) dari suatu bilangan x ditulis log x, disebut logaritma biasa. (basis10 tidak ditulis)

Logaritma basis e ( e 2,71828) dari suatu bilanganx ditulis ln x, disebut logaritma asli.Sekarang kita bicarakan fungsi logaritma asli.

Definisi:

Fungsi logaritna asli didefinisikan sebagai:

ln x = 0;1

1

> xdttx

daerah definisi adalah semua bilangan riil positif. Karena 01

>t , t> 0 maka:

=10

101

lnxuntuknegatifbernilai

xuntukbernilaixuntukpositifbernilai

x

grafik y = lnx memotong sumbux hanya dititik (1,0), disebelah kanan titik (1,0), grafiknya

berada di atas sumbu x dan disebelah kiri titik (1,0), grafiknya berada dibawah sumbu x.

Lengkungan grafiknya kontinu, monoton naik dan cekung ke bawah.

Sifat-Sifat Logaritma Asli

Misalkan a dan b bilangan positif dan n bilangan rasional sembarang maka berlaku:

y = lnx

y

x

(1,0)

2 3 4

1

2

Df= (0,)

Rf

= (-,+)

Gambar 43

0

93


60/67


1. ln 1 = 0 ; karena ln 1 = 01

1

1

= dtt2. ln ab = ln a + ln b

3.

b

aln = ln a - ln b

4. ln an = n ln a

Contoh 1:

Diketahui nilai hampiran ln 3 1,0986, gunakan hasil ini untuk menentukan nilai:a. ln 9b. ln 27

c. ln3

1

d. ln 9

1

Penyelesaian:

ln 3 = dtt

3

1

1 1,0986, maka:

a. ln 9 = ln 32 = 2 ln 3 = 2 (1,0986) 2,1972b. ln 27 = ln 33 = 3 ln 3 = 3 (1,0986) 3,2958

c. ln3

1= ln 3 -1 = -1 ln 3 = -1 (1,0986) -1,0986

d. ln 9

1

= ln 3-2

= -2 ln 3 = -2 (1,0986) -2,1972

Definisi:

(i.) Persamaan lnx = 1 mempunyai solusi tunggal yang dinyatakan oleh e, yaitu:

ln e = 1

e = 2,71828182845 (nilai hampiran)

e disebut bilanganEuler (Leonard Euler)

(ii.) Jika x bilangan riil maka exbilangan tunggal yang memenuhi : ln ex = x, x

Contoh 2:

Gunakan sifat-sifat logaritma asli untuk menyederhanakan fungsi: 542ln)(

xxxf =

Penyelesaian:

( )44

51

45

4ln)2ln(

5

12ln

5

12ln

2ln xx

x

x

x

x

x

x=

=

=

xx ln5

4)2ln(

5

1=

94


61/67


2.7.2.2 FUNGSI LOGARITMA DENGAN BASIS BUKAN e

Fungsi logaritma dengan basis a ditulis:

y = f(x) = alogx atau y = alogx dengan a > 0 dan a 1

Pada pembahasan lebih lanjut akan ditunjukkan bahwa :y = alogx y = ax

Sifat-Sifat

Misalkanx dany bilangan positif dan n bilangan rasional sembarang maka berlaku:

1. alog 1 = 0

2. alogxy = alogx + alogy

3. alogy

x= alogx - alogy

4. alogxn = n alogx

5. alogx = 1,0;1,0;ln

ln

log

log>>= ppaa

a

x

a

xp

p

2.7.2.3. FUNGSI EKSPONEN

Definisi:

Fungsi eksponen didefinisikan sebagai :

f(x) = ex atau y = ex, x dengan domain (-,+) dan

rangenya adalah (0,+)

Teorema:

y = ex x = lny

Bukti:

y = ex lny = ln ex = x ln e = xjadi y = ex x = lny (1)

jika x = lny ln ex = lny ex = yjadi x = lny y = ex (2)

dari (1) dan (2) diperoleh:

y = ex x = lny (terbukti)Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa :fungsi eksponen saling invers dengan fungsi logaritma

Jadi :

Jika f(x) = ln x f1(x) = ex

Jika f(x) = ex f1(x) = lnx

ln (ex) = x, untukx

1

1

0 2 3-1-2 x

yy = x

y = ln

x

y =

ex

Gambar 44

y =ex

95


62/67


elnx = x, untuk x > 0

Sifat-Sifat Eksponen

Jika a dan b bilangan riil sembarang, makaberlaku:

1. e0 = 1

2. eaeb = ea+b

3. babab

a

eeee

e ==

4. ( ) abba ee =

2.7.2.3.1 FUNGSI EKSPONEN BASIS BUKAN e

Definisi:

Jika a bilangan positif danx bilangan riil, maka fungsi f dengan persamaan:f(x) = ax atau y = ax

disebut fungsi eksponen basis a

Batasan :

y = alogx x = ay dengan a>0 , a 1, danypositif1. Jika y = alogx maka ay = x

a

alog , tetapi ay = x berarti x

a

alog =x dengan a>0

2. Jika y = lnx maka a = ey = eln a, jika keduanya dipangkatkanx diperoleh:

( ) jadieea axxax lnln == axx aa ln=

Sifat-Sifat

Jika a dan b bilangan positif dan danx, y bilangan riil, maka berlaku:1. a0 = 1

2. axay = ax+y

3. yxyxy

x

aaaa

a ==

4. ( ) xyyx aa =

5. ax

bx

= (ab)x

6.x

xa

a

=1

SOAL-SOAL LATIHAN FUNGSI TRANSENDEN

I. Trigonometri

1. Gunakan kesamaan trigonometri untuk menghitung nilai:

96


63/67


a. sin 1350 ; cos 1350 c. tg 150

b. cos 150 d.00

02020202

60cot30tan

45cos60cos45sin60sin +

2. Tentukan periode fungsi-fungsi berikut:

a. xxfxxf 22 sin)(;cos)( == b. g(x) = sin(2x+/4) c. h(x) = sin6x + cos6x

3. Tentukan periode dan gambar grafik fungsi-fungsi berikut:

a. xxf )2/1cos(3)( = c. xxh 2cos)( =

b. xxg 2cos5)( = d. xxF cos)( =4. Tentukan fungsi komposisi fgdan g f dandaerah definisi fungsi komposisinya

dari:

a. xxgdanxxf sin)()( ==

b. 3)(sin)( xxgdanxxf ==

5. Tuliskan fungsi berikut sebagai komposisi dari beberapa fungsi:

a. xxf sinlog)( =

b. 21sin)( xxf =6. Diketahui fungsi xxf )2/1cos(3)( = :

a. Tentukan periode fungsi fb. Pilih sebuah selang dimana grafik fungsi f kontinu dan monoton turun

kemudian tentukan fungsi invers f1 pada selang tersebut, dan gambarkan

grafikf dan f1pada satu sistem sumbu.7. Tentukan nilaix yang memenuhi:

a. 221)sin(arctan =x (jawab :x = 1)

b. 1)arccos(sin =x (jawab :x = /2)II. Fungsi Logaritma dan Eksponen

8. Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan bentuk-bentuk berikut:

a.

z

yx3log

b. 3log2

16log 22

c. abba log2

1loglog 2

1

2

1

+

d.9

1log

2

1log6log3log +++

e. ( )22 4ln xx

9. Hitung nilai dari:

a. 3log2

2

97


64/67


b. 5log3

27

c.12log

)4log()36log(3

2323

d.25:;

loglog)log()log(

2

++ jawabxy

yxxxy

e. abjawabba

ba:

3/2

23

1

321

10. Tentukan daerah definisi dari:

a. ( )32ln)( xxf =b. ( ) 43ln)( = xxf

c.

=3

2ln)(

x

xxf

11. Tentukan daerah definisi, kemudian gambar grafik fungsi dari:

a.

x

xgdanxxf

==

2

1)(log)( 2

1

b.xxgdanxxf 2)(log)( 2 ==

12. Tentukan fungsi komposisifg ; gf dan (f-1g)(x) jika diberikan:f(x) = 10x dan g(x) = log(x2)

13. Jika a=4log5 dan b=4log3 nyatakan 15log4 dalam bentuka dan b. (jawab

ab

ba +)

14. Jikax2

35log4 = , nyatakan 8log04,0 dalamx (jawab : x/2)

15. Jika 3log2 =x , hitung nilai dari: ( )( )

5,032

x (jawab : 1/512)

16. Tentukan nilaix yang memenuhi 53 =+yx dan x - y =1

(jawab : x = 15log2

1)5log1(

2

1 33 =+ xatau

17. Tentukan nilaix yang memenuhi f(x) = 1 jika 22

2)( = xxxf 18. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. ( ) 1log 26 + xxx ;822 12 (jawab)x>2)

III. Selesaikan soal berikut :

1. Misal A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}

98


65/67


Dimana

=

=

ganjilxuntukxy

genapxuntukxyxRy

)1(2

12

1

Pada setiap relasi R2 yang diberikan :a. Gambar grafik rekasinya.

b. Tentukan daerah defenisi dan daerah nilainya.

2. Tentukan domain dan range dari fungsi berikut 12

1+=y

3. Gambarlah grafik fungsi 522 += xxy dengan cara menggeser grafik fungsiy = x2

4. Ubahlah persamaan fungsi berikut dalam bentuk tidak mengandung nilai mutlak,

1= xy .

5. Diberikan fungsi


66/67


letter i disebut variable dummy yaitu Indeks jumlah (disingkat indeks saja). Notasi adalahletter capital yunani yaitu sigma yang berkorespondensi dengan huruf latin s. Artinya sigmauntuk jumlah. Indeks i mengambil harga-harga bilangan bulat dari yang kecil ke yang terbesar.

Perhatikan persamaan (2) jika disubtitusikan i = 0 pada a ixi , diperoleh a0x

0. Jika disubtitusikan i

= 1 pada aixi

, diperoleh aixi

= aix dan seterusnya. Jika disubtitusikan i = n pada aixi

, diperolehanxn. untuk lebih jelasnya perhatikan ekspresi berikut :

Polinom derajat 1 : P1(x) = a0 + a1x = =

1

0i

i

ixa

Polinom derajat 2 : P1(x) = a0 + a1x + a2x2 =

=

2

0i

i

ixa

Polinom derajat 2 : P1(x) = a0 + a1x + a2x2 + .+ a5x

5= =

5

0i

i

ixa

Letter yang sering digunakan selain letter kecil i juga biasa digunakan letter kecil seperti j, k, r,dan lain-lain.

Sebagai contoh :bj + bj+1 + bj+2 + ..+ bk-1 + bk

dapat ditulis secara singkat sebagai :

=

k

ji

ib

dibaca sigma dari bi,j I mulai j sampai k

indek i bisa dimulai dari sembarang bilangan yang dikehendaki, misalnya :a3 + a4 + a5 + .+ a10

dapat disingkat sebagai :

=

10

3i

ia

Perhatikan pula contoh-contoh berikut :

(i). a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12

dapat disingkat sebagai :

=

12

2

genapi

iia

(ii). =

11

1

2i

idapat disajikan sebagai :

2 + 25 + 27 + 211 = 2 + 32 + 128 + 2048 = 2210

(iii). 3

2

+ 4

2

+ 5

2

+ 6

2

+ 7

2

dapat dituliskan sebagai :

= 73

27

3

2

xi

iataui

contoh 1 :

Hitunglah :

100


67/67


a. =

7

3

2

i

i b. =

3

1

2

i

ii c.

=

+3

0

)23(k

k

Penyelesaian :

a. =7

3

2

i i = 32

+ 42

+ 52

+ 62

+ 72

= 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 135

b. =

3

1

2

i

ii = 12 + 22.2 + 32.3 = 1 + 24 + 36 = 1 + 16 + 729 = 746

c. =

+3

0

)23(k

k = (0+2) + (3+2) + (6+2) + (9+2) = 2 + 5 + 8 + 11 = 26

Sifat-sifat sigma :

(i) konstan;...1

cnccccccsukun

n

i

=++++==

(ii) == =n

ii

n

ii acca 11

(iii) ===

+=+n

i

i

n

i

i

n

i

ii baba111

)(

(iv)

=+

=+

=

==1

0

1

1

0

1

1

n

i

i

n

j

j

n

i

i aaa

(v) =====

++=++=+n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i baabaaba1

0

11

0

10

)(

Beberapa rumus-rumus sigma

1. )1(2

1

...3211 +=++++== nnnin

i

2. )12)(1(6

1...321

2222

1

2 ++=++++==

nnnnin

i

3.

2

3333

1

3 )1(2

1...321

+=++++=

=

nnnin

i

kalkulus fungsi

Documents

Transcript of kalkulus fungsi

Kalkulus - wgmworldgenerationofmath.weebly.comwgmworldgenerationofmath.weebly.com/uploads/1/0/5/3/10537527/... · Kalkulus 1 Kalkulus Topik dalam kalkulus Teorema dasar Limit fungsi

kalkulus 1

KALKULUS LANJUT - repository.ung.ac.idrepository.ung.ac.id/get/kms/14302/Resmawan-Kalkulus-Limit-dan... · lim (x,y)!(1,2) x2y +3y ... (x,y) mendekati ... 3.2 Limit Fungsi Dengan

11 Kalkulus Fungsi Dinilai Vektor

[DAC61333] KALKULUS LANJUT Turunan Fungsi Dua Variabel ...repository.ung.ac.id/get/kms/17498/resmawan-kalkulus-turunan-berarah... · 5. Turunan Berarah dan Gradien 5.1 Turunan Berarah

kalkulus 1.FUNGSI

Fungsi Transendenexpertcourse.net/assets/document/modul/Teknik/Kalkulus-1/BAB8.pdf · Fungsi Eksponen Asli •Karena maka fungsi logaritma asli monoton murni, sehingga mempunyai invers.

Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKSocw.upj.ac.id/files/Slide-CIV-101-Kalkulus-CIV-101-P3-4-5-6-7.pdf · ... (Keterdiferensiasi-an Mengimplikasikan Kekontinuan Fungsi

Kalkulus Fungsi dari R Ke R - pustaka.ut.ac.id€¦ · 1.6 Kalkulus Lanjut Gambar 1.3 1) Berikanlah dua buah contoh fungsi dari R ke R2. 2) Fungsi g:R R 2 didefinisikan oleh: t (2cost,

KALKULUS Perkenalan Apa Itu Kalkulus

KALKULUS LANJUT - repository.ung.ac.idrepository.ung.ac.id/get/kms/16986/resmawan-kalkulus-fungsi-dua... · Mata kuliah Kalkulus Lanjut berisi bahasan tentang fungsi dengan banyak

KALKULUS LANJUT - repository.ung.ac.idrepository.ung.ac.id/get/kms/14301/Resmawan-Kalkulus-Fungsi-Peubah... · KALKULUS LANJUT Turunan Fungsi Dua Variabel atau Lebih Resmawan ...

DASAR-DASAR KALKULUS kalkulus...dengan pembahasan pada limit, turunan, aplikasi turunan, integral tentu dan aplikasi integral, yang diawali dengan pembahasan bilangan real dan fungsi.

KALKULUS FRAKSIONAL RIEMANN-LIOUVILLE DAN FUNGSI ...repository.usd.ac.id/35516/2/153114007_full.pdf · viii . ABSTRAK . Kalkulus adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari konsep

Kalkulus BAB II - Fungsi

[DAC61333] KALKULUS LANJUT Turunan Fungsi Dua Variabel ...repository.ung.ac.id/get/kms/17501/Resmawan-Kalkulus-Metode-Lagrange.pdf · Pada contoh soal tentang kotak, kita ingin mencari

sk.dinamika.ac.id · Kalkulus 1 BAB 1 FUNGSI{ XE "FUNGSI" } UMUM Materi : Fungsi Sub Materi : Pengertian Fungsi Fungsi Aljabar{ XE "Aljabar" } Fungsi Trigonometri Fungsi Pangkat{

Tatap muka ke 9 : KALKULUS Diferensial Fungsi

Logika Matematika - blogs.unpas.ac.id fileAljabar Boolean Dua Nilai Sifat-Sifat Aljabar Boolean Fungsi Boolean Penyederhanaan Fungsi Boolean Kalkulus Proposisi

Belajar[Fungsi] Kalkulus