Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

21
Kalkulus I FUNGSI DAN GRAFIK Oleh Kelompok III Luh Putu Egarustari 1419151006 I Made Hendra Wirastika 1419151024 I Gusti Putu Arya Adnyana 1419151042 Michiko Pelano 1419151060 Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil Universitas Udayana

description

please love this page before u read or download this file

Transcript of Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Page 1: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Kalkulus I

FUNGSI DAN GRAFIK

Oleh

Kelompok III

Luh Putu Egarustari 1419151006

I Made Hendra Wirastika 1419151024

I Gusti Putu Arya Adnyana 1419151042

Michiko Pelano 1419151060

Fakultas Teknik

Jurusan Teknik Sipil

Universitas Udayana

2014

Page 2: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI DAN GRAFIKNYA

1.1. DEFINISI FUNGSI

Missal : ada himpunan A dan B bila setiap elemen dari A dikaitkan dengan suatu kaitan

yang khusus dengan setiap elemen di B dan kaitan tersebut mempunyai syarat atau

aturan-aturan yang khusus, maka kaitan tersebut disebut “Fungsi”

Contoh : jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan.

F: A → B

Yang artinya f memetakan A ke B.

A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil ( kodomain ) dari f.

1.2. KONSEP FUNGSI

Konsep fungsi erat kaitannya dengan relasi

Contoh soal sederhana dari konsep fungsi

Diketahui fungsi y = f(x) = 2x2+4x-1 , maka nilai x = 2 adalah ….

Cara penyelesaiannya:

Jika x = 2, maka

y = f(x) = 2x2+4x-1

y = f(2) = 2.22+4.2-1

= 8 + 8 – 1

= 15

Jadi nilai fungsi f(x) = 2x2+4x-1 ketika x bernilai 2 adalah 15.

1.3. FUNGSI dan RELASI

Relasi merupakan suatu kaitan dari unsur–unsur 2 bilangan sembarang. Pengertian relasi

adalah merupakan himpunan pasangan terurut yang merupakan himpunan bagian dari

produk kartesius antara wilayah dan kowilayah.

Page 3: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

1.4. SIMPULAN

A. Fungsi juga merupakan relasi, hanya konsep fungsi lebih sempit dibanding dengan

konsep relasi. Syarat fungsi:

a. Unsur dari A harus seluruhnya muncul dalam pasangan terurut

b. Unsur dari A tidak boleh muncul dua kali atau lebih dari satu kali dalam

pasangan terurut.

Ini merupakan salah satu contoh dari fungsi yang benar sesuai dengan aturan-aturan di

atas.

a

b

1

2

3

a

b

C

d

1

2

3

4

A Ba mempunyai

2 nilai

A B

Page 4: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

1.5. MACAM-MACAM FUNGSI

A. Menurut Sifatnya

1. Fungsi Ke dalam (Into)

Fungsi satu-satu/ fungsi into/ fungsi injektif f : A B disebut fungsi satu-satu jika setiap

anggota A mempunyai bayangan yang berbeda, dengan kata lain tidak ada dua

anggota A yang mempunyai bayangan yang sama didalam B. Jadi jika f(a1) = f(a2)

maka a1 = a2 atau jika a1 a2 maka f(a1) f(a2).

2. Fungsi Kepada (Surjektif)

Misalkan f : A B maka range f(A) B. Jika f(A) = B, yaitu setiap y B ada x A sehingga f(x)

= y, maka f disebut fungsi pada/ surjektif dari A ke B.

B. Menurut Jenis dan Fungsinya

1. Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi operasi aljabar (tambah,

kurang, kali, bagi, akar, dan pangkat).

Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan

bulat . fungsi rasional meliputi :

Fungsi Polinom

Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak bentuknya

f(x) = an xn + an-1 xn-1 +…..+ a2x2 + a1x + a0

dengan an ≠ 0

a0 = suku tetap

an , an-1 , …..a, a0 = bilangan real

contoh fungi polinom : 2x3+ 4x2 +6x-5

5x2 + 4x -8 dst

Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.

Bentuknya f(x) = ax3 + bx2 +cx + d

dengan a≠ 0

Contohnya fungsi kubik : x3 + 2x2 + 5x +6

Page 5: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat 1 dan grafiknya

merupakan garis lurus.

Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b = konstanta dan a≠ 0

Contoh dari fungsi linear: y = x+3

Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:

a. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat

A( x1 ,0)

b. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B (0,

y1)

c. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.

Contoh soal:

Buatlah grafik dari persaamaan y = x + 3

Penyelesaiannya

Pertama kita tentukan titik perpotongan pada kedua sumbu:

o Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = x + 3

y = 0 + 3

y = 3

o Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:

y = x + 3

0 = x + 3

x = -3

o Kemudian kita tarik garis lurus dari titik koordinat tersebut, maka

diperoleh grafik sebagai berikut:

Page 6: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Soal Fungsi Linear:

Gambarlah grafik fungsi linear berikut ini :

1. F(x) = 2x + 5

2. F(x) = 7 – 2x

3. F(x) = 3x - 15

Jawab:

1. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = 2x + 5

y = 0 + 5

y = 5 ............. (0,5)

Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:

y = 2x + 5

0 = 2x + 5

x = 2,5….........(2.5,0)

Page 7: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Grafiknya:

y

(5,0)

X

(-2.5,0)

2. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = 7 – 2x

y = 7 – 2(0)

y = 7....................(0,7)

Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:

y = 7 – 2x

0 = 7 – 2x

x = 3,5.................(3.5,0)

Grafiknya:

(0,7)

(3.5,0)

Page 8: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

3. Titik potong pada s umbu y, jika x bernilai 0 maka y bernilai:

y = 3x - 15

y = 3(0) - 15

y = 15…..............(0,15)

Titik potong pada sumbu x, jika y bernilai 0 maka x bernilai:

y = 3x - 15

0 = 3x - 15

x = 5…................(5,0)

Grafiknya:

(5,0)

(0,-15)

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berpangkat dua.

Sifat sifat grafik fungsi kuadrat:

a. Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan mempunyai titik balik

minimum. (titik puncaknya mempunyai nilai terkecil)

b. Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik

balik maksimum. (Titik puncaknya mempunyai niai terbesar)

c. Jika D merupakan deskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx +

c, maka:

Page 9: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

- Jika D > 0, maka grafik y = f (x) memotong sumbu x pada sua titik

yang berbeda

- Jika D < 0, maka grafik y = f(x) menyinggung sumbu x pada suatu

titik.

- Jika D < 0, maka grafik y = f(x) tidak memotong sumbu x.

d. Bentuknya f(x) = ax2 + bx + c

Dengan a, b, c merupakan konstanta a≠ 0

Contoh : 4x2+6x +5

Grafik persamaanya y = ax2 + bx + c berbentuk parabola.

e. Langkah-langkah melukis grafik fungsi kuadrat:

- Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh

koordinat (x1, 0)

- Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh

koordinat (0, y1)

- Menentukan titik puncak (xp,yp)

Xp = -b/2a Yp = D/-4a

Keterangan: Xp = Persamaan sumbu simetri

Yp = nilai maksimum atau minimum

D = Deskriminan (b ²-4ac)

- Kemudian hubungkan titik-titik koordinat tersebut sehingga

membentuk grafik parabola.

Contoh soal:

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x²-4x-5

Jawaban:

a. Titik potong sumbu x,y=0

y = x² - 4x – 5 => 0 = (x – 5) ( x + 1), x = -1 dan 5

0 = x² - 4x – 5

Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

b. Titik potong sumbu y,x = 0

y = x² - 4x - 5

y = (0)² - 4(0) – 5

y = -5

Page 10: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Maka titik potong sumbu y adalah (0,-5)

c. Persamaan sumbu simetri –b/2a

= -(-4)/2.1

= 2

d. Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a

= {(-4)² - 4.(1).(-5) / -4 (1)}

= 36 / -4

= -9

e. Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (2,-9)

f. Maka grafiknya:

Soal Fungsi Kuadrat:

1. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² - 4x + 3

2. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 12 + 4x - x²

3. Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = 2x² + 4x - 6

Jawaban:

1. Titik potong sumbu x,y=0

y = x² - 4x + 3 => 0 = (x – 1) (x - 3), x = 1 dan 3

0 = x² - 4x + 3

Page 11: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Titik potong sumbu x (1,0) dan (3,0)

Titik potong sumbu y,x = 0

y = x² - 4x + 3

y = (0)² - 4(0) + 3

y = 3

Maka titik potong sumbu y adalah (0,3)

Persamaan sumbu simetri –b/2a

= -(-4)/2.1

= 2

Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a

= {(-4)² - 4.(1).(3) / -4 (1)}

= 16 - 12 / -4

= -1

Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (2,-1)

Maka grafiknya:

2. Titik potong sumbu x,y=0

y = -12 + 4x – x² => 0 = (6 + x) (-2 + x), x = -6 dan 2

Page 12: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

0 = -12 + 4x – x²

Titik potong sumbu x (-6,0) dan (2,0)

Titik potong sumbu y,x = 0

y = -12 + 4x – x²

y = -12 + 4(0) – (0)²

y = -12

Maka titik potong sumbu y adalah (0,-12)

Persamaan sumbu simetri –b/2a

= -(4)/2.1

= -2

Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a

= {(4)² - 4.(1).(-12) / -4 (1)}

= 16 + 48 / -4

= -16

Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (-2,-16)

Maka grafiknya:

(-6,0) (2.0)

(0,-12)

(-2,-16)

Page 13: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

3. Titik potong sumbu x,y=0

y = 2x² + 4x - 6 => 0 = (2x - 2) (x + 3), x = 1 dan 3

0 = 2x² + 4x - 6

Titik potong sumbu x (1,0) dan (-3,0)

Titik potong sumbu y,x = 0

y = 2x² + 4x - 6

y = 2(0)² + 4(0) - 6

y = -6

Maka titik potong sumbu y adalah (0,-6)

Persamaan sumbu simetri –b/2a

= -(4)/2.2

= -1

Nilai maks/ min b² - 4ac / -4a

= {(4)² - 4.(2).(-6) / -4 (2)}

= 16 + 48 / -8

= -8

Titik puncak {(-b/2a), (b² - 4ac/-4a)} = (-1,-8)

Maka grafiknya:

(-3,0) (1,0)

(0,-6)

(-1,-8

Page 14: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Fungsi Pecahan

Bentuk umum fungsi pecahan adalah

Fungsi pecahan yang dijelaskan di sini adalah fungsi pecahan linear dan

fungsi pecahan kuadrat.

a. Fungsi pecahan linear

b. Funsi pecahan kuadrat

dan

Fungsi Irrasional

Fungsi irrasional adalah fungsi yang variabel bebasnya terdapat di bawah

tanda akar. Contohnya y =

2. Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.

Fungsi Goneometri

Contoh: y = f(x) = 2 sin 3x + 12

Fungsi Eksponen

Contoh: f(x) = 12x

Fungsi Logaritma

Contoh: f(x) = 5log3x

Fungsi Siklometa

Contoh: f(x) = arc sin x

3. Fungsi Mutlak

Page 15: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

Fungsi Mutlak adalah suatu fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak suatu

bilangan real x,dinyatakan dengan |x|,didefinisikan sebagai

|x| =

4. Fungsi dengan Parameter

Fungsi bentuk parameter merupakan fungsi y = f(x) yang disajikan dengan

sepasang persamaan : dengan t suatu parameter, maka untuk memperoleh dari

sistem persamaan tersebut adalah dengan diasumsikan y sebegai fungsi komposisi

C. Menurut Letak Variabelnya

1. Fungsi Implisit

Fungsi Implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisit

perbedaan antar variabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan

dengan jelas. Contohnya: f(x,y)= 3x + 4y

2. Fungsi Eksplisit

Fungsi Eksplisit y terhadap x adalah fungsi dengan aturan y=f(x) yang

memasangkan setiap unsur di daerah asalnya dengan tepat satu unsur di daerah

nilainya. Contohnya: y = 2x-5

D. Fungsi-Fungsi Khusus

1. Fungsi Identitas

f : A A dengan f(x) = x disebut fungsi satuan jika f memetakan setiap titik anggota

A ke dirinya sendiri.

2. Fungsi Konstan

Misalkan f: A B. Fungsi f disebut fungsi konstan jika setiap anggota A

dipetakan ke satu anggota B yang sama. Jadi jika x elemen A, maka f(x) = c

(konstan)

Page 16: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

3. Fungsi Komposisi

Jika fungsi f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada

f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), maka dikatakan bahwa kita telah

mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut kompoosisi g

dengan f, yang dinyatakan dengan g°f. Jadi (g°f)(x) = g(f(x))

Sifat fungsi komposisi tidak komulatif f°g ≠g°f

Contoh soal:

Diketahui rumus f(x) = x-4 dan g(x)=2x-6

Tentukan (f°g)(x) = …?

Penjelasan: (f°g)(x) = f(g(x))

= f(2x-6)

= (2x-6) – 4

= 2x-10

Soal Fungsi Komposisi:

1. Jika f(x) = 2x + 6 dan g(x) = 2x2 + 6x – 7 maka (f°g) (x) = …?

2. Jika f(x) = dan g (x) = 2x+5 maka (g°f) (x) = …?

3. Jika g(x) = x + 1 dan f(x) = x2+3x+1 maka (f°g) (x) = …?

Jawab:

1. (f°g) (x) = f(g(x))

= f(2x2 + 6x – 7)

= 2(2x2 + 6x – 7) + 6

= 4x2 + 12x – 14 + 6

= 4x2 + 12x – 8

2. (g°f) (x) = g(f(x))

= g( )

= 2 ( ) + 5

Page 17: Kalkulus 1 Fungsi dan Grafiknya

= + 5( )

= +

=

3. (f°g) (x) = f(g(x))

= f(x + 1)

= (x + 1)2 + 3(x + 1) + 1

= x2 + 2x + 1 + 3x + 3 +1

= x2 + 5x + 1 + 3x + 3 +1