Grafik Fungsi Trigonometri 2

31
X 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360° Y 0 0,5 2,8 1 0,86 0,5 0 - - -1 - - 0 GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI Fungsi Trigonometri yang sederhana dapat digambarkan langsung grafiknya dengan jalan mensubtitusikan harga-harga x dan y kemudian buat gambar. Fungsi trigometri yang tidak sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya. Untuk menggambarkan grafik fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu : 1. Sederhanakan fungsi itu; 2. Tentukan harga ekstrim 3. Tentukan titik potong kedua sumbu 4. Tentukan titik lainnya Kemudian digambarkan selengkapnya. Contoh : 1. Gambarkan grafik Y = sin x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°

description

grafik

Transcript of Grafik Fungsi Trigonometri 2

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi Trigonometri yang sederhana dapat digambarkan langsung grafiknya dengan jalanmensubtitusikan harga-harga x dan y kemudian buat gambar.

Fungsi trigometri yang tidak sederhana, tidak dapat digambarkan langsung grafiknya.Untuk menggambarkan grafik fungsi ini ada beberapa syarat yang perlu dan cukup yaitu :

1. Sederhanakan fungsi itu;2. Tentukan harga ekstrim3. Tentukan titik potong kedua sumbu4. Tentukan titik lainnyaKemudian digambarkan selengkapnya.

Contoh : 1. Gambarkan grafik Y = sin x dalam interval 0 x 360X0306090120150180210240270300330360Y00,52,8310,860,50-0,5-0,86-1-0,86-0,50

2

Gambarkan grafik Y = 2 sin x dalam interval 0 x 360X0306090120150180210240270300330360Y011,7221,7210-1-1,72-22-1,72-10

3

Gambarkan grafik Y = cos x dalam interval 0 x 360

Sb. Y1

1/23

1/2

120

150

180

210

240

270

0

30

60

90

300

330

360

Sb. X

-1/2

-1/23

-1

4

Gambarkan grafik Y = cos 2 x dalam interval 0 x 360X0306090120150180210240270300330360Y00,5-0,50,50-0,50,510,5-0,5-1-0,50,51

X0306090120150180210240270300330360Y10,860,50-0,5-0,86-1-0,86-0,500,50,861

5

Gambarkan grafik Y = 2 cos x dalam interval 0 x 360X0306090120150180210240270300330360Y21,7210-1-1,72-2-1,72-1011,722

Soal dan penyelesaiannya

1

Gambarkan grafik Y = 2sin x + 5 sin x -3 dalam interval 0 x 360Y = 2 sin2x + 5 sinx-3

Titik potong pada sumbu x, y = 0Y = 2 sin2x + 5 sinx-30 = 2 sin2x + 5 sinx-3(2sinx - 1) (sinx+3)2sinx 1 = 0 sinx+3=02sin =1 sinx=3Sinx = X = 30,150Koordinat (30,0)(150,0)

Titik potong pada sumbu y, x = 0Y = 2 sin2x + 5 sinx-3Y = 2 sin2 0+ 5 sin 0-3Y=3Koordinat (0,-3)(180,-3)(360,-3)

Y max, sin x = 1Y = 2 sin2x + 5 sinx-3Y = 2 (1)2 + 5 (1)-3Y=4Koordinat (90,4)Y min, sinx = -1Y = 2 sin2x + 5 sinx-3Y = 2 (-1)2 + 5 (-1)-3Y = -6Koordinat (270,-6)Koordinat lainX = 60,120 sin x = Y = 2 sin2x + 5 sinx-3

Y = 2 (

)2 + 5 (

)-3

Y = 2,8Koordinat (60,2.8)(120, 2.8)

X = 210,330 sin x = - Y = 2 sin2x + 5 sinx-3Y = 2 (-)2 + 5 (-)-3

Y = -5Koordinat (210,-5)(330,-5)

X = 240, 300 sin x = Y = 2 sin2x + 5 sinx-3

Y = 2 (-

)2 + 5 (-

)-3

Y = 2 (3/4) 5/2

3

Y= -5,8Koordinat (240, 5.8)(300,5.8)X0306090120150180210240270300330360Y-302,8342,830-3-5-5,83-6-5,830-3

2

Gambarkan grafik Y = 2 sin 2x + 6 Cos x -5 dalam interval 0 x 360

y = 2sin 2x + 6 cos2x5= 2 sin 2x + 6(1- sin2 )- 5= 2 sin 2x + 6sin2 )+1X0306090120150180210240270300330360Y12,5-1,8--5-1,82,51-2,2-5,2-5-5,2--2,21

3

Gambarkan grafik Y = 3 cos x + 7 sin x - 6

X

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

Y

-3

0,09

1,56

1

-1,4

-5,09

-9 -12,09

-13,5

-13

-10,56

-6,9

5

Gambarkan grafik Y = 2 sin y +5 sin x cos x + 10 cos x -7,9

y = 2sin 2x + 5 sin2x cosx + 10 cos2x 7,9= 2 sin2x + 5(1/2 sin 2x) + 10(1- sin2x ) -7,9= 5/2 sin 2x 8 sin2x- 2,1X0306090120150180210240270300330Y2,12,34,8-5,94,82,32,1-2,06-6,066,06-5,19-6,06-2,06

FUNGSI CYCLOMETRI

Fungsi Cyclometri merupakan invers/ balikan dari fungsi Trigonometri

Fungsi Trigonometri

Y = sin

Y = cos

Y = tag

Y = cotg

Y = sec

Y = cosec

Misal : Y = sin

= sin

= are sin

Perhatikan gambar Segitiga ABC berikut :

C

Fungsi Cyclometri

= arc sin Y

= arc cos Y

= arc tag Y

= arc cotg Y

= arc sec Y

= arc cosec Y

P

1

A

B

sin = #

cotg =

#

cos =

#

#

cosec =

#

=

.

$

tag

=

#

##

sec =

#

#

##

=

#

#

=

##

Fungsi Cyclometri

= arc sin P

= arc cos

.

$

= arc tag

#

#

= arc cotg

= arc sec

##

#

= arc cosec

Contoh :

#

1.

= arc cos (-1/2). Tentukan fungsi trigonometri

2. Hitunglaha. Cotg (arc sin a )b. Sin (arc tg b)

Jawab :1. = arc cos (-1/2)

-1/2 = cos

Y = cos

-1

2

Y = cos 120

sin = -1/2

cos =

%$

tag =

cotg =

%##% %

.

sec = -2

cosec =

$%

$ %%

2. a. cotg (arc sin a)

misal : = are sin a

sin = a

cotg (arc sin a) = cotg a

= #

b. sin (arc tg b)

misal : = are tg b

tg = b

sin (arc tg b) = sin

a

b

1

. I$I

I$ -

=

=

#

#

#

1

Penjumlahan Pada Fungsi Cyclometri

1. arc sin p + arc sin (-p) = 02. arc cos p + arc cos (-p) =

3. arc cotg p + arc cotg (-p) =

4. arc sin p + arc cos p =

5. arc tg p + arc cotg p =

Jumlah dan Selisih Pada Fungsi Cyclometri

1. arc sin p - arc sin q = arc sin [p

2. arc sin p + arc sin q = arc sin [pq-

3. arc cos p arc cos q = arc cos [p

4. arc cos p + arc cos q = arc cos [pq-

. J$]

. J$

$

5. arc tg p arc tg q = arc tg

6. arc tg p + arc tg q = arc tg

7. arc cotg p + arc cotg q = arc tg

#

-

$#

8. arc cotg p arc cotg q = arc tg

#

.

$

Sudut Rangkap Pada Cyclometri

1. 2 arc sin p = arc sin (2p2 - 1) +

23. 2 arc tg p = arc tg ( #)+ $#)

$. J$-q. J$. J$-q. J$. J$+ ]. J$-$]#2. 2 arc cos p = arc cos (2p - 1)4. 2 arc cotg p = are cotg {

Soal dan Penyelesaiannya

1. Buktikan

a. Tan (arc sin p) =

Bukti :

#

Misal : arc sin p = Sin = p

Tan (arc sin p) = tan

p

1

. J$

=

#

(terbukti)

b. Tan (arc cos p) =

#

Bukti :Misal : arc cos p = Cos = p

Tan (arc cos p) = tan

=

#

(terbukti)

2. arc tan & = ?%

Jawab : are tan &%

4

5

sin

cos

tag

=

=

=

&%&'%'

3

cotg =

%&

sec

=

'&

cosec =

'%

3. Sin (arc tan )..?

Jawab :

Misal : arc tg =

1

Tg

=

2

Sin (arc tg ) = sin

=

#'

4. Cos (arc sin ) = ..?

Jawab :

Misal : arc sin =

Sin

=

1

4

Cos (are sin ) = cos

Cos

=

#'&

5. Tan (arc cotan 2)=..?Jawab :Misal : arc cotan 2 =

Cotan

=2

1

Tan (arc tan 2) = tan

=

2

6. Buktikanlah :2 arc tan 4/3 = + arc tan 7/24Bukti :

2 arc tan

&%

= arc tan

$

#

-

$

= are tan

#

"

##

-

$

& % $

$

= arc tan +

$$&$&

(terbukti)

7. 3 arc tan & =%

- arc tan

&#

Bukti :3 arc tan & = 2 are tan & + arc tan &% % %= + ( arc tan + arc tan & )$ $& %! = + arc tan ( )+ = && )##= - arc tan &#3 arc tan & = - arc tan && (terbukti)% ##$&= -arc tan2 arc tan = -arc tan# !$$+ arc tan {.

8. Hitunglah x dari persamaan

a. arc cos

#$%

+ arc cos

#'#

= arc cos x

jawab :

are cos (#$ #'#% #

.

.

#$ $#%

F{ .

#' $#

{ = arc cos x

arc cos (# "$$#

.

.

#&

{ .

$$'$

{

= arc cos x

arc cos

arc cos

arc cos

# "$$## "$$##&"$$#

.- &"$$#

$'#

{

$

&

{

= arc cos x

= arc cos x

= arc cos xjadi, x = #&"$$#

b. arc sin

+ arc sin % = arc sin x'

jawab :

are sin (& %% '

.

.

&

$

F

.

% $'

arc sin ( $ #$"' # #arc sin $ - # " + $"' $"' $arc cos - #%% + $"' $

$

{ .

#%%$"'

$'

$

= arc cos x

= arc cos xF + $ )= arc cos x..jadi, x = .{ + ) = arc cos x

c. arc tan

#'#

+ arc tan

$#$

= arc tan x

jawab :

arc tan ( ! # )+! # arc tan # + #arc tan - # . & % + & % $ $arc tan - # + & % $jadi, x = -

#& %

+

$

= arc tan x

= arc tan x

= arc tan x

= are tan x

9. Hitunglah :a. Tan (arc tan # + arc tan # )$ %Jawab :

Misal : = arc tan # + arc tan$

= arc tan ( )+

#%

= tan

=1

= arc tan +

= arc tan -1 +

= 1350 + 900 = 2250

= tan (arc tan # + arc tan #)$ %

$ $# $ $ !$# $

b. cos (arc tan # + arc tan # )$ %Jawab :

Misal : = arc tan # + arc tan$

= arc tan ( )+

#%

= arc tan +

= arc tan -1 +

$ $

= 1350 + 900 = 2250

= cos (arc tan # + arc tan #)$ %= cos

=-

#$

c. Sin (arc tan

'%%

are cos

#$)#%

Jawab :

Misal : = are cos #$#%Cos = #$#%Tan = '#$ = arc tan

'#$# $

= sin (arc tan

'%%

. S^U `SZ

' )#$

= sin (arc tan

#

{

= sin (arc tan

'"= sin (arc tg

! %##

)

)

= sin (arc tg %)&

= sin

=

%'

d. Tg (arc tg # + arc cos % )$ &Jawab :

Misal : = arc tg #$Tg # = $Cos = $' = arc cos

$'

= tg (arc cos $ + arc cos %)' &= tg (are cos ( $ %' &

$'

$

F{ .

% $&

{

= tg (arc cos (

& '

.

#'

{# {)!..

= tg (arc cos (

= tg arc cos - $ '& ' & '= tg (arc cos % %' )& '= tg ()

=

$% %'

= 2,47e. cotan (arc tan # + arc tan #)% %Jawab := Cotan (2 arc tan #)%

= cotan (arc tan

= cotan (arc tan %- )$ $& % $0 0

= cotan 370

=1,33

# #$ $Jawab :# #$ $= sin ()=0

jawab :. { { )& '"- )# $$= cotan (arc tan . + )= cotan (-53 +90 )10. Sin (arc cos + arc cos {. {)= Sin (arc cos + arc cos {. {)

= are tan

#

+ 2 (arc tg # + arc tan$

#

#

-

$

)

= are tan

= are tan

#

#

#$

+ 2 (arc tan

$

%$

-

)

$

)

= are tan

= are tan

= are tan

##

#

+ arc tan

#"$

'$

)

{

11.are tan

#

+ (arc tg # + 2 arc tan$

#%

)

jawab :

= are tan

#

+ 2 (arc tg # + arc tan$

#

#

-

$

)

= are tan

= are tan

#

#

#$

+ 2 (arc tan

$

%$

-

)

$

)

= are tan

= are tan

= are tan

##

#

+ arc tan

#"$

'$

)

{

12.2 arc cos %#%= arc cos 2

% 2 1 + arc cotan ##% #%

+ arc cotan # + arc cos#%

$'+ arc cos

$'+ 2 (arc tg + arc tan .# - - $+ 2 (arc tan . -+ arc tan .--# # $+ 2 (arc tg + arc tan .# - - $+ 2 (arc tan . -+ arc tan .--# # $

= (arc cos

'#%

+ arc cos

$'

) + arc cotan

##%

= arc cos

' .#% $'

'#% $'

##%

= arc cos %' - #&& '%$' # $'= arc cos $'% + arc cos%$'= arc cos [ $'% # %$' ' #

#' #

+ arc cos #' #

$'% $%$'

D { . {'

#

#

{${

= arc cos

= arc cos

= arc cos

&" $' #&" $' ##" $ '# $' #

-

#"' &"#"' $' &$'' "'%$'{' # {

13. cos arc sin p =

. J$

misal : arc sin p =

sin = p

p

1

cos =

jadi cos =

cos arc sin p =

14. Sin arc cos p =

. J$. J$. J$

. J$

(terbukti)

. J$

Misal : arc cos p = Cos = p

Jadi

Sin =

. J$

sin =

sin arc cos p =

. J$

(terbukti) { . { {${{{ . { {${ + arc cotan@ .. J$

15. Tg arc cos p =

#

. J$

Jawab:Misal arc cos p =

Cos = p

1

Tg =

#

. J$

. J$

Jadi

Tg =

#

.

J$

p

Tg arc cos p =

#16. Cos arc sin%

#

. J$

(terbukti)

Jawab :

17. Tg arc sin

Misal arc sin # = %#Cos arc sin # = cos %= $ $%

# %%

1

22

)/3

3

Jawab :

Misal arc sin

# % =%

Sin =

Tg =

# %%%

-

3

Sin = %

Tg arc sin

18.Cos arc sin

Jawab :

#$

# %%=

= tg %

Jadi arc sin # = cos $

Misal arc sin # = $Sin = #$Cos = %$

= %$

1

2