JUMAT, 13 JUNI 2014makalah integral

INTEGRALMAKALAHDisusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Kalkulus 1

Oleh :Hastina Fazriani2118120061Indri Hastuti2118120064Kice Yuningsih2118120015Riris Rohmah Hayati2118120027Tri Aditiawati2118120009

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS GALUH CIAMIS2012INTEGRALA.PENGERTIAN INTEGRALIntegraladalah kebalikan dari prosesdiferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikanmasalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalahIntegral terbagi dua yaituintegral tak tentudanintegral tertentu. Bedanya adalah integral tertentumemiliki batas atas dan batas bawah. Integraltaktentu biasanya dipakai untuk mencari volumebenda putar dan luas.1.Integral Tak TentuIntegral tak tentuadalah sebuah bilangan yang dimana unuk mencari besaran dan volume benda.Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.y=x2+ 2x+ 5y=x2+ 2x 2Kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu:= 2x+2Sekarang, tinjau balik. Misalkan diberikan= 2x+ 2. Jika dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsiy=x2+ 2x+ 5,y=x2+ 2x 2, bahkany=x2+ 2x+ 10,y=x2+ 2x log 3, dan sebagainya.Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan= = 2x+ 2, bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan tetap saja (seperti 5, 2, 10, log 3, dan seterusnya). Bilangan-bilangan ini dapat disimbolkan denganC. Karena nilaiCitulah hasil integral ini disebutintegral tak tentu.1. Notasi Integral Tak TentuPerhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara umum, jikaF(x) menyatakan fungsi dalam variabelx, denganf(x) turunan dariF(x) danckonstanta bilangan real maka integraltak tentu darif(x) dapat dituliskan dalam bentukdx=F(x)+cdibaca integral fungsif(x) kexsama denganF(x) +c.Keterangan:dx= notasi integral tak tentuF(x) +c= fungsi antiturunanf(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)c= konstantadx= diferensial (turunan) darixMisalkan terdapat sebuah fungsi, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:Rumus:

Integral tak tentu untukfungsi aljabar(dasar)1. 2. kenapa? Karena jika n = -1 maka penyebut di ruas kanan menjadi nolUntuk n = -1 maka akan menjadi3. 4. Integral tak tentu untukfungsi trigonometri(dasar)1. 2. 3. 4. 5. 6.

Sifat-sifat integral tak tentu :

2.IntegraltentuIntegral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol,teorema dasar kalkulusmenyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.ApabilaKeseluruhan himpunanantiturunan/antiderivatifsebuah fungsiadalahintegral tak tentuataupunprimitifdariterhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:EkspresiF(x) + Cadalahantiderivatif umumdanCadalah konstanta sembarang.PERHATIKAN BAHWA INTEGRAL TERTENTU BERBEDA DENGAN INTEGRAL TAK TENTU. INTEGRAL TERTENTU DALAM BENTUK.B.SEJARAH INTEGRALHitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah penemuan dan pengembangan yang agak unik. Metode ini banyak di minati oleh para ilmuwan lain di luar bidang matematika. Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah :1. Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani.Pada abad kedua sebelum masehi,Archimedestalah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.2. Isaac Newton (1642-1727 M),seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris.Isaac NewtondanGottfried wilhelm Leibnizdalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapiI NewtondanLeibnizmerupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antaraantiderivatifdenganintagral tertentu.Hubungan ini dikenal denganTeorema Dasar Kalkulus.3.Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M),seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman.Leibnizseorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersamaNewton,Leibnizjuga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambangdx/dybagi turunan dan lambangbagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan olehLeibnizdalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M),seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan olehNewton,namunRiemannmemberi definisi mutakhir tentangintegral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagaiIntegral Riemann.Asal Usul NotasiIntegralKonon dalam sejarah matematika, pelajaran integral lebih dikenal dengan anti-differensial atau kalo disekolah kita lebih mengenal kata turunan dibanding kata differensial. jadi Integral itu adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang mengembangkan dan memperkenalkan konsep differensial dan anti-differensial (integral) dalam ilmu matematika adalahGottfried Wilhelm Leibniz, atau lebih dikenal dengan Leibniz saja.Nah, lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal dengan Notasi Leibniz, karena Leibniz lah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika, lambang integral seperti ini :, diambil dari huruf pertama nama si Leibniz, yaitu huruf L, namun pada zaman dahulu orang menuliskan huruf L dalam bentuk yang indah, seperti berikut.

C.KEGUNAAN INTEGRALEkonomiMencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya).Mencari fungsi biaya total.Mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal.Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal.Fungsi kapital dari fungsi investasi.TeknologiPenggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentuPenggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.FisikaAnalisis rangkaian listrik arus AC.Analisis medan magnet pada kumparan.Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.MatematikaMenentukan luas suatu bidang,Menentukan volume benda putar,Menentukan Panjang busur

SOAL DAN PEMBAHASAN1.2Jawab :2

=28x+ 16n=xn+1+ C

=2+1-1+1+ 16x+ C=3 4x2+ 16x + C2.3+Jawab :3+=3+x=3+1+x=x4+x+ C3.Jawab :Misal y = x2+ 8maka

Sehingga

Maka4.Jawab:Misal U =maka=du= -sinxMaka=U2==U-1+ C=+ C=

=3(3)2-3(2)2

=27-12=15

5.Tentukan nilai dari integral berikut:

Penyelesaian:mbvc