05/03/2023

1

INTEGRAL DALAM RUANG DIMENSI - n Kalkulus Jilid 2 Dale Varberg dan Edwin J Purcell

05/03/2023

2

Integral Ganda Pada Daerah Segi Empat

Dalam bab ini kita menggunakan integral lipat untuk mencari volume benda umum, luas permukaan umum dan pusat massa tipis dan benda pejal yang kerapatannya telah berubah-ubah.

Ingat bahwa jika menyatakan luas daerah dibawah kurva antara a dan b. dalam cara serupa jika menyatakan volume benda pejal di bawah permukaan dan diatas segi empat R

05/03/2023

3

Sifat Sifat Integral Ganda Integral Ganda mempunyai sifat - sifat

tunggal1. Integral Ganda bersifat linear, yaitu :

2. Integral ganda bersifat penjumlahan pada segi empat pada gb.

𝑅1 𝑅2

R

05/03/2023

4

Sifat- Sifat Integral Ganda (Lanjutan)

2.

3. Sifat Pembandingan Berlaku,

05/03/2023

5

Penghitungan Integral Ganda Jika pada R, maka integral ganda

merupakan luas R dan dari ini maka :

05/03/2023

6

Tugas : Hitunglah Luas Permukaan dengan menggunakan Integral Lipat Dua dengan sifat ke (3)

Colorado adalah negara bagian berbentuk segiempat f(x,y) adalah banyaknya curah hujan dalam inchi selama tahun 1980 dititik (x,y)Apakah yang dinyatakan Apakah yang dinyatakan oleh bilangan ini dibagi dengan luas colorado?

05/03/2023

7

INTEGRAL BERULANG Penghitungan integral berulang Contoh 1 : Hitung Contoh 2 : Hitung Kita mengharapkan jawaban yang sama TUGAS DI HALAMAN 481: Dalam soal soal no 1 – 12

hitung masing masing integral berulang

05/03/2023

8

Tugas

Latihan soal soal 16.3 halaman 490 (Kalkulus Jilid 2 soal soal no 1 sampai dengan 12)

05/03/2023

9

Hitung Integral Berulang berikut (Tugas)

Hitung Integral dx

Perhitungan Luas Luas

05/03/2023

10

Catatan : Prosedur Tiga Langkah (Penggambaran Grafik)

Langkah 1 : Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik yang memenuhi persamaanLangkah 2 : Plotlah titik-titiktersebut padabidangLangkah 3 : Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva mulus. Gambarkan grafik Persamaan tersebut

05/03/2023

11

Plot titik dalam persamaan Perhitungan titik –titik untuk di plot

untuk persamaan dan

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Series1y = x^2y = squareroot x

05/03/2023

12

Soal Perhitungan Luas Permukaan dengan menggunakan Integral Lipat DuaColorado adalah negara bagian berbentuk segiempat f(x,y) adalah banyaknya curah hujan dalam inchi selama tahun 1980 dititik (x,y)Apakah yang dinyatakan Apakah yang dinyatakan oleh bilangan ini dibagi dengan luas colorado?

05/03/2023

13

Aplikasi Integral Lipat Dua Luas Volume Massa Titik Berat.

05/03/2023

14

Perhitungan LuasLuasPenjelasan tentang luas (dalam aplikasi integral lipat dua) dapat dilihat di contoh 1. Buku Diktat Matematika Rekayasa hal 30Formula yang dipakai

L =Bila menentukan luas dalam aplikasi integral lipat dua, sama halnya di matematika 2. Kita harus menentukan sketsa grafik masing-masing persamaan. Dalam hal ini f(x) dan g (x)

05/03/2023

15

Perhitungan Volume Dengan Menggunakan Aplikasi Integral Berulang

Contoh Dapatkan volume dengan persamaan y = x2

dan y = Jawab: Langkah pertama, sketsa grafik terlebih dahulu.Langkah kedua tentukan titik titik potong diantara kedua kurva.Sehingga kita diharapkan nantinya bisa menentukan batas atas dan batas bawah dalam pengerjaan integral lipat ganda.

05/03/2023

16

Volume (tugas no 5b.hal 55Buku Matematika Rekayasa ITS ) Penentuan titik-titik potong

x y0 01 12 43 94 16

x y0 01 12 1.4142143 1.7320514 2

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Series1y = x^2y = squareroot x

05/03/2023

17

PENERAPAN INTEGRAL GANDA

Penerapan integral ganda yang paling jelas adalah dalam penghitungan volume benda pejal. Penggunaan integral ganda yang demikian telah diilustrasikan secara luas sehingga sekarang kita berpaling pada penerapan lain. Massa ; Pusat massa ; Momen inersia dan Jari-jari kitaranAndaikan suatu lamina mencakup daerah S dibidang xy dan kerapatan (massa per satuan luas) di (x,y) dinyatakan oleh . Partisikan S kedalam segi empat kecil R1

, R2, …, Rk seperti diperlihatkan pada gambar 2

05/03/2023

18

Perhitungan Massa dengan Integral Berulang

Massa sebenarnya m diperoleh dengan mengambil limit menurut ekspresi diatas sebagai norma partisi mendekati nol, yang tentu saja berupa integral ganda.

05/03/2023

19

Contoh Perhitungan Massa dengan menggunakan Integral berulang

Contoh 1. sebuah lamina dengan kerapatan = dibatasi oleh sumbu , garis = 8, dan kurva = (Gambar 3). Carilah massa totalnya.

Penyelesaian: =

05/03/2023

20

PUSAT MASSA, MOMEN INERSIA, JARI JARI KITARAN (GIRASI)

Penjelasan selengkapnya dapat dilihat pada Kalkulus Jilid 2 Purcell, dibaca dihalaman 500-504 Pusat Massa di halaman 501, Momen Inersia dihalaman 503-504Jari jari kitaran (girasi).energi kinetik dari sistem yang berputar mengelilingi L dengan kecepatan sudut

adalahm

05/03/2023

21

Luas Permukaan (16.6) pp 507Pelajari contoh 2 Kalkulus Jild 2 dihalaman 509

Happy Learning NEXT LESSON

INTEGRAL LIPAT TIGA

22

Sekian dan Semoga bermanfaat….

05/03/2023