Prodi Pendidikan MatematikaJurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamUniversitas Pendidikan Indonesia

2012

Untuk Matematika

SMA Kelas X

Semester Genap

Standar Kompetensi :

6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga.

Kompetensi Dasar :

6.1. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

No. Tujuan Pembelajaran

1. Siswa dapat menentukan kedudukan antara titik dan garis

2. Siswa dapat menentukan kedudukan antara titik dan bidang

3. Siswa dapat menentukan kedudukan antara dua buah garis

4. Siswa dapat menentukan kedudukan antara garis dan bidang

5. Siswa dapat menentukan kedudukan antara dua buah bidang

Peta Konsep

RuangDimensi Tiga

Bangun RuangSisi Datar

Unsur-unsur RuangDimensi Tiga

Titik

Garis

Bidang

Kubus

Balok

LimasKedudukan

Titik, Garis, danBidang

TitikTerhadap

Garis

TitikTerhadap

Bidang

Antara DuaGaris

GarisTerhadap

Bidang

Antara DuaBidang

Sebelumnya, masihingatkah kalian mengenaiunsur-unsur dalam ruangdimensi tiga?? Mari kitaingat kembali bersama-

sama!

Unsur-Unsur dalam Ruang DimensiTiga

Titik

Sebuah titik tidak memiliki suatudefinisi yang pasti. Sebuah titik

hanya dapat digambarkan denganmemakai tanda noktah kemudiandibubuhi dengan nama titik itu.

Misal :

A B

Garis

Misal :

AB

Sebuah garis dapat diperpanjang sekehendak kita. Namun, mengingat terbatasnya bidang gambar, sebuahgaris hanya dilukiskan sebagian saja. Bagian ini disebut

wakil garis atau ruas garis.

Garis hanya mempunyai ukuran panjang, tapi tidakmempunyai ukuran lebar.

Nama dari sebuah garis dapat ditentukan denganmenyebutkan nama wakil garis itu dengan memakai

huruf kecil atau menyebutkan nama wakil garis dari titikpangkal ke titik ujung

g

Bidang

Sebuah bidang dapat diperluas seluas-luasnya. Padaumumnya, sebuah bidang hanya dilukiskan sebagian

saja yang disebut sebagai wakil bidang.

Wakil suatu bidang memiliki ukuran panjang dan lebar. Gambar wakil bidang biasanya berbentuk persegi,

persegi panjang, atau jajar genjang.

Nama dari suatu bidang dituliskan di daerah pojokbidang dengan memakai simbol tertentu.

Misal :

Kedudukan Titik TerhadapGaris dan Titik Terhadap Bidang

A

B

Misal diberikan sebuahtitik A, garis g, dan titik B dengan ilustrasi sebagai

berikut.

Kedudukan Titik TerhadapGaris

M N

OP

Q R

ST

Sekarang perhatikantitik dan garis pada

sebuah kubusMNOP.QRST berikut!

g

Titik A terletak pada garisg, sebab titik A dilalui

oleh garis g. Sebaliknya, titik B berada di luar garis

g, sebab titik B tidakdilalui oleh garis g.

Segmen garis QR merupakan wakilgaris gTitik-titik sudut kubus yang terletak pada

garis g adalah titik Q dan R.Titik-titik sudut kubus yang terletak di luargaris g adalah titik-titik M, N, O, P, S, dan T.

g

Kedudukan Titik TerhadapBidang

A B

CD

E F

GHMisal diberikan dua buah titik, yaitutitik A dan B serta suatu bidang yaitu

bidang dengan ilustrasi sebagaiberikut

A

B

Titik A terletak pada bidang , sebabtitik A dapat dialui oleh bidang . Sebaliknya, titik B terletak di luar

bidang , sebab titik B tidak dapatdilalui oleh bidang .

Sekarang perhatikan titikdan bidang pada kubusABCD.EFGH berikut ini!

Bidang ABEF merupakan wakil bidangTitik-titik sudut kubus yang terletak padabidang adalah titik-titik A, B, E, dan F.

Titik-titik sudut kubus yang terletak di luarbidng adalah titik-titik C, D, G, dan H.

LatihanDiketahui limas beraturan T.PQRS padagambar berikut!

1. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuksisi!

2. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak di luar rusuk-rusukalas!

3. Sebutkan titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusukalas!

4. Sebutkan titik sudut limas yang berada di luar bidang alas!

Jawaban

Kedudukan Garis Terhadap GarisLain dan Garis Terhadap Bidang

Dua buah garis, misal g dan h dikatakan berpotongan, jika garis itu terletak pada sebuah bidang dan

mempunyai sebuah titik persekutuan. Perhatikanilustrasi berikut!

Kedudukan AntaraDua Garis

Berpotongan

gh

A

P

Q R

T

m

hg

n

M N

O

S

Titik Persekutuan

X

Y

Perhatikan gambar kubusMNOP.QRST di samping!

Garis g dan h terletak pada bidangyang sama, yaitu bidang QRST danmemiliki sebuah titik persekutuan,

yaitu titik X.Garis m dan n terletak pada bidangyang sama, yaitu bidang NPTR danmemiliki sebuah titik persekutuan,

yaitu titik Y.

Dua buah garis misal g dan h, dikatakan sejajar jika kedua garistersebut terletak pada sebuah bidang (bidang yang sama) sertatidak memiliki satu pun titik persekutuan. Perhatikan ilustrasi

berikut!

Sejajar

Kedudukan AntaraDua Garis

g

h

Sekarang, perhatikan gambargaris-garis pada kubusMNOP.QRST berikut!

P

Q R

T

m

n

M N

O

SGaris RT dan NP terletak padabidang yang sama yaitu bidang

NPRT serta tidak memiliki satu pun titik persekutuan, maka dapat

dikatakan bahwa garis RT dan NP sejajar

Garis MN dan QR terletak padabidang yang sama yaitu bidangMNQR serta tidak memiliki satu

pun titik persekutuan, maka garisMN dan QR dapat dikatakan

sejajar.

Dua buah garis, misal g dan h dikatakan bersilangan (tidakberpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak

terletak pada sebuah bidang. Perhatikan ilustrasi berikut!Bersilangan

Kedudukan AntaraDua Garis

g

h

Nampak bahwa garis g terletak pada bidangsedangkan garis h menembus bidang dan garis

h terletak pada bidang

Sekarang perhatikan ilustrasi dua buah garis yang bersilangan pada balok ABCD.EFGH berikut !

A B

CDE F

GH

Pada balok ABCD.EFGH, garis AB terletak pada bidangABEF, sedangkan garis DH dan garis CG terletak pada

bidang CDHG. Sehingga garis AB dikatakan bersilangandengan garis DH maupun dengan garis CG.

Kedudukan GarisTerhadap Bidang

Perhatikan ilustrasi berikut!

a

Garis a merupakan garis yang terletakpada bidang

b

Garis b merupakan garis yang menembus bidang

c

Garis c merupakan garis yang sejajar bidang

Sebuah garis, misal garis a, dikatakan terletak pada bidang jika garis a danbidang sekurang-kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.

Sebuah garis, misal garis b, dikatakan menembus atau memotong bidang jikagaris b dan bidang sekurang-kurangnya mempunyai sebuah titik persekutuan.

Sebuah garis, misal garis c, dikatakan sejajar bidang jika garis c dan bidangtidak mempunyai satu pun titik persekutuan.

B

CD F

GH

A

Garis AB terletak padabidang ABEF

Garis AB sejajar denganbidang CDGH

Garis AB menembusbidang ADEH dan bidang

BCFG

E

Sekarang perhatikan balok ABCD.EFGH berikut ini!

Kedudukan Bidang TerhadapBidang Lain

Kedudukan AntaraDua Bidang

Perhatikan gambar berikut!

,

Bidang dan salingberhimpit

Bidang dan salingsejajar

Bidang dan salingberpotongan

P

Q R

M N

O

STBidang-bidang yang

saling sejajar :MNQR dan POSTNORS danMPQTMNOP dan PQRS

Bidang-bidang yang saling berpotongan :

MOSQ dan NPTRMNQR dan NORSMNQR dan MPQTMNQR dan MNOP

MNQR dan QRST, dst

Pandang kubus MNOP.QRST berikut!

Latihan

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Sebutkan rusuk-rusuk kubusyang :a. Berpotongan dengan diagonal ruang BHb. Berhimpit dengan diagonal ruang BHc. Sejajar dengan rusuk ABd. Bersilangan dengan rusuk AB

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH . Sebutkan rusuk-rusukkubus yang :a. Terletak pada bidang BDHFb. Sejajar terhadap bidang EFGHc. Memotong atau menembus bidang EFGH

Jawaban

Terimakasih

Jawaban :

1. Titik T dan P pada rusukTP, titik T dan Q padarusuk TQ, titik T dan R pada rusuk TR, serta titikT dan S pada rusuk TS.

2. Titik T terletak di luarrusuk alas.

3. Titik P, Q, R, dan S terletak pada rusuk-rusukalas.

4. Titik T terletak di luarbidang alas, yaitu bidangPQRS.

Jawaban :

D

E F

A B

C

GH

1. a. diagonal ruangAG berpotongandengan diagonal ruang BHb. Diagonal ruangBH berhimpitdengan diagonal ruang BHc. Garis CD, AF, danGH sejajar denganrusuk ABd. Rusuk CG, DH, EH, dan FG bersilangan denganrusuk AB

2. a. Garis BD, FH, DH, dan BF terletak pada bidang BDHFb. Garis AB, CD, BC, dan AD sejajar dengan bidangEFGHc. Garis AE, BF, CG, dn DH menembus bidang EFGH