PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN …repository.ump.ac.id/2964/1/WORO UTAMI...

i

PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGANMENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syaratuntuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

WORO UTAMI PRASETIYONINGSIH0801060005

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

2012

Penyelesaian Integral Dimensi-n..., Woro Utami Prasetiyoningsih, FKIP UMP, 2012

v

PERSEMBAHAN

Mengucap puji syukur pada Mu ya Alloh, atas semua berkah dan rahmat

yang telah engkau berikan. Dengan tulus sekripsi ini ku persembahkan

untuk:

Bapak dan Mama yang paling aku cintai dan sayangi (Bapak

Untung Waluyo dan Mama Suti). Terimakasih atas doa, materi

dan dukungannya selama ini yang membuat saya untuk terus

maju dan menyayangi saya tiada henti. Semoga surga ada

untukmu.

Adeku Dwi Nuranti Setiyo Astuti yang paling aku sayangi.

Keluarga besar saya di Cilacap dan Sampang yang aku sayangi.

Teman-teman seperjuangan Math’08 tanpa kalian kampus ‘kan

terasa hampa, khususnya Linda, Irna, dan Oja sodara-sodaraku

yang selalu menemaniku dalam suka dan duka.

Keluarga besar Rizqia kost warga bawah mba Awe, Mba Yuni,

Lia, Dwi, Nana, Puput, Oka, Ika, Wendi, Agi dan Nova segenap

warga atas. Kalian selalu dihati.


vi

Motto

Sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan, maka apabila engkau

telah selesai (dari sesuatu urusan) tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain),

dan hanya kepada Tuhanmulah engkau berharap (Qs. Al- Insyirah : 6-8)

Ilmu pengetahuan adalah keindahan bagi para ahlinya di dunia dan di

akhirat (HR. Ar-Rabbi)

Berusaha dengan sungguh-sungguh dan berdoa adalah syarat mutlak dalam

hidup untuk mencapai kesuksesan yang kita inginkan (Penulis)


vii

ABSTRAK

Penelitian ini bertujuan menentukan penyelesaian integral dimensi-ndengan menggunakan Teorema Fubini. Metode penelitian yang digunakan dalampenyusunan skripsi ini adalah studi litelatur. Kesimpulan dari penelitian ini adalahsebagai berikut: jika terdapat fungsi RBAf : merupakan fungsi yang

terintegral pada interval nRBA dan BA

dydxyxf ),( maka

ABBA

dxyxfdydyyxfdx ),(),( . Sehingga, jika suatu proses pengintegralan

tidak dapat diselesaikan secara langsung maka proses pengintegralan tersebuttetap dapat diselesaikan dengan cara diubah urutan pengintegralannya. Selain itu,dengan perubahan tersebut juga akan memudahkan penyelesaian proses

pengintegralan secara analitik. Tetapi, jika BA

dydxyxf ),( dapat diartikan

integral dari nilai absolut fungsi ),( yxf , tidak terbatas maka dapat disimpulkan

nilai dari BA

dydxyxf ),( tidak terdefinisi dan ABBA

dxyxfdydyyxfdx ),(),( .

Kata Kunci : Integral Dimensi-n, Teorema Fubini


viii

KATA PENGANTAR

Alkhamdulillah segala puji bagi Alloh SWT, Tuhan semesta alam yang

Maha Pengasih dan Penyayang, yang senantiasa memberi kemudahan kepada

hambanya untuk berusaha. Hanya dengan keridhoan, kekuatan dan keberkahan

Nyalah peneliti dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan

salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta

keluarga dan sahabatnya.

Peneliti berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini

dengan memaparkan dan menyajikan hasil penelitian yang terbaik. Tetapi sebagai

manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan, peneliti menyadari sepenuhnya

bahwa masih banyak kekurangan dalam sistematika penulisan, tata bahasa,

maupun teknik dan kelengkapan penyajian.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terimakasih kepada semua

pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian ini. Ucapan terimakasih

peneliti ucapkan kepada:

1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah

Purwokerto.

2. Drs. Joko Purwanto, M.Si., Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

3. Chumaedi Sugihandardji, S.Si., M.Si., Kaprodi Pendidikan Matematika.


ix

4. Eka Setyaningsih, S.Si., M.Si., Pembimbing I yang telah memberikan

motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk

serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.

5. Erni Widiyastuti, S.Si., M.Si., Pembimbing II yang telah memberikan

motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk

serta arahan dalam penyusunan skripsi ini.

6. Semua pihak yang tidak mungkin penulis sebutkan satu persatu yang secara

langsung maupun tidak langsung, telah memberikan bantuan dan semangat

dalam penyusunan skripsi ini.

Teriring doa dan harapan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan

senantiasa mendapat balasan yang berlipat ganda dari Alloh SWT. Penulis

berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk kemajuan semua.

Purwokerto, Februari 2012

Peneliti


x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN ..................................................................... ii

HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................... iii

SURAT PERNYATAAN ............................................................................ iv

PERSEMBAHAN ....................................................................................... v

MOTTO ...................................................................................................... vi

ABSTRAK .................................................................................................. vii

KATA PENGANTAR ................................................................................. viii

DAFTAR ISI ............................................................................................... x

DAFTAR LAMBANG ................................................................................ iixiii

DAFTAR GAMBAR.................................................................................... iixvi

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Balakang Masalah ................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................ 3

C. Tujuan .............................................................................................. 3

D. Manfaat Penelitian ........................................................................... 3

BAB II KAJIAN TEORI

A. Sistem Bilangan Real ....................................................................... 4

B. Himpunan ....................................................................................... 5

1. Himpunan Terbatas ...................................................................... 6

2. Himpunan Bilangan Real .............................................................. 8


xi

C. Fungsi .............................................................................................. 8

1. Fungsi Komposisi ......................................................................... 9

2. Fungsi Invers ................................................................................ 10

3. Jenis Fungsi .................................................................................. 12

a. Fungsi Eksponen ...................................................................... 12

b. Fungsi Transeden ..................................................................... 12

4. Fungsi Terbatas ............................................................................ 13

D. Limit ................................................................................................ 14

1. Limit Fungsi di R ......................................................................... 14

2. Limit Fungsi di 2R ....................................................................... 17

3. Limit Fungsi di nR ....................................................................... 17

E. Kekontinuan ..................................................................................... 18

1. Kekontinuan Fungsi di R .............................................................. 18

2. Kekontinuan Fungsi di 2R ........................................................... 19

3. Kekontinuan Fungsi di nR ........................................................... 20

F. Turunan ........................................................................................... 20

1. Turunan Fungsi di R ..................................................................... 20

a. Sifat-Sifat Turunan ................................................................... 23

b. Turunan Fungsi Komposisi ...................................................... 23

c. Turunan Fungsi Trigonometri ................................................... 24

d. Turunan Fungsi Invers Trigonometri ........................................ 24

e. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial ........................... 25

f. Turunan Fungsi pada Suatu Interval .......................................... 26


xii

g. Turunan Tingkat Tinggi ........................................................... 26

2. Turunan Fungsi di nR .................................................................. 27

G. Integral ............................................................................................. 32

1. Integral Tak-Tentu (Anti-Turunan) ............................................... 32

2. Integral Tentu ............................................................................... 37

a. Integral pada Fungsi Satu Variabel ........................................... 37

b. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Persegi Panjang ...................... 43

c. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang ........... 46

d. Perhitungan Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi

Panjang ................................................................................... 46

e. Integral Lipat-Dua pada Koordinat Kutub ................................ 48

f. Teorema Fubini ........................................................................ 50

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ..................................................... 52

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Integral Dimensi-n ........................................................................... 57

B. Sifat-Sifat Sederhana Integral Dimensi-n .......................................... 59

C. Teorema Fubini ................................................................................ 64

D. Penyelesaian Permasalahan Integral Dimensi-n dengan

Menggunakan Teorema Fubini ......................................................... 71

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan....................................................................................... 90

B. Saran................................................................................................. 90

DAFTAR PUSTAKA................................................................................... 92


xiii

DAFTAR LAMBANG

Untuk setiap

Elemen

Himpunan bagian sejati

R Sistem bilangan Real

nR Ruang dimensi-n

R -{0} Semua bilangan Real kecuali nol

x Harga mutlak x

Lebih kecil dari

Lebih besar dari

Lebih kecil atau sama dengan

Lebih besar atau sama dengan

Gabungan

AInf Batas bawah terbesar himpunan A

ASup Batas atas terkecil himpunan A

fD Daerah asal fungsi f


xiv

fR Daerah hasil fungsi f

fg Komposisi fungsi

fgD Daerah asal Komposisi fungsi

fgR Daerah hasil Komposisi fungsi

Tidak sama dengan

1f Invers fungsi f

Jika .... maka .....

jika dan hanya jika

J Volume atau ukuran (measure) interval J

P Panjang maksimum selang bagian pada partisi P

)(lim xfcx

Limit dari fungsi f(x) dengan x mendekati c

)(' xf Turunan pertama fungsi f (x)

i

f Jumlah Riemann

dxxfb

a )( Integral atas Riemann


xv

dxxfb

a )( Integral bawah Riemann

dxxfb

a )( Integral dari fungsi f (x) pada [a,b]

dxxfJ

)( Integral fungsi f(x) pada interval J

nnJ

dxdxdxxxxf ...),...,,(... 2121 Integral fungsi f(x) pada intervalnRJ

BA

dydxyxf ),( Integral fungsi f(x) pada interval BA

BA

dyyxfdx ),( Integral fungsi f(x) yang diintegralkan pertama pada interval

B kemudian dilanjutkan pada interval A


xvi

DAFTAR GAMBAR

GAMBAR Halaman

1.1 Diagram Panah Fungsi f(x)..................................................................... 9

1.2 Komposisi Fungsi ................................................................................. 10

1.3 Invers Fungsi ........................................................................................ 11

1.4 Himpunan S .......................................................................................... 20

1.5 Jumlah Riemann ................................................................................... 38

1.6 Daerah dxcbxayxD ,:, ................................................ 43

1.7 Permukaan yxfz , ......................................................................... 44

1.8 Kurva S Tertutup ................................................................................... 46

1.9 Kurva S Dikelilingi oleh Persegi Panjang D .......................................... 46

1.10 Kurva yxfzS ,: ............................................................................ 46

1.11 Kurva y Sederhana .............................................................................. 47

1.12 Kurva x Sederhana .............................................................................. 47

1.13 Kurva S sebagai Persegi Panjang D ................................................... 47

1.14 Persegi Panjang Kutub ......................................................................... 49

1.15 Kurva ,, rFyxfz .................................................................. 49

1.16 Partisi D dalam Persegi Panjang Kutub ............................................... 49

1.17 Irisan oleh Bidang x = Konstanta ......................................................... 71

1.18 Irisan oleh Bidang y = Konstanta ......................................................... 72

1.19 Grafik Fungsi ),( yxfz dengan Irisan oleh Bidang x = Konstanta .... 72

1.20 Irisan oleh Bidang x = Konstanta ......................................................... 73


xvii

1.21 Grafik Fungsi ),( yxfz dengan Irisan oleh Bidang y = Konstanta .... 74

1.22 Irisan oleh Bidang y = Konstanta ......................................................... 74

1.23 Irisan oleh Bidang x = Konstanta ........................................................ 76

1.24 Irisan oleh Bidang y = Konstanta ....................................................... 77

1.25 Daerah S ............................................................................................. 79

1.26 Grafik Fungsi ),,( zyxfw dengan Daerah S .................................... 81

1.27 Daerah Bidang xyS .............................................................................. 82

1.28 Daerah Bidang xzS ............................................................................... 83


PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN …repository.ump.ac.id/2964/1/WORO UTAMI...

Documents

Transcript of PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN …repository.ump.ac.id/2964/1/WORO UTAMI...