Bab-07 Ruang Dimensi 3

Matematika SMA Kelas X Semester 2

Bab 7 : Ruang Dimensi Tiga

1

Materi Pokok

RUANG DIMENSI TIGA Kompetensi Dasar 1 : Memahami komponen , menggambar dan menghitung volume dari benda ruang Kompetensi Dasar 2: Menggunakan abstraksi ruang untuk menggambar dan menghitung jarak dan sudut antara Indikator 1: Menentukan kedudukan titik , garis dan biang dalam ruang Menentukan volume benda ruang Menghitung perbandingan volume dua benda dalam suatu bangun ruang Menjelaskan bidang frontal , sudut surut, dan perbandingan proyeksi dalam menggambarkan bangun ruang Indikator 2: Menggambar dan menghitung jarak titik ke garis dan titik ke bidang Menggambar dan menghitung jarak dua garis bersilangan pada benda ruang Menggambar dan menghitung jarak dua bidang sejajar pada benda ruang Menggambar dan menghitung sudut antara dua bidang Menggambar irisan suatu bidang dengan benda ruangVOLUME BENDA RUANG

A

KalaedoskupPada waktu di SMP telah anda pelajari tentang volume beberapa bangun ruang diantaranya adalah : kubus, balok, prisma , limas, silinder, kerucut dan bola

Kubus, balok , prisma dan limas disebut bangun ruang sisi datar . Silinder, kerucut dan bola disebut bangung ruang sisi lengkung A.1.KUBUS

Bangun ruang kubus

H E D F

Gkiri

belak ang kanan atas

Jaring-jaring kubus

alas

C A Bdepan



2

Ayo. Kita lengkapi Bidang / Sisi Kubus : Ada 6 bidang / sisi yang membatasi sebuah kubus ABCD.EFGH diatas, yaitu : bidang / sisi alas ( ABCD ) bidang / sisi atas ( ) bidang / sisi depan ( ) bidang / sisi belakang ( ) bidang / sisi kiri ( ) bidang / sisi kanan ( )

Rusuk Kubus : Rusuk adalah perpotongan antara dua sisi / bidang , yaitu : perpotongan antara bidang alas dengan bidang depan , yaitu rusuk AB perpotongan antara bidang alas dengan bidang kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang alas dengan bidang kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang alas dengan bidang belakang , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang depan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang belakang , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang depan dengan bidang kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang belakang dengan bidang kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang depan dengan bidang kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang belakang dengan bidang kanan , yaitu rusuk . Titik Sudut Kubus : Titik sudut kubus adalah perpotongan antara tiga rusuk , yaitu : perpotongan antara rusuk AB, AD dan AE , yaitu titik sudut A perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut B perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut C perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut D perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut E perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut F perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut G perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut H Diagonal Sisi / bidang Kubus : diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi ABCD adalah ....... dan ........ EFGH adalah ....... dan ........ ACGE adalah ....... dan ........ BDHF adalah ....... dan ........ ABFE adalah ....... dan ........ CDGH adalah ....... dan ........ H E D A B F C

Ini contoh salah satu diagonal sisi pada kubus Panjangnya semua sama

G



3

Diagonal Ruang Kubus : diagonal ruang pada bidang ADHE adalah .... dan ..... H diagonal ruang pada bidang BFGC adalah .... dan ..... E diagonal ruang pada bidang CDFE adalah .... dan ..... D diagonal ruang pada bidang ABHG adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang ACHF adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang BDGE adalah .... dan ..... A Bidang Diagonal Kubus : E Coba sebutkan bidang diagonal yang lain : ................................................. A Volume Kubus : Volume kubus = luas alas x tinggi = .. x AE = AB x .. x AE = rusuk x rusuk x rusuk = a x .x .. = . H E a A D a a B F C G D B H F CIni salah satu contoh bidang diagonal Bentuk dan luasnya semua sama

G F C B GIni contoh salah satu diagonal ruang Panjangnya semua sama

Simpulkan

Jika kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a , maka volume kubus = .......

Ayo. Kita lengkapiCONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sebuah kubus dengan luas permukaannya sama dengan 24 cm2. Hitunglah : a. panjang rusuknya b. panjang diagonal sisinya c. panjang diagonal ruangnya d. luas bidang diagonalnya e. volumenya Ingat : kubus mempunyai 6 sisi / Penyelesaian : a. Luas permukaan = 24 permukaan . Jika kubus itu mempunyai 6 a2 = 24 rusuk a maka luas permukaan itu = 6....... a2 = ........ a = ..... jadi panjang rusuk kubus = ....... cm. b. 2 A2

D

C

B

Ini adalah salah satu sisi dari kubus ABCD.EFGH ( sisi alas ) Salah satu diagonal sisinya adalah AC ABCD sebetulnya adalah berbentuk persegi , maka panjang sisi AC dapat dicari dengan rumus Phitagoras



4

AC = = =

AB 2 + AC 22 2 + ...... .......

= 2 ..... Jadi panjang diagonal sisi kubus adalah ......... cm.

c. E 2 A 2 C GIni adalah bidang diagonal ACGE yang memuat diagonal ruang EC jika digambar dalam dua dimensi

H ED

G F F C

A B Panjang diagonal ruang EC dapat dihitung dengan menggunakan rumus Phytagoras sebagai berikut : EC = == =

AC 2 + AE 2(........) 2 + ....... 2 ...... + ....... ......

= 2 ...... Jadi panjang diagonal ruang kubus adalah ......... cm. d. H C Ini salah satu contoh bidang diagonal , 2 yang sebetulnya berbentuk persegipanjang E 2 2 B Luas bidang diagonal dapat dihitung dengan menggunakan rumus luas persegipanjang, sebagai berikut : Luas bidang diagonal = EB x EH = ........ x ........ = ......... e. Volume kubus = ( rusuk )3 = ( ......... )3 = ...........

UJI KOMPETENSI

1

KUBUS

1. Sebuah kubus mempunyai panjang rusuk 8 cm. Hitunglah : a. panjang diagonal sisinya b. panjang diagonal ruangnya c. luas bidang diagonalnya d. luas permukaannya e. volumenya



5

2. Sebuah kubus mempunyai panjang rusuk 3 2 cm. Hitunglah : a. panjang diagonal sisinya b. panjang diagonal ruangnya c. luas bidang diagonalnya d. luas permukaannya e. volumenya 3. Sebuah kubus mempunyai luas permukaan 150 cm2. Hitunglah : a. pajang rusuknya b. panjang diagonal sisinya c. panjang diagonal ruangnya d. luas bidang diagonalnya e. volumenya 4. Sebuah kubus mempunyai luas permukaan 48 cm2. Hitunglah : a. pajang rusuknya b. panjang diagonal sisinya c. panjang diagonal ruangnya d. luas bidang diagonalnya e. volumenya 5. Sebuah kubus mempunyai volume 1000 cm3. Hitunglah : a. pajang rusuknya b. panjang diagonal sisinya c. panjang diagonal ruangnya d. luas bidang diagonalnya e. luas permukaannya 6. Sebuah kubus mempunyai volume 54 2 cm3. Hitunglah : a. pajang rusuknya b. panjang diagonal sisinya c. panjang diagonal ruangnya d. luas bidang diagonalnya e. luas permukaannya 7. Perbandingan panjang rusuk dua buah kubus A dan B adalah 1 : 2 . Jumlah volume dari kedua kubus A dan B tersebut adalah 72 cm3. Hitunglah : a. panjang rusuk masing-masing kubus b. perbandingan panjang diagonal sisi kubus A dan B c. perbandingan panjang diagonal ruang kubus A dan B d. perbandingan luas bidang diagonal kubus A dan B e. perbandingan luas permukaan kubus A dan B f. perbandingan volume kubus A dan B 8. Perbandingan panjang rusuk dua buah kubus A dan B adalah 2 : 3 . Jumlah volume dari kedua kubus A dan B tersebut adalah 224 cm3. Hitunglah : a. panjang rusuk masing-masing kubus b. perbandingan panjang diagonal sisi kubus A dan B c. perbandingan panjang diagonal ruang kubus A dan B d. perbandingan luas bidang diagonal kubus A dan B e. perbandingan luas permukaan kubus A dan B f. perbandingan volume kubus A dan B



6

A.2.

BALOK

Jaring-jaring balokG Fbelakang

Bangun ruang balok

H E D C A B

C

kiri

alas

kanan

atas

depan

Ayo. Kita lengkapi Bidang / Sisi Balok :Ada 6 bidang / sisi yang membatasi sebuah balok ABCD.EFGH diatas, yaitu :

bidang / sisi alas ( ABCD ) bidang / sisi atas ( ) bidang / sisi depan ( )

bidang / sisi belakang ( ) bidang / sisi kiri ( ) bidang / sisi kanan ( )

Rusuk Balok : Rusuk adalah perpotongan antara dua sisi / bidang , yaitu : perpotongan antara bidang alas dengan bidang depan , yaitu rusuk AB perpotongan antara bidang alas dengan bidang kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang alas dengan bidang kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang alas dengan bidang belakang , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang depan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang belakang , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang depan dengan bidang kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang belakang dengan bidang kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang depan dengan bidang kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang belakang dengan bidang kanan , yaitu rusuk . Titik Sudut Balok : Titik sudut balok adalah perpotongan antara tiga rusuk , yaitu : perpotongan antara rusuk AB, AD dan AE , yaitu titik sudut A perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut B perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut C perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut D perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut E perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut F perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut G perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut H



7

Diagonal Sisi / bidang Balok :

diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi

ABCD adalah ....... dan ........ EFGH adalah ....... dan ........ ACGE adalah ....... dan ........ BDHF adalah ....... dan ........ ABFE adalah ....... dan ........ CDGH adalah ....... dan ........

H E D A B F

GIni contoh salah satu diagonal sisi pada balok Panjangnya tidak semua sama

C

Diagonal Ruang Balok :diagonal ruang pada bidang ADHE adalah .... dan ..... H diagonal ruang pada bidang BFGC adalah .... dan ..... E diagonal ruang pada bidang CDFE adalah .... dan ..... D diagonal ruang pada bidang ABHG adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang ACHF adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang BDGE adalah .... dan ..... A G F C B G F D A H E c A Jika balok ABCD.EFGH mempunyai panjang a , lebar b , dan tinggi c maka volume balok = ....... D a B F C b G B CIni contoh salah satu diagonal ruang Apakah panjangnya semua sama ?

Bidang Diagonal Balok :E Coba sebutkan bidang diagonal yang lain : .......................................... ..........................................

H

Volume Balok : Volume balok = luas alas x tinggi = .. x AE = AB x .. x AE = a x .x ..

Ini salah satu contoh bidang diagonal Apakah luasnya semua sama ?

Simpulkan

Ayo. Kita lengkapiCONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 8 cm, lebar 4 cm dan tinggi 2 cm. Hitunglah : a. panjang diagonal sisi AC b. panjang diagonal ruang EC c. luas bidang diagonal ACGE d. luas permukaannya e. volumenya Penyelesaian :



8

a. D 4 A AC = = 8 B CIni adalah salah satu sisi dari balok ABCD.EFGH ( sisi alas ) Salah satu diagonal sisinya adalah AC ABCD sebetulnya adalah berbentuk persegi panjang , maka panjang sisi AC dapat dicari dengan rumus Phitagoras

AB 2 + AC 2 8 2 + ......

= ....... = ....... Jadi panjang diagonal sisi balok AC adalah ......... cm.

b. E 2 A 4 5 C GIni adalah bidang diagonal ACGE yang memuat diagonal ruang EC jika digambar dalam dua dimensi

H E F

G

FC C

D

A B Panjang diagonal ruang EC dapat dihitung dengan menggunakan rumus Phytagoras sebagai berikut : EC = = =

AC 2 + AE 2(........) 2 + ....... 2 ...... + .......

= ...... = ......... Jadi panjang diagonal ruang EC adalah ......... cm. c. E 2 G

Ini salah satu contoh bidang diagonal , yang sebetulnya berbentuk persegipanjang

A 4 5 C Luas bidang diagonal ACGE dapat dihitung dengan menggunakan rumus luas persegipanjang, sebagai berikut : Luas bidang diagonal ACGE = AC x AE = ........ x ........ = ......... d. Volume balok = panjang x lebar x tinggi = ........... x........ x ......... = ......... Jadi volume balok adalah ........... cm3



9

UJI KOMPETENSI

2

BALOK

1. Sebuah balok ABCD.EFGH mempunyai panjang 7 cm, lebar 5 cm dan tinggi 3 cm. Hitunglah a. panjang diagonal sisi AC b. panjang diagonal ruang EC c. luas bidang diagonal ACGE d. luas permukaannya e. volumenya 2. Sebuah balok PQRS.TUVW mempunyai panjang 10 cm, lebar 8 cm dan tinggi 4 cm. Hitunglah : a. panjang diagonal sisi PR b. panjang diagonal ruang SU c. luas bidang diagonal QRTW d. luas permukaannya e. volumenya 3. Perbandingan panjang , lebar dan tinggi sebuah balok adalah 5 : 3 : 2. Luas permukaan balok sama dengan 62 cm2. Hitunglah : a. panjang , lebar dan tingginya b. volumenya 4. Perbandingan panjang , lebar dan tinggi sebuah balok adalah 3 : 2 : 1. Luas permukaan balok sama dengan 88 cm2. Hitunglah : a. panjang , lebar dan tingginya b. volumenya 5. Perbandingan panjang , lebar dan tinggi sebuah kotak yang berbentuk balok adalah 6 : 4 : 3. Volume kotak sama dengan 576 cm3. Jika ke dalam kotak tersebut dimasukkan kubus dengan panjang rusuknya 4 cm, berapa banyaknya kubus yang dapat dimasukkan ke dalam kotak tersebut ?

A.3.

PRISMA

R G F Q C B

Bidang pengiris ( )

H E D A H E D A P S Q P R S

Ini adalah sebuah balok ABCD.EFGH yang diiris oleh bidang datar

R Potongan balok sebelah kiri S Q P B F

G Potongan balok sebelah kanan

C

Potongan-potongan balok seperti itulah yang selanjutnya dinamakan Prisma

Sebaiknya Anda Tahu



10

Definisi Prisma : Prisma adalah benda ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang yang saling sejajar ( bidang alas dan bidang atas) dan oleh bidang lain ( bidang sisi tegak ) yang saling berpotongan menurut rusuk-rusuk yang sejajar.

Bidang atas

H E D A P S

RSisi tegak

R S QBidang alas

G F C B Potongan balok sebelah kanan

Q P

Ayo. Kita lengkapi Bidang / Sisi Prisma :

Ada 6 bidang / sisi yang membatasi sebuah prisma APQD.ESRH ( potongan balok sebelah kiri ) diatas, yaitu : bidang / sisi alas ( APQD ) bidang / sisi tegak belakang ( ) bidang / sisi tegak kiri ( ) bidang / sisi atas ( ) bidang / sisi tegak depan ( ) bidang / sisi tegak kanan ( ) Rusuk Prisma : Rusuk adalah perpotongan antara dua sisi / bidang , yaitu : perpotongan antara bidang alas dengan bidang tegak depan , yaitu rusuk AP perpotongan antara bidang alas dengan bidang tegak kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang alas dengan bidang tegak kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang alas dengan bidang tegak belakang , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang tegak depan , yaitu rusuk perpotongan antara bidang atas dengan bidang tegak kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang tegak kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang atas dengan bidang belakang , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang tegak depan dengan bidang tegak kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang tegak belakang dengan bidang tegak kiri , yaitu rusuk perpotongan antara bidang tegak depan dengan bidang tegak kanan , yaitu rusuk perpotongan antara bidang tegak belakang dengan bidang tegak kanan ,yaitu rusuk. Titik Sudut prisma : Titik sudut prisma adalah perpotongan antara tiga rusuk , yaitu : perpotongan antara rusuk AP, AD dan AE , yaitu titik sudut A perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut P



11

perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut Q perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut D perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut E perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut S perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut R perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut H

Diagonal Sisi / bidang Prisma :

Ini contoh salah satu diagonal sisi pada prisma Panjangnya tidak semua sama

diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi diagonal sisi

APQD adalah ....... dan ........ ESRH adalah ....... dan ........ ADHE adalah ....... dan ........ PQRS adalah ....... dan ........ APSE adalah ....... dan ........ DQRH adalah ....... dan ........

H E D A P S

R

Q

Diagonal Ruang Prisma :

H diagonal ruang pada bidang ADSR adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang PQHE adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang DQSE adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang APRH adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang AQRE adalah .... dan ..... diagonal ruang pada bidang PSHD adalah .... dan .....Bidang Diagonal Prisma :

R S

E D A P

QIni contoh salah satu diagonal ruang Panjangnya tidak semua samaIni salah satu contoh bidang diagonal Bentuk dan luasnya tidak semua sama

H E S D A P

R

Coba sebutkan bidang diagonal yang lain : ................................................. Volume Prisma : Volume prisma = luas alas x tinggi Jenis-jenis Prisma :

Q

D E

F

H

G F

J

I H G

E DD A BIni contoh prisma segi tiga beraturan Karena alasnya segitiga beraturan

F C B A E

D C B

C A

Tiga contoh prisma ini merupakan jenis prisma segi n beraturan , karena alasnya berupa segi n beraturan

Ini contoh prisma segi empat beraturan Karena alasnya segiempat beraturan

Ini contoh prisma segi lima beraturan Karena alasnya segilima beraturan



12

Tugas

1. Gambarlah prisma : segi 6 beraturan segi 8 beraturan dan segi 12 beraturan 2. Berbentuk bangun ruang apakah jika prisma segi tak terhingga beraturan ? H E e D F C A B A B G F E G D C J I HTiga contoh prisma ini merupakan jenis prisma segi n tegak , karena alasnya berupa segi n sembarang, namun sisi tegaknya tetap tegaklurus pada bidang alas

D E

F

A B

C

Ini contoh prisma segi tiga tegak

Ini contoh prisma segi empat tegak

Ini contoh prisma segi lima tegak

Tugas

1. Gambarlah prisma : segi 6 tegak segi 8 tegak dan segi 12 tegak 2. Berbentuk bangun ruang apakah jika prisma segi tak terhingga tegak ? F H E D G FF C A B A BIni contoh prisma segi empat miring Ini contoh prisma segi lima miring

D E

J F E

I H G D C

A BIni contoh prisma segi tiga miring

C

Tiga contoh prisma ini merupakan jenis prisma segi nmiring/condong , karena alasnya berupa segi n sembarang, namun sisi tegaknya tidak tegaklurus pada bidang alas

Tugas

1. Gambarlah prisma : segi 6 miring segi 8 miring dan segi 12 miring 2. Berbentuk bangun ruang apakah jika prisma segi tak terhingga miring ?



13

D

H

G

J

I

F E A B C A D E

F C B

F E A

H DG C B

Tiga contoh prisma ini merupakan jenis prisma segi n terpancung , karena alasnya berupa segi n sembarang, sisi tegaknya tetap tegaklurus pada bidang alas , namun bidang alas dan bidang atas tidak sejajar

Ini contoh prisma segi tiga terpancung

Ini contoh prisma segi empat terpancung

Ini contoh prisma segi lima terpancung

Tugas

1. Gambarlah prisma : segi 6 terpancung segi 8 terpancung dan segi 12 terpancung 2. Berbentuk bangun ruang apakah jika prisma segi tak terhingga terpancung ?

Ayo. Kita lengkapiCONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sebuah prisma tegak ABC.DEF mempunyai panjang AB = 5 cm, BC = 4 cm dan AC = 3 cm. Panjang rusuk tegaknya adalah 6 cm. Hitunglah volume prisma tersebut Penyelesaian :

D 6 E

F

Alasnya berupa segitiga siku-siku di C, maka luasnya dapat dihitung dengan menggunakan rumus luas segitiga :

AA 5 B 3 4 C

L=

1 alas x tinggi 2

3 C 4

5 B 1 = x alas x tinggi segitiga 2 1 = x ...... x ....... 2 = ........ cm2

Luas ABC

Volume prisma

= luas x tinggi prisma = ....... x ....... = ......... Jadi volume prisma adalah ......... cm3



14

UJI KOMPETENSI

3

PRISMA

1. Sebuah prisma segitiga tegak ABC.DEF mempunyai panjang AB = 9 cm, BC = 10 cm dan AC = 11 cm. Jika tinggi prisma sama dengan 12 cm , hitunglah : a. volume prisma b. luas permukaan prisma 2. Sebuah prisma segitiga tegak ABC.PQR mempunyai panjang AB = 25 cm, BC = 7 cm . Alas prisma bebrbentuk segiga siku-siku di A . Jika tinggi prisma sama dengan 10 cm , hitunglah : a. volume prisma b. luas permukaan prisma 3. Sebuah prisma segitiga beraturan ABC.KLM mempunyai panjang rusuk alas sama dengan 6 cm. Jika tinggi prisma sama dengan 8 cm , hitunglah : a. volume prisma b. luas permukaan prisma 4. Sebuah prisma segitiga beraturan KLM.XYZ mempunyai panjang rusuk alas sama dengan

2 3 cm. Jika tinggi prisma sama dengan 3 6 cm , hitunglah :a. volume prisma b. luas permukaan prisma 5. Sebuah prisma segilima beraturan ABCDE.FGHIJ mempunyai panjang rusuk alas sama dengan 2 cm. Jika tinggi prisma sama dengan 6 cm , hitunglah : a. volume prisma b. luas permukaan prisma c. panjang diagonal alas d. panjang diagonal ruang 6. Sebuah prisma segienam beraturan ABCDEF.PQRSTU mempunyai panjang rusuk alas sama dengan 4 cm. Jika tinggi prisma sama dengan 7 cm , hitunglah : a. volume prisma b. luas permukaan prisma c. panjang diagonal alas d. panjang diagonal ruang T

A.4.Limas segitiga

LIMAS

C A B

Ayo. Kita lengkapi Bidang / Sisi Limas :

Definisi Limas : Limas adalah benda ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang alas berbentuk segi n dan oleh bidang lain ( bidang sisi tegak berbentuk segitiga yang saling berpotongan di satu titik )

Ada 4 bidang / sisi yang membatasi sebuah limas sgitiga T.ABC diatas, yaitu : bidang / sisi alas ( ABC ) bidang / sisi tegak depan ( TAB ) bidang / sisi tegak kiri ( ) bidang / sisi tegak kanan ( )



15

Rusuk Limas : Rusuk adalah perpotongan antara dua sisi / bidang , yaitu : perpotongan antara bidang alas dengan bidang tegak depan , yaitu rusuk AB perpotongan antara bidang alas dengan bidang tegak kanan , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang alas dengan bidang tegak kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang tegak depan dengan bidang tegak kiri , yaitu rusuk . perpotongan antara bidang tegak depan dengan bidang tegak kanan , yaitu rusuk perpotongan antara bidang tegak kiri dengan bidang tegak kanan ,yaitu rusuk. Titik Sudut Limas : Titik sudut limas adalah perpotongan antara tiga rusuk , yaitu : perpotongan antara rusuk AB, AC dan TA , yaitu titik sudut A perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut B perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut C perpotongan antara rusuk ., . dan ... , yaitu titik sudut T Volume Limas : 1 Volume prisma = luas alas x tinggi 3

Ini adalah limas beraturan, karena panjang rusuk tegaknya semua sama ( atau dengan kata lain proyeksi titik puncaknya tepat di pusat alasnya )

Jenis-jenis Limas :

T

T

T

D C ALimas segitiga beraturan

C A

E D B C

B

A

B

Limas segiempat beraturan

Limas segilima beraturan

Tugas

Gambarlah limas : segi 6 beraturan segi 8 beraturan dan segi 12 beraturan



16

Ini adalah limas sembarang, karena panjang rusuk tegaknya tidak semua sama ( atau dengan kata lain proyeksi titik puncaknya tidak tepat di pusat alasnya )

T

T

T

D C ALimas segitiga sembarang

C A

E D BLimas segilima sembarang

B

A

BLimas segiempat sembarang

C

Tugas

Gambarlah limas : segi 6 sembarang segi 8 sembarang dan segi 12 sembarang

Definisi Bidangempat : Bidangempat ( tetrahedron ) adalah benda ruang yang dibatasi oleh empat buah bidang berbentuk segitigaIni adalah bidang empat sembarang, karena bidang segitiga pembatasnya hanya segitiga sembarang

Ini adalah bidang empat sikusiku, karena tiga buah rusuk yang bertemu saling tegak lurus ( TA tegak lurus AB , TA tegak lurus AC , AB tegak lurus AC )

T

T

T C

C A B A

C BAIni adalah bidang empat tegak, karena salah satu rusuk tegaknya tegak lurus dengan bidang alasnya ( TA tegak lurus bidang alas ABC )

B



17

T

T =

T < C = V B

C

C =

=

AIni adalah bidang empat ortogonal, karena setiap pasang rusuk yang saling berhadapan bersilangan tegak lurus ( TA bersilangan tegak lurus dengan BC, demikian juga dengan TB dan AC serta TC dan AB )

B

A

B

A

Ini adalah bidang empat beraturan, karena semua rusuknya sama panjang atau empat buah segitiga pembatasnya merupakan segitiga samasisi ( TA = AB = BC = AC )

Ini adalah bidang empat samasisi, karena semua bidang segitiga pembatasnya merupakan segitiga yang kongruen ( ABC kongruen dengan TBC dan TAC )

Ayo. Kita lengkapiCONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sebuah limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegaknya 8 cm. Hitunglah : a. tinggi limas b. volume limas Penyelesaian : Untuk mencari tinggi limas ( TO ) dapat

a.

T

digunakan teorema Phytagoras dengan melihat segitiga TOB ( siku-siku di O ) :

T 8 D O A B C O C AC = TO = = = =Jadi tinggi limas adalah ............ cm.

Cari dahulu panjang OC dengan Phytagoras ( lihat segitiga ABC yang siku-siku di B :

AB 2 + BC 2......2 + ......2 ..... + .....

TC 2 OC 2......2 ......2 ..... ..... ......

= =

= 2 ...... 1 OC = AC 2 = ........



18

b. D C 6 Cari dahulu luas alas yang berbentuk persegi : Luas alas ABCD = AB x BC = ...... x ..... = .......

B 6 1 Volume limas = luas alas x tinggi limas 3 1 = x ........ x........ 3 = ........... Jadi volume limas adalah .......... cm3

A

UJI KOMPETENSI

4

LIMAS

1. Sebuah limas segitiga beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 4 cm, panjang rusuk tegak 8 cm. Hitunglah : a. tinggi limas b. volume limas c. luas permukaan limas 2. Sebuah limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 5 cm, panjang rusuk tegak 7 cm. Hitunglah : a. tinggi limas b. volume limas c. luas permukaan limas 3. Sebuah limas segilima beraturan T.ABCDEdengan panjang rusuk alas 3 cm, panjang rusuk tegak 6 cm. Hitunglah : a. tinggi limas b. volume limas c. luas permukaan limas 4. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah : a. volume limas E.ABD b. volume limas E.ABCD c. luas permukaan limas E.ABD d. luas permukaan limas E.ABCD e. Tentukan perbandingan antara volume limas E.ABD dengan E.ABCD 5. Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. T titik perpotongan antara diagonal EG denga FH. Hitunglah : a. volume kubus ABCD.EFGH b. volume limas T.ABD c. volume limas T.ABCD d. luas permukaan limas T.ABD e. luas permukaan limas T.ABCD f. Tentukan perbandingan antara volume limas T.ABD dengan T.ABCD g. Tentukan perbandingan antara volume limas T.ABD dengan volme kubus ABCD.EFGH h. Tentukan perbandingan antara volume limas T.ABCD dengan volme kubus ABCD.EFGH



19

A.5.Bidang atas dengan jari-jari r

SILINDER / TABUNG

r t

T

OBidang lengkung ini diperoleh dari persegipanjang yang panjangnya sama dengan keliling lingkaran bidang alas / atas dan lebarnya sama dengan tinggi silinder ( TO )

Definisi Silinder : Silinder adalah benda ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang yang berbentuk lingkaran saling sejajar dan berjar-jari sama dan oleh sebuah bidang lengkung

Bidang alas dengan jar-jari r

Simpulkan

Volume Silinder :Volume Silinder = luas alas x tinggi silinder = .. x . = .

Volume silinder dengan jari-jari alas r dan tinggi t adalah...........

Ayo. Kita lengkapiCONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sebuah silinder dengan jari-jari bidang alasnya adalah 6 cm dan tinggi silender sama dengan 8 cm. Hitunglah : a. volume silinder b. luas permukaan silinder Penyelesaian :

a.

a. Volume silinder

8

=r2t = .62 . ........ = ............ Jadi volume silender = ....... cm3 b. Luas alas =r2 = .... 2

= ...... Luas atas = luas alas = .......r=

Luas bidang lengkung/selimut = keliling alas x tinggi = 2r x t = 2 x ........ x ....... = ......... Luas permukaan silinder = luas alas + luas atas + luas selimut = ............. + ............. + ................... = .............. Jadi luas permukaan silinder adalah .................. cm2

6



20

UJI KOMPETENSI

5

SILINDER / TABUNG

1. Sebuah sumur berbentuk silinder dengan diameter 2 m dan kedalaman 10 m . Hitunglah : a. volume sumur b. luas permukaan sumur 2. Sebuah tabung penyimpan minyak tanah mempunyai diameter 40 cm dan tinggi 125 cm . Hitunglah : a. volume tabung b. luas permukaan tabung 3. Sebuah tangki bensin berbentuk silinder mempunyai volume 5000 cm3 dan kedalaman 2 m . Hitunglah : a. luas bidang alasnya b. panjang jari-jari bidang alasnya c. luas selimutnya d. luas permukaannya 4. Dua buah silinder mempunyai perbandingan tinggi 2 : 1 , sedangkan perbandingan jarijarinya adalah 3 : 4 . Hitunglah perbandingan volumenya 5. Sebuah tangki penyimpan minyak tanah berbentuk silinder mempunyai panjang 4 m dan jarijari lingkaran bidang alasnya adalah 2 m. Berapa literkah minyak tanah yang dapat disimpan dalam tangki tersebut ?

A.6.

KERUCUT

TGaris pelukis

t

OBidang lengkung ini diperoleh dari juring lingkaran dengan panjang busurnya sama dengan keliling lingkaran alas

Definisi Kerucut : Kerucut adalah benda ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang alas yang berbentuk lingkaran dan oleh sebuah didang lengkung

Bidang alas dengan jar-jari r

Volume Kerucut :Volume kerucut = 1 luas alas x tinggi kerucut 3 1 = .. x . 3 1 = . 3

Simpulkan

Jika kerucut mempunyai jari-jari alas r dan tinggi t , maka volume kerucut = .......



21

Ayo. Kita lengkapiCONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sebuah kerucut dengan jari-jari bidang alasnya adalah 6 cm dan tinggi silender sama dengan 8 cm. Hitunglah : a. volume kerucut b. luas permukaan kerucut Penyelesaian :

a.

T

a. Volume kerucut

8

1 2 r t 3 1 = .62 . ........ 3=

= ............ Jadi volume kerucut adalah ....... cm3

A Or=

B

6

b. Luas alas = r 2 = .... 2 = ...... Luas atas = luas alas = .......

Luas bidang lengkung/selimut = keliling alas x panjang garis pelukis = 2r x TA = 2 x ........ x ....... = ......... TA dapat dicari dengan Luas permukaan kerucut = luas alas + luas atas + luas selimut Phytagoras : = ............. + ............. + ................... 2 2 = .............. TA= AO + TO 2 Jadi luas permukaan kerucut adalah .................. cm 2 2=

3 + ......

= ........ = .......

UJI KOMPETENSI

6

KERUCUT

1. Sebuah kerucut mempunyai jari-jari lingkaran alas sama dengan 5 cm dan tinggi 7 cm . Hitunglah : a. panjang garis pelukis b. luas permukaan kerucut c. volume kerucut 2. Volume sebuah kerucut sama dengan 200 cm3 , tinggi kerucut sama dengan 24 cm . Hitunglah : a. jari-jari bidang alas b. panjang garis pelukis c. luas permukaan kerucut



22

3. Sebuah pot tempel berbentuk belahan kerucut terbalik seperti diperlihatkan dalam gambar sebelah mempunyai jari-jari 10 cm dan tinggi 20 cm. Hitunglah a. panjang garis pelukis b. luas permukaan kerucut c. volume kerucut 4. Sebuah bak air terbentuk dari kerucut terbalik yang dipotong sepertiga bagian bawahnya seperti diperlihatkan dalam gambar sebelah.Tinggi kerucut 15 cm dan jari-jari kerucut 8 cm. Hitunglah : a. volume kerucut b. volume bak air 5. Sebuah peluru yang berbentuk gabungan antara silinder dan kerucut diperlihatkan seperti pada gambar sebelah. Jika tinngi silender 5 cm , tinggi kerucut 1 cm dan jari-jari silender 1 cm, hitunglah volume peluru tersebut

A.7.

BOLA

Jari-jari bola = r Titik pusat bola

Definisi Bola : Bola adalah benda ruang yang dibatasi oleh bidang lengkung yang meyelimuti satu putaran

Volume Bola :Jika kerucut terbalik yang mempunyai jari-jari dan tinggi sama dengan jari-jari bola ini kita isi dengan pasir , maka secara empiris dua kali volume pasir dalam kerucut akan memenuhi setengah belahan bola bagian bawah.

r

Dari kenyataan itu dapat ditulis : 2 x Volume kerucut =

Simpulkan

1 x volume bola atau 2

4 x Volume kerucut = volume bola 4 . = volume bola

Luas permukaan bola dengan jari-jari r 2 adalah 4 r Volume bola dengan jari-jari r = ......................



23

Ayo. Kita lengkapiCONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN Contoh 1 : Sebuah bola dengan jari-jari 6 cm .Hitunglah volume dan luas permukaan bola Penyelesaian :

Volume bola

=

4 3 r 3 4 = ......2 3

Luas permukaan bola

=4r2 = 4 ...... .....

= ............ Jadi volume bola adalah ....... cm3

= ......... jadi luas permukaan bola adalah ...... cm2

UJI KOMPETENSI

7

BOLA

1. Hitunglah volume dan luas permukaan bola dengan jari-jari berikut ini : a. 14 c. 5 d. 7 b. 21 2. Volume sebuah bola adalah 36 cm3 . Hitunglah b. Luas permukaan bola a. jari-jari bola 3. Volume sebuah belahan setengah bola adalah 72 cm3 . Hitunglah a. jari-jari belahan setengah bola b. Luas permukaan belahan setengah bola 4. Sebuah kubus dengan rusuk 7 cm didalamnya diisi bola dengan diameter sama dengan rusuk kubus tersebut. Hitunglah a. Volume kubus d. Luas permukaan bola e. Perbandingan luas permukaan kubus dan bola b. Luas permukaan kubus c. Volume bola f. perbandingan volume kubus dan bola

B

KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG

KalaedoskupPada pembahasan tentang volume benda ruang telah diuraikan juga titik sudut ( titik ), rusuk ( garis ) dan sisi ( bidang )

Titik, garis dan bidang inilah yang selanjutnya dinamakan unsur-unsur dalam ruang

B.1.

TITIK

Pengertian Titik : Titik tidak mempunyai ukuran tetapi hanya ditentukan oleh letaknya saja.Untuk menggambarkan sebuah titik cukup dengan tanda noktah kemudian dibubuhi huruf kapitalA titik A B titik B P titik P Q titik Q

Contoh titik



24

B.2.

GARIS

Pengertian Garis :Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetepi tidak mempunyai ukuran besar. Sebuah garis dapat diperpanjang sampai tak hingga. Pemberian nama sebuah garis dengan menggunakan huruf kecil atau dapat juga menyebutkan segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung.

Contoh garis garis h

h

A B segmen/ruas garis AB

B.3.

BIDANG

Pengertian Bidang :Bidang hanya mempunyai ukuran panjang dan lebar tetepi tidak mempunyai ukuran tebal. Sebuah bidang dapat diperluas sampai tak hingga. Pemberian nama sebuah bidang dengan menggunakan huruf kapital atau huruf , , atau dapat juga menyebutkan titik-titik pembentuk bidang tersebut. Lukisan sebuah bidang dapat berbentuk persegi. Persegipanjang atau jajarangenjang.

D

C

Contoh bidang Bidang A B Bidang ABCD Bidang

B.4.

AKSIOMA GARIS DAN BIDANG

Aksioma 1: Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis

Pengertian Aksioma ( Postulat ) :Aksioma ( postulat ) adalah sebuah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dimana kebenaran tersebut diterima tanpa adanya pembuktian.

g B A

g A B A

C B

Aksioma 2: Jika ada sebuah garis dan bidang berpotongan di dua titik maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang

Aksioma 3: Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah bidang



25

Dalil 3: Sebuah bidang ditentukan oleh dua garis berpotongan

Pengertian Dalil :Dalil adalah turunan dari aksioma

h k

g h A

g A

C B

Dalil 1: Sebuah bidang ditentukan oleh tiga buah titik sembarang

Dalil 4: Sebuah bidang ditentukan oleh dua garis sejajar

Dalil 2: Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik diluar garis tersebut

B.5.

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS

g B A Titik A terletak diluar garis g Kedudukan titik terhadap garis pada kubus ABCD.EFGH

g

Ayo. Kita lengkapi Titik A terletak pada garis AB Titik A terletak diluar garis BC Titik B terletak ....... garis BF Titik B terletak ....... garis EG Titik F terletak ....... garis EF Titik F terletak ....... garis EG

Titik B terletak pada garis g

H E D A B F

G

C

B.6.

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP BIDANGTitik A terletak pada bidang B

Titik B terletak diluar bidang

Ayo. Kita lengkapi Titik A terletak pada bidang ABCD Titik A terletak diluar bidang EFGH Titik B terletak ....... bidang BCGF Titik B terletak ....... bidang ACGE Titik F terletak ....... bidang EFGH Titik F terletak ....... bidang ACGE

A

Kedudukan titik terhadap bidang pada kubus ABCD.EFGH

H E D A B F

G

C



26

UJI KOMPETENSI

8

KEDUDUKAN TITIK TERHADAP GARIS DAN BIDANG

H 1. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH . Sebutkan titik-titik yang : a. terletak pada garis AB b. terletak diluar garis AB c. terletak pada garis EG d. terletak diluar garis EG e. terletak pada bidang ABFE f. terletak diluar bidang ACGE g. terletak pada bidang BEG h. terletak diluar bidang ACH 2. Pada limas segiempat T.ABCD disamping, sebutkan titik-titik yang : a. terletak pada bidang alas ABCD b. terletak diluar bidang alas ABCD c. terletak pada garis BC d. terletak diluar garis TB E D A T B F

G

C

D A B

C

3. Pada gambar prisma dibawah ini , pada masing-masing prisma sebutkan : a. titik-titik yang terletak pada bidang alas b. titik-titik yang terletak diluar bidang alas c. titik-titik yang terletak pada rusuk alas d. titik-titik yang terletak diluar rusuk alas D E D A B C A B A B C F H E e F C G F E G D J I H

4. Pertanyaan seperti no. 3 untuk gambar dibawah ini :T T

T

D C A B A B

C A B

E D C



27

B.7.

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS LAIN

g h g h g A h

h A g

Dua garis berimipit Dua buah garis (g dan h) dikatakan berimpit jika kedua garis terletak pada satu bidang () dan berpotongan lebih dari satu titik

Dua garis sejajar Dua buah garis (g dan h) dikatakan sejajar jika kedua garis terletak pada satu bidang () dan tidak mempunyai satupun titik potong

Dua garis berpotongan Dua buah garis (g dan h) dikatakan berpotongan jika kedua garis terletak pada satu bidang () dan hanya mempunyai satu titik potong (A)

Dua garis bersilangan Dua buah garis (g dan h) dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak terletak pada satu bidang ()

Ayo. Kita lengkapi Garis AB sejajar dengan garis EF Garis AB .......... dengan garis HG Garis EG .......... dengan garis AC Garis AB .......... dengan garis BC Garis CD .......... dengan garis BF Garis AC .......... dengan garis BF Garis CG .......... dengan garis EG Garis DH .......... dengan garis EF Kedudukan garis terhadap garis lain pada kubus ABCD.EFGH

H E D A B F

G

C

UJI KOMPETENSI

9

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP GARIS LAIN

H 1. Pada kubus ABCD.EFGH disamping, tentukan kedudukan garis-garis berikut ini : a. BG dengan AC e. DH dengan EG b. BG dengan EG f. CG dengan AE c. DC dengan BG g. EF dengan BG d. AD dengan FG h. HG dengan BC 2. Pada limas segiempat T.ABCD disamping, sebutkan kedudukan garis-garis berikut : a. AB dengan BC b. TB dengan CD c. TD dengan AD d. AC dengan TA e. BD dengan TD f. AC dengan TO E D A T B F

G

C

D O A B

C



28

3. Pada masing-masing gambar prisma dibawah ini , sebutkan kedudukan garis-garis berikut : b. Pada prisma segiempat : c. Pada prisma segilima : a. Pada prisma segitiga : AB dengan BC AB dengan AE AB dengan AC CD dengan HE CD dengan EJ BC dengan EF EF dengan GH EF dengan HI AB dengan EF CG dengan CD CG dengan FG DF dengan BC AE dengan CD AE dengan FJ AB dengan DE D E D A B C A B A B C F H E e F C G F E G D J I H

4. Pada masing-masing gambar limas dibawah ini , sebutkan kedudukan garis-garis berikut : c. Pada limas segilima : b. Pada limas segiempat : a. Pada limas segitiga : AB dengan BC AB dengan AE AB dengan AC CD dengan TD CD dengan TE BC dengan TC TC dengan TB EC dengan TC AB dengan TC AC dengan BD CD dengan TE BC dengan TA AC dengan TB AE dengan TB AB dengan BCT T

T

D C A B A AKSIOMA DUA GARIS SEJAJAR B

C A B

E D C

g A h

DALIL DUA GARIS SEJAJAR

Aksioma : Melalui sebuah titik (A) yang terletak diluar sebuah garis (h) hanya dapat dibuat sebuah garis (g) yang sejajar dengan garis itu (h)



29

h h g h k k B A g

g

Dalil 1: Jika garis h sejajar garis g dan garis g sejajar garis k maka garis h sejajar garis k Dapat ditulis : h // ...... g // ...... ------- h // ......

Dalil 2: Jika garis k memotong garis h, garis g juga memotong garis h, garis k sejajar garis g , maka garis h, k dan g terletak pada satu bidang. Dapat ditulis : k memotong ...... g memotong ...... k // ...... ----------------- k, l , g terletak pada satu bidang

Dalil 3: Jika garis g sejajar garis h, garis g menembus sebuah bidang , maka garis h juga menembus bidang Dapat ditulis : g // ...... g menembus bidang ...... ----------------------- h juga menembus

B.8.

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG

g B

h A

g

A

Garis terletak pada bidang Garis g dikatakan terletak pada bidang jika garis g dan bidang minimal mempunyai dua titik persekutuan ( A dan B )

Garis sejajar bidang Garis g dikatakan sejajar dengan bidang jika garis g dan bidang tidak mempunyai satupun titik persekutuan

Garis menembus/memotong bidang Garis h dikatakan menembus/memotong bidang jika garis h dan bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan(A)

Ayo. Kita lengkapi Garis AB sejajar dengan bidang EFGH Garis AB .......... dengan bidang DCGH Garis EG .......... dengan bidang ADHE Garis AB .......... dengan bidang ABCD Garis CD .......... dengan bidang CDEF Garis AC .......... dengan bidang CDHG Garis CG .......... dengan bidang ABCD Garis DH .......... dengan bidang ABFE Kedudukan garis terhadap bidang pada kubus ABCD.EFGH

H E D A B F

G

C



30

UJI KOMPETENSI

10

KEDUDUKAN GARIS TERHADAP BIDANG

H 1. Pada kubus ABCD.EFGH disamping, tentukan kedudukan garis dengan bidang berikut ini : e. DH dengan ABFE a. BG dengan BCGF b. BG dengan ABGH f. CG dengan BGE g. EF dengan BGE c. DC dengan BCGF d. AD dengan EFGH h. HG dengan ACGE 2. Pada limas segiempat T.ABCD disamping, sebutkan kedudukan garis dengan bidang berikut : g. AB dengan ABCD h. TB dengan ABCD i. TD dengan TBD j. AC dengan TBC k. BD dengan ABCD l. TO dengan ABCD E D A T B F

G

C

D O A

C

B 3. Pada masing-masing gambar prisma dibawah ini , sebutkan kedudukan garis dengan bidang berikut : b. Pada prisma segiempat : c. Pada prisma segilima : a. Pada prisma segitiga : AB dengan ABCD AB dengan ABCDE AB dengan ABC CD dengan BCGF CD dengan EDIJ BC dengan DEF EF dengan ABCD EF dengan FGHIJ AB dengan ACFD CG dengan EFGH FG dengan ABCDE DF dengan ABC AE dengan BCGF AE dengan ABGF AB dengan ABED D E D A B C A B A B C F H E e F C G F E G D J I H

4. Pada masing-masing gambar limas dibawah ini , sebutkan kedudukan garis dengan bidang berikut : b. Pada limas segiempat : c. Pada limas segilima : a. Pada limas segitiga : AB dengan ABCD AB dengan ABCDE AB dengan ABC CD dengan TAD CD dengan TED BC dengan TAC TC dengan ABCD EC dengan TAE AB dengan TCB AC dengan TCD CD dengan TBD BC dengan TBC AC dengan ABCD AE dengan TAE AB dengan TAB



31

T

T

T

D C A B A B

C A B

E D C

DALIL GARIS SEJAJAR BIDANGDalil 3: Jika garis h sejajar k dan garis h sejajar bidang maka garis k juga sejajar bidang Dapat ditulis : h // ....... h // bidang ...... ----------------------- k juga // bidang ....... Dalil 2: Jika bidang melalui garis g, dan garis g sejajar bidang , maka garis potong antara bidang dan bidang (,) akan sejajar dengan garis g Dapat ditulis : melalui garis ....... g // bidang ....... -------------------- (,) // .......

h

h k g

k

g g (,)

(,)

Dalil 1: Jika garis h sejajar garis k dan garis k terletak pada bidang maka garis h sejajar bidang Dapat ditulis : h // ..... k pada bidang ....... -------------------- h // bidang ......

Dalil 4 : Jika bidang dan bidang berpotongan dan masingmasing bidang sejajar terhadap garis g, maka garis potong antara bidang dan akan sejajar dengan garis g Dapat ditulis : dan berpotongan // ...... // ...... -------------------- (,) // ........



32

MELUKIS TITIK TEMBUS GARIS DENGAN BIDANG Trik Melukis titik tembus garis g dengan bidang :Buat sembarang bidang () yang melalui garis g Tentukan garis potong antara bidang dengan yaitu (, ) Potongkan garis g dengan garis (, ). Titik potong inilah yang selanjutnya dinamakan titik tembus antara garis g dengan bidang

g

(, )

B.9.

KEDUDUKAN BIDANG TERHADAP BIDANG LAINTitik tembus

KEDUDUKAN ANTARA DUA BIDANG

(,)

,

Dua bidang berimpit Dua bidang dan dikatakan berimpit jika setiap titik yang terletak pada bidang juga terletak pada bidang

Dua bidang sejajar Dua bidang dan dikatakan sejajar jika kedua bidang tidak mempunyai satupun titik persekutuan

Dua bidang berpotongan Dua bidang dan dikatakan berpotongan jika kedua bidang hanya mempunyai satu garis persekutuan

TIGA BIDANG BERPOTONGAN(, ) Titik potong

(, ,)

(,)

(,)

Garis potongnya berimpit

Garis potongnya sejajar

Garis potongnya bertemu pada satu titik



33

DALIL DUA BIDANG SEJAJAR(,) k h p k (,)

q

Dalil 1: Jika garis p sejajar garis k dan garis q sejajar garis h , garis p dan q berpotongan terletak pada bidang , garis h dan garis k berpotongan terletak pada bidang , maka bidang dan sejajar Dapat ditulis : p // ..... q // ..... p & q berpotongan pada bidang ..... h & k berpotongan pada bidang ..... --------------------------------------- bidang // ......

Dalil 2: Jika garis k terletak pada bidang dan bidang sejajar bidang , maka garis k sejajar bidang . Dapat ditulis : k terletak pada bidang .... bidang // bidang ..... ------------------------ garis k // bidang .....

Dalil 3: Jika bidang sejajar bidang dan dipotong bidang , maka garis potong (,) akan sejajar garis potong (,) Dapat ditulis : bidang // bidang ...... bidang dan dipotong bidang ...... -------------------------------- garis (,) // garis (,)

k

A B

Dalil 4: Jika garis k menembus bidang , dan bidang sejajar bidang , maka garis k juga menembus bidang . Dapat ditulis : k menembus bidang ..... bidang // bidang ..... --------------------------------------- gais .....menembus bidang ......

Dalil 5: Jika bidang sejajar bidang , dan bidang sejajar dengan bidang maka bidang sejajar bidang . Dapat ditulis : Bidang // bidang .... bidang .... // bidang ..... ------------------------ bidang .... // bidang....

Dalil 6: Jika bidang sejajar bidang dan bidang memotong bidang , maka bidang juga memotong bidang Dapat ditulis : bidang // bidang ...... bidang memotong bidang ...... -------------------------------- bidang juga memotong bidang .....



34

k

(,)q p

(p,q)

Dalil 7: Jika garis k sejajar bidang , dan bidang sejajar bidang , maka garis k juga sejajar bidang . Dapat ditulis : k // bidang ..... bidang // bidang ..... --------------------------------------- gais .....// bidang ......

Ayo. Kita lengkapi bidang ABCD sejajar dengan bidang EFGH bidang ABFE .......... dengan bidang DCGH bidang EGCA .......... dengan bidang BDHF bidang ABH .......... dengan bidang ACF bidang CDHG .......... dengan bidang CDEF bidang ACF .......... dengan bidang ACH bidang BCGF .......... dengan bidang ACGE bidang ADHE .......... dengan bidang ABFE

Dalil 8: Jika bidang sejajar bidang p, dan bidang sejajar dengan bidang q, bidang dan bidang berpotongan pada garis ( ,), bidang p dan bidang q berpotongan pada garis (p,q), maka garis ( ,) sejajar garis (p,q). Dapat ditulis : Bidang // bidang .... bidang .... // bidang ..... bidang dan bidang berpotongan pada garis ....... bidang p dan bidang q berpotongan pada garis ....... ------------------------------------------------------------- garis ........ // garis .........

Kedudukan bidang terhadap bidang lain pada kubus ABCD.EFGH

H E D A B F

G

C

UJI KOMPETENSI

11

KEDUDUKAN BIDANG TERHADAP BIDANG LAIN

H 1. Pada kubus ABCD.EFGH disamping, tentukan E kedudukan bidang dengan bidang berikut ini : a. BGHA dengan BCGF e. DHEA,ABFE,EFGH D b. BGE dengan ABFE f. BCGF,ABFE,ACGE c. DCGH dengan BCGF g. EFGH,ABFE,ABCD A d. ADHE dengan EFGH h. EBG,BCGF,DCGH T 2. Pada limas segiempat T.ABCD disamping, sebutkan kedudukan bidang-bidang berikut : a. TAB dengan ABCD b. TBC dengan ABCD c. TAD dengan TBD d. TAC dengan TBD D e. TAD, TAB dan ABCD O f. TAC, TBC dan TAB A

G F C B

C B



35

3. Pada masing-masing gambar prisma dibawah ini , sebutkan kedudukan bidang dengan bidang berikut : b. Pada prisma segiempat : c. Pada prisma segilima : a. Pada prisma segitiga : ABCD dengan EFGH FGHIJ dengan ABCDE DEF denga ABC CDHG dengan BCGF AEJF dengan EDIJ ABED dengan DEF ABEF dengan ABCD ABGF dengan FGHIJ ABC dengan BCFE DCGH,EFGH,ABFE FGHIJ,ABCDE,ABGF DFCA,ABC,ABFE AEHD,ABFE,BCGF AEFJ,ABGF,ABCDE ABED,BCGE,ACFD D E D A B C A B A B C F H E e F C G F E G D J I H

4. Pada masing-masing gambar limas dibawah ini , sebutkan kedudukan bidang dengan bidang berikut : c. Pada limas segilima : b. Pada limas segiempat : a. Pada limas segitiga : TAB dengan ABCD TAB dengan ABCDE TAB dengan ABC TCD dengan TAD TCD dengan TED TBC dengan TAC TAC dengan ABCD TEC dengan TAE TAB dengan TCB TAC dengan TCD TCD dengan TBD ABC dengan TBC TAC dengan TBC TAE dengan TAD TAB dengan TACT T

T

D C AB.10.

C A

E D B C

B

A

B

LUKISAN RUANG

Trik Melukis titik, garis dan bidang dalam ruang :Langkah 1 : Buat sktesa ruang dan analisisnya berdasarkan informasi dari soal. Pergunakan dalil atau aksioma dalam analisis itu. Langkah 2 : Dari langkah 1 tersebut buatlah gambar lukisan ruang yang sebenarnya.



36

C B A

Pada gambar disebelah ini bidang dan bidang berpotongan. Titik A dan B terletak pada pada bidang , sedangkan titik C terletak pada bidang . Lukislah sebuah bidang () yang melalui tiga titik A,B dan C

QC B A R

PLangkah-langkah melukis : 1. buatlah garis yang melalui titik A dan B sehingga memotong di titik R 2. perpanjang garis potong bidang dengan bidang sehingga berpotongan dengan garis pada langkah 1 di titik P 3. dari titik P tarik garis melalui titik C sehingga memotong bidang di titik Q 4. bidang PQR itulah yang selanjutnya dinamakan bidang

UJI KOMPETENSI

12

LUKISAN RUANG

1.C B A

Pada gambar disebelah ini bidang dan bidang berpotongan. Titik A terletak pada pada bidang , sedangkan titik B dan C terletak pada bidang . Lukislah sebuah bidang () yang melalui tiga titik A,B dan C

2.h g A k

Pada gambar disebelah ini bidang dan bidang berpotongan. Garis g terletak pada bidang , garis h terletak pada bidang , garis k memotong garis h dan menembus bidang dititik A . Lukislah garis m yang sejajar garis k serta memotong garis g dan garis h.

3.S Q P g

Rk

Pada gambar disebelah ini bidang dan bidang berpotongan. Garis g terletak pada bidang , garis k menembus bidang di titik R dan bidang di titik S, garis g memotong garis k di titik Q dan menembus bidang dititik P . Lukislah bidang yang melalui garis g dan garis k



37

C

MENGGAMBAR BANGUN RUANG

C.1.

ISTILAH-ISTILAH PADA GAMBAR BANGUN RUANG

Sebelum menggambar bangun ruang kita harus mengetahui terlebih dahulu istilah-istilah yang ada dalam gambar ruang, yaitu :Bidang gambar Adalah bidang tempat untuk menggambar bangun ruang, misal : papan tulis, buku. Garis Ortogonal Adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal, misal : AD, EH,.....,....... Panjang garis ortogonal tidak sama dengan yang sebenarnya, ditentukan oleh perbandingan ortogonal / proyeksinya. Perbandingan ortogonal / proyeksi: Adalah perbandingan antara panjang garis ortogonal yang dilukis dengan panjang garis ortogonal yang sebenarnya.

Bidang Ortogonal Adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal, misal : ABCD, ADHE,.... ,.... Bentuk dan ukuran dari bidang ortogonal tidak sama dengan yang sebenarnya E

H F D

G

C B

A

Sudut surut Adalah sudut yang dibentuk dari garis frontal horisontal kekanan dengan garis ortogonal ke belakang, misal : sudut BAD, .....

Bidang Frontal Adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar, misal : ABFE & ... Bentuk & ukuran dari bidang frontal harus sesuai dengan yang sebenarnya

Garis frontal Adalah garis yang terletak pada bidang frontal, misal : AB, AE,.....,.......,.......,.......,.......,....... Garis frontal ada 2 macam, yaitu : Garis frontal vertikal ( tegak ), misal : AE,....,....,.... Garis frontal horisontal ( mendatar ), misal : AB,....,....,....

Bab-07 Ruang Dimensi 3

Documents

Transcript of Bab-07 Ruang Dimensi 3