Persamaan dalam dimensi n f(x) = x2 + 2x + 3 f(x)= x3 +x2 + 2x + 3 f(x) = 1/x

. 422 xx .

f(x,y) = x2 - y2 + 1 f(x,y) = x3y+4xy2

f(x,y) = x2 - y2 + 1 f(x,y) =

2

42)(

2

x

xxxf

22 yx16

Turunan parsial pertamaDefinisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap

konstan) didefinisikan sebagai berikut

h

)y,x(f)y,hx(flim)y,x(f

0hx

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

h0h

h

)y,x(f)hy,x(flim)y,x(f

0hy

Turunan parsial kedua

.2

2

),(xf

xf

xyxfxx

2

2

),(yf

yf

yyxfyy

2),(yyy

yxfyy

xyf

xf

yyxfxy

2

),(

yxf

yf

xyxfyx

2

),(

Turunan Persamaan dalam dimensi n

f(x) = x2 + 2x + 3 f(x)= x3 +x2 + 2x + 3 f(x) = 1/x

. 422 xx .

f(x,y) = x2 - y2 + 1 f(x,y) = x3y+4xy2

f(x,y) = x2 - y2 + 1 f(x,y) =

2

42)(

2

x

xxxf

22 yx16

Lingkaran vs bola . .222 ayx 0a,azyx 2222

y y

x

z

x

elips vs elipsoida . .

Z

Z

1b

y

a

x2

2

2

2

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

.y

Z

x

y

Elipsoida, mempunyai bentuk umum

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

, a, b, c > 0

1yx

2

2

2

2

Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Ellips1ba 22

Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Ellips

1c

z

a

x2

2

2

2

Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Ellips

1b

y

c

z2

2

2

2

Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Ellips

Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentukumum:

1c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

, a, b, c > 0

1yx 22

Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Ellips1b

y

a

x22Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa Ellips

1c

z

a

x2

2

2

2

Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa Hiperbolik

1c

z

b

y2

2

2

2

Jejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbolik

.

Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum:

c

z

b

y

a

x2

2

2

2

, a, b, c > 0

Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum:

zyx 22

c

z

b

y

a

x2

2

2

2

, a, b, c > 0

Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:

0c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2

Bidang , mempunyai bentuk umum:

DCzByxA

.Z

x

y

Z

x

y

Paraboloida Eliptikx

z

x

y

Paraboloida EliptikParaboloida Hiperbolik

Kerucut EliptikBidang

yx

z

Petunjuk menggambar buatlah gambar dalam 2 dimensi dulu Misalkan x = 0 , maka gambar dalam dua dimensi yaitu

y dan z Misalkan y = 0 , maka gambar dalam dua dimensi yaitu Misalkan y = 0 , maka gambar dalam dua dimensi yaitu

x dan z Misalkan z = 0 , maka gambar dalam dua dimensi

yaitu x dan y Cara lain : buatlah persamaan standar sehingga

membentuk persamaan tertentu (bola, elipsoida, hiperboloid, bidang, dsb)

contoh

.1. f(x,y) = 3 – x2 – y2

x

6/11/2013

[MA 1124]KALKULUS II

13

x

Z

x

y

3

3