Fisika vektor

Materi perkuliahan 1. Vektor dan operasi hitungnya2. Proyeksi vektor , cosinus

sudut antara 2 vektor, dan besar sudutnya

3. Persamaan garis lurus dan persamaan bidang datar

4. Ruang vektor, ruang bagian, bebas linear, dan bergantung linear

5. Kombinasi linear, baris dan dimensi

6. Pengertian matriks, operasi hitung pada matriks

7. Tranpose matriks, dan jenis-jenis matrika

http://meetabied.wordpress.com

8. Transformasi baris dan kolom,matriks ekuivalen, elementer, ruang baris dan kolom

9. Determinan, minor dan kofaktor10. invers, adjoint, OBE,OKE11. SPL, aturan Crammer, metode

invers matriks12. Eliminasi Gauss dan Gauss

Jordan13, pengertian, syarat matriks,

penyajian transformasi linear14. Pembuktian Transformasi

linear/ bukan

VEKTOR

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukan penyelesaianoperasi aljabar vektor

Vektor adalahbesaran

yang mempunyaibesar dan arah


Besar vektor artinya panjang vektor Arah vektor artinya sudut yang dibentuk

dengan sumbu X positif

Cara penulisan vektor1.Dengan huruf kecil yang dicetak tebal2.Dengan huruf kecil yang diberi tanda panah di

atasnya.Penulisan secara geometris- Vektor ditulis dengan ruas garis berarah

A

B

ditulis vektor AB atau u A disebut titik pangkalB disebut titik ujung

u45 X

Gambar Vektor


Notasi Penulisan Vektor Bentuk vektor kolom:

43

u

02

1PQatau

Bentuk vektor baris: 4 ,3 AB atau 0 ,3 ,2 v

Vektor ditulis dengan notasi: i, j dan k misal : a = 3i – 2j + 7k


VEKTOR DI R2

Vektor di R2 adalah

vektor yang terletak di satu bidangatau

Vektor yang hanya mempunyaidua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2

OA PA OP

O Pi

jX

A(x,y)Y

OP = xi; OQ= yjJadi

OA =xi + yjatau

a = xi + yj

ax

y

i vektor satuan searahsumbu Xj vektor satuan searahsumbu Y

Q OA OQ OP

Ox1

BY

x2-x1

y2

Komponen vektor v yaitu :v1 = x2-x1

v2 = y2-y1

Q

Ay2-y1

y1

x2

Contoh :1.Jika A(3,5) dan B(7,-1) tentukan vektor 2. Jika vektor mempunyai titik awal (3,1). tentukan titik ujungnya !

AB

54

u

Soal :1.Jika P(5,-1) dan Q(5,7). Vektor PQ adalah ...

a. [10,6] b. [0,8] c. [0,6]2. Jika vektor KL =[-4,7] dan K(3,5) maka koordinat titik L adalah .... a. (-1,12) b. (-7,-2) c. (7,2)

Vektor di R3

Vektor di R3

adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga

atau Vektor yang mempunyai

tiga komponen yaitu x, y dan z


Misalkan koordinat titik T di R3

adalah (x, y, z) maka OP = xi;OQ = yj dan OS = zk

X

Y

Z

T(x,y,z)

Oxi

yj

zk

PQ

S


X

Y

Z

T(x,y,z)

Ot

P

QR(x,y)

S

xi

yj

zk

OP + PR = OR atauOP + OQ = OR

OR + RT = OT atauOP + OQ + OS = OT

Jadi OT = xi + yj + zk atau t = xi + yj + zk


Vektor Posisi

Vektor posisi adalah

Vektor yang titik pangkalnya O(0,0)


X

Y

O

Contoh:

A(4,1)

B(2,4)

Vektor posisi

titik A(4,1) adalah

14

a OA

Vektor posisi titik B(2,4) adalahji 42 b OB

a

b


Panjang vektor

Dilambangkan dengan tanda ‘harga mutlak’



Sin

Cos

Tan

v2

IvI

v1

Di R2, panjang vektor:

2

1

aa

a

atau a = a1i + a2j Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras

22

21 a aa


Contoh 2:1. Diketahui vektor v =[3,4]. Tentukan panjang v !2. Vektor AB mempunyai panjang 17 dengan titik A(2,3) dan titik B(-6,p). Tentukan nilai p !3. Vektor v dengan panjang 24 membentuk sudut 30 dengan sumbu x positif. Tentukan komponen vektor v1 dan v2


• Soal 2:1. Jika A(5,2) dan B(-1,10). Tentukan

panjang vektor AB !2. Jika vektor a = 12 dan membentuk

sudut 120 dengan sumbu x positif. Tentukan vektor a !


Di R3 , panjang vektor:

222 y x zv

zyx

v

atau v = xi + yj + zk Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras


Contoh:1. Panjang vektor:

43

a

adalah 22 4 3a = 25 = 5

2. Panjang vektor: 2k -j i2 v

adalah 222 )2(1 2 v

= 9 = 3


Vektor Satuanadalah suatu vektor yang

panjangnya satu


Vektor satuan searah sumbu X,

sumbu Y , dan sumbu Z berturut-turut

adalah vektor i , j dan k

100

dan 010

,001

kji


Vektor Satuan

dari vektor a = a1i + a2j+ a3k

adalah

23

22

21

321 aaa

kajaiaaa ee aa


Contoh: Vektor Satuan dari vektor a = i - 2j+ 2k adalah….Jawab:

aaea

222 2)2(1

22

kjiea


222 2)2(1

22

kjiea

322

kji

ea

kjiea 32

32

31


ALJABAR VEKTORKesamaan vektorPenjumlahan vektorPengurangan vektorPerkalian vektor dengan

bilangan real


Kesamaan VektorMisalkan: a = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k

Jika: a = b , maka a1 = b1

a2 = b2 dana3 = b3


Contoh

Diketahui: a = i + xj - 3k danb = (x – y)i - 2j - 3kJika a = b, maka x + y = ....


Jawab:a = i + xj - 3k danb = (x – y)i - 2j - 3ka = b1 = x - yx = -2; disubstitusikan1 = -2 – y; y = -3Jadi x + y = -2 + (-3) = -5


Penjumlahan Vektor

aaa

a

3

2

1

bbb

b

3

2

1

Misalkan: dan

Jika: a + b = c , maka vektor

33

22

11

cbababa


Contoh

1-2p-3

a

36p

b

Diketahui:

Jika a + b = c , maka p – q =....

dan 2

4q5-

c


2 45

3)1(6 2

3qp

p

jawab: a + b = c

24

5

36p

1-2p-3

q


2 45

3)1(6 2

3qp

p

3 + p = -5 p = -8 -2p + 6 = 4q16 + 6 = 4q 22 = 4q q = 5½;Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½


Pengurangan Vektor

Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k

Misalkan: a = a1i + a2j + a3k danb = b1i + b2j + b3k


X

Y

O

A(4,1)

B(2,4)

a

b

Perhatikan gambar:

32-

vektor posisi:titik A(4,1) adalah:

14

a

titik B(2,4) adalah:

42

b

vektor AB =


Jadi secara umum: ab AB

14

42

ab

32-

14

a

42

b

32-

AB

vektor AB =


Contoh 1

Jawab:

Diketahui titik-titik A(3,5,2) danB(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB

232

253

- 421

ab AB

232

AB Jadi


Contoh 2Diketahui titik-titik P(-1,3,0)dan Q(1,2,-2). Tentukan panjang vektor PQ(atau jarak P ke Q)


Jawab: P(1,2,-2)

Q(-1,3,0)

PQ = q – p =

21

2

2-21

- 031-

221

p

031

q


21

2 PQ

222 21)2(PQ

39PQ Jadi


Perkalian Vektor dengan Bilangan Real

aaa

a

3

2

1

Misalkan:

Jika: c = m.a, maka

3

2

1

3

2

1

.

.

.c

amamam

aaa

m

dan m = bilangan real


Contoh

Diketahui:

Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah....Jawab:misal

41

232

61

2

3

2

1

xxx

61-2

a

41-2

b

dan

x

3

2

1

xxx


41

232

61

2

3

2

1

xxx

123

6

222

61

2

3

2

1

xxx

2 – 2x1 = 6 -2x1 = 4 x1= -2-1 – 2x2 = -3 -2x2 = -2 x2 = 16 – 2x3 = 12 -2x3 = 6 x3 = -3Jadi

3

12

xvektor


Soal1.Vektor a=[1,5] dan b=[2,-1]. Tentukan panjang 2a+5b = ....2.Jika a=[3,-4] dan b=[4,-3]. Maka IbI.a + IaI.b = ....


Perkalian skalar 2 vektora.b = IaI.IbI cos aContoh :1.Misal panjang vektor a=12, panjang vektor b=5. vektor a dan b membentuk sudut 60. tentukan a.b =....Soal :1.Jika IaI=10, IbI=6, dan sudut yang dibentuk kedua vektor adalah 30 derajat. Maka a.b = ....2.Diketahui IaI = 1 dan IbI = √2. jika a.b = 1 maka besar sudut vektor a dan b adalah ....


SELAMAT BELAJAR

Fisika vektor

Education

Transcript of Fisika vektor