Fisika Bab 1 Kinematika Dengan Analisis Vektor

of 34/34
Denis Ramdani Desi Oktaviani Hilsa Choerunnisa M. Hendrazat Hermansyah Ratna Wulan Resti Rahmawati Sri Oktiara Anugrah Yuda Tri Febrianto 1
  • date post

    02-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    492
  • download

    0

Embed Size (px)

description

enjoy

Transcript of Fisika Bab 1 Kinematika Dengan Analisis Vektor

KURIKULUM

Denis Ramdani

Desi Oktaviani

Hilsa Choerunnisa

M. Hendrazat Hermansyah

Ratna Wulan

Resti Rahmawati

Sri Oktiara Anugrah

Yuda Tri Febrianto

A. Posisi, Kecepatan dan Percepatan Partikel pada Gerak LurusAmatilah gerakan mobil balap yang sedang berjalan! Bilakah sebuah mobil dikatakan bergerak? Bagaimana kedudukan mobil terhadap tempat semula? Bagaimana kedudukan mobil terhadap sopirnya? Bagaimana kedudukan sebuah mobil terhadap mobil lain yang berada di sekitarnya? Semua permasalahan tersebut menuntut adanya penjelasan tentang gerak mobil. Kinematika, sebagai cabang dari fisika, mempelajari gerak suatu benda, tanpa memperhatikan gaya penyebabnya. Dengan demikian berapa kekuatan atau daya yang dihasilkan oleh mobil tersebut tidak dibahas dalam kajian kali ini. Pada kajian ini hanya dipelajari tentang kedudukan benda, perubahan kedudukan benda terhadap suatu titik acuan, yang sering disebut dengan perpindahan. Juga pada kajian ini dibahas segala permasalahan gerak yang dikaitkan dengan notasi vektor.1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang

Pada bab ini akan dipelajari tentang vektor posisi, perpindahan, kecepatan dan percepatan dari sebuah partikel, atau benda yang memvisualisasikan sebuah partikel yang bergerak dua dimensi pada suatu bidang. Oleh karena gerak benda dipandang dalam dua dimensi, karakterisitiknya akan dianalisis melalui vektor satuan i (sumbu x) dan vektor satuan j (sumbu y). Untuk memahami berbagai hal seperti tersebut di atas, dapat diilustrasikan seperti berikut ini. Suatu ketika ada seorang pelaut sedang berlayar di tengah laut yang luas. Jika ia berangkat dari kota B menuju kota A, maka langkah pertama yang dia lakukan adalah menganalisis kedudukan awal dan kedudukan akhirnya. Lebih jelasnya adalah sebagai berikut. Mula-mula pelaut itu berada di kota B. Untuk mencapai kota A, ia harus berlayar 40 km ke utara, dan dilanjutkan 30 km ke timur, maka posisi atau kedudukan dari kota A, telah terdefinisikan dengan jelas terhadap kota B sebagai titik acuan. Tanpa kerangka acuan, atau penentuan posisi awal yang dijadikan acuan, maka pengertian perpindahan akan sulit dipahami.

Saat pilot pesawat terbang akan mendarat di sebuah pelabuhan udara, tentu ia akan memberi laporan kepada petugas penjaga menara. Pilot akan menginformasikan kedudukan pesawat tersebut terhadap bandara dan kecepatan pesawat serta berbagai hal yang berkaitan dengan persiapan pendaratan. Dengan adanya informasi dari pilot tersebut, petugas menara akan memberi instruksi teknis tentang pendaratan pesawat. Dengan demikian, informasi tentang posisi atau kedudukan dari suatu titik, seperti pada keadaan ilustrasi tersebut, sangat diperlukan.

Pada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah koordinat. Sebuah koordinat memiliki suatu titik acuan, atau suatu kerangka acuan. Berdasarkan kerangka acuan tersebut, akan dapat digambarkan kedudukan suatu titik dalam koordinat tersebut. Data bahwa pesawat berada pada jarak 20 km akan tidak bermakna, jika tidak disertai arah petunjuk dan titik acuannya. Namun angka 20 km akan menjadi informasi penting jika dikatakan, bahwa pesawat berada 20 km sebelah timur dari menara kontrol. Begitu juga dalam koordinat kartesius, yang umumnya menempatkan koordinat (0,0) sebagai pusat acuannya. Misalkan dalam koordinat kartesius titik A berada pada koordinat (2,4), dan titik B pada koordinat (-2,3). Jika digambarkan titik (0,0) yang dijadikan sebagai titik acuan, maka titik A dan B dapat digambarkan sebagai berikut :

Selain menggunakan grafik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula ditunjukkan dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , ). Di mana r adalah jarak suatu titik ke pusat koordinat, dan adalah sudut dari sumbu x positif dalam koordinat kartesius menuju titik materi dengan arah berlawanan arah jarum jam. Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar adalah :

x = r . cos

y = r . sin r =

tan =

Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titik pusat koordinat dan membentuk sudut 37 terhadap sumbu x positif, maka gambaran posisi titik tersebut dalam koordinat polar adalah seperti berikut ini.

Kedudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius. Besar nilai x dan y adalah :x = r . cos

y = r . sin x = 10 . cos 37

y = 10 . sin 37

x = 10 . 0,8

y = 10 . 0,6

x = 8 satuan

y = 6 satuan

Kedudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun persamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah :r = x i + y j di mana besar vektor satuan i = 1 dan besar vektor satuan j = 1

Penulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam huruf miring. Misalnya vektor satuan yang searah sumbu x dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diwakili dengan huruf tebal, seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua dimensi adalah r. Prinsip penulisan lambang seperti tersebut tidak baku namun lazim digunakan secara umum. Jika ingin dibuat suatu teknik penulisan yang lain, dan telah disepakati, maka hal itu dapat dilakukan, seperti penulisan vektor posisi dengan memberi tanda panah di atas suatu lambang vektor, atau pemberian harga mutlak pada suatu lambang vektor untuk melambangkan besar dari suatu vektor.

Contoh :

1.Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan koordinat titik tersebut dalam koordinat polar !

Jawab :

r = = 3 dan tan = maka = 63,4

Jadi koordinat polarnya (3 ; 63,4)

2.Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (4, 45). Nyatakan koordinat tersebut dalam koordinat kartesius !

Jawab :

x = r . cos

y = r . sin x = 4 . cos 45

y = 4 . sin 45

x = 4 .

y = 4 .

x = 2

y = 2

3.Titik H mempunyai kedudukan (4, 30). Tentukan vektor posisi titik tersebut !

Jawab :

x = 4 . cos

y = r . sin x = 4 . cos 30

y = 4 . sin 30

x = 4 .

y = 4 .

x = 2

y = 2

jadi vektor posisinya adalah rH = 2i + 2 j2. PerpindahanPengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah ilustrasi, seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian kembali ke arah barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6 m, namun jarak yang ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan perbedaan perpindahan dan jarak itu!

Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi terhadap pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan besarnya jarak yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan kelajuan.

Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut mengalami perubahan terhadap titik acuan. Seorang kondektur bus - saat meminta karcis penumpang dari baris kursi terdepan menuju kursi belakang - dikatakan telah melakukan perpindahan. Namun seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa perpindahan tidak sama dengan jarak yang ditempuh. Jika perpindahan sebagai suatu besaran vektor memperhatikan arah, sedang jarak adalah lintasan total yang dilakukan benda tanpa memperhatikan arah gerakan benda.

Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0 berada di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaran-besaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah :Vektor posisi awal titik N :

rN1 = 1 i + 1 jrN2 = 4 i + 5 jVektor perpindahan titik N : rN = rN2 rN1 rN = (4 i + 5 j) (1 i + 1 j)

rN = 3 i + 4 jKomponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3

Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4

Besar vektor perpindahan titik N adalah : rN = = 5 m

Arah perpindahan titik N adalah :

tan =

tan =

maka = 53,1 terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.

Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang mengandung unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2 j . Sehingga misalkan ditanyakan vektor posisi titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2 j = 15 i + 18 j. Contoh :1.Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi (6,4) m. Tentukan :

a.vektor perpindahannya

b.komponen vektor perpindahan pada sumbu x

c.komponen vektor perpindahan pada sumbu y

d.besar perpindahannya

e.arah perpindahannya

Jawab :

a.rR = (6 i + 4 j) (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j

b.rRx = 4 m

c.rRy = 3 m

d.r = = 5 m

e.tan = = maka = 373.Kecepatan

Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tesebut disebut kecepatan. Sebagai misal, jika seorang anak pergi ke arah timur sejauh 8 m dalam 4 sekon, maka dikatakan kecepatan anak tersebut 2 m/s. Hal ini akan memiliki makna yang berbeda, jika dalam 4 sekon berikutnya, anak tersebut kembali ke arah barat 8 m, maka kedudukan anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay dikatakan anak tersebut tidak melakukan perpindahan, sehingga kecepatannya nol. a. Kecepatan rata-rata

kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang waktu dari perpindahan itu dan dirumuskan:

= =

Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu titik, maka vektor kecepatan rata-rata dapat ditentukan.

Contoh:

Titik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada pada posisi (8,8) m. Tentukan :

a.vektor kecepatan rata-ratanya

b.komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu x

c.komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu y

d.besar vektor kecepatan rata-rata

e.arah kecepatan rata-ratanya

Jawab :

a.rD1 = 2 i + 0 j

rD2 = 8 i + 8 j

r = rD2 rD1 = 6 i + 8 j dan t = t2 t1 = 4 s 1 s = 3 s

= = = ( 2 i + 4/3 j ) m/sb.

= 2 m/s

c.

= 4/3 m/s

d.

= = 2,4 m/se.tan = = = 0,666 maka = 33,7

b. Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu t yang mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan :v = =

Jika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu x, dan waktu dalam sumbu y, maka kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan garis singgung pada titik tersebut. Perhatikan gambar berikut!Dengan grafik berikut, tentukan kecepatan saat t = 2 s !

Untuk menentukan kecepatan sesaat dari suatu grafik x t, yang menunjukkan hubungan antara perpindahan x terhadap waktu t, maka kecepatan sesaat ditunjukkan dari kemiringan garis singgung pada titik yang dimaksud. Pada contoh soal di atas, kemiringan garis singgung pada t = 2 s digambarkan oleh grafik sebagai berikut :

v = tan = = 1 m/s

Jika dalam suatu penentuan kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif, berarti arah kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah perpindahan benda. Juga jika kecepatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan tidak berpindah.

Selain kecepatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu titik, kecepatan sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan.Contoh:

1. Titik Y melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan : r = ( 2 t 2 i + 5 t j ) m. Tentukan : a.vektor kecepatan sesaat b.komponen sumbu x vektor kecepatan

c.komponen sumbu y vektor kecepatan

d.vektor kecepatan saat t = 2 s

e.besar kecepatan saat t = 2 s

Jawab :a.v =

v = ( 4 t i + 5 j) m/s

b.vx = 4 t m/s

c.vy = 5 m

d.Saat t = 2 s , maka vektor kecepatan sesaat adalah : v = ( 4 (2) i + 5 j) m/s

v = ( 8 i + 5 j) m/s

e.v = = m/s

Jika vektor kecepatan sesaat dari suatu titik diketahui, maka vektor perpindahan dapat ditentukan dari kebalikan turunan, yaitu dengan mengintegralkannya. Jadi dengan melakukan integral dari suatu vektor kecepatan sesaat, maka akan diperoleh vektor posisi dari suatu titik.2. Titik A mempunyai kecepatan yang dinyatakan dalam vektor :

vA = ( 8 t i - 2 t2 j ) m/s

Jika posisi awal benda (2i + 3 j) m/s, maka tentukan vektor posisi saat t = 2 s !

Jawab :

r = ro + dt

r = (2i + 3 j) + dt

r = (2i + 3 j) + (4 t2 i - t3 j)

Saat t = 2 s maka r = (2i + 3 j) + (4 (2)2 i - (2)3 j)

r = ( 18 i - j ) m/s

Perbedaan perhitungan perpindahan dan jarak jika diekspresikan dalam sebuah grafik kecepatan v terhadap waktu t, ditunjukkan dari luas daerah di bawah kurva. Jika kurva berada di atas sumbu x atau sumbu t, maka luas tersebut bernilai positif, namun jika di bawah sumbu x atau sumbu t, maka luas daerah tersebut bernilai negatif.3. Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (3t2 12) m/s.Tentukan perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 3 s!Jawab :

Langkah pertama adalah menginterpretasikan persamaan v = (3t2 12) m/s dalam sebuah grafik.

Perpindahan=luas bawah + luas atas

Perpindahan= dt

Perpindahan=

Perpindahan= [33 12.3] [03 12.0]

Perpindahan= - 9 m (tanda (-) berarti arah perpindahan berlawanan

dengan arah kecepatanJarak=- luas bawah + luas atas

Jarak=- dt + dt

Jarak=- +

Jarak=- {[23 12.2] [03 12.0]} + {[33 12.3] [23 12.2]}

Jarak=- {[8 24] [0 0]} + {[27 36] [8 24]}Jarak = - { - 16 } + {7 }

Jarak =23 m

Contoh 8 :

Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :

Tentukan :

a.Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 2 s.b.Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s.Jawab :

a.Jarak = Luas segitiga = L I

Jarak = . alas . tinggi

Jarak = . 2 . 4 = 4 m

b.Jarak = L I + L II + L III

Jarak = ( . 2 . 4 ) + ( 4 . 4 ) + ( . 2 . 4 )

Jarak = 4 + 16 + 4 = 24 m 4.Percepatan

Perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut dengan percepatan. Sebagai contoh, saat kamu berangkat ke sekolah naik motor, motor yang kamu kendarai tentu tidak berjalan pada kecepatan yang tetap. Motor yang kamu naiki kadang bergerak dengan kecepatan tinggi, kadang lambat, dan kadang harus berhenti karena terhalang lampu pengatur lalu lintas.a. Percepatan rata-rata

Adapun pengertian percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu. Semakin besar perubahan kecepatan yang dilakukan, maka tentu percepatan yang dihasilkan semakin besar. Begitu juga jika selang waktu yang digunakan untuk melakukan perubahan semakin sempit, maka besar percepatan yang dilakukan semakin besar. Adapun besar dari percepatan rata-rata dirumuskan :

= =

Penguraian besaran-besaran yang berhubungan dengan percepatan rata-rata diperoleh dengan proses yang analogi dengan memperoleh kecepatan rata-rata seperti diuraikan pada bagian sebelumnya.Contoh :

1. Hafidz menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s. Tentukan:

a.vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 sb.komponen sumbu x percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

c.komponen sumbu y percepatan rata-rata t = 1 s hingga t = 3 s

d.besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

e.arah percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

Jawab:

a.

= =

= = ( 8 i + 8 j ) m/s2b.

= 8 m/s2c.

= 8 m/s2d.

= = 8 m/s2e.tan = maka = 45

b. Percepatan sesaat

Percepatan sebagai perubahan kecepatan terhadap waktu dapat ditentukan dengan analogi seperti kecepatan sesaat, maka percepatan sesaat dapat ditentukan dengan menentukan kemiringan garis singgung pada kurva v - t.

Selain dengan menentukan kemiringan suatu grafik v - t, vektor percepatan dapat juga ditentukan dengan menurunkan fungsi v terhadap t. Dengan demikian terdapat dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan percepatan sesaat, yaitu melalui kemiringan grafik, atau dengan cara menurunkan fungsi dari kecepatan sesaat.1.Kecepatan mobil Watik digambarkan oleh grafik berikut:

Tentukan percepatan mobil saat:

a.t = 1 s

b.t = 5 s

c.t = 7 s

Jawab:

a.a = tan = = 2 m/s2 (t = 1 s bagian kemiringan garis t = 0 sampai t = 2 s)

b.a = tan = = 0 m/s2

c.a = tan = = - 2 m/s2 3.Luqman menaiki motor dengan kecepatan v = (3 t2 -5) m/s

Tentukan percepatan motor Luqman saat t = 3 s!

Jawab:

a =

a = 6 t m/s2

saat t = 3 s, maka a = 6 .3 = 18 m/s24.Percepatan motor yang dinaiki Noval adalah a = 2t i + 3 t2 jJika kecepatan awal motor Noval adalah nol, tentukan kecepatan motor Noval saat t = 2 s!

Jawab :

v = vo + (2t i + 3 t2 j) dt

v = 0 + t2 i + t3 j

Saat t = 2 s makav = 22 i + 23 j = 4 i + 8 j3. Sebuah partikel bergerak lurus dengan percepatan a = 12-3s dengan a dalam m/s2 dan s dalam m.

Cari hubungan antara kecepatan dan perpindahan jika s = 2 m, v = 4 m/s

Jika dalam permasalahan yang ditemui adalah penentuan kecepatan dari grafik a t atau penentuan kecepatan dari fungsi percepatan, maka kecepatan suatu titik, dapat ditentukan dari integral fungsi dari percepatan tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut senilai dengan luas daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas daerah dibawah grafik percepatan terhadap waktu maka nilai kecepatan sesaat dapat ditentukan. Persamaan vektor kecepatan dapat ditentukan dengan mengintralkan persamaan vektor percepatan, sehingga persamaan vektor kecepatan

v = vX i + vY j vX = v0X + aX dt

vY = v0Y + aY dt

Contoh:

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan v = ( t2 -5t) m/s

Tentukan percepatan mobil saat t = 4 s !

Jawab :

a =

a = 2t - 5 m/s2 = 2.4 5 = 3 m/s2

jadi a = 3 m/s22.Percepatan yang dimiliki mobil eko dalah a = t 3i + 3 t2 jJika kecepatan awal adalah 2i, tentukan vektor kecepatan mobil tersebut dan besarnya kecepatan ketika t = 4 s !Jawab :

v = vo + ( t 3i + 3 t2 j ) dt

v = 2 i + t4 i + t3 j v = (2 + 44) i + 43 j v = 68 i +64 j

Vektor kecepatan mobil v = 68 i +64 j dan

besarnya

=== 93,4 m/s.

Demikian pula penentuan posisi dari grafik v t atau penentuan posisi dari fungsi kecepatan, maka posisi suatu titik, dapat ditentukan dari integral fungsi dari kecepatan tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut senilai dengan luas daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas daerah dibawah grafik kecepatan terhadap waktu maka nilai posisi dapat ditentukan.Rumus menentukan posisi dengan mengintegralkan kecepatan sebagai berikut.

r = x i + y j dimana x = x0 + vx dt dan y = y0 + vy dt

atau r = ro + dt

B. Gerak Parabola

Gerak parabola merupakan kombinasi dua gerak sekaligus, yaitu gerak mendatar dengan kecepatan tetap, artinya tanpa percepatan, dan gerak vertikal yang merupakan gerak berubah beraturan, yang artinya mempunyai percepatan tetap.

Gerak parabola dapat diamati pada pertandingan sepak bola. Saat kiper melakukan tendangan gawang, umumnya kiper akan melakukan tendangan yang jauh ke depan, menuju daerah lawan dengan menggunakan tendangan yang menghasilkan lintasan berupa gerak parabola atau gerak peluru. Pada sudut berapakah tendangan kiper tersebut akan mencapai jarak tendangan yang terjauh?

Beberapa asumsi penyederhanaan yang digunakan dalam membahas gerak parabola dalam kajian ini adalah bahwa hambatan udara dan rotasi bumi tidak mempengaruhi dalam perhitungan, dan nilai pecepatan gravitasi bumi dianggap 10 m/s2, kecuali terdapat penjelasan dalam soal.

Gambar 16: Grafik lintasan parabola.

Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah :

Sumbu X :

vox =vo . cos vx=vo . cos x=vx . t = vo . cos . t

Sumbu Y :

voy=vo . sin vy=vo . sin g . t

y =vo . sin . t . g . t 2Persamaan kecepatan dan arah gerakan partikel :v =

tan =

Keterangan :

1.vo=kecepatan awal (m/s)

2.vox=kecepatan awal pada sumbu x (m/s)

3.voy=kecepatan awal pada sumbu y (m/s)

4.vx=kecepatan pada sumbu x (m/s)

5.vy=kecepatan pada sumbu y (m/s)

6.v =kecepatan pada suatu saat (m/s)

7.x=kedudukan atau posisi pada sumbu x (m)

8.y=kedudukan atau posisi pada sumbu y (m)

9.=arah gerakan partikel ()

10.=sudut elevasi ()

11.g=percepatan gravitasi bumi (m/s2)

Beberapa hal penting berkaitan dengan gerak parabola:

1.Persamaan yang tersebut pada bagian awal didasarkan pada gerakan benda yang mengarah ke atas, sedang arah percepatan gravitasi bumi ke bawah, sehingga persamaan di atas menggunakan tanda negatif (-) untuk nilai g. Namun jika gerakan diawali dengan gerak ke bawah, seperti gerakan bom yang dijatuhkan dari pesawat, maka arah gerak benda searah dengan percepatan gravitasi, sehingga persamaan yang mengandung unsur g yang semula negatif, berubah menjadi positif, karena arah gerak benda searah dengan arah percepatan benda.2.Pada titik tertinggi nilai vy = 0 m/s, sehingga nilai v = vox = vx3.Pada titik terjauh nilai y = 0. Jika saat mencari t dari y = 0, diperoleh dua nilai t, di mana salah satu nilainya umumnya nol, maka nilai t yang digunakan adalah yang besar.

Contoh :1.Ketika terjadi bencana Tsunami, banyak daerah yang membutuhkan bantuan makanan dan alat-alat kesehatan, akan tetapi lokasi bantuan sulit terjangkau. Untuk mengatasinya bahan makanan dan bantuan alat kesehatan tersebut dijatuhkan dari pesawat militer. Jika bantuan makanan dijatuhkan pada ketinggian 500 dari pesawat pengangkut yang bergerak mendatar dengan kecepatan 50 m/s, maka hitunglah jarak mendatar dari pesawat ke lokasi agar bantuan makanan jatuh tepat pada sasaran ?

Jawab :

x = ....?

y0 = 500 m y = 0 = 0 0

y = y0 + vo . sin . t + . g . t 2

0 = 500 + 0 - . 10 . t 2 maka t = 10 s

x = vox . t = vo . cos . 10 . = 50 . 1 .10 = 500 m2.Dari puncak gedung setinggi 125 m, Arsa melempar bola mendatar dengan kecepatan 10 m/s. Tentukan :

a.waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah

b.jarak mendatar yang ditempuh bola

Jawab :

a.vox =10 m/s dan voy = 0 m/s

y =vo . sin . t + . g . t 2

125 =0 + . 10 . t 2 maka t = 5 s

b.x=vox . t = 10 . 5 = 50 m

C. Posisi Sudut, Kecepatan Sudut, dan Percepatan Sudut pada Gerak Melingkar

1. Posisi Sudut

Posisi sudut akan menggambarkan kedudukan dari suatu sudut dalam gerak melingkar beraturan. Tentu saja pusat gerak melingkar tersebut akan dijadikan sebagai pusat titik acuan. Seperti telah disampaikan terdahulu, bahwa semua gerak tetap memerlukan suatu titik acuan.

Besarnya sudut yang ditempuh gerak melingkar tersebut tiap satuan waktu disebut dengan kecepatan sudut. Dalam hal ini, satuan dari kecepatan sudut dapat dinyatakan dalam rad/s atau putaran per menit (rpm). Perubahan kedua satuan tersebut didasarkan bahwa satu putaran senilai dengan 2 radian.

Sedangkan percepatan sudut adalah laju perubahan kecepatan sudut yang terjadi tiap satuan waktu. Semakin besar perubahan kecepatan sudut yang terjadi, maka akan semakin besar pula kecepatan sudut yang terjadi pada gerak melingkar tersebut. Demikian juga jika semakin besar pengurangan kecepatan sudut yang dilakukan gerak melingkar maka semakin besar nilai perlambatan sudut dari gerak melingkar itu.2. Kecepatan Sudut

Jika kita memperhatikan seorang pesenam di atas lantai es yang licin saat ia melakukan gerak melingkar, maka gerakan tubuhnya yang semula bergerak melingkar beraturan akan berubah menjadi bergerak melingkar berubah beraturan semakin cepat saat ia mengubah posisi dari tangannya, serta memberikan sejumlah gaya pada dirinya.a. Kecepatan sudut rata-rata

Kecepatan sudut rata-rata sebagai hasil bagi perpindahan sudut dengan selang waktu yang ditempuh dapat dirumuskan:

=

b. Kecepatan sudut sesaat

Sedang kecepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari posisi sudut, atau dapat pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik posisi sudut terhadap waktu. Kecepatan sudut sesaat dirumuskan:

3. Percepatan Suduta. Percepatan sudut rata-rata

Percepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi kecepatan sudut dengan selang waktu yang ditempuh. Percepatan sudut rata-rata dirumuskan:

=

b. Percepatan sudut sesaat

Percepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari kecepatan sudut, atau dapat pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik kecepatan sudut terhadap waktu. Percepatan sudut sesaat dirumuskan:

Contoh :1.Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan :

= (3 t2 + 2) rad, maka tentukan :

a.posisi sudut saat t = 0 s

b.posisi sudut saat t = 2 s

c.kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 2 s

d.kecepatan sudut saat t = 3 s

Jawab :

a. = (3 (0)2 + 2) = 2 rad

b. = (3 (2)2 + 2) = 14 rad

c.

= = = 6 rad/s

d. = = (6 t ) = ( 6 . 2 ) = 12 rad/s

2.Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan:

= (2 t2 + 5) rad, maka tentukan :

a.posisi sudut saat t = 0 s

b.posisi sudut saat t = 3 s

c.kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s

d.kecepatan sudut saat t = 3 s

Jawab :

a. = (2 (0)2 + 5) = 5 rad

b. = (2 (3)2 + 5) = 23 rad

c.

=

= = 6 rad/s

d. =

= (4 t ) = ( 4 . 3 ) = 12 rad/s

Pengintegralan Fungsi pada Gerak Melingkar

Posisi sudut suatu fungsi dapat juga ditentukan dari pengintegralan persamaan kecepatan sudut dengan rumus :

= 0 + dt

Persamaan kecepatan sudut dapat ditentukan dengan pengintegral persamaan percepatan sudut.

= 0 + dtContoh:

1.Jika kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :

= (3 t2 + t ) rad/s, tentukan:

a.kecepatan sudut saat t = 1 s

b.kecepatan sudut saat t = 4 s

c.percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 4 s

d.percepatan sudut saat t = 5 s

e.posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad

Jawab :

a. = (3 (1)2 + 1 ) = 4 rad/s

b. = (3 (4)2 + 4 ) = 52 rad/s

c.

= = = 16 rad/s

d.

= (6 t + 1) maka saat t = 5 s besar

e. = o +

= 2 + t3 + t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh

= 12 rad

Mobil balap formula 1

Gambar 1:

Pesawat yang akan mendarat selalu melaporkan posisinya kepada petugas menara

Agar dapat dipandu pendaratannya.

Posisi pesawat dikontrol pilot melalui sistem navigasi dalam pesawat

Gambar 2 :

Grafik kartesius yang menggambarkan koordinat A (2,4) dan B (-2,3)

Gambar 3:

Grafik polar yang menunjukkan kedudukan (10, 37)

Gambar 4:

Grafik x t yang menjelaskan hubungan antara perpindahan terhadap waktu, yang digunakan untuk menentukan kecepatan sesaat

Gambar 5:

Menganalisis kecepatan sesaat dari kemiringan suatu grafik x - t

Gambar :

Menginterpretasikan sebuah persamaan kecepatan dalam sebuah grafik, dapat dilakukan dengan membuat tabel antara t dan v, kemudian menyusunnya dalam sebuah gambar grafik.

Gambar 6:

Grafik hubungan v dan t yang menggambarkan gerakan sepeda yang dilakukan Fitri.

Gambar 12:

Grafik hubungan v - t untuk menetukan percepatan sesaat.

Gambar 17: berbagai posisi pada lintasan gerak parabola

X

y

PAGE 18

_1185604245.unknown

_1210420999.unknown

_1210422731.unknown

_1210425550.unknown

_1210425776.unknown

_1210425832.unknown

_1210425873.unknown

_1210426404.unknown

_1213958503.unknown

_1210425847.unknown

_1210425808.unknown

_1210425729.unknown

_1210425753.unknown

_1210425571.unknown

_1210423736.unknown

_1210425522.unknown

_1210423688.unknown

_1210422378.unknown

_1210422423.unknown

_1210422441.unknown

_1210422411.unknown

_1210422278.unknown

_1210422305.unknown

_1210422223.unknown

_1210422239.unknown

_1210421027.unknown

_1185613802.unknown

_1185625819.unknown

_1200876619.unknown

_1200965910.unknown

_1210420759.unknown

_1200966824.unknown

_1200967056.unknown

_1200966864.unknown

_1200966807.unknown

_1200877042.unknown

_1200877062.unknown

_1200876667.unknown

_1185629798.unknown

_1200801854.unknown

_1200863570.unknown

_1200863735.unknown

_1200801904.unknown

_1185629849.unknown

_1185629873.unknown

_1185630082.unknown

_1185629822.unknown

_1185626184.unknown

_1185626333.unknown

_1185626676.unknown

_1185626078.unknown

_1185621102.unknown

_1185625690.unknown

_1185625708.unknown

_1185621170.unknown

_1185614113.unknown

_1185614518.unknown

_1185613879.unknown

_1185612154.unknown

_1185612219.unknown

_1185613625.unknown

_1185612177.unknown

_1185606649.unknown

_1185611865.unknown

_1185606614.unknown

_1185574436.unknown

_1185600471.unknown

_1185601560.unknown

_1185603874.unknown

_1185604191.unknown

_1185603816.unknown

_1185601402.unknown

_1185601458.unknown

_1185600516.unknown

_1185588950.unknown

_1185589339.unknown

_1185599994.unknown

_1185589213.unknown

_1185589202.unknown

_1185583995.unknown

_1185587667.unknown

_1185574474.unknown

_1185583715.unknown

_1185563999.unknown

_1185567229.unknown

_1185567298.unknown

_1185567901.unknown

_1185567243.unknown

_1185564035.unknown

_1185567119.unknown

_1185564015.unknown

_1185563805.unknown

_1185563869.unknown

_1185563973.unknown

_1185563823.unknown

_1185562283.unknown

_1185563738.unknown

_1185562220.unknown