Denis Ramdani

Desi Oktaviani

Hilsa Choerunnisa

M. Hendrazat Hermansyah

Ratna Wulan

Resti Rahmawati

Sri Oktiara Anugrah

Yuda Tri Febrianto

A. Posisi, Kecepatan dan Percepatan Partikel pada Gerak Lurus

1

Amatilah gerakan mobil balap yang sedang

berjalan! Bilakah sebuah mobil dikatakan bergerak?

Bagaimana kedudukan mobil terhadap tempat

semula? Bagaimana kedudukan mobil terhadap

sopirnya? Bagaimana kedudukan sebuah mobil

terhadap mobil lain yang berada di sekitarnya?

Semua permasalahan tersebut menuntut adanya

penjelasan tentang gerak mobil.

Kinematika, sebagai cabang dari fisika, mempelajari gerak suatu benda, tanpa

memperhatikan gaya penyebabnya. Dengan demikian berapa kekuatan atau daya yang

dihasilkan oleh mobil tersebut tidak dibahas dalam kajian kali ini. Pada kajian ini

hanya dipelajari tentang kedudukan benda, perubahan kedudukan benda terhadap

suatu titik acuan, yang sering disebut dengan perpindahan. Juga pada kajian ini

dibahas segala permasalahan gerak yang dikaitkan dengan notasi vektor.

1. Posisi Partikel pada Suatu Bidang

Pada bab ini akan dipelajari tentang vektor posisi, perpindahan, kecepatan dan

percepatan dari sebuah partikel, atau benda yang memvisualisasikan sebuah partikel

yang bergerak dua dimensi pada suatu bidang. Oleh karena gerak benda dipandang

dalam dua dimensi, karakterisitiknya akan dianalisis melalui vektor satuan i (sumbu

x) dan vektor satuan j (sumbu y). Untuk memahami berbagai hal seperti tersebut di

atas, dapat diilustrasikan seperti berikut ini. Suatu ketika ada seorang pelaut sedang

berlayar di tengah laut yang luas. Jika ia berangkat dari kota B menuju kota A, maka

langkah pertama yang dia lakukan adalah menganalisis kedudukan awal dan

kedudukan akhirnya. Lebih jelasnya adalah sebagai berikut. Mula-mula pelaut itu

berada di kota B. Untuk mencapai kota A, ia harus berlayar 40 km ke utara, dan

dilanjutkan 30 km ke timur, maka posisi atau kedudukan dari kota A, telah

terdefinisikan dengan jelas terhadap kota B sebagai titik acuan. Tanpa kerangka

acuan, atau penentuan posisi awal yang dijadikan acuan, maka pengertian

perpindahan akan sulit dipahami.

Saat pilot pesawat terbang akan mendarat di sebuah pelabuhan udara, tentu ia

akan memberi laporan kepada petugas penjaga menara. Pilot akan menginformasikan

kedudukan pesawat tersebut terhadap bandara dan kecepatan pesawat serta berbagai

2

Mobil balap formula 1

hal yang berkaitan dengan persiapan pendaratan. Dengan adanya informasi dari pilot

tersebut, petugas menara akan memberi instruksi teknis tentang pendaratan pesawat.

Dengan demikian, informasi tentang posisi atau kedudukan dari suatu titik, seperti

pada keadaan ilustrasi tersebut, sangat diperlukan.

Pada umumnya, posisi atau kedudukan suatu titik ditunjukkan dengan sebuah

koordinat. Sebuah koordinat memiliki suatu titik acuan, atau suatu kerangka acuan.

Berdasarkan kerangka acuan tersebut, akan dapat digambarkan kedudukan suatu titik

dalam koordinat tersebut. Data bahwa pesawat berada pada jarak 20 km akan tidak

bermakna, jika tidak disertai arah petunjuk dan titik acuannya. Namun angka 20 km

akan menjadi informasi penting jika dikatakan, bahwa pesawat berada 20 km sebelah

timur dari menara kontrol. Begitu juga dalam koordinat kartesius, yang umumnya

menempatkan koordinat (0,0) sebagai pusat acuannya. Misalkan dalam koordinat

kartesius titik A berada pada koordinat (2,4), dan titik B pada koordinat (-2,3).

Jika digambarkan titik (0,0) yang dijadikan sebagai titik acuan, maka titik A

dan B dapat digambarkan sebagai berikut :

Selain menggunakan grafik kartesius, posisi suatu partikel dapat pula

ditunjukkan dengan menggunakan grafik koordinat polar (r , θ). Di mana r adalah

jarak suatu titik ke pusat koordinat, dan θ adalah sudut dari sumbu x positif dalam

3

Gambar 2 :Grafik kartesius yang menggambarkan koordinat A (2,4) dan B (-2,3)

Gambar 1:Pesawat yang akan mendarat selalu melaporkan posisinya kepada petugas menaraAgar dapat dipandu pendaratannya.Posisi pesawat dikontrol pilot melalui sistem navigasi dalam pesawat

koordinat kartesius menuju titik materi dengan arah berlawanan arah jarum jam.

Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar adalah :

x = r . cos θ y = r . sin θ

r = tan θ =

Misalnya, suatu titik berjarak 10 cm dari titik pusat koordinat dan membentuk

sudut 37° terhadap sumbu x positif, maka gambaran posisi titik tersebut dalam

koordinat polar adalah seperti berikut ini.

Kedudukan dalam koordinat polar dapat diubah dalam koordinat kartesius.

Besar nilai x dan y adalah :

x = r . cos θ y = r . sin θ

x = 10 . cos 37° y = 10 . sin 37°

x = 10 . 0,8 y = 10 . 0,6

x = 8 satuan y = 6 satuan

Kedudukan atau posisi suatu benda dinyatakan dalam vektor satuan. Adapun

persamaan umum vektor posisi dalam dua dimensi adalah :

r = x i + y j di mana besar vektor satuan i = 1

dan besar vektor satuan j = 1

Penulisan suatu vektor satuan dinyatakan dalam huruf miring. Misalnya

vektor satuan yang searah sumbu x dinyatakan dengan i. Vektor itu sendiri diwakili

dengan huruf tebal, seperti vektor kedudukan atau vektor pisisi suatu titik dalam dua

dimensi adalah r. Prinsip penulisan lambang seperti tersebut tidak baku namun lazim

4

Gambar 3:Grafik polar yang menunjukkan kedudukan (10, 37°)

digunakan secara umum. Jika ingin dibuat suatu teknik penulisan yang lain, dan telah

disepakati, maka hal itu dapat dilakukan, seperti penulisan vektor posisi dengan

memberi tanda panah di atas suatu lambang vektor, atau pemberian harga mutlak pada

suatu lambang vektor untuk melambangkan besar dari suatu vektor.

Contoh :

1. Kedudukan suatu titik D ditunjukkan oleh koordinat kartesius (3,6). Nyatakan

koordinat titik tersebut dalam koordinat polar !

Jawab :

r = = 3 dan tan θ = maka θ = 63,4°

Jadi koordinat polarnya (3 ; 63,4°)

2. Kedudukan titik Y ditunjukkan oleh koordinat polar (4, 45°). Nyatakan

koordinat tersebut dalam koordinat kartesius !

Jawab :

x = r . cos θ y = r . sin θ

x = 4 . cos 45° y = 4 . sin 45°

x = 4 . y = 4 .

x = 2 y = 2

3. Titik H mempunyai kedudukan (4, 30°). Tentukan vektor posisi titik tersebut !

Jawab :

x = 4 . cos θ y = r . sin θ

x = 4 . cos 30° y = 4 . sin 30°

x = 4 . y = 4 .

x = 2 y = 2

jadi vektor posisinya adalah rH = 2 i + 2 j

2. Perpindahan

Pengertian perpindahan perlu dibedakan dengan jarak. Sebagai sebuah

ilustrasi, seandainya ada seorang anak yang berjalan ke timur sejauh10 m, kemudian

kembali ke arah barat 4 m, maka dikatakan bahwa perpindahan anak tersebut adalah 6

5

m, namun jarak yang ditempuhnya sebesar 14 m. Dengan demikian, coba simpulkan

perbedaan perpindahan dan jarak itu!

Adanya perbedaan pengertian perpindahan dan jarak, akan berimplikasi

terhadap pengertian akan kecepatan (velocity) dan kelajuan (speed). Perpindahan yang

ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu akan menunjukkan kecepatan, dan

besarnya jarak yang ditempuh oleh suatu benda tiap satuan waktu disebut dengan

kelajuan.

Suatu benda dikatakan melakukan perpindahan jika posisi dari benda tersebut

mengalami perubahan terhadap titik acuan. Seorang kondektur bus - saat meminta

karcis penumpang dari baris kursi terdepan menuju kursi belakang - dikatakan telah

melakukan perpindahan. Namun seperti yang telah disebutkan sebelumnya, bahwa

perpindahan tidak sama dengan jarak yang ditempuh. Jika perpindahan sebagai suatu

besaran vektor memperhatikan arah, sedang jarak adalah lintasan total yang dilakukan

benda tanpa memperhatikan arah gerakan benda.

Dalam sistem koordinat kartesius, misalkan suatu titik N, mula-mula saat t = 0

berada di titik (1,1) m, kemudian saat t = 4 s berada pada titik (4,5) m, maka besaran-

besaran yang berkaitan dengan vektor perpindahan adalah :

Vektor posisi awal titik N :

rN1 = 1 i + 1 j

rN2 = 4 i + 5 j

Vektor perpindahan titik N :

Δ rN = rN2 – rN1

Δ rN = (4 i + 5 j) – (1 i + 1 j)

Δ rN = 3 i + 4 j

Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu x adalah 3

Komponen vektor perpindahan titik N pada sumbu y adalah 4

Besar vektor perpindahan titik N adalah :

Δ rN = = 5 m

Arah perpindahan titik N adalah :

tan θ =

6

tan θ =

maka θ = 53,1° terhadap sumbu x positif dengan arah berlawanan arah jarum jam.

Suatu vektor posisi dapat pula dinyatakan dalam sebuah persamaan yang

mengandung unsur t, seperti vektor posisi T = 5t i + 2 t2 j . Sehingga misalkan

ditanyakan vektor posisi titik T saat t = 3 s adalah T = 5 (3) i + 2 (3)2 j = 15 i + 18 j.

Contoh :

1. Titik R pada saat t = 1 s berada pada posisi (2,1) m, dan pada t = 4 s pada posisi

(6,4) m. Tentukan :

a. vektor perpindahannya

b. komponen vektor perpindahan pada sumbu x

c. komponen vektor perpindahan pada sumbu y

d. besar perpindahannya

e. arah perpindahannya

Jawab :

a. ΔrR = (6 i + 4 j) – (2 i + 1 j) = 4 i + 3 j

b. rRx = 4 m

c. rRy = 3 m

d. r = = 5 m

e. tan θ = = maka θ = 37°

3. Kecepatan

Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu

tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tesebut disebut

kecepatan. Sebagai misal, jika seorang anak pergi ke arah timur sejauh 8 m dalam 4

7

sekon, maka dikatakan kecepatan anak tersebut 2 m/s. Hal ini akan memiliki makna

yang berbeda, jika dalam 4 sekon berikutnya, anak tersebut kembali ke arah barat 8 m,

maka kedudukan anak tersebut berada di titik semula, sehingga dapay dikatakan anak

tersebut tidak melakukan perpindahan, sehingga kecepatannya nol.

a. Kecepatan rata-rata

kecepatan rata-rata dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap

selang waktu dari perpindahan itu dan dirumuskan:

= =

Dengan memperhatikan uraian sebelumnya tentang vektor posisi dari suatu

titik, maka vektor kecepatan rata-rata dapat ditentukan.

Contoh:

Titik materi D pada detik t = 1 s berada pada posisi (2,0) m dan pada t = 4 s berada

pada posisi (8,8) m. Tentukan :

a. vektor kecepatan rata-ratanya

b. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu x

c. komponen vektor kecepatan rata-rata pada sumbu y

d. besar vektor kecepatan rata-rata

e. arah kecepatan rata-ratanya

Jawab :

a. rD1 = 2 i + 0 j

rD2 = 8 i + 8 j

Δr = rD2 – rD1 = 6 i + 8 j dan Δ t = t2 – t1 = 4 s – 1 s = 3 s

= = = ( 2 i + 4/3 j ) m/s

b. = 2 m/s

c. = 4/3 m/s

d. = = 2,4 m/s

e. tan θ = = = 0,666 maka θ = 33,7°

b. Kecepatan Sesaat

8

Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu

Δt yang mendekati nol, yang bila dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan :

v = =

Jika perpindahan suatu titik dilambangkan dalam sumbu x, dan waktu dalam

sumbu y, maka kecepatan sesaat pada suatu perpindahan ditunjukkan oleh kemiringan

garis singgung pada titik tersebut. Perhatikan gambar berikut!

Dengan grafik berikut, tentukan kecepatan saat t = 2 s !

Untuk menentukan kecepatan sesaat dari suatu grafik x – t, yang menunjukkan

hubungan antara perpindahan x terhadap waktu t, maka kecepatan sesaat ditunjukkan

dari kemiringan garis singgung pada titik yang dimaksud. Pada contoh soal di atas,

kemiringan garis singgung pada t = 2 s digambarkan oleh grafik sebagai berikut :

v = tan θ = = 1 m/s

Jika dalam suatu penentuan kecepatan sesaat dari suatu grafik bernilai negatif,

berarti arah kecepatan tersebut berlawanan dengan arah gerakan benda atau arah

perpindahan benda. Juga jika kecepatan saat itu adalah nol, maka benda dikatakan

tidak berpindah.

Selain kecepatan sesaat ditentukan dari kemiringan garis singgung di suatu

titik, kecepatan sesaat juga dapat diturunkan dari sebuah persamaan perpindahan.

9

Gambar 4:Grafik x – t yang menjelaskan hubungan antara perpindahan terhadap waktu, yang digunakan untuk menentukan kecepatan sesaat

Gambar 5:Menganalisis kecepatan sesaat dari kemiringan suatu grafik x - t

Contoh:

1. Titik Y melakukan perpindahan dengan vektor perpindahan : r = ( 2 t 2 i + 5 t j )

m.

Tentukan :

a. vektor kecepatan sesaat

b. komponen sumbu x vektor kecepatan

c. komponen sumbu y vektor kecepatan

d. vektor kecepatan saat t = 2 s

e. besar kecepatan saat t = 2 s

Jawab :

a. v =

v = ( 4 t i + 5 j) m/s

b. vx = 4 t m/s

c. vy = 5 m

d. Saat t = 2 s , maka vektor kecepatan sesaat adalah : v = ( 4 (2) i + 5 j) m/s

v = ( 8 i + 5 j) m/s

e. v = = m/s

Jika vektor kecepatan sesaat dari suatu titik diketahui, maka vektor

perpindahan dapat ditentukan dari kebalikan turunan, yaitu dengan

mengintegralkannya. Jadi dengan melakukan integral dari suatu vektor kecepatan

sesaat, maka akan diperoleh vektor posisi dari suatu titik.

2. Titik A mempunyai kecepatan yang dinyatakan dalam vektor :

vA = ( 8 t i - 2 t2 j ) m/s

Jika posisi awal benda (2i + 3 j) m/s, maka tentukan vektor posisi saat t = 2 s !

Jawab :

r = ro + dt

r = (2i + 3 j) + dt

r = (2i + 3 j) + (4 t2 i - t3 j)

10

Saat t = 2 s maka r = (2i + 3 j) + (4 (2)2 i - (2)3 j)

r = ( 18 i - j ) m/s

Perbedaan perhitungan perpindahan dan jarak jika diekspresikan dalam sebuah

grafik kecepatan v terhadap waktu t, ditunjukkan dari luas daerah di bawah kurva.

Jika kurva berada di atas sumbu x atau sumbu t, maka luas tersebut bernilai positif,

namun jika di bawah sumbu x atau sumbu t, maka luas daerah tersebut bernilai

negatif.

3. Indah melempar benda dengan persamaan kecepatan v = (3t2 – 12) m/s.Tentukan

perpindahan dan jarak antara t = 0 hingga t = 3 s!

Jawab :

Langkah pertama adalah menginterpretasikan persamaan v = (3t2 – 12) m/s dalam

sebuah grafik.

Perpindahan = luas bawah + luas atas

Perpindahan = dt

Perpindahan =

Perpindahan = [33 – 12.3] – [03 – 12.0]

Perpindahan = - 9 m (tanda (-) berarti arah perpindahan berlawanan

dengan arah kecepatan

Jarak = - luas bawah + luas atas

11

Gambar :Menginterpretasikan sebuah persamaan kecepatan dalam sebuah grafik, dapat dilakukan dengan membuat tabel antara t dan v, kemudian menyusunnya dalam sebuah gambar grafik.

Jarak = - dt + dt

Jarak = - +

Jarak = - {[23 – 12.2] – [03 – 12.0]} + {[33 – 12.3] – [23 – 12.2]}

Jarak = - {[8 – 24] – [0 – 0]} + {[27 – 36] – [8 – 24]}

Jarak = - { - 16 } + {7 }

Jarak = 23 m

Contoh 8 :

Fitri mengendarai sepeda dengan kecepatan seperti grafik berikut :

Tentukan :

a. Jarak yang ditempuh setelah sepeda Fitri bergerak 2 s.

b. Jarak total yang ditempuh Fitri selama 8 s.

Jawab :

a. Jarak = Luas segitiga = L I

Jarak = ½ . alas . tinggi

Jarak = ½ . 2 . 4 = 4 m

b. Jarak = L I + L II + L III

Jarak = ( ½ . 2 . 4 ) + ( 4 . 4 ) + ( ½ . 2 . 4 )

Jarak = 4 + 16 + 4 = 24 m

4. Percepatan

Perubahan kecepatan tiap satuan waktu disebut dengan percepatan. Sebagai

contoh, saat kamu berangkat ke sekolah naik motor, motor yang kamu kendarai tentu

12

Gambar 6:Grafik hubungan v dan t yang menggambarkan gerakan sepeda yang dilakukan Fitri.

tidak berjalan pada kecepatan yang tetap. Motor yang kamu naiki kadang bergerak

dengan kecepatan tinggi, kadang lambat, dan kadang harus berhenti karena terhalang

lampu pengatur lalu lintas.

a. Percepatan rata-rata

Adapun pengertian percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam

selang waktu tertentu. Semakin besar perubahan kecepatan yang dilakukan, maka

tentu percepatan yang dihasilkan semakin besar. Begitu juga jika selang waktu yang

digunakan untuk melakukan perubahan semakin sempit, maka besar percepatan yang

dilakukan semakin besar. Adapun besar dari percepatan rata-rata dirumuskan :

= =

Penguraian besaran-besaran yang berhubungan dengan percepatan rata-rata

diperoleh dengan proses yang analogi dengan memperoleh kecepatan rata-rata seperti

diuraikan pada bagian sebelumnya.

Contoh :

1. Hafidz menaiki motor dengan persamaan kecepatan v = ( 2t2 i + 8 t j ) m/s.

Tentukan:

a. vektor percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

b. komponen sumbu x percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

c. komponen sumbu y percepatan rata-rata t = 1 s hingga t = 3 s

d. besar percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

e. arah percepatan rata-rata dari t = 1 s hingga t = 3 s

Jawab:

a. = =

= = ( 8 i + 8 j ) m/s2

b. = 8 m/s2

c. = 8 m/s2

d. = = 8 m/s2

13

e. tan θ = maka θ = 45°

b. Percepatan sesaat

Percepatan sebagai perubahan kecepatan terhadap waktu dapat ditentukan

dengan analogi seperti kecepatan sesaat, maka percepatan sesaat dapat ditentukan

dengan menentukan kemiringan garis singgung pada kurva v - t.

Selain dengan menentukan kemiringan suatu grafik v - t, vektor percepatan

dapat juga ditentukan dengan menurunkan fungsi v terhadap t. Dengan demikian

terdapat dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan percepatan sesaat, yaitu

melalui kemiringan grafik, atau dengan cara menurunkan fungsi dari kecepatan sesaat.

1. Kecepatan mobil Watik digambarkan oleh grafik berikut:

Tentukan percepatan mobil saat:

a. t = 1 s

b. t = 5 s

c. t = 7 s

Jawab:

a. a = tan θ = = 2 m/s2 (t = 1 s bagian kemiringan garis t = 0 sampai t

= 2 s)

b. a = tan θ = = 0 m/s2

c. a = tan θ = = - 2 m/s2

3. Luqman menaiki motor dengan kecepatan v = (3 t2 -5) m/s

Tentukan percepatan motor Luqman saat t = 3 s!

14

Gambar 12:Grafik hubungan v - t untuk menetukan percepatan sesaat.

Jawab:

a =

a = 6 t m/s2

saat t = 3 s, maka a = 6 .3 = 18 m/s2

4. Percepatan motor yang dinaiki Noval adalah a = 2t i + 3 t2 j

Jika kecepatan awal motor Noval adalah nol, tentukan kecepatan motor Noval

saat t = 2 s!

Jawab :

v = vo + (2t i + 3 t2 j) dt

v = 0 + t2 i + t3 j

Saat t = 2 s maka v = 22 i + 23 j = 4 i + 8 j

3. Sebuah partikel bergerak lurus dengan percepatan a = 12-3s dengan a dalam m/s2

dan s dalam m.

Cari hubungan antara kecepatan dan perpindahan jika s = 2 m, v = 4 m/s

Jika dalam permasalahan yang ditemui adalah penentuan kecepatan dari grafik a – t

atau penentuan kecepatan dari fungsi percepatan, maka kecepatan suatu titik, dapat

ditentukan dari integral fungsi dari percepatan tersebut. Secara matematis, fungsi

integral tersebut senilai dengan luas daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika

kita mengetahui luas daerah dibawah grafik percepatan terhadap waktu maka nilai

kecepatan sesaat dapat ditentukan.

15

Persamaan vektor kecepatan dapat ditentukan dengan mengintralkan persamaan

vektor percepatan, sehingga persamaan vektor kecepatan

v = vX i + vY j → vX = v0X + aX dt

vY = v0Y + aY dtContoh:

1. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan v = ( t2 -5t) m/s

Tentukan percepatan mobil saat t = 4 s !

Jawab :

a =

a = 2t - 5 m/s2 = 2.4 – 5 = 3 m/s2

jadi a = 3 m/s2

2. Percepatan yang dimiliki mobil eko dalah a = t 3i + 3 t2 j

Jika kecepatan awal adalah 2i, tentukan vektor kecepatan mobil tersebut dan

besarnya kecepatan ketika t = 4 s !

Jawab :v = vo + ( t 3i + 3 t2 j ) dt

v = 2 i + t4 i + t3 j→ v = (2 + 44) i + 43 j→ v = 68 i +64 j

Vektor kecepatan mobil v = 68 i +64 j dan

besarnya = = = 93,4 m/s.

Demikian pula penentuan posisi dari grafik v – t atau penentuan posisi dari fungsi

kecepatan, maka posisi suatu titik, dapat ditentukan dari integral fungsi dari

kecepatan tersebut. Secara matematis, fungsi integral tersebut senilai dengan luas

daerah di bawah grafik. Dengan demikian, jika kita mengetahui luas daerah dibawah

grafik kecepatan terhadap waktu maka nilai posisi dapat ditentukan.

Rumus menentukan posisi dengan mengintegralkan kecepatan sebagai berikut.

r = x i + y j dimana x = x0 + vx dt dan y = y0 + vy dt

atau r = ro + dt

16

B. Gerak Parabola

Gerak parabola merupakan kombinasi dua gerak sekaligus, yaitu gerak

mendatar dengan kecepatan tetap, artinya tanpa percepatan, dan gerak vertikal yang

merupakan gerak berubah beraturan, yang artinya mempunyai percepatan tetap.

Gerak parabola dapat diamati pada pertandingan sepak bola. Saat kiper

melakukan tendangan gawang, umumnya kiper akan melakukan tendangan yang jauh

ke depan, menuju daerah lawan dengan menggunakan tendangan yang menghasilkan

lintasan berupa gerak parabola atau gerak peluru. Pada sudut berapakah tendangan

kiper tersebut akan mencapai jarak tendangan yang terjauh?

Beberapa asumsi penyederhanaan yang digunakan dalam membahas gerak

parabola dalam kajian ini adalah bahwa hambatan udara dan rotasi bumi tidak

mempengaruhi dalam perhitungan, dan nilai pecepatan gravitasi bumi dianggap 10

m/s2, kecuali terdapat penjelasan dalam soal.

17

Gambar 16: Grafik lintasan parabola.

Beberapa persamaan yang berhubungan dengan gerak parabola adalah :

Sumbu X :

vox = vo . cos θ

vx = vo . cos θ

x = vx . t = vo . cos θ . t

Sumbu Y :

voy = vo . sin θ

vy = vo . sin θ – g . t

y = vo . sin θ . t – ½ . g . t 2

Persamaan kecepatan dan arah gerakan partikel :

v =

tan α =

Keterangan :

1. vo = kecepatan awal (m/s)

2. vox = kecepatan awal pada sumbu x (m/s)

3. voy = kecepatan awal pada sumbu y (m/s)

4. vx = kecepatan pada sumbu x (m/s)

5. vy = kecepatan pada sumbu y (m/s)

6. v = kecepatan pada suatu saat (m/s)

7. x = kedudukan atau posisi pada sumbu x (m)

18

8. y = kedudukan atau posisi pada sumbu y (m)

9. α = arah gerakan partikel (°)

10. θ = sudut elevasi (°)

11. g = percepatan gravitasi bumi (m/s2)

Beberapa hal penting berkaitan dengan gerak parabola:

1. Persamaan yang tersebut pada bagian awal didasarkan pada gerakan benda yang

mengarah ke atas, sedang arah percepatan gravitasi bumi ke bawah, sehingga

persamaan di atas menggunakan tanda negatif (-) untuk nilai g. Namun jika

gerakan diawali dengan gerak ke bawah, seperti gerakan bom yang dijatuhkan

dari pesawat, maka arah gerak benda searah dengan percepatan gravitasi,

sehingga persamaan yang mengandung unsur g yang semula negatif, berubah

menjadi positif, karena arah gerak benda searah dengan arah percepatan benda.

2. Pada titik tertinggi nilai vy = 0 m/s, sehingga nilai v = vox = vx

19

Gambar 17: berbagai posisi pada lintasan gerak parabola

X

y

3. Pada titik terjauh nilai y = 0. Jika saat mencari t dari y = 0, diperoleh dua nilai t,

di mana salah satu nilainya umumnya nol, maka nilai t yang digunakan adalah

yang besar.

Contoh :

1. Ketika terjadi bencana Tsunami, banyak daerah yang membutuhkan bantuan

makanan dan alat-alat kesehatan, akan tetapi lokasi bantuan sulit terjangkau.

Untuk mengatasinya bahan makanan dan bantuan alat kesehatan tersebut

dijatuhkan dari pesawat militer. Jika bantuan makanan dijatuhkan pada

ketinggian 500 dari pesawat pengangkut yang bergerak mendatar dengan

kecepatan 50 m/s, maka hitunglah jarak mendatar dari pesawat ke lokasi agar

bantuan makanan jatuh tepat pada sasaran ?

Jawab :

x = ....? y0 = 500 m y = 0 θ = 0 0

y = y0 + vo . sin θ . t + ½ . g . t 2

0 = 500 + 0 - ½ . 10 . t 2 maka t = 10 s

x = vox . t = vo . cos θ . 10 . = 50 . 1 .10 = 500 m

2. Dari puncak gedung setinggi 125 m, Arsa melempar bola mendatar dengan

kecepatan 10 m/s. Tentukan :

a. waktu yang diperlukan bola untuk mencapai tanah

b. jarak mendatar yang ditempuh bola

Jawab :

a. vox = 10 m/s dan voy = 0 m/s

y = vo . sin θ . t + ½ . g . t 2

20

125 = 0 + ½ . 10 . t 2 maka t = 5 s

b. x = vox . t = 10 . 5 = 50 m

C. Posisi Sudut, Kecepatan Sudut, dan Percepatan Sudut pada Gerak Melingkar

1. Posisi Sudut

Posisi sudut akan menggambarkan kedudukan dari suatu sudut dalam gerak

melingkar beraturan. Tentu saja pusat gerak melingkar tersebut akan dijadikan sebagai

pusat titik acuan. Seperti telah disampaikan terdahulu, bahwa semua gerak tetap

memerlukan suatu titik acuan.

Besarnya sudut yang ditempuh gerak melingkar tersebut tiap satuan waktu

disebut dengan kecepatan sudut. Dalam hal ini, satuan dari kecepatan sudut dapat

dinyatakan dalam rad/s atau putaran per menit (rpm). Perubahan kedua satuan tersebut

didasarkan bahwa satu putaran senilai dengan 2 π radian.

Sedangkan percepatan sudut adalah laju perubahan kecepatan sudut yang terjadi

tiap satuan waktu. Semakin besar perubahan kecepatan sudut yang terjadi, maka akan

semakin besar pula kecepatan sudut yang terjadi pada gerak melingkar tersebut.

Demikian juga jika semakin besar pengurangan kecepatan sudut yang dilakukan

gerak melingkar maka semakin besar nilai perlambatan sudut dari gerak melingkar

itu.

2. Kecepatan Sudut

Jika kita memperhatikan seorang pesenam di atas lantai es yang licin saat ia

melakukan gerak melingkar, maka gerakan tubuhnya yang semula bergerak melingkar

beraturan akan berubah menjadi bergerak melingkar berubah beraturan semakin cepat

21

saat ia mengubah posisi dari tangannya, serta memberikan sejumlah gaya pada

dirinya.

a. Kecepatan sudut rata-rata

Kecepatan sudut rata-rata sebagai hasil bagi perpindahan sudut dengan selang

waktu yang ditempuh dapat dirumuskan:

=

b. Kecepatan sudut sesaat

Sedang kecepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari posisi sudut, atau

dapat pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik posisi sudut terhadap

waktu. Kecepatan sudut sesaat dirumuskan:

3. Percepatan Sudut

a. Percepatan sudut rata-rata

Percepatan sudut rata-rata adalah hasil bagi kecepatan sudut dengan selang

waktu yang ditempuh. Percepatan sudut rata-rata dirumuskan:

=

b. Percepatan sudut sesaat

Percepatan sudut sesaat adalah turunan pertama dari kecepatan sudut, atau dapat

pula ditentukan dari kemiringan garis singgung grafik kecepatan sudut terhadap

waktu. Percepatan sudut sesaat dirumuskan:

22

Contoh :

1. Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan :

θ = (3 t2 + 2) rad, maka tentukan :

a. posisi sudut saat t = 0 s

b. posisi sudut saat t = 2 s

c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 2 s

d. kecepatan sudut saat t = 3 s

Jawab :

a. θ = (3 (0)2 + 2) = 2 rad

b. θ = (3 (2)2 + 2) = 14 rad

c. = = = 6 rad/s

d. ω = = (6 t ) = ( 6 . 2 ) = 12 rad/s

2. Posisi sebuah sudut ditentukan oleh persamaan:

θ = (2 t2 + 5) rad, maka tentukan :

a. posisi sudut saat t = 0 s

b. posisi sudut saat t = 3 s

c. kecepatan sudut rata-rata dari t = 0 s hingga t = 3 s

d. kecepatan sudut saat t = 3 s

Jawab :

a. θ = (2 (0)2 + 5) = 5 rad

b. θ = (2 (3)2 + 5) = 23 rad

23

c. = = = 6 rad/s

d. ω = = (4 t ) = ( 4 . 3 ) = 12 rad/s

Pengintegralan Fungsi pada Gerak Melingkar

Posisi sudut θ suatu fungsi dapat juga ditentukan dari pengintegralan persamaan

kecepatan sudut dengan rumus :

θ = θ0 + dt

Persamaan kecepatan sudut dapat ditentukan dengan pengintegral persamaan

percepatan sudut.

= 0 + dt

Contoh:

1. Jika kecepatan sudut sebuah roda dinyatakan dalam sebuah persamaan :

ω = (3 t2 + t ) rad/s, tentukan:

a. kecepatan sudut saat t = 1 s

b. kecepatan sudut saat t = 4 s

c. percepatan sudut rata-rata dari t = 1 s hingga t = 4 s

d. percepatan sudut saat t = 5 s

e. posisi sudut saat t = 2 s, jika posisi sudut awal 2 rad

Jawab :

a. ω = (3 (1)2 + 1 ) = 4 rad/s

b. ω = (3 (4)2 + 4 ) = 52 rad/s

c. = = = 16 rad/s

24

d. = (6 t + 1) maka saat t = 5 s besar

e. θ = θo +

θ = 2 + t3 + ½ t2 , saat t = 2 s, maka diperoleh

θ = 12 rad

25