· Web view(RUANG DIMENSI 2) 1. Pengertian dan Notasi Vektor Dalam mata pelajaran Fisika...

of 26 /26
1 Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan) Kelas : X IPA Topik : VEKTOR (1) Materi : 1. Pengertian dan Notasi Vektor 2. Operasi Aljabar pada Vektor 3. Vektor Posisi Suatu Titik 4. Besar atau Panjang Vektor 5. Vektor Satuan TUGAS: 1. Pelajari materi dan contoh-contoh yang ada pada uraian materi di bawah ini. 2. Pelajari buku paket: Sukino, Matematika untuk SMA Kelas X jilid 1 Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam, Terbitan Erlangga, Carilah materi terkait pada Bab 4 tentang Vektor. 3. Mengerjakan soal Latihan 1, 2, dan 3. 4. Pekerjaan ditulis di kertas folio, kemudian di foto, hasilnya dikirim ke Pak Priyo via WA secara individu (japri). Ttd. Guru Mapel Matematika Yohannes Priyo Istiarto BAB 4 VEKTOR A. VEKTOR DI BIDANG (RUANG DIMENSI 2) 1. Pengertian dan Notasi Vektor Dalam mata pelajaran Fisika dipelajari konsep tentang besaran. Besaran terdiri dari besaran scalar dan besaran vektor. Skalar adalah suatu kuantitas (besaran) yang mempunyai besar tetapi tidak mempunyai arah, misalnya : panjang, luas, volume, temperatur/suhu. Vektor 1 / X IPA

Embed Size (px)

Transcript of  · Web view(RUANG DIMENSI 2) 1. Pengertian dan Notasi Vektor Dalam mata pelajaran Fisika...

Mata Pelajaran:Matematika (Peminatan)

Kelas:X IPA

Topik:VEKTOR (1)

Materi:1.Pengertian dan Notasi Vektor

2.Operasi Aljabar pada Vektor

3.Vektor Posisi Suatu Titik

4.Besar atau Panjang Vektor

5.Vektor Satuan

TUGAS:

1.Pelajari materi dan contoh-contoh yang ada pada uraian materi di bawah ini.

2.Pelajari buku paket: Sukino, Matematika untuk SMA Kelas X jilid 1 Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam, Terbitan Erlangga, Carilah materi terkait pada Bab 4 tentang Vektor.

3.Mengerjakan soal Latihan 1, 2, dan 3.

4.Pekerjaan ditulis di kertas folio, kemudian di foto, hasilnya dikirim ke Pak Priyo via WA secara individu (japri).

Ttd.

Guru Mapel Matematika

Yohannes Priyo Istiarto

BAB 4 VEKTOR

A. VEKTOR DI BIDANG (RUANG DIMENSI 2)

1.Pengertian dan Notasi Vektor

Dalam mata pelajaran Fisika dipelajari konsep tentang besaran. Besaran terdiri dari besaran scalar dan besaran vektor.

Skalar adalah suatu kuantitas (besaran) yang mempunyai besar tetapi tidak mempunyai arah, misalnya : panjang, luas, volume, temperatur/suhu.

Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah (direction), misalnya : perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya.

Notasi:

Skalar ditulis dengan huruf kecil atau huruf besar tanpa strip; a, b, A, B, …

Vektor ditulis dengan huruf kecil atau huruf besar dengan strip di bawah atau di atasnya;

a

,

a

,

®

a

,

A

, … . Dalam buku cetak sering ditulis dengan cetak tebal; a, b, A, B, ...

Secara gambar, vektor ditunjukkan oleh segmen garis atau ruas garis berarah, yang panjangnya menentukan besarnya dan ujung anak panah menunjukkan arahnya.

Ruas garis berarah ditulis dengan notasi

®

AB

, dengan A titik pangkal dan B titik ujung, maka arah vektor

®

AB

adalah dari A ke B

a

AB

=

®

a

AB

=

®

a

-

a

a

menyatakan panjang (besar) vektor

a

k

menyatakan harga mutlak k (bukan vektor).

b

a

-

adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor

a

tetapi arahnya berlawanan.

b

a

=

b

a

2.Aljabar Vektor di R-2 dengan Pendekatan Geometris (Gambar)

a.Vektor nol

Vektor nol adalah vektor yang panjangnya nol, misalnya

®

AA

,

®

BB

.

b.Kesamaan Dua Vektor

b

a

+

Dua vektor

a

dan

b

dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.

b

v

v

u

w

u

w

w

v

u

+

+

a

Pada jajargenjang ABCD di samping, ruas garis berarah

®

AB

dan

®

DC

adalah wakil-wakil dari vektor yang sama sehingga dapat nyatakan

®

®

=

DC

AB

, demikian juga

®

®

=

BC

AD

.

b

a

+

b

b

b

a

b

-

Pada segi enam beraturan ABCDEF yang berpusat di O, dapat ditemukan beberapa ruas garis berarah yang mewakili vector yang sama, misalnya:

b

-

b

a

-

a

(i)

®

®

®

®

=

=

=

OC

FO

ED

AB

a

2

-

a

3

(ii)

®

®

®

®

=

=

=

OD

AO

FE

BC

(iii)

®

®

®

®

=

=

=

OE

BO

CD

AF

c.Jumlah Dua Vektor

*Aturan Segitiga (Poligon)

Vektor

b

a

+

adalah vektor yang bertitik pangkal di titik awal

a

dan berakhir di titik akhir

b

yang sudah digeser sehingga titik akhir

a

berimpit dengan titik pangkal

b

.

u

v

v

u

2

-

u

2

u

v

2

-

v

u

+

2

v

a

b

Untuk tiga vektor atau lebih

c

a

b

c

a

c

b

c

a

b

a

j

i

u

2

v

2

v

2

a

u

2

v

Pada segi enam beraturan ABCDEF yang berpusat di O,

u

(i)

®

®

®

®

®

®

=

+

+

+

+

AF

EF

DE

CD

BC

AB

j

i

p

A

a

b

-

(ii)

®

®

®

®

®

=

+

+

+

AO

DO

CD

BC

AB

(iii)

®

®

®

®

®

=

=

+

+

AO

AD

ED

OE

AO

2

a

B

(iv)

®

®

®

®

®

®

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

=

+

+

OC

AF

AB

ED

AF

AB

®

®

®

=

+

=

AC

OC

AO

*Aturan Jajargenjang

Vektor

b

a

+

adalah diagonal jajargenjang yang dibentuk dengan cara memindahkan vektor

b

sehingga titik pangkanya berimpit dengan titik pangkal vektor

a

.

b

)

,

(

m

l

P

p

j

i

)

,

(

A

A

y

x

A

a

b

-

)

,

(

B

B

y

x

B

b

a

)

,

,

(

z

y

x

P

k

Sifat-sifat Penjumlahan Vektor

1)Penjumlahan dua vektor

a

dan

b

bersifat komutatif

a

b

b

a

+

=

+

2)Penjumlahan tiga vektor

a

,

b

, dan

c

bersifat asosiatif

)

(

)

(

c

b

a

c

b

a

+

+

=

+

+

3)Ada unsur identitas pada penjumlahan vektor, yaitu vektor nol

)

(

o

sehingga

a

a

o

o

a

=

+

=

+

4)Pada penjumlahan vektor, setiap vektor mempunyai lawan (invers penjumlahan) bagi vektor itu. Lawan dari

a

adalah

a

-

(dan sebaliknya), sehingga berlaku

o

a

a

a

a

=

+

-

=

-

+

)

(

)

(

d.Pengurangan atau Selisih Dua Vektor

Definisi

Andaikan diketahui vektor

a

dan vektor

b

. Pengurangan atau selisih vektor

a

dengan vektor

b

ditentukan sebagai jumlah vektor

a

dengan lawan dari vektor

b

.

r

)

,

,

(

z

y

x

P

)

(

b

a

b

a

-

+

=

-

j

i

p

a

b

p

)

,

,

(

z

y

x

P

p

a

b

e.Hasil Kali Skalar dengan Vektor

Definisi

Misalkan k adalah suatu skalar (bilangan real) dan

a

adalah suatu vektor. Hasil kali skalar k dengan vektor

a

, ditulis

a

k

Ditentukan sebagai berikut:

Panjang vektor

a

k

sama dengan hasil kali

k

dengan panjang vektor

a

.

-jika nilai

0

>

k

, maka vektor

a

k

searah dengan vektor

a

.

-jika nilai

0

<

k

, maka vektor

a

k

berlawanan arah dengan vektor

a

.

a

e

ˆ

Contoh 1:

Gambar berikut adalah vektor-vektor

u

dan

v

dimana

5

1

,

=

u

cm dan

2

=

v

cm.

Gambarlah vektor-vektor berikut ini

a)

v

u

+

2

b)

v

u

2

-

Jawab:

a)

b)

Sifat-sifat Hasil kali Skalar dengan Vektor

Andaikan k dan l adalah skalar-skalar,

a

dan

b

adalah vektor-vektor sembarang, maka berlaku:

1)

a

l

a

k

a

l

k

+

=

+

)

(

2)

b

k

a

k

b

a

k

+

=

+

)

(

3)

a

kl

a

l

k

)

(

)

(

=

4)

a

a

=

1

5)

a

a

-

=

-

)

(

1

LATIHAN 1

1.Gambarlah jajargenjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di E. Jika

u

AB

=

®

(ruas garis berarah AB mewakili vektor

u

) dan

v

AD

=

®

(ruas garis berarah AD mewakili vektor

v

).

a.Sebutkan ruas garis berarah yang mewakili :

(i)

v

u

+

(ii)

v

u

-

b.Nyatakan dengan vektor

u

dan

v

:

(i)

®

BE

(iii)

®

CE

(ii)

®

AE

(iv)

®

DE

c.Sederhanakan dan nyatakan dengan vektor

u

dan

v

:

(i)

®

®

+

CD

AB

(iii)

®

®

®

+

+

ED

CE

BC

(ii)

®

®

+

DE

AD

(iv)

®

®

®

-

+

AE

AD

AB

2.Pada titik P bekerja tiga buah gaya, seperti pada gambar berikut

Jika

3

=

a

,

2

=

b

, dan

4

=

c

, vektor

c

b

a

r

+

+

=

, dengan aturan jajargenjang lukislah vektor

r

.

3.Diketahui vektor-vektor berikut

Jika

2

=

a

cm,

1

=

b

cm, dan

5

2

,

=

c

cm, lukislah vector-vektor berikut dengan aturan segitiga (polygon).

a.

c

b

a

+

+

b.

c

b

a

2

3

+

-

c.

c

b

a

2

3

+

-

-

d.

c

b

a

-

-

2

3.Vektor-Vektor Pada Bidang

Teorema

Jika

a

,

b

, dan

c

tiga buah vektor yang sebidang (koplanar) dan tidak searah, maka salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor lainnya.

b

k

OP

=

®

,

a

l

OR

PQ

=

=

®

®

, dan

c

OQ

=

®

Di mana k dan l adalah skalar-skalar, maka

®

®

®

+

=

PQ

OP

OQ

b

k

a

l

c

+

=

Dikatakan:

Vektor

c

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua vektor

a

dan

b

.

Vektor

a

dan

b

disebut sebagai basis atau dasar untuk semua vektor pada bidang itu.

4.Sistem Koordinat pada Bidang (Ruang Dimensi 2)

Dalam sistem koordinat tegak lurus dengan vektor-vektor basis

i

dan

j

yang panjangnya masing-masing 1 satuan dan arahnya saling tegak lurus.

Vektor basis

i

dan

j

sering ditulis dalam bentuk vektor kolom

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

0

1

i

dan

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

1

0

j

Pehatikan gambar berikut:

®

OP

mewakili vektor

a

Dalam bentuk kombinasi linear ditulis

j

i

a

3

5

+

=

.

Dalam bentuk vektor baris ditulis

(

)

3

5

=

a

Dalam bentuk vektor kolom ditulis

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

3

5

a

Contoh 2:

Diketahui vektor

j

i

u

+

=

3

, vektor

j

i

v

2

+

-

=

, dan vektor

v

u

a

2

2

+

=

. Nyatakan vektor

a

dalam bentuk kombinasi linear vektor basis

i

dan

j

.

Jawab:

v

u

a

2

2

+

=

)

(

)

(

j

i

j

i

a

2

2

3

2

+

-

+

+

=

j

i

j

i

a

4

2

2

6

+

-

+

=

j

i

a

6

4

+

=

5.Vektor Posisi Suatu Titik

Jika O titik pangkal koordinat dan

)

,

(

p

p

y

x

P

sebuah titik, vektor yang diwakili oleh

®

OP

disebut vektor posisi titik

)

,

(

p

p

y

x

P

. Dilambangkan dengan

p

.

Dalam bentuk vektor kolom ditulis

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

p

p

y

x

p

, dalam bentuk kombinasi vektor basis ditulis

j

y

i

x

p

p

p

+

=

. Absis

p

x

dan ordinat

p

y

menjadi komponen vektornya.

Setiap vektor merupakan vektor posisi suatu titik . Vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

4

3

a

atau

j

i

a

4

3

+

=

adalah vektor posisi dari titik

)

,

(

4

3

A

dan

®

OA

sebagai wakil vektornya.

Teorema

Jika

a

dan

b

vektor-vektor posisi dari titik A dan B, maka

®

AB

mewakili vektor

a

b

-

\

a

b

AB

-

=

®

6.Besar atau Panjang Vektor

Untuk menghitung besar (panjang) vektor digunakan sistem koordinat berbasis

i

dan

j

yang saling tegak lurus dan panjangnya satu.

Dalam bentuk vektor kolom

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

0

1

i

dan

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

1

0

j

Pehatikan gambar berikut:

Vektor posisi titik

)

,

(

m

l

P

yaitu

j

m

i

l

p

+

=

atau

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

m

l

p

Besar vektor

p

ditentukan oleh panjang

®

OP

, yaitu:

2

2

m

l

OP

p

+

=

=

®

Contoh 3:

Diketahui vektor

j

i

p

12

5

+

=

, tentukan besar vektor

p

.

Jawab:

13

169

144

25

12

5

2

2

=

=

+

=

+

=

=

®

OP

p

Andaikan vektor

v

diwakili oleh

®

AB

, lihat gambar

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

=

-

=

=

®

A

B

A

B

y

y

x

x

a

b

AB

v

, sehingga

2

2

)

(

)

(

A

B

A

B

y

y

x

x

AB

v

-

+

-

=

=

®

Contoh 4:

Diketahui vektor

j

i

a

2

14

+

-

=

dan

j

i

b

5

10

-

=

merupakan vektor posisi dari titik A dan B. Andaikan vektor

v

diwakili oleh

®

AB

, tentukan panjang vektor

v

.

Jawab :

2

2

)

(

)

(

A

B

A

B

y

y

x

x

AB

v

-

+

-

=

=

®

25

625

49

576

7

24

2

5

14

10

2

2

2

2

=

=

+

=

-

+

=

-

-

+

-

-

=

=

®

)

(

)

(

))

(

(

AB

v

7.Operasi Aljabar Vektor di Ruang Dimensi 2 Secara Analitik

Secara analitik, operasi aljabar vektor di ruang dimensi 2 biasanya disajikan dalam bentuk vektor kolom

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

1

1

y

x

a

,

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

2

2

y

x

b

, dan berlaku aturan berikut :

a.Kesamaan Dua Vektor

Jika

b

a

=

maka

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

2

2

1

1

y

x

y

x

yang berarti

2

1

x

x

=

dan

2

1

y

y

=

b.Penjumlahan Vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

+

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

+

2

1

2

1

2

2

1

1

y

y

x

x

y

x

y

x

b

a

-unsur identitas penjumlahan vektor adalah vektor nol

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

0

0

o

.

-invers penjumlahan (lawan) vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

1

1

y

x

a

adalah

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

=

-

1

1

y

x

a

c.Pengurangan vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

=

-

2

1

2

1

2

2

1

1

y

y

x

x

y

x

y

x

b

a

b

a

)

(

d.Perkalian vektor dengan skalar (bilangan real)

Andaikan m bilangan real

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

1

1

1

1

my

mx

y

x

m

a

m

Contoh 5:

Diketahui titik

)

,

(

5

2

A

dan

)

,

(

3

4

-

B

. Jika

a

dan

b

berturut-turut vektor posisi dari titik A dan B, nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk vektor kolom, kemudian hitung panjangnya.

a.

a

dan

b

c.

b

a

+

dan

a

b

-

b.

a

2

dan

b

2

d.

b

a

-

2

dan

a

b

+

2

Jawab:

a.

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

5

2

a

sehingga

29

25

4

5

2

2

2

=

+

=

+

=

a

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

3

4

b

sehingga

5

25

9

16

3

4

2

2

=

=

+

=

+

-

=

)

(

b

b.

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

10

4

5

2

2

2

a

sehingga

29

2

116

100

16

10

4

2

2

2

=

=

+

=

+

=

a

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

6

8

3

4

2

2

b

sehingga

10

100

36

64

6

8

2

2

2

=

=

+

=

+

-

=

)

(

b

c.

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

-

+

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

+

8

2

3

5

4

2

3

4

5

2

)

(

b

a

sehingga

17

2

68

64

4

8

2

2

2

=

=

+

=

+

-

=

+

)

(

b

a

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

-

2

6

5

3

2

4

5

2

3

4

a

b

sehingga

10

2

40

4

36

2

6

2

2

=

=

+

=

-

+

-

=

-

)

(

)

(

a

b

d.

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

-

7

8

3

4

10

4

2

b

a

sehingga

113

49

64

7

8

2

2

2

=

+

=

+

=

-

b

a

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

+

11

6

5

2

6

8

2

a

b

sehingga

157

121

36

11

6

2

2

2

=

+

=

+

-

=

+

)

(

a

b

LATIHAN 2

1.Diketahui vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

4

3

u

,

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

3

0

v

, dan

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

3

4

w

. Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk vektor kolom!

a.

v

u

+

d.

)

(

w

v

u

+

-

2

b.

w

v

+

e.

w

u

v

2

3

+

-

c.

v

w

u

+

-

f.

w

v

u

3

2

4

+

-

2.Diketahui vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

3

2

a

,

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

1

1

b

, dan

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

4

2

c

. Tentukan :

a.

c

c.

b

c

-

b.

b

a

+

d.

b

a

2

-

3.Diketahui vektor

j

i

a

2

3

-

=

,

j

i

b

3

2

+

-

=

, dan

j

i

c

2

-

=

. Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk kombinasi linear vektor

i

dan

j

!

a.

b

a

2

+

c.

c

b

a

-

+

2

1

2

3

b.

c

b

a

3

2

3

1

+

+

-

d.

c

b

a

2

2

2

+

-

4.Diketahui vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

3

2

a

,

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

1

2

b

, dan

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

=

2

1

c

. Nyatakan vektor

x

dalam bentuk vektor kolom dari tiap persamaan berikut, kemudian tentukan panjang vektor

x

.

a.

c

a

x

=

-

c.

a

b

x

3

2

=

-

b.

c

b

a

x

=

+

+

d.

a

b

x

c

+

=

-

2

3

2

8.Vektor Satuan dalam Bidang

Misalkan vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

y

x

a

. Vektor satuan dari vektor

a

dilambangkan dengan

e

ˆ

(dibaca; ”e topi”), adalah vektor yang searah dengan vektor

a

dan besarnya satu satuan (

1

=

e

ˆ

)

Misalkan vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

y

x

a

, vektor satuan dari

a

ditentukan dengan rumus:

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

+

=

=

y

x

y

x

y

x

a

a

a

e

2

2

2

2

1

ˆ

Contoh 6:

Misalkan diketahui vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

3

4

a

, tentukan vektor satuan dari vektor

a

.

Jawab:

Besar vektor

a

adalah

5

25

3

4

2

2

=

=

-

+

=

)

(

a

Vektor satuan dari

a

adalah

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

+

=

=

-

5

3

5

4

2

2

3

4

5

1

3

4

3

4

1

)

(

ˆ

a

a

e

Jadi, vektor satuan dari

a

adalah

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

-

5

3

5

4

e

ˆ

,

Atau dalam bentuk kombinasi linear vektor basis dapat ditulis

j

i

e

5

3

5

4

-

=

ˆ

.

Cek, apakah

1

=

e

ˆ

j

i

e

5

3

5

4

-

=

ˆ

1

1

25

25

25

9

25

16

2

5

3

2

5

4

=

=

=

+

=

-

+

=

)

(

)

(

ˆ

e

B.VEKTOR DI RUANG (RUANG DIMENSI 3)

1.Sistem Koordinat Ruang

Tiga buah sumbu koordinat yang saling tegak lurus yaitu sumbu X, Y, dan Z, ketiganya berpotongan di titik O.

Misalkan titik P terletak di Ruang (R-3), maka letak titik P ditentukan oleh pasangan terurut tiga bilangan

)

,

,

(

z

y

x

dan dinamakan koordinat ruang titik P.

2.Vektor Basis dalam Ruang

Misalkan

i

,

j

, dan

k

adalah vektor-vektor tak sebidang dengan panjang satu satuan dan berturut-turut berimpit dengan sumbu X, Y, dan Z.

Dari titik

)

,

,

(

0

0

0

O

dan

)

,

,

(

z

y

x

P

, ruas garis berarah

OP

sebagai wakil vektor

r

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

k

z

j

y

i

x

r

+

+

=

Bilangan real x, y, dan z disebut komponen-komponen vektor

r

.

Vektor-vektor

i

,

j

, dan

k

disebut vektor-vektor basis di R-3, atau vektor-vektor satuan dalam arah-arah x, y, dan z.

Vektor

r

dapat juga dinyatakan dalam bentuk :

Vektor baris

(

)

z

y

x

r

=

Vektor kolom

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

z

y

x

r

Jika titik pangkal vektor tidak berada di

)

,

,

(

0

0

0

O

Misalkan titik

)

,

,

(

a

a

a

z

y

x

A

sebagai titik pangkal dan

)

,

,

(

b

b

b

z

y

x

B

sebagai titik ujung. Ruas garis berarah

®

AB

sebagai wakil vektor

p

atau

®

=

AB

p

Menggunakan aturan penjumlahan vektor:

®

®

®

=

+

OB

AB

OA

®

®

®

-

=

Û

OA

OB

AB

®

®

-

=

Û

OA

OB

p

Ruas garis berarah

®

OA

mewakili vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

a

a

a

z

y

x

a

dan

®

OB

mewakili vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

b

b

b

z

y

x

b

, sehingga:

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

-

-

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

-

=

a

b

a

b

a

b

a

a

a

b

b

b

z

z

y

y

x

x

z

y

x

z

y

x

a

b

p

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

-

-

=

\

a

b

a

b

a

b

z

z

y

y

x

x

p

3. Aljabar Vektor dalam Ruang

a. Kesamaan Dua Vektor dalam Ruang

Definisi

Misalkan vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

a

a

a

z

y

x

a

dan vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

b

b

b

z

y

x

b

,

b

a

=

jika dan hanya jika

,

,

b

a

b

a

y

y

x

x

=

=

dan

b

a

z

z

=

b.Penjumlahan Dua Vektor dalam Ruang

Definisi

Misalkan vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

a

a

a

z

y

x

a

dan vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

b

b

b

z

y

x

b

, maka jumlah vektor

a

dan

b

adalah

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

+

+

+

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

+

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

+

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a

z

z

y

y

x

x

z

y

x

z

y

x

b

a

*Unsur identitas penjumlahan vektor di ruang adalah vektor

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

0

0

0

o

yang bersifat

a

a

o

o

a

=

+

=

+

*Lawan dari vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

a

a

a

z

y

x

a

adalah

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

-

-

=

-

a

a

a

z

y

x

a

c.Pengurangan dua vektor di ruang

Definisi

Misalkan vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

a

a

a

z

y

x

a

dan vektor

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

b

b

b

z

y

x

b

, maka

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

-

-

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

-

b

a

b

a

b

a

b

b

b

a

a

a

z

z

y

y

x

x

z

y

x

z

y

x

b

a

d.Hasil Kali Skalar dengan Vektor di Ruang

Misalkan m adalah skalar (bilangan real), maka

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

=

a

a

a

a

a

a

z

m

y

m

x

m

z

y

x

m

a

m

Contoh 7:

Diketahui vektor-vektor

k

j

i

a

6

12

3

+

-

=

,

k

j

i

b

2

6

4

-

+

=

, dan

j

i

c

15

3

+

-

=

.

a.Nyatakan vektor-vektor

a

,

b

, dan

c

dalam bentuk vektor kolom.

b.Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk vektor kolom.

(i)

b

a

+

(iv)

c

a

+

3

(ii)

c

a

-

(v)

c

3

1

(iii)

b

2

(vi)

c

b

a

3

1

2

1

3

1

+

-

Jawab:

a.

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

+

-

=

6

12

3

6

12

3

k

j

i

a

,

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

-

+

=

2

6

4

2

6

4

k

j

i

b

,

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

+

-

=

0

15

3

15

3

j

i

c

b.(i)

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

+

+

-

+

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

+

4

6

7

2

6

6

12

4

3

2

6

4

6

12

3

)

(

b

a

(ii)

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

-

-

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

-

6

27

6

0

6

15

12

3

3

0

15

3

6

12

3

)

(

c

a

(iii)

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

´

´

´

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

4

12

8

2

2

6

2

4

2

2

6

4

2

2

)

(

b

(iv)

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

+

18

21

6

0

15

3

18

36

9

0

15

3

6

12

3

3

3

c

a

(v)

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

0

5

1

0

15

3

3

1

3

1

c

(vi)

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

+

-

3

2

2

0

5

1

1

3

2

2

4

1

0

15

3

2

6

4

6

12

3

3

1

2

1

3

1

3

1

2

1

3

1

c

b

a

Contoh 8:

Diketahui tiga buah titik

)

,

,

(

2

3

3

A

,

)

,

,

(

1

5

4

B

, dan

)

,

,

(

2

11

7

-

C

. Ruas-ruas garis berarah

®

OA

,

®

OB

, dan

®

OC

mewakili vektor

a

,

b

, dan

c

.

a.Nyatakan

a

,

b

, dan

c

dalam bentuk vektor kolom.

b.Nyatakan

®

AB

,

®

BC

, dan

®

AC

dalam bentuk vektor kolom.

c.Tunjukkan bahwa

)

,

,

(

2

3

3

A

,

)

,

,

(

1

5

4

B

, dan

)

,

,

(

2

11

7

-

C

segaris (kolinear).

d.Tentukan perbandingan

BC

AB

:

Jawab:

a.

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

2

3

3

a

,

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

1

5

4

b

, dan

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

2

11

7

c

b.

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

-

=

®

1

2

1

2

3

3

1

5

4

a

b

AB

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

-

=

®

3

6

3

1

5

4

2

11

7

b

c

BC

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

-

=

®

4

8

4

2

3

3

2

11

7

a

c

AC

c.Untuk munjukkan bahwa

)

,

,

(

2

3

3

A

,

)

,

,

(

1

5

4

B

, dan

)

,

,

(

2

11

7

-

C

segaris, cukup ditunjukkan bahwa

®

AB

dan

®

BC

searah.

Dari jawaban b. tampak bahwa

®

®

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

AB

BC

3

1

2

1

3

3

6

3

, jadi

®

AB

dan

®

BC

searah sehingga

A

,

B

, dan

C

segaris (kolinear).

d.Karena

®

®

=

AB

BC

3

maka

AB

BC

3

=

sehingga

3

1

:

:

=

BC

AB

4.Panjang Vektor di Ruang

®

OP

mewakili vektor

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

z

y

x

p

maka panjang (besar) vektor

p

adalah

2

2

2

z

y

x

OP

p

+

+

=

=

®

Jika titik pangkal vektor tidak berada di

)

,

,

(

0

0

0

O

Misalkan titik

)

,

,

(

a

a

a

z

y

x

A

sebagai titik pangkal dan

)

,

,

(

b

b

b

z

y

x

B

sebagai titik ujung. Ruas garis berarah

®

AB

sebagai wakil vektor

p

, maka panjang vektor

p

2

2

2

)

(

)

(

)

(

a

b

a

b

a

b

z

z

y

y

x

x

AB

p

-

+

-

+

-

=

=

®

Catatan:

Rumus panjang (besar) vektor

2

2

2

)

(

)

(

)

(

a

b

a

b

a

b

z

z

y

y

x

x

AB

p

-

+

-

+

-

=

=

®

mirip dengan rumus jarak antara dua titik, bahwa jarak antara titik

)

,

,

(

a

a

a

z

y

x

A

dan titik

)

,

,

(

b

b

b

z

y

x

B

yaitu

2

2

2

)

(

)

(

)

(

a

b

a

b

a

b

z

z

y

y

x

x

AB

-

+

-

+

-

=

®

Contoh 9:

Diketahui vektor-vektor

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

3

2

1

a

,

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

=

2

3

2

b

, dan

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

2

4

3

c

.

a.Nyatakan vektor-vektor tersebut dengan kombinasi linear vektor

i

,

j

, dan

k

.

b.Hitunglah panjang masing-masing vektornya.

Jawab:

a.

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

3

2

1

a

maka

k

j

i

a

3

2

+

+

-

=

,

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

=

2

3

2

b

maka

k

j

i

b

2

3

2

-

+

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

2

4

3

c

maka

k

j

i

c

2

4

3

+

+

=

b.

14

9

4

1

3

2

1

2

2

2

=

+

+

=

+

+

-

=

)

(

a

Jadi panjang vektor

a

adalah

14

=

a

17

4

9

4

2

3

2

2

2

2

=

+

+

=

-

+

+

-

=

)

(

)

(

b

Jadi panjang vektor

b

adalah

17

=

b

29

4

16

9

2

4

3

2

2

2

=

+

+

=

+

+

=

c

Jadi panjang vektor

c

adalah

29

=

c

Contoh 10:

Diberikan titik

)

,

,

(

2

4

3

P

dan

)

,

,

(

1

5

2

-

Q

a.Nyatakan vektor posisi

®

=

OP

p

dan

®

=

OQ

q

tersebut dengan kombinasi linear vektor

i

,

j

, dan

k

.

b.Jika vektor

®

=

PQ

a

, tentukan vektor

a

dengan kombinasi linear vektor

i

,

j

, dan

k

.

c.Tentukan panjang vektor

p

,

q

, dan

a

.

d.Tentukan panjang vektor berikut:

(i)

p

2

dan

q

2

(ii)

q

p

+

dan

p

q

-

(iii)

q

p

-

2

dan

p

q

+

2

Jawab:

a.

k

j

i

OP

p

2

4

3

+

+

=

=

®

,

k

j

i

OQ

q

+

-

=

=

®

5

2

b.

®

®

®

-

=

=

OP

OQ

PQ

a

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

-

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

-

=

1

9

1

2

1

4

5

3

2

2

4

3

1

5

2

p

q

a

Jadi

k

j

i

a

-

-

-

=

9

c.

29

4

16

9

2

4

3

2

2

2

=

+

+

=

+

+

=

p

30

1

25

4

1

5

2

2

2

2

=

+

+

=

+

-

+

=

)

(

q

83

1

81

1

1

9

1

2

2

2

=

+

+

=

-

+

-

+

-

=

)

(

)

(

)

(

a

d.(i)

k

j

i

k

j

i

p

4

8

6

2

4

3

2

2

+

+

=

+

+

=

)

(

29

2

116

16

64

36

4

8

6

2

2

2

2

=

=

+

+

=

+

+

=

p

k

j

i

k

j

i

q

2

10

4

5

2

2

2

+

-

=

+

-

=

)

(

30

2

120

4

100

16

2

10

4

2

2

2

2

=

=

+

+

=

+

-

+

=

)

(

q

(ii)

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

+

3

1

5

1

5

2

2

4

3

q

p

maka

35

9

1

25

3

1

5

2

2

2

=

+

+

=

+

-

+

=

+

)

(

q

p

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

-

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

-

1

9

1

2

1

4

5

3

2

2

4

3

1

5

2

p

q

maka

83

1

81

1

1

9

1

2

2

2

=

+

+

=

-

+

-

+

-

=

-

)

(

)

(

)

(

p

q

(iii)

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

-

3

13

4

1

5

2

4

8

6

2

q

p

maka

194

9

169

16

3

13

4

2

2

2

2

=

+

+

=

+

+

=

-

q

p

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

+

4

6

7

2

4

3

2

10

4

2

p

q

maka

101

16

36

49

4

6

7

2

2

2

2

=

+

+

=

+

-

+

=

+

)

(

p

q

5.Vektor Satuan dari suatu Vektor

Untuk setiap vektor

a

yang bukan vektor nol, dapat ditentukan vektor satuan dari vektor

a

dan dilambangkan dengan

e

ˆ

(baca:“e topi“). Vektor satuan ini mempunyai panjang satu dan searah dengan vektor

a

.

Vektor Satuan dari

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

z

y

x

a

adalah

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

+

=

+

+

=

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

a

a

a

e

2

2

2

2

2

2

1

ˆ

Contoh 11 :

Andaikan vektor

k

j

i

a

6

3

2

+

+

-

=

, carilah vektor satuan dari vektor

a

.

Jawab:

Panjang vektor

a

adalah

7

49

36

9

4

6

3

2

2

2

2

=

=

+

+

=

+

+

-

=

)

(

a

Vektor satuan dari vektor

a

adalah

k

j

i

k

j

i

k

j

i

a

a

e

7

6

7

3

7

2

7

1

6

3

2

7

6

3

2

+

+

-

=

+

+

-

=

+

+

-

=

=

)

(

ˆ

Jadi, vektor satuan dari

a

adalah

k

j

i

e

7

6

7

3

7

2

+

+

-

=

ˆ

Atau, dalam bentuk vektor kolom

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

-

=

7

6

7

3

7

2

e

ˆ

LATIHAN 3

1.Diketahui vektor-vektor

k

j

i

a

+

-

=

2

3

,

k

j

i

b

3

4

2

+

-

=

, dan

k

j

i

c

2

2

+

+

-

=

. Hitunglah

a.

a

d.

c

b

a

+

+

b.

b

e.

c

b

a

-

+

c.

c

f.

c

b

a

5

3

2

-

-

2.Untuk vektor-vektor pada soal Nomor 1 tentukan vektor satuan dari:

a.

a

d.

c

b

a

+

+

b.

b

e.

c

b

a

-

+

c.

c

f.

c

b

a

5

3

2

-

-

3.Misalkan vektor

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

5

4

2

u

, vektor

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

3

2

1

v

, dan vektor

w

adalah resultan (jumlah) dari vektor

u

dan vektor

v

.

a.Nyatakan vektor

w

dalam bentuk vektor kolom.

b.Hitunglah panjang vektor

u

,

v

, dan

w

.

c.Tentukan vektor-vektor satuan dari

u

,

v

, dan

w

.

4.Misalkan vektor

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

3

2

x

a

, vektor

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

-

=

6

1

1

b

, dan

b

a

=

a.Carilah nilai x.

b.Tentukan vektor satuan dari

a

dan vektor satuan

b

.

5.Diketahui 4 buah vektor

k

j

i

p

5

3

2

-

+

=

,

k

j

i

q

3

5

+

+

-

=

,

k

j

i

r

4

2

+

-

=

, dan

k

j

i

s

2

3

4

-

+

=

.

a.Tentukan resultan dari vektor-vektor

p

,

q

,

r

, dan

s

.

b.Hitunglah panjang vektor resultan.

c.Tentukan vektor satuan dari vektor resultan.

6.Hitunglah jarak antara setiap pasangan titik berikut ini:

a.

)

,

,

(

0

0

0

O

dan

)

,

,

(

9

2

6

-

A

d.

)

,

,

(

2

3

1

-

F

dan

)

,

,

(

5

0

4

-

G

b.

)

,

,

(

0

2

6

-

B

dan

)

,

,

(

7

3

2

C

e.

)

,

,

(

3

0

2

P

dan

)

,

,

(

0

2

0

Q

c.

)

,

,

(

0

3

0

D

dan

)

,

,

(

2

0

6

E

f.

)

,

,

(

1

2

3

-

R

dan

)

,

,

(

3

5

2

S

B

� EMBED Equation.3 ���

A

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

C

D

A

B

D

E

F

O

C

B

A

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

D

E

F

O

C

B

A

B

A

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

C

E

D

v

u

B

A

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

P

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

R

Q

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

O

P

� EMBED Equation.3 ���

y

P(5,3)

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

x

O

� EMBED Equation.3 ���

y

6

4

2

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

3 4 6 x

� EMBED Equation.3 ���

O

� EMBED Equation.3 ���

( P

y

x

O

y

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

O

x

y

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

O

� EMBED Equation.3 ���

x

y

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

O

x

z

O

y

x

z

z

� EMBED Equation.3 ���

O

y

y

x

x

z

z

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

O

� EMBED Equation.3 ���

y

y

� EMBED Equation.3 ���

x

x

z

A

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

B

� EMBED Equation.3 ���

y

O

x

z

z

C

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

O

B

y

x

y

D

x

z

A

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

B

� EMBED Equation.3 ���

y

O

x

� EMBED Equation.3 ���

� EMBED Equation.3 ���

Vektor 1 / X IPA

_1648751649.unknown
_1648847000.unknown
_1650001820.unknown
_1650005237.unknown
_1650007360.unknown
_1650007882.unknown
_1650007984.unknown
_1650040809.unknown
_1650042022.unknown
_1650042704.unknown
_1650043426.unknown
_1650086156.unknown
_1650086383.unknown
_1650086081.unknown
_1650042722.unknown
_1650042321.unknown
_1650041337.unknown
_1650042010.unknown
_1650040819.unknown
_1650040797.unknown
_1650007942.unknown
_1650007962.unknown
_1650007915.unknown
_1650007697.unknown
_1650007756.unknown
_1650007861.unknown
_1650007727.unknown
_1650007582.unknown
_1650007656.unknown
_1650007548.unknown
_1650006977.unknown
_1650007207.unknown
_1650007279.unknown
_1650007061.unknown
_1650007113.unknown
_1650007156.unknown
_1650007184.unknown
_1650007084.unknown
_1650007002.unknown
_1650006211.unknown
_1650006770.unknown
_1650006945.unknown
_1650006396.unknown
_1650006419.unknown
_1650006354.unknown
_1650006126.unknown
_1650006151.unknown
_1650005329.unknown
_1650004001.unknown
_1650004611.unknown
_1650004850.unknown
_1650005100.unknown
_1650005143.unknown
_1650005000.unknown
_1650004800.unknown
_1650004822.unknown
_1650004638.unknown
_1650004429.unknown
_1650004538.unknown
_1650004570.unknown
_1650004469.unknown
_1650004308.unknown
_1650004348.unknown
_1650004140.unknown
_1650003021.unknown
_1650003225.unknown
_1650003329.unknown
_1650003390.unknown
_1650003274.unknown
_1650003165.unknown
_1650003190.unknown
_1650003041.unknown
_1650003137.unknown
_1650002230.unknown
_1650002842.unknown
_1650002902.unknown
_1650002748.unknown
_1650002010.unknown
_1650002100.unknown
_1650002197.unknown
_1650002081.unknown
_1650001997.unknown
_1648921578.unknown
_1648927942.unknown
_1649180955.unknown
_1649181951.unknown
_1649182430.unknown
_1649954926.unknown
_1649955093.unknown
_1649955518.unknown
_1649955678.unknown
_1649955347.unknown
_1649954960.unknown
_1649232857.unknown
_1649433691.unknown
_1649435646.unknown
_1649954525.unknown
_1649435430.unknown
_1649434686.unknown
_1649182477.unknown
_1649182497.unknown
_1649182523.unknown
_1649182456.unknown
_1649182242.unknown
_1649182310.unknown
_1649182422.unknown
_1649182281.unknown
_1649182146.unknown
_1649182222.unknown
_1649182122.unknown
_1649181497.unknown
_1649181861.unknown
_1649181911.unknown
_1649181943.unknown
_1649181902.unknown
_1649181680.unknown
_1649181728.unknown
_1649181618.unknown
_1649181272.unknown
_1649181405.unknown
_1649181484.unknown
_1649181307.unknown
_1649181124.unknown
_1649181139.unknown
_1649181116.unknown
_1648930823.unknown
_1649180530.unknown
_1649180635.unknown
_1649180916.unknown
_1649180937.unknown
_1649180812.unknown
_1649180871.unknown
_1649180576.unknown
_1649180623.unknown
_1649180548.unknown
_1649180562.unknown
_1649180319.unknown
_1649180367.unknown
_1649180480.unknown
_1649180341.unknown
_1648930951.unknown
_1649180270.unknown
_1648930866.unknown
_1648929270.unknown
_1648930103.unknown
_1648930439.unknown
_1648930571.unknown
_1648930308.unknown
_1648930396.unknown
_1648929735.unknown
_1648930073.unknown
_1648929609.unknown
_1648929125.unknown
_1648929151.unknown
_1648929162.unknown
_1648929137.unknown
_1648929100.unknown
_1648929112.unknown
_1648928238.unknown
_1648928285.unknown
_1648928408.unknown
_1648928258.unknown
_1648927947.unknown
_1648924614.unknown
_1648926420.unknown
_1648927155.unknown
_1648927246.unknown
_1648927811.unknown
_1648927825.unknown
_1648927896.unknown
_1648927265.unknown
_1648927198.unknown
_1648926571.unknown
_1648926638.unknown
_1648926429.unknown
_1648924669.unknown
_1648926411.unknown
_1648924650.unknown
_1648922691.unknown
_1648924596.unknown
_1648922839.unknown
_1648923763.unknown
_1648923798.unknown
_1648923901.unknown
_1648923076.unknown
_1648922711.unknown
_1648922272.unknown
_1648922427.unknown
_1648922459.unknown
_1648922417.unknown
_1648922024.unknown
_1648922034.unknown
_1648921613.unknown
_1648921689.unknown
_1648880008.unknown
_1648882046.unknown
_1648921149.unknown
_1648921233.unknown
_1648921243.unknown
_1648921224.unknown
_1648883436.unknown
_1648884047.unknown
_1648884353.unknown
_1648921021.unknown
_1648921090.unknown
_1648885718.unknown
_1648885942.unknown
_1648887250.unknown
_1648920471.unknown
_1648887307.unknown
_1648886820.unknown
_1648887052.unknown
_1648886365.unknown
_1648885903.unknown
_1648884841.unknown
_1648884852.unknown
_1648884481.unknown
_1648884744.unknown
_1648884190.unknown
_1648884246.unknown
_1648884156.unknown
_1648883569.unknown
_1648883712.unknown
_1648883554.unknown
_1648882969.unknown
_1648883131.unknown
_1648883192.unknown
_1648883046.unknown
_1648882568.unknown
_1648882705.unknown
_1648882557.unknown
_1648880135.unknown
_1648881189.unknown
_1648881408.unknown
_1648881531.unknown
_1648881412.unknown
_1648881385.unknown
_1648881332.unknown
_1648881338.unknown
_1648881196.unknown
_1648880250.unknown
_1648881080.unknown
_1648880458.unknown
_1648880209.unknown
_1648880043.unknown
_1648880052.unknown
_1648880130.unknown
_1648880048.unknown
_1648880018.unknown
_1648880036.unknown
_1648880014.unknown
_1648847214.unknown
_1648847326.unknown
_1648879978.unknown
_1648879982.unknown
_1648879752.unknown
_1648879832.unknown
_1648879729.unknown
_1648847322.unknown
_1648847323.unknown
_1648847320.unknown
_1648847321.unknown
_1648847319.unknown
_1648847005.unknown
_1648847081.unknown
_1648847194.unknown
_1648847079.unknown
_1648847080.unknown
_1648847010.unknown
_1648842835.unknown
_1648844065.unknown
_1648846783.unknown
_1648846808.unknown
_1648846819.unknown
_1648846910.unknown
_1648846916.unknown
_1648846921.unknown
_1648846900.unknown
_1648846813.unknown
_1648846794.unknown
_1648846803.unknown
_1648846788.unknown
_1648844280.unknown
_1648844386.unknown
_1648845495.unknown
_1648846526.unknown
_1648845465.unknown
_1648844349.unknown
_1648844147.unknown
_1648844205.unknown
_1648844083.unknown
_1648843530.unknown
_1648843867.unknown
_1648844024.unknown
_1648844055.unknown
_1648843888.unknown
_1648843695.unknown
_1648843754.unknown
_1648843676.unknown
_1648843380.unknown
_1648843440.unknown
_1648843476.unknown
_1648843431.unknown
_1648843010.unknown
_1648843322.unknown
_1648843346.unknown
_1648842886.unknown
_1648832266.unknown
_1648833152.unknown
_1648841491.unknown
_1648842743.unknown
_1648842794.unknown
_1648842644.unknown
_1648841453.unknown
_1648841482.unknown
_1648833333.unknown
_1648832857.unknown
_1648833102.unknown
_1648833139.unknown
_1648832883.unknown
_1648832629.unknown
_1648832823.unknown
_1648832366.unknown
_1648831682.unknown
_1648831959.unknown
_1648832193.unknown
_1648832220.unknown
_1648832114.unknown
_1648831851.unknown
_1648831924.unknown
_1648831839.unknown
_1648752038.unknown
_1648831543.unknown
_1648831601.unknown
_1648831656.unknown
_1648831562.unknown
_1648830046.unknown
_1648831501.unknown
_1648829503.unknown
_1648830000.unknown
_1648829484.unknown
_1648751955.unknown
_1648752009.unknown
_1648751927.unknown
_1648627673.unknown
_1648629318.unknown
_1648748438.unknown
_1648750639.unknown
_1648751025.unknown
_1648751327.unknown
_1648751358.unknown
_1648751158.unknown
_1648750760.unknown
_1648750791.unknown
_1648750701.unknown
_1648749387.unknown
_1648749526.unknown
_1648749558.unknown
_1648750575.unknown
_1648749568.unknown
_1648749582.unknown
_1648750455.unknown
_1648749575.unknown
_1648749563.unknown
_1648749544.unknown
_1648749550.unknown
_1648749534.unknown
_1648749497.unknown
_1648749502.unknown
_1648749506.unknown
_1648749466.unknown
_1648748787.unknown
_1648749106.unknown
_1648749145.unknown
_1648749242.unknown
_1648749271.unknown
_1648749154.unknown
_1648749118.unknown
_1648749051.unknown
_1648749057.unknown
_1648748797.unknown
_1648748645.unknown
_1648748693.unknown
_1648748705.unknown
_1648748480.unknown
_1648748018.unknown
_1648748402.unknown
_1648748414.unknown
_1648748432.unknown
_1648748407.unknown
_1648748029.unknown
_1648748195.unknown
_1648748271.unknown
_1648748397.unknown
_1648748260.unknown
_1648748043.unknown
_1648748024.unknown
_1648629402.unknown
_1648629453.unknown
_1648748012.unknown
_1648629439.unknown
_1648629330.unknown
_1648629396.unknown
_1648629323.unknown
_1648629069.unknown
_1648629116.unknown
_1648629292.unknown
_1648629305.unknown
_1648629311.unknown
_1648629299.unknown
_1648629202.unknown
_1648629208.unknown
_1648629191.unknown
_1648629094.unknown
_1648629106.unknown
_1648629111.unknown
_1648629101.unknown
_1648629079.unknown
_1648629087.unknown
_1648629074.unknown
_1648628738.unknown
_1648629046.unknown
_1648629057.unknown
_1648629062.unknown
_1648629052.unknown
_1648628764.unknown
_1648628806.unknown
_1648628850.unknown
_1648628893.unknown
_1648628770.unknown
_1648628752.unknown
_1648628757.unknown
_1648628745.unknown
_1648628705.unknown
_1648628719.unknown
_1648628725.unknown
_1648628712.unknown
_1648628454.unknown
_1648628466.unknown
_1648628698.unknown
_1648628460.unknown
_1648627686.unknown
_1648628445.unknown
_1648628428.unknown
_1648627679.unknown
_1648626108.unknown
_1648626945.unknown
_1648627557.unknown
_1648627643.unknown
_1648627654.unknown
_1648627666.unknown
_1648627649.unknown
_1648627633.unknown
_1648627638.unknown
_1648627604.unknown
_1648627622.unknown
_1648627564.unknown
_1648627586.unknown
_1648627044.unknown
_1648627547.unknown
_1648627552.unknown
_1648627480.unknown
_1648627541.unknown
_1648627509.unknown
_1648627474.unknown
_1648626981.unknown
_1648626992.unknown
_1648627043.unknown
_1648626952.unknown
_1648626506.unknown
_1648626878.unknown
_1648626895.unknown
_1648626901.unknown
_1648626884.unknown
_1648626890.unknown
_1648626568.unknown
_1648626770.unknown
_1648626814.unknown
_1648626629.unknown
_1648626726.unknown
_1648626590.unknown
_1648626556.unknown
_1648626562.unknown
_1648626532.unknown
_1648626540.unknown
_1648626511.unknown
_1648626137.unknown
_1648626393.unknown
_1648626406.unknown
_1648626417.unknown
_1648626412.unknown
_1648626399.unknown
_1648626309.unknown
_1648626371.unknown
_1648626314.unknown
_1648626298.unknown
_1648626303.unknown
_1648626270.unknown
_1648626123.unknown
_1648626130.unknown
_1648626115.unknown
_1648625793.unknown
_1648626018.unknown
_1648626051.unknown
_1648626092.unknown
_1648626100.unknown
_1648626056.unknown
_1648626035.unknown
_1648626044.unknown
_1648626023.unknown
_1648626029.unknown
_1648625989.unknown
_1648626003.unknown
_1648626010.unknown
_1648625996.unknown
_1648625868.unknown
_1648625952.unknown
_1648625966.unknown
_1648625981.unknown
_1648625959.unknown
_1648625947.unknown
_1648625862.unknown
_1648625284.unknown
_1648625476.unknown
_1648625489.unknown
_1648625726.unknown
_1648625754.unknown
_1648625665.unknown
_1648625706.unknown
_1648625496.unknown
_1648625482.unknown
_1648625344.unknown
_1648625400.unknown
_1648625467.unknown
_1648625375.unknown
_1648625350.unknown
_1648625338.unknown
_1648625290.unknown
_1578197535.unknown
_1648625249.unknown
_1648625262.unknown
_1648625277.unknown
_1648625255.unknown
_1648624934.unknown
_1648624949.unknown
_1648619354.unknown
_1648624920.unknown
_1648619457.unknown
_1578197918.unknown
_1578201318.unknown
_1578201390.unknown
_1578198351.unknown
_1578197540.unknown
_1578197518.unknown
_1578197526.unknown
_1578197531.unknown
_1578197522.unknown
_1578197510.unknown
_1578197514.unknown
_1413986803.unknown
_1413986856.unknown
_1578197505.unknown
_1413986807.unknown
_1319448933.unknown