1

Mata Pelajaran : Matematika (Peminatan)Kelas : X IPATopik : VEKTOR (1)Materi : 1. Pengertian dan Notasi Vektor2. Operasi Aljabar pada Vektor3. Vektor Posisi Suatu Titik4. Besar atau Panjang Vektor5. Vektor Satuan

TUGAS:1. Pelajari materi dan contoh-contoh yang ada pada uraian materi di bawah ini.2. Pelajari buku paket: Sukino, Matematika untuk SMA Kelas X jilid 1 Kelompok Peminatan Matematika dan Ilmu-ilmu Alam, Terbitan Erlangga, Carilah materi terkait pada Bab 4 tentang Vektor.3. Mengerjakan soal Latihan 1, 2, dan 3.4. Pekerjaan ditulis di kertas folio, kemudian di foto, hasilnya dikirim ke Pak Priyo via WA secara individu (japri).Ttd. Guru Mapel Matematika

Yohannes Priyo Istiarto

BAB 4 VEKTORA. VEKTOR DI BIDANG (RUANG DIMENSI 2)

1. Pengertian dan Notasi Vektor

Dalam mata pelajaran Fisika dipelajari konsep tentang besaran. Besaran terdiri dari besaran scalar dan besaran vektor.Skalar adalah suatu kuantitas (besaran) yang mempunyai besar tetapi tidak mempunyai arah, misalnya : panjang, luas, volume, temperatur/suhu.Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah (direction), misalnya : perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya.

Notasi:Skalar ditulis dengan huruf kecil atau huruf besar tanpa strip; a, b, A, B, …Vektor ditulis dengan huruf kecil atau huruf besar dengan strip di bawah atau di atasnya; , ,

, , … . Dalam buku cetak sering ditulis dengan cetak tebal; a, b, A, B, ...

Vektor 1 / X IPA

2

Secara gambar, vektor ditunjukkan oleh segmen garis atau ruas garis berarah, yang panjangnya menentukan besarnya dan ujung anak panah menunjukkan arahnya.

Ruas garis berarah ditulis dengan notasi , dengan A titik pangkal dan B titik ujung, maka arah

vektor adalah dari A ke B

menyatakan panjang (besar) vektor menyatakan harga mutlak k (bukan vektor). adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor tetapi arahnya berlawanan.

2. Aljabar Vektor di R-2 dengan Pendekatan Geometris (Gambar)a. Vektor nolVektor nol adalah vektor yang panjangnya nol, misalnya , .b. Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor dan dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.

Pada jajargenjang ABCD di samping, ruas garis

berarah dan adalah wakil-wakil dari

vektor yang sama sehingga dapat nyatakan

, demikian juga .

Pada segi enam beraturan ABCDEF yang berpusat di O, dapat ditemukan beberapa ruas garis berarah yang mewakili vector yang sama, misalnya:(i)(ii)(iii)

Vektor 1 / X IPA

F

E D

C

BA

D

C

BA

A

B

O

3

c. Jumlah Dua Vektor* Aturan Segitiga (Poligon)

Vektor adalah vektor yang bertitik pangkal di titik awal dan berakhir di titik akhir yang sudah digeser sehingga titik akhir berimpit dengan titik pangkal .

Untuk tiga vektor atau lebih

Pada segi enam beraturan ABCDEF yang berpusat di O, (i)(ii)(iii)(iv)

* Aturan JajargenjangVektor adalah diagonal jajargenjang yang dibentuk dengan cara memindahkan vektor sehingga titik pangkanya berimpit dengan titik pangkal vektor .

Sifat-sifat Penjumlahan Vektor1) Penjumlahan dua vektor dan bersifat komutatif Vektor 1 / X IPA

BA

F

E D

CBA O

4

2) Penjumlahan tiga vektor , , dan bersifat asosiatif3) Ada unsur identitas pada penjumlahan vektor, yaitu vektor nol sehingga4) Pada penjumlahan vektor, setiap vektor mempunyai lawan (invers penjumlahan) bagi vektor itu. Lawan dari adalah (dan sebaliknya), sehingga berlaku

d. Pengurangan atau Selisih Dua VektorDefinisiAndaikan diketahui vektor dan vektor . Pengurangan atau selisih vektor dengan vektor ditentukan sebagai jumlah vektor dengan lawan dari vektor .

e. Hasil Kali Skalar dengan VektorDefinisiMisalkan k adalah suatu skalar (bilangan real) dan adalah suatu vektor. Hasil kali skalar k dengan vektor , ditulis Ditentukan sebagai berikut:Panjang vektor sama dengan hasil kali dengan panjang vektor .- jika nilai , maka vektor searah dengan vektor .- jika nilai , maka vektor berlawanan arah dengan vektor .

Contoh 1:Gambar berikut adalah vektor-vektor dan dimana cm dan cm.

Gambarlah vektor-vektor berikut inia) b)Jawab:

Vektor 1 / X IPA

5

a) b)

Sifat-sifat Hasil kali Skalar dengan VektorAndaikan k dan l adalah skalar-skalar, dan adalah vektor-vektor sembarang, maka berlaku:1)2)3)4)5)

LATIHAN 1

1. Gambarlah jajargenjang ABCD, diagonal AC dan BD berpotongan di E. Jika (ruas garis berarah AB mewakili vektor ) dan (ruas garis berarah AD mewakili vektor ).a. Sebutkan ruas garis berarah yang mewakili :(i) (ii)b. Nyatakan dengan vektor dan :(i) (iii)(ii) (iv)c. Sederhanakan dan nyatakan dengan vektor dan :(i) (iii)(ii) (iv)

2. Pada titik P bekerja tiga buah gaya, seperti pada gambar berikut

Vektor 1 / X IPA

v

u

E

C

D

A

B

P

6

Jika , , dan , vektor , dengan aturan jajargenjang lukislah vektor .3. Diketahui vektor-vektor berikut

Jika cm, cm, dan cm, lukislah vector-vektor berikut dengan aturan segitiga (polygon).a.b.c.d.

3. Vektor-Vektor Pada Bidang TeoremaJika , , dan tiga buah vektor yang sebidang (koplanar) dan tidak searah, maka salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor lainnya.

, , dan

Di mana k dan l adalah skalar-skalar, maka

Dikatakan: Vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari dua vektor dan .Vektor dan disebut sebagai basis atau dasar untuk semua vektor pada bidang itu.

4. Sistem Koordinat pada Bidang (Ruang Dimensi 2)Dalam sistem koordinat tegak lurus dengan vektor-vektor basis dan yang panjangnya masing-masing 1 satuan dan arahnya saling tegak lurus.

Vektor basis dan sering ditulis dalam bentuk vektor kolom dan

Vektor 1 / X IPA

P

QR

O

7

Pehatikan gambar berikut:

mewakili vektor

Dalam bentuk kombinasi linear ditulis .

Dalam bentuk vektor baris ditulis

Dalam bentuk vektor kolom ditulis

Contoh 2:Diketahui vektor , vektor , dan vektor . Nyatakan vektor dalam bentuk kombinasi linear vektor basis dan .

Jawab:

5. Vektor Posisi Suatu Titik

Jika O titik pangkal koordinat dan sebuah

titik, vektor yang diwakili oleh disebut vektor

posisi titik . Dilambangkan dengan .

Dalam bentuk vektor kolom ditulis , dalam

bentuk kombinasi vektor basis ditulis .

Absis dan ordinat menjadi komponen

vektornya.

Vektor 1 / X IPA

P

O

y

x

y 6

4

2

P(5,3)

x

y

O

3 4 6 xO

8

Setiap vektor merupakan vektor posisi suatu titik . Vektor atau adalah vektor

posisi dari titik dan sebagai wakil vektornya.

Teorema

Jika dan vektor-vektor posisi dari titik A dan B, maka mewakili vektor

6. Besar atau Panjang Vektor

Untuk menghitung besar (panjang) vektor digunakan sistem koordinat berbasis dan yang saling tegak lurus dan panjangnya satu.

Dalam bentuk vektor kolom dan

Pehatikan gambar berikut:

Vektor posisi titik yaitu atau

Besar vektor ditentukan oleh panjang , yaitu:

Contoh 3:Diketahui vektor , tentukan besar vektor .

Jawab:

Andaikan vektor diwakili oleh , lihat gambar

Vektor 1 / X IPA

y

x

y

O

O x

9

, sehingga

Contoh 4:Diketahui vektor dan merupakan vektor posisi dari titik A dan B.

Andaikan vektor diwakili oleh , tentukan panjang vektor .

Jawab :

7. Operasi Aljabar Vektor di Ruang Dimensi 2 Secara Analitik

Secara analitik, operasi aljabar vektor di ruang dimensi 2 biasanya disajikan dalam bentuk

vektor kolom , , dan berlaku aturan berikut :

a. Kesamaan Dua Vektor

Jika maka yang berarti dan

b. Penjumlahan Vektor

- unsur identitas penjumlahan vektor adalah vektor nol .

- invers penjumlahan (lawan) vektor adalah

Vektor 1 / X IPA

O x

y

10

c. Pengurangan vektor

d. Perkalian vektor dengan skalar (bilangan real)Andaikan m bilangan real

Contoh 5:Diketahui titik dan . Jika dan berturut-turut vektor posisi dari titik A dan B, nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk vektor kolom, kemudian hitung panjangnya.a. dan c. dan b. dan d. dan

Jawab:

a. sehingga

sehingga

b. sehingga

sehingga

c.

sehingga

sehingga

d.

sehingga

sehingga

Vektor 1 / X IPA

11

LATIHAN 21. Diketahui vektor , , dan . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam

bentuk vektor kolom!a. d.b. e.c. f.

2. Diketahui vektor , , dan . Tentukan :

a. c.b. d.

3. Diketahui vektor , , dan . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk kombinasi linear vektor dan !

a. c.

b. d.

4. Diketahui vektor , , dan . Nyatakan vektor dalam bentuk vektor

kolom dari tiap persamaan berikut, kemudian tentukan panjang vektor .a. c.b. d.

8. Vektor Satuan dalam Bidang

Misalkan vektor . Vektor satuan dari vektor dilambangkan dengan (dibaca; ”e topi”),

adalah vektor yang searah dengan vektor dan besarnya satu satuan ( )Misalkan vektor , vektor satuan dari ditentukan dengan rumus:

Contoh 6:

Misalkan diketahui vektor , tentukan vektor satuan dari vektor .

Jawab:Besar vektor adalah

Vektor satuan dari adalah

Vektor 1 / X IPA

12

Jadi, vektor satuan dari adalah ,

Atau dalam bentuk kombinasi linear vektor basis dapat ditulis .

Cek, apakah

B. VEKTOR DI RUANG (RUANG DIMENSI 3)

1. Sistem Koordinat Ruang

Tiga buah sumbu koordinat yang saling tegak lurus yaitu sumbu X, Y, dan Z, ketiganya berpotongan di titik O.

Misalkan titik P terletak di Ruang (R-3), maka letak titik P ditentukan oleh pasangan terurut tiga bilangan dan dinamakan koordinat ruang titik P.

Vektor 1 / X IPA

x

O

z

y

z

13

z

2. Vektor Basis dalam Ruang

Misalkan , , dan adalah vektor-vektor tak sebidang dengan panjang satu satuan dan berturut-turut berimpit dengan sumbu X, Y, dan Z.

Dari titik dan , ruas garis berarah sebagai wakil vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

Bilangan real x, y, dan z disebut komponen-komponen vektor .Vektor-vektor , , dan disebut vektor-vektor basis di R-3, atau vektor-vektor satuan dalam arah-arah x, y, dan z.

Vektor dapat juga dinyatakan dalam bentuk :

Vektor baris

Vektor kolom

Jika titik pangkal vektor tidak berada di

Vektor 1 / X IPA

y

x

O

xy

z

y

x

O

x

y

z

A

B

x

O

z

y

14

Misalkan titik sebagai titik pangkal dan sebagai titik ujung. Ruas

garis berarah sebagai wakil vektor atau

Menggunakan aturan penjumlahan vektor:

Ruas garis berarah mewakili vektor dan mewakili vektor , sehingga:

3. Aljabar Vektor dalam Ruang

a. Kesamaan Dua Vektor dalam RuangDefinisi

Misalkan vektor dan vektor ,

jika dan hanya jika dan

b. Penjumlahan Dua Vektor dalam RuangDefinisi

Misalkan vektor dan vektor , maka jumlah vektor dan adalah

* Unsur identitas penjumlahan vektor di ruang adalah vektor yang bersifat

* Lawan dari vektor adalah

c. Pengurangan dua vektor di ruangVektor 1 / X IPA

15

Definisi

Misalkan vektor dan vektor , maka

d. Hasil Kali Skalar dengan Vektor di Ruang Misalkan m adalah skalar (bilangan real), maka

Contoh 7:Diketahui vektor-vektor , , dan .a. Nyatakan vektor-vektor , , dan dalam bentuk vektor kolom.b. Nyatakan vektor-vektor berikut dalam bentuk vektor kolom.(i) (iv)(ii) (v)(iii) (vi)Jawab:a. , ,

b. (i)(ii)(iii)(iv)(v)(vi)

Contoh 8:Vektor 1 / X IPA

16

D

B

C

Diketahui tiga buah titik , , dan . Ruas-ruas garis berarah , , dan mewakili vektor , , dan .

a. Nyatakan , , dan dalam bentuk vektor kolom.

b. Nyatakan , , dan dalam bentuk vektor kolom.

c. Tunjukkan bahwa , , dan segaris (kolinear).d. Tentukan perbandingan Jawab:

a. , , dan

b.

c. Untuk munjukkan bahwa , , dan segaris, cukup ditunjukkan bahwa dan searah.

Dari jawaban b. tampak bahwa , jadi dan searah

sehingga , , dan segaris (kolinear).d. Karena maka sehingga

4. Panjang Vektor di Ruang

Vektor 1 / X IPA

z

y

x

O

xy

z

17

mewakili vektor maka panjang (besar) vektor adalah

Jika titik pangkal vektor tidak berada di

Misalkan titik sebagai titik pangkal dan sebagai titik ujung. Ruas

garis berarah sebagai wakil vektor , maka panjang vektor

Catatan:Rumus panjang (besar) vektor mirip dengan rumus jarak antara dua titik, bahwa jarak antara titik dan titik yaitu

Contoh 9:

Diketahui vektor-vektor , , dan .

a. Nyatakan vektor-vektor tersebut dengan kombinasi linear vektor , , dan .b. Hitunglah panjang masing-masing vektornya.

Jawab:

a. maka , maka

maka

b.

Vektor 1 / X IPA

A

B

x

O

z

y

18

Jadi panjang vektor adalah

Jadi panjang vektor adalah

Jadi panjang vektor adalah

Contoh 10:Diberikan titik dan

a. Nyatakan vektor posisi dan tersebut dengan kombinasi linear vektor , ,

dan .

b. Jika vektor , tentukan vektor dengan kombinasi linear vektor , , dan .

c. Tentukan panjang vektor , , dan .d. Tentukan panjang vektor berikut:(i) dan (ii) dan (iii) dan Jawab:

a. ,

b.

Jadi

c.

d. (i)

(ii) maka maka

Vektor 1 / X IPA

19

(iii) maka maka

5. Vektor Satuan dari suatu Vektor

Untuk setiap vektor yang bukan vektor nol, dapat ditentukan vektor satuan dari vektor dan dilambangkan dengan (baca:“e topi“). Vektor satuan ini mempunyai panjang satu dan searah dengan vektor .

Vektor Satuan dari adalah

Contoh 11 :Andaikan vektor , carilah vektor satuan dari vektor .Jawab:

Panjang vektor adalah

Vektor satuan dari vektor adalah

Jadi, vektor satuan dari adalah

Atau, dalam bentuk vektor kolom

LATIHAN 3

1. Diketahui vektor-vektor , , dan . Hitunglah a. d.b. e.c. f.

Vektor 1 / X IPA

20

2. Untuk vektor-vektor pada soal Nomor 1 tentukan vektor satuan dari:a. d.b. e.c. f.

3. Misalkan vektor , vektor , dan vektor adalah resultan (jumlah) dari vektor dan vektor .a. Nyatakan vektor dalam bentuk vektor kolom.b. Hitunglah panjang vektor , , dan .c. Tentukan vektor-vektor satuan dari , , dan .

4. Misalkan vektor , vektor , dan a. Carilah nilai x.b. Tentukan vektor satuan dari dan vektor satuan .

5. Diketahui 4 buah vektor , , , dan . a. Tentukan resultan dari vektor-vektor , , , dan .b. Hitunglah panjang vektor resultan.c. Tentukan vektor satuan dari vektor resultan.6. Hitunglah jarak antara setiap pasangan titik berikut ini:a. dan d. dan b. dan e. dan c. dan f. dan

Vektor 1 / X IPA