1 Vektor Fisika i

7/31/2019 1 Vektor Fisika i

1/48

Hand Out Fisika I (FI-1113)

11/1/2012 Departemen Sains 1

VEKTOR


2/48



VEKTOR

A

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektorR

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal(misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam

handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang

dicetak tebal.

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu

besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah

perpindahan.


3/48



PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b

dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke cmenghasilkan vektorT yang menyatakan perpindahan a ke c.

Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan

ujung vektor pertama, vektorR, dengan pangkal vektor kedua,

vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalahmenghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor

kedua.b

c

a

R S

T

T = R + S


4/48



BESAR VEKTOR RESULTANJika besar vektorR dinyatakan oleh R dan besarvektorS

dinyatakan oleh S, maka besar vektorT sama dengan :

cos2RSSRT 22

Sudut menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R danvektorS

RS

T

T = R + S

(1.1)


5/48



PENGURANGAN VEKTORUntuk pengurangan vektor, misal A B dapat dinyatakansebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif darivektor B adalah sebuah vektor yang besarnya sama denganvektorB tetapi arahnya berlawanan.

AB -B

DD = AB


6/48



CONTOHSebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian

bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh

10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !

40 km

S

10 km

20 km

U

B


7/48



CONTOHJawab : 40 km

10 km

20 km

10 km

40 km

A

B

C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan

kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakanvektorC, maka perpindahan total dinyatakan vektorD.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektorD adalah :

m17101040 22


8/48



VEKTOR SATUAN

Vektor satuan didefenisikan sebagai :R

Rr

Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalahsatu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor

dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektorsatuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektorR.Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di

mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam

vektor satuan.

Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positifVektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positifVektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

(1.2)


9/48



PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

2

z

2

y

2

x RRRR VektorR dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + RzkBesar vektorR adalah :

R

Ry

Rz

Rx

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan

dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing

sumbu koordinat.


10/48



CONTOHSebuah vektor berpindah dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :

a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis

b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X

c. Panjang vektor

Jawab :

(2,2)

(-2,5)

x

y

Vektor perpindahan :

R = (xujung xpangkal)i +(yujung ypangkal)j

R =(-2 2)i +(5 2)j = -4i + 3j

pangkal

ujung

Rx

Ry

a.


11/48



CONTOH

o1

x

y1 374

3tan

R

Rtan

(2,2)

(-2,5)

x

y

pangkal

ujung

Rx

Ry

b.

Besar vektorR = 543RR 222

y2

x c. satuan

Sudut yang dibentuk :


12/48



PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS

Jika diketahui sebuah vektorA = xAi + yAj dan vektorB = xBi +yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j.

Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :

R = (x0 + +xi + +xn)i + (y0 + +yi + +yn)j

xAxB

yA

yB

A

B

xA+ xB

A

B

yA+ yB

(1.3)


13/48



CONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 2j

B = 2i 4j

Tentukan :

a. A + B dan A + B

b. AB dan AB

Jawab :

a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j

= 5i 2j

A + B = 29)2(5 22

b. AB = 3i + 2j (2i 4j)= i + 6 j

AB = 3761 22

AB

-B

A B


14/48



SOAL

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan

arahnya 6 0o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan

vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan :

a. Vektor perpindahan benda tersebutb. Jarak perpindahan

c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh

vektor satuannya

3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga

berlaku cA = 10 satuan !4. Diketahui A = 2i + 4j,B = -7i, dan C = 8j.Tentukan :

a. A + B - Cb. A + B + C


15/48



SOLUSIR = Rxi + RyjDiketahui :

Rx = R cos = 4 cos 6 0o = 2 satuanRy = R sin = 4 sin 6 0o = 2 satuan

Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan

Vektor satuan :r = cos 6 0o + sin 6 0o = i + j

60o

X

Y

R

3

3

1.

3


16/48



SOLUSI

m5224RR 222y2x

jiR

r5

5

5

52

R

X

Y

R

1 5

2

a. R = (x2 x1) i + (y2 y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dantitik akhir (x2,y2) = (5,0).

Dengan demikian vektorR = 4 i2 j.

b. R =

c.

2.


17/48



SOLUSI

4. a. A + BC = 2i + 4j -7i -8j =-5i - 4j

b. A + B + C = 2i + 4j -7i +8j=-5i + 12j

-5i + 12j = = 13 satuan

3. Besar vektor A = = 5 satuan

Dengan demikian nilai c = 2 satuan

22 43

22 125


18/48



PERKALIAN TITIKPerkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua

buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos (1.4)

Jika diketahui A = ax i + ay j + azk dan B = bx i + by j + bzk,maka :

A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)

Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial,

fluks magnet, dan lain-lain.


19/48



Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . k = k . i = 0

Perhatikan animasi di

samping ini !


20/48



CONTOH

ABcos

B.A

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j.Tentukansudut antara vektorA dan B !

Jawab :

A

B

Untuk menentukan sudut antara

vektorA dan B dapat menggunakan

persamaan (1.4).

A . B = (3i + 4j) . (4i 2j)= 3.4 +4.(-2) = 4

Besar vektorA = 543 22 Besar vektorB = 20)2(4

22

125

2

ABcos

B.ADengan demikian = 79,7o

AB


21/48



PERKALIAN SILANGPerkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektormenghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :

AB = C (1.6)Besar vektorC adalah :

C = AB sin (1.7)

Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentukoleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor Cdapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasilperkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A

C = A B

C = B A

C = -C


22/48



Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

ii = jj = kk = 0ij = k ; jk = i; ki = jji = -k ; kj = -i; ik = -j

Perhatikan animasi di

samping ini !


23/48



Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah

vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutanperkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jarimenyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektorA ke vektorB.Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.

Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :


24/48



CONTOHDiketahui dua buah vektor.A = 3i + 4j B = 4i 2j + kTentukan : a. AB

b. Buktikan AB =-BAJawab :

AB = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) +4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 6k + 3(-j) + 16(-k) 8.0+ 4i = 4i 3j 22k

a.

B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k 6(-k) 8.0 + 3j + 4(-i)= -4i + 3j + 22k = - AB

terbukti

b.


25/48



SOAL

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j k dan

vektorB = 3 i 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektorA = 4 i + 2 jk terhadaparah vektor B = i + 3 j 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor :A = 1 i + 2 jkB = 4 i + 2 j + 3 kC = 2 j 3 kTentukan :

a. A . (BC)b. A . (B + C)c. A (B + C)

4. Buktikan vektorR = 3 i + 2 j - 4 k dan S =2 i + j + 2 k adalahtegak lurus !


26/48



SOLUSI

61)(21A 222

Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar

vektor A :

54)(3B 22

1.

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :65

7AB

cos B.A

Dengan demikian = 55,1o

Besar vektor B :

2.A

BAB

Panjang ABmenyatakan panjang proyeksi A terhadap B yangbesarnya :

26

14

)4(31

)4).(1(3.21.4

BcosAA

222B

A.B


27/48



SOLUSI

BC =(4i + 2j + 3k) (2j 3k) = 8(i j) 12(i k) 6(j k) + 6(k j) = 8k + 12j 12i

A. (BC) = (i + 2jk).(-12i + 12j +8k) = -12 + 24 8 = 4

3. a.

B + C =4i + 4j. Nilai A. (B + C) = (i + 2jk).(4i + 4j) = 12b.

A (B + C) = (i + 2jk) (4i + 4j) = i 4j 4kc.

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o.

Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :

R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0

R . S =RxSx + RySy + RzSz

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S =2 i + j + 2 k,maka :

R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

4.


28/48



BESARAN FISIS

Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi

matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8)

S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakanvariabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya

interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar

muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12,

dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.

Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan

fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan

materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu

variabel saja.


29/48



Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya

ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.

Dari grafik di samping

diketahui y1

= f(x1

), y2

=

f(x2), y3 = f(x3), dan y4 =

y1.

Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat

digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.

y

xx1 x2 x3 x4

y1

y2

y3


30/48



Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi

waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.

t (detik) x (meter)

0 9

1 4

2 1

3 0

4 1

5 4

6 9

7 16

8 25

9 360 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

x(t)

x(t) = (t 3)2


31/48



1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r

E(r)

Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

2r

qE k

r (m) E (N/C)

1 9

2 2,25

3 1

4 0,5625

5 0,36

6 0,25

7 0.1837

8 0,1406

9 0,1111

10 0,09


32/48



CONTOH1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya

pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta

pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi

jarak x !

x

F


33/48



Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber

tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh

fungsi :

Q(t) = q(1 e-At)

dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadapt !

2.

CONTOH

t

Q = q(1 e-At)

Q

q


34/48



DIFERENSIAL

Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukangaris singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak

jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.

Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan

besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi

terhadap waktu.

f(x)

xc c+h

f(c+h)

f(c)

Lihat gambar di samping.

Gradien dari garis singgung

pada titik P dapat ditentukan

oleh persamaan :

Ph

)c(f)hc(flimm0h

(1.9)
http://f/Hand%20Out%20MRK/Diferensial.ppthttp://f/Hand%20Out%20MRK/Diferensial.ppthttp://f/Hand%20Out%20MRK/Diferensial.ppthttp://f/Hand%20Out%20MRK/Diferensial.ppt


35/48



x

)x(flim

x'x

)x(f)'x(flimm

x'xx'x

Jika x = c dan x = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :

(1.10)

Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan

oleh : f(x) Dxydxdy

Berlaku untuk turunan :

1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a)

2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b)

3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c)

4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)

5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)


36/48



dC

dBA

Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai

perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan

dalam bentuk :

Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan

fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

waktu

JaraktanKecepa dt

dxv

waktu

UsahaDaya

dt

dWP

waktu

tanMuaArus

dt

dqI


37/48



CONTOHMuatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan

DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :

Q(t) = q(1 e-At)

dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan :

a. Fungsi arus sebagai waktu

b. Besar arus saat t = 0c. Gambarkan grafik I(t)

Jawab :

AtAt qAe)e1(qdtddtdQI

Besar arus I :a.

Pada saat t = 0 harga I adalah :

I = qAe-A.0 = qA

b.

qA

I(t)

t

c.


38/48



INTEGRALIntegral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurvafungsi f(x) dan sumbu x.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

y

x0

x

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

Sebagai contoh diketahui y

= f(x) = (x 3)2 + 5 dan

luas yang ditentukan padabatas dari x = 1 sampai

dengan x = 8.


39/48



Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :

A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x +f(7)x

7

0i i

x)x(f)7n(A

Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagidengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70

satuan persegi.

Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya.

Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

n

0i

8

1

inn

dx)x(fx)x(flim)n(AlimA


40/48



dTSR

Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang

merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat

masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama

lain.

Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T,

maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :

Sebagai contoh :

Usaha = Gaya jarak

Fluks = Medan luas dAE

dsFW


41/48



CONTOHSebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya

pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta

pegas dan x adalah jarak. Tentukan :

a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas

b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktuJawab :

Usaha yang dilakukan : 2

21kxdxkxdxFWa.

W

x

b.


42/48



SOALSebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh

persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m danB = 5.103 N/m2. Tentukan :

a. Grafik F terhadap x

b. Perubahan Gaya F terhadap jarakc. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm

1.

Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.2.

x (m)10

8

4

V (volt) Tentukan :

a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x

b. Jika diketahui medan listrik E adalahturunan pertama dari potensial listrik

V, tentukan fungsi E(x)

c. Gambarkan grafik E terhadap x


43/48



Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t 2t2 m/s

bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :

a. Gambarkan grafik v(t)

b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik

c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)

d. Gambarkan grafik a(t)

e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu

f. Posisi saat kecepatan v = 0

3.


44/48



SOLUSI

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x (cm)

F (N)1. a.

Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh

dx

dF= A 2Bx = 103 104x

1. b.


45/48



Usaha yang dilakukan :

2

2

2

2

10.9

10.3

3

312

2110.9

10.3

2 xBxAdxBxAxdxFW

W = 36.10-4A 234.10-6B = 2,43 Joule

1. c.

2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah

fungsi linier yang menghubungkantitik (0,4) dan titik (10,8). Dengan

menggunakan persamaan garis V =

ax + b.

Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4

Untuk titik (10,8) 10.a + b = 810

8

4

V (volt)

x (m)

Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5.

Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4


46/48



Medan listrik E(x) =dx

)x(dV

Dengan demikian nilai E(x) konstan.

x (m)

E (V/m)

2,5

2. b.

2. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x (m)

v (m/s)

3. a.

= 2,5


47/48



SOLUSI

Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 2.12 = 6 m/s.

Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 2.32= 12 m/s.

3. b.

Percepatan a(t) =dt

)t(dv= 10 4t3. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

x (m)

a (m/s2)

3. d.


48/48


Fungsi posisi x(t) = 33222 tt5dtt2t10dt)t(v 3. e.

Saat v = 10t 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada

saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik

posisi x di :

323

322 41

3

12555.5

Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x =

41,67 m

3. f.

x(5) =

1 Vektor Fisika i

Documents

Transcript of 1 Vektor Fisika i