DISTRIBUSI BINOIMIAL DAN POISSON

OLEH:RATU ILMA INDRA PUTRI

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2012

DISTRIBUSI BINOMIAL

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua

kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses dan gagal. Percobaan

seperti ini disebut Percobaan Binomial.

Suatu percobaan binomial ialah yang memenuhi persyaratan berikut :Suatu percobaan binomial ialah yang memenuhi persyaratan berikut :

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

2. Tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan sukses

atau gagal.

3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha

yang satu ke yang berikutnya.

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

xN

x

NxXPxp

−−

=== )1()()( ππ

Peluang Kejadian A

1- Peluang Kejadian Bukan A

)(AP=π

π

N Kali Banyak percobaan A

(N-X) Kejadian Bukan A

x = 0,1,2,....N, 0 < < 1 dan merupakan koefisien binomialπ)!(!

!

xNx

N

x

N

−=

CONTOH :

1. Peluang untuk mendapatkan 6 bermuka G ketika melakukan undian

Distribusi binom mempunyai parameter, diantaranya yang akan kita

gunakan ialah rata-rata dan simpangan baku. Rumusnya adalah :

πµ N= )1( ππσ −= Ndan

1. Peluang untuk mendapatkan 6 bermuka G ketika melakukan undian

dengan sebuah mata uang sebanyak 10 kali adalah :

( ) ( ) ( )( ) 2050,02

12102

12

16

10)6(

1046

==

==XP

Dengan X = jumlah muka G yang nampak

2. Lakukan undian dengan menggunakan 10 buah dadu sekaligus. Berapa

peluang munculknya mata dadu 6 sebanyak 8 buah?

( ) ( ) 000015,05110

)8(28

=

==XP

Kita tahu bahwa P (mata 6) = 1/6 dan dalam hal ini N=10, X=8, dengan

X berarti muka dadu bermata 6 nampak di sebelah atas. Maka :

=π

( ) ( ) 000015,06

56

18

)8( =

==XP

Ini berarti dalam undian dengan 10 dadu akan diperoleh mata 6

sebanyak 8 kali, terjadi kira-kira 15 dari setiap sejuta

3. 10% dari semacam benda tergolong A. Sebuah sampel berukuran 30

telah diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisikan

benda kategori A :

a. Semuanya

Kita artikan X = banyak benda kategori A. Maka π = peluang benda

termasuk kategori A=0,10.

Semuanya tergolong kategori A berarti X=30

( ) ( ) 300301090,010,0

30

30)30( −=

==XP

Nilai yang sangat kecil yang atau bisa sama dengan nol.

b. Sebuah

Sebuah termasuk kategori A berarti X=1

( ) ( ) 1409,090,010,01

30)1(

291=

==xP

Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A adalah 0,1409

c. Tentukan rata-rata terdapatnya kategori A

3)1,0(30 ==µ

.Rata-rata diharapkan akan terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam

setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.

DISTRIBUSI POISSONDISTRIBUSI POISSONDISTRIBUSI POISSONDISTRIBUSI POISSON

Distribusi Poisson dipakai untuk menentukan peluang suatu

kejadian yang jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang

luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu

)()(e

xXPXPxλλ ×

===−

!)()(

x

exXPXP

λ×===

Keterangan :

x = 0,1,2,3,....,

e = sebuah bilangan konstan yang jika dihitung hingga 4

desimal e=2,7183

= sebuah bilangan tetap.

λ

Ternyata bahwa distribusi Poisson ini mempunyai parameter :

λσ

λµ

=

=

λσ =

Distribusi Poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah

peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat

jarang.

Ciri-ciri distribusi Poisson :

1. Percobaan di satu selang tertentu tak bergantung pada selang lain.

2. Peluang terjadinya satu percobaan singkat atau pada daerah yang kecil

(jarang terjadi)

3. Peluang lebih dari satu hasil percobaan alkan terjadi dalam selang waktu

yang singkat tersebut, dapat diabaikan.

Contoh :

Peluang seseorang akan mendapatkan reaksi buruk setelah disuntik

besarnya 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan peluang yang

mendapat reaksi buruk :

a. Tidak ada

b. Ada 2 orang

c. Lebih dari 2 orang

d. Tentukan ada berapa orang diharapkan yang akan mendapat reaksi

buruk

a. Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson kepada distribusi binom, maka Jika X = banyak orang yang mendapatkan reaksi buruk akibat suntikan itu, maka :

20005,04000 =×== Npλ

1353,0!0

2)0(

02

=×

=−

ep

b. Dalam hal ini X = 2, sehingga

Peluang ada 2 orang yang mendapat reaksi buruk adalah0,2706

2706,0!2

2)2(

22

=×

=−

ep

c. Yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, ini berarti X=3,4,5,....

Tetapi maka1.....)2()1()0( =+++ ppp

)2()1()0(1....)4()3( ppppp −−−=++

Harga-harga dan sudah dihitung diatas.

)0(p )2(p

2706,0!1

2)1(

12

=×

=−

ep

!1

d. Peluang yang dicari adalah

Ini tiada lain diminta menentukan rata-rata 2=λ

3235,0)2706,02706,01353,0(1 =++−