ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF …repository.unair.ac.id/55899/2/KKC KK ST.S 49 -16...

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DENGAN PENDEKATAN BAYESIAN

MENGGUNAKAN MONTE CARLO MARKOV CHAIN BERDASARKAN ALGORITMA METROPOLIS HASTING

SKRIPSI

MIFTA DIAN MULYANINGSIH

PROGRAM STUDI S-1 STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA

2016

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

SKRIPSI ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI ... MIFTA DIAN

Scanned by CamScanner



PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini t idak d ipublikasikan, na mun tersedia d i p erpustakaan d alam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, t etapi pe ngutipan harus s eijin penulis d an harus menyebutkan

sumbernya s esuai k ebiasaan ilmiah. Dokumen s kripsi i ni m erupakan h ak m ilik

Universitas Airlangga.

iv



Scanned by CamScanner



KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum w r.wb Puji s yukur kehadirat A llah S WT yang t elah

melimpahkan r ahmat-Nya s ehingga penulis dapat m enyelesaikan skripsi yang

berjudul “ Estimasi P arameter D istribusi B inomial N egatif d engan P endekatan

Bayesian M enggunakan M onte Carlo M arkov C hain Berdasarkan Algoritma

Metropolis Hasting”. Dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima

kasih kepada:

1. Orang t ua d an k eluarga tercinta yang selalu me mberikan doa, dukungan, dan

kepercayaan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

2. Dr. A rdi K urniawan, M .Si da n Drs. E ko Tjahjono, M .Si selaku do sen

pembimbing I da n d osen pe mbimbing I I y ang s enantiasa membimbing da n

membantu dengan tulus dan sabar dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Drs. Sediono, M.Si selaku do sen w ali yang s elalu memberikan penjelasan,

pengarahan, dan saran demi kesuksesan menjadi mahasiswa.

4. Risanti, Asti, Achnes, Arin, M anja, I ntan dan teman statistika angkatan 2 012

yang selalu memberikan doa dan semangat dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis b erharap s emoga skripsi ini da pat bermanfaat b agi p erkembangan

ilmu pengetahuan dan teknologi.

Surabaya, Agustus 2016

Penulis,

Mifta Dian Mulyaningsih

vi



Mifta D ian M ulyaningsih, 201 6. Estimasi P arameter D istribusi B inomial Negatif d engan P endekatan B ayesian M enggunakan M onte C arlo M arkov Chain B erdasarkan A lgoritma M etropolis Hasting. S kripsi ini d ibawah bimbingan D r. Ardi Kurniawan, M .Si. dan D rs. E ko T jahjono, M.Si. Program Studi S 1-Statistika, D epartemen M atematika, Fakultas S ains d an T eknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Estimasi parameter merupakan estimasi s embarang nilai yang me njelasan karakteristik suatu p opulasi t ertentu. Estimasi parameter dapat dilakukan de ngan metode k lasik maupun metode B ayesian. M etode B ayesian merupakan metode yang menggabungkan informasi saat ini dengan informasi sebelumnya atau yang biasa d isebut d istribusi prior. P enggabungan informasi t ersebut menghasilkan distribusi po sterior, s elanjutnya d istribusi t ersebut di gunakan s ebagai da sar estimasi parameter. Penyelesaian dari estimasi parameter tersebut terkadang sulit sehingga m embutuhkan m etode numerik dalam p enyelesaiannya, s alah satunya adalah metode M onte C arlo M arkov C hain ( MCMC) a lgoritma M etropolis Hasting. M etode tersebut m erupakan metode i ntegrasi yang menggunakan mekanisme p enerimaan d an p enolakan u ntuk m embangkitkan k andidat s ampel. Tujuan da ri pe nelitian ini a dalah u ntuk mengestimasi parameter distribusi Binomial N egatif d engan pendekatan Bayesian menggunakan MCMC algoritma Metropolis Hasting. Distribusi B inomial N egatif merupakan d istribusi yang banyak d igunakan u ntuk menganalisis da ta count saat t erjadi overdispersi. Da ta yang d igunakan p ada p enelitian ini a dalah d ata b angkitan. B erdasarkan hasil penelitian e stimasi p arameter distribusi B inomial N egatif dengan pendekatan Bayesian me nggunakan MCMC algoritma me tropolis hasting me nghasilkan n ilai estimasi ya ng s angat dekat dengan pe rhitungan biasa, de ngan de mikian M CMC algoritma metropolis hasting d apat d igunakan sebagai a lternatif u ntuk mempermudah perhitungan yang rumit.

Kata K unci : Estimasi p arameter, Bayesian, Binomial N egatif, MCMC, Metropolis Hasting.

vii



Mifta D ian Mulyaningsih, 2 016, Parameter Estimation of N egative B inomial Distribution u sing B ayessian A pproach w ith Monte C arlo M arkov C hain Based on Metropolis Hasting Algorithm . This Thesis under the supervising of Dr. Ardi Kurniawan, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si. Program S1-Statistics, Departement of Mathematics, F aculty o f S cience T echnology, Airlangga Univerrsity, Surabaya.

ABSTRACT

Parameter estimation is estimation o f any value t hat e xplains t he characteristics of a particular population. Parameter estimation can be achieved by classical and B ayesian methods. B ayesian method i s a method t hat c ombines current information w ith p revious information or c ommonly called p rior distribution. M erging t his information g enerates th e p osterior d istribution, th e distribution s ubsequently u sed a s t he basis for p arameter es timation. This Calculation of the parameter sometimes are difficult and need numerical methods. One o f this method called Markov C hain Mo nte C arlo ( MCMC) Metropolis Hasting a lgorithm. This method uses accept and reject mechanism for generating sample. T he p urpose o f t his s tudy w as t o es timate t he n egative binomial distribution w ith a B ayesian a pproach u sing M CMC H asting Metropolis algorithm. Negative B inomial d istribution widely used to analyze the data count when t here o verdispersion. Data that used in t his s tudy are generated. Based o n the r esults, Negative B inomial d istribution p arameter e stimation w ith B ayesian approach u sing M CMC a lgorithms metropolis hasting g enerate t he es timated value that is ve ry c lose t o the u sual c alculation, thus metropolis h asting MCMC algorithms can be used as an alternative to simplify complex calculations.

Keywords : Parameter Estimation, Bayessian, Negative Binomial, MCMC, Metropolis Hasting.

viii



DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ....................................................................................... i

LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................ ii

LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................ iii

LEMBAR PENGGUNAAN SKRIPSI ............................................................iv

LEMBAR ORISINALITAS ............................................................................. v

KATA PENGANTAR ....................................................................................vi

ABSTRAK ................................................................................................... vii

ABSTRACT ................................................................................................ viii

DAFTAR ISI ..................................................................................................ix

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................xi

DAFTAR TABEL ........................................................................................ xii

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................ xiii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................... 3

1.3 Tujuan Penelitian ................................................................................ 4

1.4 Manfaat Penelitian .............................................................................. 4

1.5 Batasan Masalah ................................................................................. 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Variabel Acak .................................................................................... 5

2.2 Fungsi Kepadatan Probabilitas ........................................................... 5

2.3 Metode Bayes..................................................................................... 5

2.4 Fungsi Likelihood .............................................................................. 8

2.5 Distribusi Prior ................................................................................... 9

2.6 Prior Konjugat .................................................................................. 10

2.7 Distribusi Prior Uniform ................................................................... 11

2.8 Prior Jeffreys .................................................................................... 11

2.9 Distribusi Posterior ........................................................................... 11

ix



2.10 Distribusi Binomial Negatif ............................................................. 12

2.11Distribusi Gamma ............................................................................ 13

2.12 Distribusi Beta ................................................................................ 14

2.13Distribusi Cauchy ............................................................................. 16

2.14Distribusi Weibull ............................................................................ 16

2.15 Markov Chain Monte Carlo ............................................................. 16

2.16 Metropolis Hasting .......................................................................... 17

2.17 Batch Mean ..................................................................................... 18

2.18 Mathematica .................................................................................... 19

BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Langkah-Langkah Analisis Data ....................................................... 20

3.2 Flowchart ......................................................................................... 22

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Distribusi Posterior Pada Distribusi Binomial Negatif

Menggunakan Pendekatan Bayesian ................................................... 23

4.2 Estimasi Parameter Berdasarkan Distribusi Posterior ......................... 25

4.3 Penerapan Estimasi Parameter Distribusi Posterior Menggunakan Monte

Carlo Markov Chain Algoritma Metropolis Hasting ........................... 26

4.3.1 Estimasi Parameter Dengan Perhitungan Manual ...................... 27

4.3.2 Estimasi Parameter Dengan Algoritma Metropolis Hasting ....... 28

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan ....................................................................................... 36

5.2 Saran ................................................................................................. 37

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 38

LAMPIRAN

x



DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Gambar Halaman 3.1 Flowchart Estimasi Parameter Menggunakan 22

Algoritma Metropolis Haasting 4.1 Prosedur Estimasi Parameter 28 4.2 Prosedur Perhitungan Batch Mean 29

ix



DAFTAR TABEL

Tabel Judul Tabel Halaman 2.1 Prior Konjugat dari Beberapa Fungsi Likelihood 10 4.1 Data Berdistribusi Binomial Negatif 27 4.2 Perhitungan dengan Metropolis Hasting 29 4.3 Perbedaan Parameter Distribusi Prior 32 4.4 Data Binomial Negatif 33 4.5 Estimasi dengan Distribusi Prior Non Konjugat 35

ix



DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Lampiran 1 Data

2 Program MCMC Algoritma Metropolis Hasting dengan prior Beta

3 Program MCMC Algoritma Metropolis Hasting dengan prior Gamma

4 Output Program Perhitungan dengan Metropolis Hasting

5 Output Perbedaan Parameter Distribusi Prior

6 Output Estimasi dengan Distribusi Prior Non Konjugat

ix



BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Metode s tatistika merupakan pr osedur-prosedur yang d igunakan da lam

pengumpulan, pe nyajian, a nalisis, da n pe nafsiran da ta. M etode tersebut

dikelompokan menjadi dua ke lompok ut ama, yaitu statistika de skriptif da n

statistika i nferesi ( Walpole, 1995) . S tatistika de skriptif bertujuan u ntuk

menyajikan informasi d ata s ebagai d eskripsi f akta at au p eristiwa d apat

disimpulkan secara mudah, sedangkan statistika inferensi menggunakan konsep

probabilitas untuk membuat perkiraan, prediksi, peramalan, dan generalisasi dari

suatu objek berdasarkan informasi data yang diambil sebagai populasi atau sampel

(Mustafid d alam Siska, 2011) . I nferensi statistik da pat d ibedakan menjadi dua ,

yaitu estimasi parameter dan uji hipotesis (Walpole, 1995).

Estimasi parameter merupakan estimasi sembarang nilai yang menjelaskan

ciri atau k arakteristik suatu populasi t ertentu. E stimasi parameter t ersebut d apat

dilakukan de ngan metode kl asik maupun metode B ayesian. Metode k lasik

memandang p arameter sebagai besaran t etap yang t idak d iketahui harganya da n

inferensi didasarkan hanya pada informasi dalam sampel, sedangkan pada metode

Bayesian inferensinya tidak ha nya didasarkan pada informasi pada sampel tetapi

juga melibatkan d istribusi prior (Berger, 2011) . Berdasarkan p erbedaan d asar

inferensinya, metode Bayes lebih baik d igunakan untuk mengestimasi parameter

apabila telah diketahui informasi sebelumnya dan apabila tidak terdapat informasi

awal, lebih baik menggunakan metode klasik.

1



2

Metode Bayesian merupakan metode yang menggabungkan informasi saat

ini de ngan informasi awal yang d iperoleh sebelumnya ( Apsari, 2013) . Informasi

awal t ersebut m erupakan d istribusi subyektif b erdasarkan p ada k eyakinan

seseorang. P enggabungan informasi a wal da n informasi s aat ini ke mudian

menghasilkan d istribusi posterior. Penyelesaian f ormulasi B ayesian tersebut

terkadang s ulit u ntuk d iselesaikan secara a nalitis s ehingga d ibutuhkan metode

numerik untuk penyelesaiannya (Siska, 2011).

Monte Carlo Markov Chain (MCMC) adalah s ebuah r angkaian metode

untuk m enciptakan ba risan s ampel r andom yang b erasal da ri d istribusi p eluang

dengan membangun r antai Markov s esuai d engan d istribusi t ertentu y ang

diinginkan ( Walsh d alam I rwanti, 2012). S imulasi s tokastik yang d ihasilkan dari

metode MCMC t ersebut membantu penyelesaian estimasi model dari persamaan

yang s ulit. Metode M CMC yang sering d igunakan ad alah a lgoritma Metropolis

Hasting.

Algoritma Metropolis Hasting adalah salah satu algoritma yang mengikuti

aturan M CMC de ngan mekanisme pe nerimaan da n pe nolakan da lam pr oses

pembangkitan s ampel. S ampel yang d ibangkitkan t ersebut k emudian d igunakan

untuk me nyelesaikan e stimasi p arameter. K elebihan d ari a lgoritma M etropolis

Hasting adalah h asil e stimasi yang dihasilkan t epat meskipun me nggunakan

distribusi prior non-infomatif dan tidak bergantung pada asumsi sample besar.

Distribusi B inomial Negatif me rupakan distribusi c ampuran a ntara

distribusi Gamma d an d istribusi P oisson. Kegunaan Distribusi B inomial Negatif

adalah untuk m enganalisis d ata count saat t erjadi overdispersi. O verdispersi



3

mengindikasikan n ilai v ariansi le bih b esar daripada me an. K eadaan overdispersi

menyebabkan es timasi parameter yang d idapat me njadi t idak e fisien s ehingga

memberikan informasi yang tidak sesuai (Hilbe, 2011).

Lio (2009) menggunakan metode Bayesian untuk mengestimasi parameter

Binomial Negatif dengan m enggunakan distribusi B eta s ebagai d istribusi

priornya. Bradlow dkk ( 2002) j uga menggunakan inferensi Bayesian untuk

mengestimasi m odel B inomial Negatif. Kedua penelitian t ersebut s ama-sama

menggunakan distribusi Beta sebagai distribusi priornya, akan tetapi Bradlow dkk

melakukan inferensi Bayesian menggunakan ekspansi po linomial sedangkan Lio

menggunakan proses sampling.

Berdasarkan u raian t ersebut dilakukan pe nelitian e stimasi pa rameter

distribusi Binomial Negatif dengan pendekatan metode Bayesian yang dilanjutkan

dengan inferensi statistika menggunakan MCMC algoritma Metropolis Hasting.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar be lakang yang t elah d ikemukakan d i a tas, m aka

permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana menentukan distribusi posterior pada d istribusi Binomial

Negatif menggunakan metode Bayesian?

2. Bagaimana estimasi p arameter d istribusi B inomial N egatif

menggunakan pendekatan Bayesian?

3. Bagaimana penerapan es timasi p arameter d istribusi B inomial N egatif

menggunakan metode Bayesian dengan MCMC algoritma Metropolis

Hasting?



4

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian estimasi p arameter d istribusi Binomial N egatif menggunakan

metode Bayesian ini memiliki tujuan sebagai berikut:

1. Menentukan distribusi posterior pada d istribusi B inomial Negatif

menggunakan metode Bayesian.

2. Mengestimasi p arameter d istribusi B inomial N egatif menggunakan

metode Bayesian.

3. Menerapkan p enaksiran p arameter d istribusi B inomial N egatif

menggunakan metode Bayesian dengan MCMC a lgoritma Metropolis

Hasting.

1.4 Manfaat

Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengembangkan w awasan ilmu pe ngetahuan yang berkaitan d engan

estimasi parameter menggunakan metode Bayesian.

2. Mengembangkan w awasan ilmu pe ngetahuan yang berkaitan d engan

metode Monte Carlo Markov Chain khususnya a lgoritma Metropolis

Hasting.

1.5 Batasan Masalah

Batasan masalah pada penelitian ini adalah estimasi parameter pada distribusi

Binomial N egatif menggunakan metode B ayesian dengan prior konjugat yaitu

distribusi Beta ( , )a b .



BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Variabel Acak

Variabel acak didefinisikan s ebagai s uatu fungsi y ang me metakan u nsur-

unsur da lam r uang s ampel suatu p ercobaan t erhadap s uatu gugus bi langan r iil

sebagai suatu w ilayah fungsi. V ariabel acak dinotasikan d engan huruf ka pital

misalnya X , s edangkan nilai pa danannya d inotasikan de ngan huruf ke cil ( Bain

dan Engelhardt, 1992).

2.2. Fungsi Kepadatan Probabilitas

Misalkan v ariabel acak X terletak an tara a dan b , fu ngsi ( )f x disebut

fungsi k epadatan p robabilitas at au probability density function (PDF) bagi

variabel ac ak X apabila luas da erah d i bawah k urva s ama de ngan s atu da n

apabila luas daerah dibawah kurva antara x a= dan x b= menyatakan peluang X

antara a dan b (Walpole, 1995).

2.3. Metode Bayes

Metode B ayes merupakan m etode yang m enggabungkan informasi

terdahulu d ari p arameter yang a kan d itaksir d engan informasi yang d idapat d ari

sampel. Informasi t erdahulu t ersebut merupakan distribusi subyektif berdasarkan

pada k eyakinan seseorang. Penggabungan ke dua informasi t ersebut ke mudian

menghasilkan d istribusi posterior yang selanjutnya d igunakan da lam pe naksiran

parameter.

5



6

Misalkan r uang sampel S d ipartisi menjadi kejadian ya ng mutually

exclusive dan exhaustive 1, 2,..., KA A A dengan ( ) 0iP A ≠ untuk 1,2,...,i K= .

Misalkan terdapat kejadian B d i da lam ruang sampel S sehingga ( ) 0P B > maka

untuk sembarang kejadian B,

1 1 2 2

( | ) ( )( | )( | ) ( ) ( | ) ( ) ... ( | ) ( )

i ii

K K

P B A P AP A BP B A P A P B A P A P B A P A

=+ + +

(2.1)

Bukti:

( ) ( | ) ( )i i iP B A P B A P A∩ =

( ) ( | ) ( )i iP A B P A B P B∩ =

karena ( ) ( )i iP B A P A B∩ = ∩ , maka ( | ) ( ) ( | ) ( )i i iP B A P A P A B P B= . Bagi kedua

ruas dengan ( )P B , diperoleh

( | ) ( )( | )( )

i ii

P B A P AP A BP B

=

dengan

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )KP B P B A P B A P B A= ∩ + ∩ + + ∩

1 1 2 2( | ) ( ) ( | ) ( ) ... ( | ) ( )K KP B A P A P B A P A P B A P A= + + +

sehingga persamaannya menjadi

1 1 2 2

( | ) ( )( | )( | ) ( ) ( | ) ( ) ... ( | ) ( )

i ii

K K

P B A P AP A BP B A P A P B A P A P B A P A

=+ + +

Misalkan X adalah v ariabel acak y ang me miliki d istribusi probabilitas

yang bergantung pada θ, dengan θ merupakan suatu variabel acak yang memiliki

distribusi p robabilitas te rtentu. J ika ( | )f x θ merupakan p df bersyarat d ari

variabel acak X dengan nilai θ =θ dan ( )p θ merupakan pdf dari variabel acak θ,

maka distribusi posterior dari θ | x dapat ditentukan menggunakan metode Bayes.



7

Misalkan 1 2, ,..., nX X X adalah sampel acak d ari p eubah ac ak X , ma ka

pdf bersama dari 1 2, ,..., nX X X diberikan θ, yaitu:

1 2 1 2( , ,..., | ) ( | ) ( | )... ( | )n nf x x x f x f x f xθ θ θ θ= (2.2)

Pdf bersama 1 2, ,..., nX X X dan θ adalah

1 2 1 2( , ,..., , ) ( , ,..., | ) ( )n nf x x x f x x x pθ θ θ= (2.3)

Jika θ merupakan va riabel acak k ontinu, maka p df marginal bersama d ari

1 2, ,..., nX X X yaitu:

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., , )n nf x x x f x x x dθ θ∞

−∞

= ∫

1 2( , ,..., | ) ( )nf x x x p dθ θ θ∞

−∞

= ∫ (2.4)

Jika θ merupakan va riabel acak d iskrit, maka p df marginal bersama d ari

1 2, ,..., nX X X yaitu:

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., , )n nf x x x f x x xθ

θ=∑

1 2( , ,..., | ) ( )nf x x x pθ

θ θ=∑ (2.5)

Pdf bersyarat dari θ diberikan 1 1X x= , 2 2X x= ,…, n nX x= yaitu:

1 21 2

1 2

( , ,..., , )( | , ,..., )( , ,..., )

nn

n

f x x xf x x xf x x x

θθ =

1 2

1 2

( , ,..., | ) ( )( , ,..., )

n

n

f x x x pf x x x

θ θ= (2.6)

Persamaan (2.6) m erupakan b entuk l ain dari a turan Bayes, dengan f ungsi

1 2( | , ,..., )nf x x xθ disebut pdf posterior dari θ, sementara fungsi 1 2( , ,..., | )nf x x x θ



8

disebut likelihood dari 1 2, ,..., nX X X dan f ungsi ( )p θ disebut s ebagai pd f prior

dari θ. Aturan Bayes sering ditulis sebagai berikut:

1 2 1 2( | , ,..., ) ( , ,..., | ) ( )n nf x x x f x x x pθ θ θ∝ (2.7)

Estimasi pa rameter pa da m etode ba yes didasarkan pa da d istribusi posterior

sesuai persamaan (2.6). Perhitungan e stimasi parameter diperoleh dengan mencari ni lai

ekspekstasi da ri d istribusi posterior. Jika θ merupakan variabel acak kontinu, maka

nilai θ̂ dapat diperoleh sebagai berikut:

ˆ ( | 1, 2,..., ) ( | )E x x xn f y dθ θ θ θ θ∞

−∞

= = ∫ (2.8)

Jika θ merupakan va riabel acak d iskrit, maka nilai θ̂ dapat di peroleh

sebagai berikut:

ˆ ( | 1, 2,..., ) ( | )n

iE x x xn f yθ θ θ θ= =∑ (2.9)

(Andrew dkk, 2000)

2.4. Fungsi Likelihood

Fungsi likelihood adalah f ungsi d ensitas b ersama dari n variable acak

1 2, ,..., nX X X dan d inyatakan da lam bentuk 1 2( | , ,..., )nf x x xθ . J ika 1 2, ,..., nx x x

ditetapkan, maka fungsi likelihood dari parameter θ dinotasikan dengan ( )L θ .

Jika 1 2, ,..., nX X X menyatakan suatu sampel acak dari ( | )f x θ , maka

1 2( ) ( | ) ( | )... ( | )nL f x f x f xθ θ θ θ=



9

1

( ) ( | )n

i

i

L f xθ θ=

=∏ (2.10)

(Bain dan Engelhardt,1992)

2.5. Distribusi Prior

Distribusi prior adalah bentuk di stribusi frekuensi y ang m erupakan

representasi o bjektif p ada suatu p arameter yang lebih r asional u ntuk dipercayai.

Distribusi prior menunjukan ketidakpastian tentang parameter θ yang tidak

diketahui, s ehingga p ermasalahan u tama d alam metode B ayes a dalah memilih

distribusi pr ior untuk suatu parameter yang t idak d iketahui namun sesuai dengan

permasalahan. B erdasarkan fungsi likelihoodnya, d istribusi pr ior d ikelompokan

menjadi dua (Box dan Tiao, 2011):

1. Berkaitan dengan bentu distribusi hasil identifikasi pola data

a. Distribusi prior konjugat, mengacu pada analisis model t erutama

dalam pe mbentukan f ungsi likelihoodnya s ehingga dalam

penentuan pr ior ko njugat s elalu d ipikiran mengenai po la

distribusi prior yang m emiliki be ntuk konjugat dengan f ungsi

densitas peluang pembangun likelihood.

b. Distribusi prior non-konjugat, apabila pemberian prior pada suatu

model tidak mengindahkan pola pembentuk fungsi likelihood.

2. Berkaitan de ngan pe nentuan masing-masing p arameter p ada p ola

distribusi prior

a. Distribusi prior informatif, mengacu p ada p emberian parameter

dari distribusi yang telah dipilih baik distribusi prior konjugat atau



10

tidak. P emberian nilai parameter pa da d istribusi prior i ni sangat

mempengaruhi bentuk distribusi posterior.

b. Distribusi prior non-informatif, p emilihan d istribusi prior yang

tidak mengandung informasi tentang parameter θ. Distribusi prior

non-informatif misalnya prior Uniform dan prior Jeffreys.

2.6. Prior Konjugat

Misalkan F adalah k elas d ari d istribusi s ampling ( | )f y θ dan P adalah

kelas d ari d istribusi prior θ , m aka P kelas d isebut un tuk ke las F jika f ungsi

probabilitas posterior ( | )h yθ memiliki d istribusi y ang sama dengan f ungsi

probabilitas prior ( )h θ untuk seluruh ( | )f y Fθ ∈ . Pemilihan prior konjugat yang

lebih spesifik d apat d ilakukan de ngan memilih kelas d istribusi prior P yang

merupakan hi mpunan dari s eluruh f ungsi kepadatan y ang m emiliki b entuk

fungsional yang sama d engan fungsi likelihood dari ( | )f y θ . Pada kasus ini P

disebut prior konjugat dari F (Andrew dkk, 2000).

Tabel 2.1. Prior Konjugat dari Beberapa Fungsi Likelihood

Likelihood Prior Konjugat

Binomial Beta

Binomial Negatif Beta

Poisson Gamma

Normal

µ tidak diketahui, σ2 diketahui Normal

µ diketahui, σ2 tidak diketahui Inverse Chi-Square



11

2.7. Distribusi Prior Uniform

Distribusi p rior non-informatif a dalah distribusi prior yang t idak

mengandung informasi tentang parameter θ. Salah satu pemilihan d istribusi prior

non-informatif a dalah prior Uniform, yang d inyatakan s ebagai d istribusi Beta

(1,1). Prior Uniform memberikan fungsi de nsitas probabilitas yang ko nstan da n

menghasilkan bobot yang sama ke semua nilai.

1

1 1

0

( , ) (1 )a bBeta a b x x dx− −= −∫

1 1

0 0 10

0 0

(1,1) (1 ) | 1Beta x x dx dx x= − = = =∫ ∫

Sehingga densitas Beta (1,1) adalah

0 01( |1,1) (1 )(1,1)

f x x xB

= − (2.11)

2.8. Prior Jeffreys

Prior Jeffreys merupakan distribusi prior non-informatif yang pertama kali

dikemukakan o leh S ir H arold J effreys pa da t ahun 1961. Secara u mum Prior

Jeffreys digunakan untuk estimasi single parameter θ dan sebanding dengan akar

kuadrat dari informasi Fisher. Informasi Fisher didefinisikan sebagai nilai negatif

dari turunan kedua log-likelihood (Christensen dkk, 2011).

2.9. Distribusi Posterior

Distribusi posterior merupakan distribusi yang dibentuk oleh informasi awal

(distribusi prior) dan in formasi s aat in i. Distribusi posterior dinotasikan de ngan

( | )f xθ . Persamaan distribusi posterior selain dapat dituliskan seperti persamaan

(2.6), juga dapat dinyatakan sebagai fungsi densitas bersyarat θ apabila observasi



12

x diketahui.

( , ) ( | ) ( )f x f x f xθ θ= (2.12)

sehingga

( , )( | )( )

f xf xf xθθ = (2.13)

Fungsi likelihood dinotasikan d engan ( | )f x θ dan ( )f θ merupakan d istribusi

prior. Fungsi densitas marginal selanjutnya dapat dinyatakan sebagai

( ) ( , ) ( ) ( | )f x f x d f f x dθ θ θ θ θ∞ ∞

−∞ −∞= =∫ ∫ (2.14)

Kemudian d istribusi posterior dapat di gunakan u ntuk menentukan e stimasi

parameter (Soejoeti dan Soebanar, 1988).

2.10. Distribusi Binomial Negatif

Distribusi Binomial Negatif merupakan ditribusi yang memiliki banyak cara

dalam penurunannya. Boswell dan Patil (1970) menunjukkan bahwa terdapat dua

belas car a u ntuk mendapatkan d istribusi B inomial N egatif. S alah s atunya d apat

diturunkan s ebagai d istribusi campuran P oisson-Gamma, a kan t etapi pe nurunan

klasik d ari d istribusi B inomial N egatif yang p aling s ering d igunakan a dalah

sebagai barisan p ercobaan B ernoulli. Fungsi p robabilitas d istribusi B inomial

Negatif adalah sebagai berikut:

1

Pr( ) (1 ) , , 1, 2,....1

k x kxX x x k k k

kθ θ −−

= = − = + + − (2.15)

dengan Pr( )X x= adalah probabilitas t erjadi sukses ke- k pada percobaan ke x

dan θ merupakan probabilitas sukses dari setiap percobaan konstan.



13

Distribusi p robabilitas d ari p eubah acak X , d apat d inotasikan me njadi

bentuk l ain yaitu menggunakan t ransformasi Y X k= − , de ngan Y menyatakan

jumlah ke gagalan sebelum t erjadi k buah s ukses. D istribusi pr obabilitas da ri

peubah acak Y dapat dinyatakan sebagai berikut:

1

Pr( ) (1 ) , 0,1, 2,...1

k yy kY y y

kθ θ

+ − = = − = −

(2.16)

dengan Pr( )Y y= adalah pr obabilitas t erjadi sukses ke - k setelah t erjadi y

kegagalan.

Distribusi Binomial N egatif d apat d idefinisikan untuk setiap nilai po sitif

dari k de ngan menggunakan fungsi G amma sebagai pe ngganti da ri ko mbinasi,

yaitu:

( )Pr( ) (1 ) , 0,1, 2,...( ) !

k yy kY y yk y

θ θΓ += = − =

Γ (2.17)

(Jong dan Heller, 2008)

2.11. Distribusi Gamma

Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi Gamma dengan parameter

α dan b adalah bilangan positif. Parameter α merupakan parameter skala, dan β

merupaan parameter bentuk. Fungsi kepadatan dari distribusi Gamma adalah

11( )( )

t

f t t eβ ββα β

−−=

Γ (2.18)

dengan ( )βΓ adalah fungsi Gamma yang didefinisikan sebagai



14

1

0

( ) tt e dtββ∞

− −Γ = ∫ (2.19)

(Walck, 2007)

2.12. Distribusi Beta

Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi Beta dengan parameter a

dan b , jika fungsi kepadatannya adalah

1 11( ) (1 ) ,0 1( , )

a bf x x x xB a b

− −= − < < (2.20)

dengan ( , )B a b adalah fungsi Beta yang didefinisikan sebagai

1

1 1

0

( , ) (1 )a bB a b x x dx− −= −∫ (2.21)

Fungsi B eta sesuai p ersamaan (2.21) da pat di transformasi de ngan 2sinx θ=

sehingga

1

1 1

0

( , ) (1 )a bB a b x x dx− −= −∫

22( 1) 2 1

0

(sin ) (1 sin ) 2sin cosa b d

π

θ θ θ θ θ− −= −∫

2

2 2 2 2

0

(sin ) (cos ) 2sin cosa b d

π

θ θ θ θ θ− −= ∫

2

2 1 2 1

0

( , ) 2 (sin ) (cos )a bB a b d

π

θ θ θ− −= ∫ (2.22)



15

Fungsi B eta d apat d ihubungkan dengan f ungsi G amma, m isalkan 2t y= , ma ka

sesuai persamaan ( 2.17) d iperoleh 22 1

0

( ) 2 p yp y e dy∞

− −Γ = ∫ dan 2t x= maka

22 1

0

( ) 2 q xq x e dx∞

− −Γ = ∫ , apabila ( )pΓ dikalikan dengan ( )qΓ sehingga diperoleh

2 1 2 22 1 ( )

0 0

( ) ( ) 4q p x yp q x y e dxdy−

∞ ∞− − +Γ Γ = ∫ ∫

2

22 1 2 1

0 0

4 ( cos ) ( sin )q p rr r e rdrd

π

θ θ θ∞

− − −= ∫ ∫

2

22 2 1 2 1 2 1

0 0

4 (cos ) (sin )p q r q pr e dr d

π

θ θ θ∞

+ − − − −= ∫ ∫

1 14 ( ) ( , )2 2

p q B p q= Γ +

( ) ( ) 1 ( , )2 ( ) 2

p q B p qp q

Γ Γ=

Γ +

( ) ( ) ( , )( )a b B a ba b

Γ Γ=

Γ + (2.23)

Sehingga fungsi kepadatan probabilitas distribusi Beta adalah

1 1( )( ) (1 )( ) ( )

a ba bf x x xa b

− −Γ += −Γ Γ

(2.24)

(Spiegel dkk, 2004)



16

2.13. Distribusi Cauchy

Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi Cauchy dengan parameter

c dan d , apabila c merupakan bilangan real dan d merupakan bilangan positif.

Parameter c merupakan p arameter lokasi, s edangkan p arameter d merupakan

parameter skala. Fungsi kepadatan probabilitas dari fungsi Cauchy adalah

2

2

1( )( )(1 )

f xx cd

dπ

=−

+ (2.25)

(Walck, 2007)

2.14. Distribusi Weibull

Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi Weibull dengan parameter

e dan f , apabila e dan f merupakan bilangan positif. Parameter e merupakan

parameter bentuk, sedangkan parameter f merupakan parameter skala. Distribusi

Weibull biasanya d igunakan u ntuk m endapatkan r eabilitas. F ungsi ke padatan

probabilitas dari fungsi adalah

( )/1( ) , 0gx fg

ggf x x e xf

−−= > (2.26)

(Walck, 2007)

2.15. Markov Chain Monte Carlo

Markov Chain Monte Carlo adalah suatu metode simulasi yang merupakan

perpaduan a ntara Monte Carlo de ngan sifat Markov C hain u ntuk mendapatkan

data s ampel berdasarkan s kenario s ampling t ertentu. Metode M arkov C hain

Monte C arlo b anyak digunakan un tuk menyelesaikan p ersoalan-persoalan

Bayesian, k hususnya jika d istribusi p robabilitasnya berdimensi t inggi. Rantai



17

Markov state space S didefinisikan sebagai suatu deret variabel random 0{ }t tX ≥ ,

dengan nilai untuk masing-masing variabel random tersebut berada di dalam state

space dan d istribusi dari Xt diberikan berdasarkan semua ni lai sebelumnya dari

proses yaitu 0, 1, 2, ..., 1tX X X X − hanya tergantung pada 1tX − . Definisi dari Rantai

Markov secara matematis adalah sebagai berikut:

Misal 0{ }t tX ≥ merupakan deret dari suatu variabel random dikatakan

sebagai suatu Rantai Markov jika diberikan suatu nilai untuk Xt

sedemikian sehingga distribusi bersyarat Xt dengan 0, 1, 2, ..., 1tX X X X −

diketahui hanya akan bergantung pada nilai 1tX − saja, atau dapat

dituliskan sebagai berikut:

1 1 2 2 0 0 1 1( | , ,..., ) ( | )t t t t t t t tP X A X A X A X A P X A X A− − − − − −∈ ∈ ∈ ∈ = ∈ ∈

(Astuti, 2006)

2.16. Metropolis Hasting

Algoritma M etropolis Hasting me rupakan salah s atu metode MC MC yang

menggunakan mekanisme pe nerimaan da n pe nolakan u ntuk membangkitkan

barisan sampel dari suatu distribusi proposal. Distribusi proposal adalah distribusi

pembangkit kandidat sampel yang yang d ijadikan a cuan d alam p ergerakan

sampel. D istribusi yang biasa d igunakan sebagai d istribusi pr oposal a dalah

distribusi normal d an uniform. Pembangkitan sampel d imulai dengan pemberian

nilai a wal 1θ , s etelah k iterasi diperoleh 1 2, ,..., kθ θ θ . Iterasi s elanjutnya y aitu

pada iterasi 1k + dibangkitkan *θ dari distribusi proposal *( | )kh θ θ . Selanjutnya

nilai-nilai t ersebut d igunakan un tuk menghitung *( , )kα θ θ yang m erupakan

probabilitas penerimaan sampel.



18

* *

**

( | ) ( | )( , ) min 1,( | ) ( | )

kk

k kp x hp x hθ θ θα θ θ αθ θ θ

= =

(2.27)

Setelah p erhitungan *( , )kα θ θ , di lakukan pe mbangkitan [0,1]u U dan

selanjutnya d ilakukan p emilihan s ampel. S ampel a kan d iterima a pabila u α≤

sehingga 1 *kθ θ+ = . S ebaliknya, s ampel akan d itolak a pabila u α> sehingga

1k kθ θ+ = (Christensen dkk, 2011).

Estimasi parameter p ada kasus-kasus i nferensi B ayesian, m emisalkan θ

adalah s ebuah ve ktor p arameter yang d iestimasi nilainya. A lgoritma M etropolis

Hasting k emudian melakukan s imulasi u ntuk m emperoleh n ilai (1) (2) ( ), ,..., Tθ θ θ

dengan T adalah b anyak s ampel y ang tersimulasikan dan masing- masing

terdistribusi ke distribusi posterior. Estimasi dari parameter θ̂ diperoleh dari nilai

rata-rata dari nilai-nilai sampel yang tersimulasi yaitu

( )

1ˆ

Tt

t

T

θθ ==

∑ (2.28)

(Johnson dan Albert, 1999)

2.17. Batch Mean

Perhitungan penting setelah analisis output adalah mengenai standart error.

Salah s atu m etode y ang s ederhana dan m udah diterapkan untuk m enghitung

standart error yaitu me tode Batch Mean. Metode Batch Mean dilakukan dengan

membagi u rutan n ilai-nilai s imulasi (1) (2) ( ), ,..., Tθ θ θ menjadi h kelompok y ang

berukuran w , s ehingga .T h w= . S etiap kelompok ke mudian dihitung r ata-rata



19

sampel, misalkan rata-rata sampel adalah 1,..., hθ θ . Selanjutnya estimasi standart

error dapat diestimasi dengan standart deviasi dari Batch Mean yaitu

2

1ˆ

ˆ( )

( 1)

h

iB iS

h hθ

θ θ=

−=

−

∑ (2.29)

Standart error sangat berguna untuk menentukan ketelitian dari rata-rata distribusi

target yang dihitung pada simulasi yang dijalankan. Apabila standart error terlalu

besar m aka algoritma M etropolis Hasting s ebaiknya dijalankan m enggunakan

iterasi yang lebih besar (Johnson dan Albert, 1999).

2.18. Mathematica

Mathematica m erupakan program komputasi m atematika y ang s ering j uga

disebut computer algebra program. M athematica d ikembangkan o leh Wolfram

Research of Champaign dan d iluncurkan pe rtama ka li pa da t ahun 1988.

Mathematica merupakan salah satu high performance program yang memudahkan

pengguna da lam melakukan a nalisis. Analisis yang da pat di lakukan de ngan

Mathematica a ntara lain time series, a nalisis multivariat, p erhitungan k ompleks,

analisis cluster, dan sebagainya.



BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil a nalisis da n pe mbahasan yang d ilakukan, da pat

diperoleh kesimpulan yaitu:

1. Pengestimasian p arameter θ dalam D istribusi B inomial N egatif dengan

menggunakan d istribusi prior ( , )Beta a b menghasilkan d istribusi

posterior yaitu distribusi ( , )iBeta kn a y b+ +∑ dan ˆi

kn akn a b y

θ +=

+ + +∑.

2. Meskipun d iperoleh e stimasi yang e ksplisit, namun s etelah d ilakukan

penerapan M onte C arlo M arkov C hain algoritma Metropolis H asting

memberikan h asil θ̂ sebesar 0, 40004 dengan standart error 0,0043368

yang d iperoleh d ari d istribusi prior (2, 4)Beta dan d istribusi pr oposal

(0,1)Uniform melalui 1000 iterasi dengan nilai 1 0, 2θ = .

3. Dari hasil p enerapan M onte C arlo M arkov C hain a lgoritma M etropolis

Hasting un tuk prior non ko njugat y aitu d istribusi (5,8)Gamma ,

(5,8)Cauchy , d an (4,5)Weibull yang paling m endekati ni lai θ

sebenarnya a dalah d engan menggunakan d istribusi prior (5,8)Cauchy

yang m enghasilkan n ilai θ̂ sebesar 4, 29321 dan standart error sebesar

0,893824.

36



37

5.2 Saran

Berdasarkan hasil yang d iperoleh da lam s kripsi ini, s aran yang d apat

diberikan yaitu Metode Monte Carlo Markov Chain algoritma Metropolis Hasting

akan lebih bermanfaat ap abila d igunakan p ada perhitungan e stimasi p arameter

dengan m enggunakan d istribusi prior non ko njugat, ka rena pa da u mumnya

penyelesaian dengan distribusi prior non konjugat lebih sulit.



BAB III

METODE PENELITIAN

3.1. Langkah Analisis

Langkah an alisis yang d igunakan d alam p enelitian ini a dalah s ebagai

berikut:

1. Penentuan distribusi posterior

a. Membentuk f ungsi likelihood ( )L θ dari d istribusi B inomial Negatif

sesuai persamaan (2.10)

b. Memilih distribusi prior konjugat ( )p θ dari distribusi Binomial Negatif

yaitu distribusi ( , )Beta a b sesuai persamaan (2.20)

c. Membentuk distribusi posterior ( | )f xθ sesuai persamaan (2.6)

2. Estimasi p arameter distribusi B inomial N egatif menggunakan pe ndekatan

Bayesian

a. Memperoleh distribusi posterior ( | )f xθ sesuai dengan langkah 1

b. Mengestimasi parameter θ̂ sesuai persamaan (2.8)

3. Penerapan e stimasi p arameter d istribusi p osterior m enggunakan Monte

Carlo Markov Chain dengan Algoritma Metropolis Hasting

a. Membangkitkan d ata b erdistribusi B inomial N egatif sesuai p ersamaan

(2.15) dengan menggunakan software Wolfram Mathematica 7.0

b. Memilih distribusi prior konjugat ( )p θ sesuai persamaan (2.20)

c. Membentuk distribusi posterior sesuai persamaan (2.6)

d. Menentukan nilai awal (1)θ

20



21

e. Menentukan distribusi proposal untuk pergerakan sampel

f. Menentukan parameter distribusi proposal

g. Membangkitkan *θ dari distribusi proposal

h. Menghitung lompatan nilai dari nilai acak *θ

i. Menghitung α sesuai persamaan (2.27)

j. Membangkitkan sampel random (0,1)u U

k. Membandingkan nilai u dengan α , apabila u α≤ maka d iambil nilai

( 1) *kθ θ+ = sedangkan apabila u α> maka nilai ( 1)k kθ θ+ =

l. Mengulangi l angkah b h ingga diperoleh sampel s esuai i terasi y ang

diinginkan

m. Menghitung pe nduga d ari pa rameter θ yang d iperoleh d ari r ata r ata

nilai sampel yang tersimulasi sesuai persamaan (2.28)

n. Menentukan selisih sampling

o. Mengurangi iterasi dengan selisih sampling

p. Menghitung nilai autokorelasi antar parameter

q. Membagi jumlah iterasi menjadi h kelompok berukuran w

r. Menghitung r ata-rata s ampel t iap ke lompok yang t elah d ibagi

sebelumnya

s. Menghitung standart error Batch Mean sesuai persamaan (2.29)

3.2. Flowchart

Berdasarkan langkah a nalisis d ibuat flowchart untuk menunjukkan

prosedur-prosedur da lam sistem kerja Monte C arlo M arkov C hain a lgoritma

Metropolis Hasting dengan lebih mudah. Flowchart tersebut ditunjukkan sebagai

berikut:



22

Gambar 3.1. Flowchart Estimasi Parameter Menggunakan Algoritma Metropolis Hasting.

u α≤

( 1) *kθ θ+ = ( 1) *kθ θ+ =

i n=

Mengestimasi θ (sebanyak m kali)

Menghitung standart error θ̂

Selesai

Menghitung α

Input (1)θ ,

n

Membangkitkan *θ

Membangkitkan u

Mulai



BAB IV

PEMBAHASAN

4.1 Penentuan D istribusi Posterior pada D istribusi B inomial N egatif

Menggunakan Pendekatan Bayesian

Misalkan X merupakan va riabel acak yang mengikuti d istribusi B inomial

Negatif dengan 1

( | ) (1 )1

k x kxf x

kθ θ θ −−

= − − . Distribusi probabilitas dari variabel

acak X dapat di notasikan menjadi bentuk l ain de ngan t ransformasi y x k= − ,

dengan y menyatakan jumlah k egagalan s ebelum t erjadi k buah su kses.

Distribusi pr obabilitas d ari variabel acak Y dinyatakan de ngan

1( | ) (1 )

1k yy k

f yk

θ θ θ+ −

= − − . Penentuan d istribusi Posterior pada d istribusi

Binomial N egatif menggunakan p endekatan B ayesian d engan d istribusi prior

yaitu distribusi Beta adalah sebagai berikut:

1

( | ) (1 )1

k yy kf y

kθ θ θ

+ − = − −

( 1)! (1 )!( 1)!

k yy ky k

θ θ+ −= −

−

( ) (1 )( 1) ( )

k yy ky k

θ θΓ += −Γ + Γ

(4.1)

Likelihood distribusi Binomial Negatif dengan PDF sesuai persamaan (4.1)

1

( ) ( | )n

i

i

L f yθ θ=

=∏

23



24

1

( ) (1 )( 1) ( )

in

i k y

ii

y ky k

θ θ=

Γ += −

Γ + Γ∏

1

1 ( )( ) ( ) (1 )( ) ( 1)

in

i yk n n

ii

y kk y

θ θ=

Γ + ∑= −Γ Γ +∏ (4.2)

Selanjutnya PDF distribusi prior konjugat yaitu distribusi Beta( ,a b )

1 11( ) (1 )( , )

a bpB a b

θ θ θ− −= − (4.3)

Dengan

1

1 1

0

( , ) (1 )a bB a b dθ θ θ− −= −∫ (4.4)

Penentuan distribusi Posterior

( , )( | )( )

f yf yf yθθ = (4.5)

Dengan

( , ) ( | ) ( )f y f y fθ θ θ= (4.6)

( ) ( ) ( | )f y f f y dθ θ θ∞

−∞

= ∫ (4.7)

Sehingga sesuai persamaan (4.6) diperoleh

( , ) ( | ) ( )f y f y fθ θ θ=

1 1

1

1 ( ) 1( ) ( ) (1 ) (1 )( ) ( 1) ( , )

in

i yk n n a b

ii

y kk y B a b

θ θ θ θ− −

=

Γ + ∑= − × −Γ Γ +∏

1 1

1

(1 ) ( ) (1 )( ) ( 1) ( , )

iykn a bni

nii

y kk y B a b

θ θ θ θ− −

=

∑− Γ + −= ×

Γ Γ +∏

1 1

1

(1 ) (1 ) ( )( ) ( , ) ( 1)

iykn a b ni

nii

y kk B a b y

θ θ θ θ− −

=

∑− − Γ +=

Γ Γ +∏



25

11

1

(1 ) ( )( , )( ) ( , ) ( 1)

iy bkn a ni

nii

y kf yk B a b y

θ θθ+ −+ −

=

∑− Γ +=

Γ Γ +∏

11

1

( ) 1(1 )( 1) ( ) ( , )

in

iy bkn an

ii

y ky k B a b

θ θ + −+ −

=

Γ +∑= −Γ + Γ∏ (4.8)

Karena pada p ersamaan ( 4.8) 1

( ) 1( 1) ( ) ( , )

ni

nii

y ky k B a b=

Γ +Γ + Γ∏ merupakan ko nstanta,

maka dapat d iabaikan sehingga 11( , ) (1 ) iy bkn af yθ θ θ + −+ − ∑− . Dengan demikian

sesuai persamaan (4.5) diperoleh distribusi Posterior yaitu:

( , )( | )( )

f yf yf yθθ =

11

111

0

(1 )

(1 )

i

i

y bkn a

y bkn a d

θ θ

θ θ θ

+ −+ −

+ −+ −

∑−=

∑−∫

11(1 )

( , )

iy bkn a

iB kn a y bθ θ + −+ − ∑−

=+ +∑

(4.9)

4.2 Estimasi Parameter Berdasarkan Distribusi Posterior

Distribusi Posterior yang d iperoleh sesuai p ersamaan ( 4.9) m erupakan

distribusi ( , )iBeta kn a y b+ +∑ selanjutnya d igunakan dalam es timasi parameter

θ . Nilai θ̂ diperoleh sebagai berikut:

1

1

0

ˆ ( | ,..., ) ( | )nE y y f y dθ θ θ θ θ= = ∫

11 1

0

(1 )( , )

iy bkn a

i

dB kn a y b

θ θ θθ+ −+ − ∑−

=+ +∫ ∑



26

11

0

(1 )ˆ

( , )

iy bkn a

i

d

B kn a y b

θ θ θθ

+ −+ ∑−=

+ +

∫∑

( 1, )

( , )i

i

B kn a y bB kn a y b

+ + +=

+ +∑∑

( 1) ( )( 1 )( ) ( )( )

kn a yi bkn a yi bkn a yi bkn a yi b

Γ + + Γ +Γ + + + +

=Γ + Γ +Γ + + +

∑∑∑∑

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

i

i i

i

i

kn a kn a y bkn a y b kn a y b

kn a y bkn a y b

+ Γ + Γ ++ + + Γ + + +

=Γ + Γ +Γ + + +

∑∑ ∑

∑∑

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )i i

i i i

kn a kn a y b kn a y bkn a y b kn a y b kn a y b

+ Γ + Γ + Γ + + +=

+ + + Γ + + + Γ + Γ +∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )i i

i i i

kn a y b kn a y bkn akn a y b kn a y b kn a y b

Γ + Γ + Γ + + ++=

+ + + Γ + + + Γ + Γ +∑ ∑

∑ ∑ ∑

i

kn akn a b y

+=

+ + +∑ (4.10)

4.3 Penerapan E stimasi Parameter D istribusi Posterior Menggunakan

Monte Carlo Markov Chain Algoritma Metropolis Hasting

Estimasi parameter d istribusi posterior dengan pe rhitungan m anual akan

dibandingkan d engan es timasi p arameter yang diperoleh menggunakan M onte

Carlo Markov Chain algoritma Metropolis Hasting. Data yang digunakan sebagai

contoh p enerapan ad alah d ata berdistribusi Binomial N egatif yang d ibangkitkan



27

dengan Software Wolfram Mathematica 7 .0. Data t ersebut di bangkitkan de ngan

probabilitas sukses 0,4 dan kejadian sukses sebanyak 7, serta distribusi prior yang

digunakan adalah distribusi Beta.

Tabel 4.1 Tabel Data Berdistribusi Binomial Negatif

7 19 8 10

10 9 20 8

11 6 8 9

11 7 7 7

16 13 10 10

9 2 25 10

1 11 14 17

9 28 14 16

18 8 5 3

4 9 5 8

4.3.1 Estimasi Parameter dengan Perhitungan Manual

Berdasarkan data t ersebut dan sesuai p ersamaan (4.10) diperoleh

nilai θ̂ sebagai berikut:

ˆi

kn akn a b y

θ +=

+ + +∑

7(40) 27(40) 2 4 (7 19 ... 8)

+=

+ + + + + +

282 0,3983708

= =



28

4.3.2 Estimasi Parameter dengan Algoritma Metropolis Hasting

Algoritma M etropolis H asting bertujuan un tuk

menyelesaikan p erhitungan yang r umit s alah s atunya a dalah

estimasi parameter. Suatu estimasi parameter pada kasus Bayesian

terjadi a pabila d istribusi prior yang digunakan buka n m erupakan

prior kunjugat da ri distribusi yang in gin diestimasi. B erikut in i

adalah p rosedur es timasi p arameter d engan a lgoritma M etropolis

Hasting.

Prosedur Estimasi Parameter

Inisialisasi data, 1θ , iterasi ; set t=1

Trajectory =

For[ Start t ; End t < iterasi

Bangkitkan p dari distribusi proposal

Bangkitkan u dari distribusi (0,1)uniform

If [

u α≤ , set 1t t pθ θ+ = +

Else set 1t tθ θ+ =

]

]

Thetatopi = Mean [Trajectory]

Gambar 4.1 Prosedur Estimasi Parameter

Setelah diperoleh h asil e stimasi parameter y aitu θ̂ ,

selanjutnya d ilakukan pe rhitungan standart error Batch Mean.

Perhitungan standart error Batch M ean d idasarkan p ada



29

perhitungan yang t elah d ilakukan s ebelumnya. B erikut i ni a dalah

prosedur perhitungan standart error Batch Mean.

Prosedur Estimasi Parameter

Inisialisasi h, w ; set i=1

Bagi Trajectory sebanyak h

For[ Start i ; End i < h

ThetraTrajectory [i]= Mean [Trajectory[i]]

Error[i] = Quadrat[ThetraTrajectory [i] -Thetatopi]

Batch Mean = Sqrt[ Sum [ error[i]/((h-1)*h)]]

]

Gambar 4. 2 Prosedur Perhitungan Standart Error Batch Mean

Berdasarkan pr osedur-prosedur t ersebut dapat d ilakukan

perhitungan e stimasi p arameter d engan algoritma Metropolis

Hasting. Berikut ini a dalah hasil perhitungan data pada Tabel 4.1

menggunakan algoritma Metroplois Hasting:

Tabel 4.2 Tabel Perhitungan dengan Metropolis Hasting

θ Iterasi Prior Distribusi

Proposal

1θ θ̂ Standart

Error

0.3983 100 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.2 0.401417 0.0040357

0.3983 1000 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.2 0.391904 0.0105594

0.3983 10000 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.2 0.400438 0.0011625



30

Lanjutan Tabel 4.2 Tabel Perhitungan dengan Metropolis Hasting

θ Iterasi Prior Distribusi

Proposal

1θ θ̂ Standart

Error

0.3983 100 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.5 0.427118 0.0314959

0.3983 1000 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.5 0.405117 0.0190912

0.3983 10000 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.5 0.39843 0.0013406

0.3983 100 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.7 0.415353 0.0051671

0.3983 1000 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.7 0.407188 0.0042770

0.3983 10000 Beta(2,4) Normal(0,1) 0.7 0.399445 0.0010819

0.3983 100 Beta(2,4) Uniform(0,1) 0.2 0.376067 0.0036752

0.3983 1000 Beta(2,4) Uniform(0,1) 0.2 0.393563 0.0119888

0.3983 10000 Beta(2,4) Uniform(0,1) 0.2 0.40004 0.0043368

0.3983 100 Beta(2,4) Uniform(0,1) 0.5 0.405967 0.0008491

0.3983 1000 Beta(2,4) Uniform(0,1) 0.5 0.395704 0.0031467

0.3983 10000 Beta(2,4) Uniform(0,1) 0.5 0.397316 0.0012965

0.3983 100 Beta(2,4) Uniform(0,1) 0.7 0.405513 0.0051184

0.3983 1000 Beta(2,4) Uniform(0,1) 0.7 0.392925 0.0117327



31

Berdasarkan T abel 4.2 hasil e stimasi parameter

menggunakan a lgoritma Metropolis H asting m enunjukkan h asil

yang c ukup d ekat de ngan nilai θ sebenarnya dan ni lai standart

error Batch Mean yang d iperoleh s angat ke cil yang berarti nilai

standart error yang dihasilkan kecil. Melalui simulasi tersebut juga

dapat di simpulkan bahwa s emakin b anyak ju mlah i terasi akan

menyebabkan n ilai θ̂ semakin de kat de ngan nilai θ , s elain itu

distribusi pr oposal yang d igunakan yaitu d istribusi N ormal da n

distribusi U niform memberikan e stimasi yang relatif s ama.

Perbedaan in isialisasi 1θ pada a lgoritma Metropolis Hasting t idak

berpengaruh s ignifikan t erhadap hasil e stimasi, k arena berapapun

nilai 1θ yang diinputkan diperoleh estimasi yang relatif sama.

Selanjutnya algorima M etropolis H asting akan d igunakan

untuk melihat pe ngaruh p arameter d istribusi B eta dalam e stimasi

parameter distribusi Binomial N egatif. Simulasi s elanjutnya

menggunakan inisialisasi 1θ yang s ama, yaitu 0 .5 dan

menggunakan d istribusi p roposal yaitu d istribusi N ormal ( 0,1).

Nilai 1θ dan d istribusi pr oposal yang d igunakan s ama mengingat

kedua faktor tersebut tidak memberikan perbedaan yang signifikan

terhadap h asil e stimasi. Berikut a dalah s imulasi de ngan

menggunakan data pada Tabel 4.1:



32

Tabel 4.3 Tabel Perbedaan Parameter Distribusi Prior

Distribusi Prior θ̂ Standart Error

Beta (1,2) 0.382559 0.00489297

Beta (2,3) 0.403235 0.00427772

Beta (1,3) 0.389386 0.00513714

Beta (1,4) 0.390629 0.0035615

Beta (3,4) 0.406527 0.00355009

Beta (2,5) 0.400866 0.00592813

Beta (3,5) 0.406562 0.00370302

Beta (4,5) 0.399273 0.00328232

Beta (2,6) 0.393828 0.00490377

Beta (3,6) 0.410854 0.00442508

Beta (4,6) 0.398502 0.00391238

Beta (5,6) 0.406587 0.00360521

Berdasarkan T abel 4. 3 da pat di lihat jika berapapun pa rameter

distribusi prior me nghasilkan n ilai e stimasi yang nilainya s aling

berdekatan .

Algoritma M etropolis H asting s angat b aik d alam

memberikan e stimasi p arameter B inomial Negatif d engan

distribusi prior berupa distribusi Beta, dengan demikian Algoritma

Metropolis H asting d apat juga d iterapkan p ada berbagai macam

distribusi prior lainnya y ang me miliki penyelesaian s ulit. Berikut



33

adalah data yang a kan d iestimasi dengan b erbagai macam

distribusi prior.

Tabel 4.4 Tabel Data Binomial Negatif

13 11 9 6

13 12 15 11

11 17 15 5

5 12 17 6

11 8 11 16

8 8 19 15

31 11 19 5

10 12 15 9

6 20 13 11

15 16 14 8

Data tersebut k emudian d iestimasi d engan algoritma

Metropolis Hasting. D istribusi prior yang d ipilih adalah d istribusi

prior n on ko njugat. D istribusi posterior yang d ihasilkan d engan

pemilihan distribusi prior non konjugat biasanya sulit diselesaikan,

sehingga e stimasi pa rameternya a kan lebih mudah apabila

diselesaikan d engan al goritma Metropolis H asting. Misalkan

distribusi B inomial N egatif akan d iestimasi menggunakan



34

distribusi p rior ( , )Gamma a b . Likelihood diperoleh s esuai

persamaan (4.2) yaitu

1

1 ( )( ) ( ) ( ) (1 )( ) ( 1)

in

i yk n n

ii

y kLk y

θ θ θ=

Γ + ∑= −Γ Γ +∏

Selanjutnya PDF distribusi ( , )Gamma a b yaitu

11( )( )

b bbp e

a b

θ

θ θ−−=

Γ

Sehingga sesuai p ersamaan (4.5) diperoleh d istribusi posterior

sebagai berikut

1

1

0

(1 )( ( )) ( )( | )

(1 )( ( )) ( )

i

i

y bkn b

n b

y bkn b

n b

ek a bp y

e dk a b

θ

θ

θθθ

θθ θ

−

+ −

−∞

+ −

∑−Γ Γ=

∑−Γ Γ∫

Distribusi posterior tersebut sulit diselesaikan sehingga dibutuhkan

bantuan i terasi n umerik untuk m enyelesaikan estimasi

parameternya. H al t ersebut juga berlaku u ntuk pe nggunaan

distribusi prior non konjugat la innya m isalnya distribusi C auchy

dan d istribusi Weibull. Berikut in i adalah hasil estimasi parameter

dengan ba ntuan algoritma M etropolis H asting yang d ijalankan

masing-masing de ngan 1000 iterasi da n banyaknya s elisih

sampling adalah 100:



35

Tabel 4.5 Tabel Estimasi dengan Distribusi Prior Non Konjugat

Distribusi Prior θ̂ Standart Error

Gamma (5,8) 20.4 2.9263

Cauchy(5,8) 4.29321 0.893824

Weibull (4,5) 6.09339 2.19357

Berdasarkan Tabel 4 .5 es timasi p arameter d ari data b erdistribusi

Binomial Negatif d engan distribusi G amma ( 5,8) , C auchy ( 5,8), da n

Weibull (4,5) menghasilkan θ̂ masing-masing sebesar 20.4, 4.29321, dan

6.09339. Algoritma me tropolis Hasting in i memberikan e stimasi d engan

proses yang mudah sehingga algoritma Metropolis Hasting dapat dijadikan

alternatif bantuan u ntuk mengestimasi parameter, na mun d emikian

estimasi yang d ihasilkan da ri metode M onte C arlo M arkov C hain

algoritma Metropolis Hasting tidak memberikan hasil yang tetap, sehingga

apabila menginginkan e stimasi yang nilainya t etap da pat m enggunakan

metode iterasi numerik lain.



DAFTAR PUSTAKA

Andrew, G , S tern, H , C arlin, J, D unson D , V ehtari, A , a nd R ubin, D . 2000. Bayesian Data Analysis Third Edition. United States: Chapman and Hall.

Apsari, W. 2013. Estimasi Parameter Regresi Logistik Multinomial dengan Metode Bayes. Jurnal Gaussian, 2: 79-88.

Astuti, E . 2006. Implementasi B ayesian Markov C hain M onte C arlo p ada Permodelan P ortofolio O ptimal d engan P endekatan M odel M ixture Beberapa M ixture. Tesis. S urabaya: I nstitut T eknologi S epuluh November.

Bain, L.J. and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics Second Edition. California: Duxbury Press.

Berger, J .O. 1980. Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis Second Edition. New York: Springel-Verlag inc.

Boldstad, W . 2007. Introduction to Bayesian Statistics Second Edition. U nited States: Wiley Interscience.

Box, G .E.P a nd T iao, G .C. 2 011. Bayesian Inference in Statistical Analysis. Philippines: Addision-Wesley Publishing Company Inc.

Bradlow, E, Hardie, B, and Fader, P . 2002. Bayesian Inference for the Negative Binomial Distribution via Polynomial Expansions. J ournal o f Computional and Statistics, 11: 189-201.

Christensen, R, Johnson, W, Branscum, A, and Hanson, T. 2011. Bayesian Ideas and Data Analysis: An Introduction for Scientists and Statisticians. United States: CRC Press.

Gregory, P . 2010. Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences. United Kingdom: Cambridge.

Hilbe, J. 2011. Negative Binomial Regression. Cambridge: Cambridge University Press

Irwanti, L .K. 2012. Pembangkitan Sampel Random Menggunakan Algoritma Metropolis Hasting. Jurnal Gaussian, 1:135-146.

Johnson, V.E dan Albert, J.H. 1999. Ordinal Data Modeling. New York: Springer -Verlag Inc.

38



39

Jong, P , a nd H eller, G . 2008. Generalized Linear Model for Insurance Data. Cambridge: Cambridge University Press

Lio, Y, L. 2009. A Note on Bayesian Estimation for the Negative Binomial Model. Pliska Stud. Math. Bulgar, 19: 207-216.

Shafira. 2 011. P enaksiran P arameter D istribusi Binomial N egatif p ada Kasus Overdispersi. Skripsi. Jakarta: Universitas Indonesia.

Siska, A . 2011. I nferensi S tatistik D istribusi Binomial d engan M etode B ayes Menggunakan P rior K onjugat. Skripsi. S emarang: U niversitas Diponegoro.

Soejoeti, Z dan Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Jakarta: Universitas Terbuka.

Walck, C . 2007. Statistical Distributions for Experimentalists. S weden: University of Stockholm.

Walpole, R . 1995. Pengantar Statistika. Edisi ketiga. J akarta: P T G ramedia Pustaka Utama



Lampiran 1. Data Berdistribusi Binomial Negatif

7 19 8 10

10 9 20 8

11 6 8 9

11 7 7 7

16 13 10 10

9 2 25 10

1 11 14 17

9 28 14 16

18 8 5 3

4 9 5 8



Lanjutan Lampiran 1. Data Berdistribusi Binomial Negatif

13 11 9 6

13 12 15 11

11 17 15 5

5 12 17 6

11 8 11 16

8 8 19 15

31 11 19 5

10 12 15 9

6 20 13 11

15 16 14 8



Lampiran 2. Program MCMC Algoritma Metropolis Hasting dengan prior Beta

#Pembangkitan data

#Perhitungan estimasi parameter

n=Input["Jumlah data yang ingin dibangkitkan"]

k=Input["Kejadian sukses"]

thetadata=Input["Probabilitas sukses"]

data=RandomInteger[NegativeBinomialDistribution[k,thetadata],n]

TabView[{"Plot"->ListLinePlot[data,Mesh->All,GridLines->{{},{1}}],"Data"->data}]

Clear[a,b,iterasi,trajectory,traj,w,u,prop,proposedjump,prob,alfa,r,rr,ss,s,q,qq,

thetatopi,r,sumy,f]

a=Input["Parameter Distribusi Prior a"]

b=Input["Parameter Distribusi Prior b"]

iterasi=Input["Iterasi yang diinginkan"]

trajectory[1]=Input["Nilai awal dengan kurung kurawal"]

traj=Array[trajectory,iterasi]

w=Array[u,iterasi]

rr=Array[r,iterasi]

prop=Array[proposedjump,iterasi]

qq=Array[q,iterasi]

prob=Array[alfa,iterasi]

ss=Array[s,iterasi]

sumy=Total[data]



Lanjutan Lampiran 2. Program M CMC A lgoritma M etropolis Hasting dengan

prior Beta

#Perhitungan Batch Mean

likelihood[f_,data]:=Product[Evaluate[PDF[f,y]],{y,data}]

li=likelihood[NegativeBinomialDistribution[k,theta],data]

pri=PDF[BetaDistribution[a,b],theta]

ats=li*pri

bwh=Integrate[ats,theta]

f[theta_]:=ats/bwh

For[i=1,i<iterasi,i++,proposedjump[i]=RandomReal[NormalDistribution[0,1],1];u[i]=RandomReal[UniformDistribution[{0,1}],1];q[i]=trajectory[i][[1]]+proposedjump[i][[1]];r[i]=If[q[i]<1&&q[i]>0,q[i],0];If[r[i]!=0,s[i]=f[r[i]]/f[trajectory[i][[1]]],s[i]=0];alfa[i]=Min[1,s[i]];If[u[i][[1]]<=alfa[i],trajectory[i+1]={q[i]},trajectory[i+1]=trajectory[i]]]

thetatopi=Total[traj]/iterasi

TabView[{"Proposed Jump"->prop,"U"->w,"alfa"->prob,"Theta"->traj,"Hasil Estimasi"->thetatopi}]

Clear[h,c,tp,v,l,sd]

l=Input["Selisih Sampling"]

g[x_]:=(x-thetatopi)

z=iterasi-l

mm=Array[m,z]

oo=Array[o,z]



Lanjutan Lampiran 2. Program M CMC Algoritma Metropolis H asting dengan

prior Beta

For[j=1,j<=z,j++,m[j]=g[trajectory[j][[1]]]*g[trajectory[j+l][[1]]];o[j]=Power[g[trajectory[j][[1]]],2]]

atas=Total[mm]

bawah=Total[oo]

rel=(iterasi/z)*(atas/bawah)

v=iterasi/l

trj=Array[tp,v]

thetatraj=Partition[traj,l]

syy=Array[sy,v]

For[c=1,c<=v,c++,tp[c]=Total[thetatraj[[c]]]/l;sy[c]=Power[tp[c]-thetatopi,2]]

se=Sqrt[Total[syy]/((v-1)*v)]

TabView[{"Batch Mean"->se}]



Lampiran 3. Program MCMC Algoritma Metropolis Hasting dengan prior Gamma

#Pembangkitan data

#Perhitungan estimasi parameter

n=Input["Jumlah data yang ingin dibangkitkan"]

k=Input["Kejadian sukses"]

thetadata=Input["Probabilitas sukses"]

data=RandomInteger[NegativeBinomialDistribution[k,thetadata],n]

TabView[{"Plot"->ListLinePlot[data,Mesh->All,GridLines->{{},{1}}],"Data"->data}]

Clear[a,b,iterasi,trajectory,traj,w,u,prop,proposedjump,prob,alfa,r,rr,ss,s,q,qq,

thetatopi,r,sumy,f]

a=Input["Parameter Distribusi Prior a"]

b=Input["Parameter Distribusi Prior b"]

iterasi=Input["Iterasi yang diinginkan"]

trajectory[1]=Input["Nilai awal dengan kurung kurawal"]

traj=Array[trajectory,iterasi]

w=Array[u,iterasi]

rr=Array[r,iterasi]

prop=Array[proposedjump,iterasi]

qq=Array[q,iterasi]

prob=Array[alfa,iterasi]

ss=Array[s,iterasi]

sumy=Total[data]



Lanjutan Lampiran 3. Program M CMC Algoritma Metropolis H asting d engan

prior Gamma

#Perhitungan Batch Mean

likelihood[f_,data]:=Product[Evaluate[PDF[f,y]],{y,data}]

li=likelihood[NegativeBinomialDistribution[k,theta],data]

pri=PDF[GammaDistribution[a,b],theta] #apabila ingin mengganti distribusi prior Beta (a,b) dengan distribusi lain, hapus GammaDistribution dan ganti dengan distribusi yang diinginkan. PDF[CauchyDistribution[a,b] ,theta] untuk distribusi Cauchy, dan PDF[WeibullDistribution[a,b] ,theta] untuk distribusi Weibull

ats=li*pri

bwh=Integrate[ats,theta]

f[theta_]:=ats/bwh

For[i=1,i<iterasi,i++,proposedjump[i]=RandomReal[NormalDistribution[0,1],1];u[i]=RandomReal[UniformDistribution[{0,1}],1];q[i]=trajectory[i][[1]]+proposedjump[i][[1]];r[i]=If[q[i]<1&&q[i]>0,q[i],0];If[r[i]!=0,s[i]=f[r[i]]/f[trajectory[i][[1]]],s[i]=0];alfa[i]=Min[1,s[i]];If[u[i][[1]]<=alfa[i],trajectory[i+1]={q[i]},trajectory[i+1]=trajectory[i]]]

thetatopi=Total[traj]/iterasi

TabView[{"Proposed Jump"->prop,"U"->w,"alfa"->prob,"Theta"->traj,"Hasil Estimasi"->thetatopi}]

Clear[h,c,tp,v,l,sd]

l=Input["Selisih Sampling"]

g[x_]:=(x-thetatopi)

z=iterasi-l

mm=Array[m,z]

oo=Array[o,z]



Lanjutan Lampiran 3. Program M CMC Algoritma Metropolis H asting d engan

prior Gamma

For[j=1,j<=z,j++,m[j]=g[trajectory[j][[1]]]*g[trajectory[j+l][[1]]];o[j]=Power[g[trajectory[j][[1]]],2]]

atas=Total[mm]

bawah=Total[oo]

rel=(iterasi/z)*(atas/bawah)

v=iterasi/l

trj=Array[tp,v]

thetatraj=Partition[traj,l]

syy=Array[sy,v]

For[c=1,c<=v,c++,tp[c]=Total[thetatraj[[c]]]/l;sy[c]=Power[tp[c]-thetatopi,2]]

se=Sqrt[Total[syy]/((v-1)*v)]

TabView[{"Batch Mean"->se}]



Lampiran 4. Output Program Perhitungan dengan Metropolis Hasting



Lanjutan Lampiran 4. Output Program Perhitungan dengan Metropolis Hasting



Lampiran 5. Output Perbedaan Parameter Distribusi Prior



Lanjutan Lampiran 5. Output Perbedaan Parameter Distribusi Prior



Lampiran 6. Output Estimasi dengan Distribusi Prior Non Konjugat



ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF …repository.unair.ac.id/55899/2/KKC KK ST.S 49 -16...

Documents

Transcript of ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF …repository.unair.ac.id/55899/2/KKC KK ST.S 49 -16...