Distribusi Binomial(Distribusi Probabilitas Diskrit)

Percobaan Bernoulli :Sifat-sifat sebagai berikut :Percobaan itu terdiri dari n pengulanganTiap pengulangan memberikan hasil yang dapat diidentifikasi sukses atau gagalProbabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- pTiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

Distribusi BinomialBanyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x,n,p) dimana x = 1, 2, , n

Rata-rata dan Variansi Distribusi Binomial :Rata-rata =

Variansi =

ContohProbabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas :Paling sedikit 10 orang yang selamatDari 3 sampai 8 orang yang selamatTepat 5 orang yang selamatHitung rata-rata dan variansinya

Distribusi Poisson(Distribusi Probabilitas Diskrit)

Percobaan Poisson :Jika suatu percobaan menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah tertentu atau selama interval waktu tertentu, percobaan itu disebut percobaan Poisson.

Distribusi PoissonJumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi , adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi Poisson adalah .

Catatan :Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan

Rata-rata dan Variansi Distribusi Poisson

ContohDi suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas :Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7 kecelakaanPada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 kecelakaanPada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 kecelakaan

Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi BinomialDistribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar ( n >20) , sedangkan p sangat kecil mendekati 0 (p < 0.01), dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan = np

ContohDari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?Kejadian Sukses : selalu terlambat masuk kuliah

p = = 0.002n = 5 000x > 3

jika diselesaikan dengan peluang Binomial b(x > 3; 5 000, 0.002)tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus sangat tidak praktis.p = 0.002n = 5 000x>3 = n p = 0.002 5 000 = 10diselesaikan dengan peluang Poisson poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x 3) = 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972

ContohDalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIALApabila n sangat besar (di luar tabel binomial) dan p sangat kecil (seperti np 5), maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi Poisson. Akan tetapi apabila n di luar nilai tabel dan p bernilai sangat kecil atau sangat besar, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal. Sebagai petunjuk dalam melakukan pendekatan normal dari binomial adalah : n 30 np dan n(1 p) 5

Contoh :Anggota suatu dewan juri berisikan 55% wanita. Berapa peluang terpilihnya 50 anggota juri yang dipilih secara acak akan berisikan anggota wanita sebanyak 30 orang atau lebih.Pemilihan ini jelas merupakan proses binomial dengan n = 50, p = 0,55 dan x 30. Tabel binomial tidak mempunyai nilai untuk n = 50. Pendekatan Poisson juga tidak dapat dilakukan karena np = 27,5.Demikian pula tehnik menggunakan 1 p untuk p tidak dapat dilakukan juga karena n(1 p) = 23,5. Akan tetapi kriteria untuk pendekatan normal sudah dipenuhi dimana parameter binomial untuk mendekati distribusi normal adalah :

JawabSebelum menghitung peluang distribusi normal, terlebih dahulu perlu dihitung suatu koreksi yang memperkenankan kita melakukan pendekatan dari distribusi diskrit ke distribusi kontinu. Dalam distribusi kontinu, nilai 29 didefinisikan mengambil nilai antara 28,5 sampai 29,5, nilai 30 di antara nilai 29,5 sampai 30,5 dan seterusnya. Dengan demikian, nilai-nilai diskrit yang sama atau lebih besar dari 30 dapat diperlihatkan dalam Gambar berikut

0,2843

0,2157

30,5

z = 0,57

29,5

JawabAkhirnya persoalan di atas dapat diselesaikan sebagaimana persoalan distribusi normal biasa yaitu :

Luas area dari 0 sampai 0,57 adalah 0,2157. Jadi :

Artinya peluang (pendekatan) terpilihnya anggota juri wanita lebih dari 30 orang adalah 0,2843.(Jika dihitung dengan distribusi binomial diperoleh 0,2862).

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP POISSON Apabila rata-rata distribusi Poisson lebih dari 10, maka mustahil untuk menggunakan tabel peluang Poisson (meskipun sebenarnya dapat dilakukan dengan komputer). Olehkarenanya pendekatan normal kepada binomial dapat diperluas kepada distribusi Poisson (dalam hal ini n > 10).

Contoh Rata-rata jumlah kendaraan yang mengunjungi bengkel pada jam 16.00 17.00 di akhir pekan adalah 16. Berapa peluang bahwa kurang dari 20 kendaraan akan mengunjungi bengkel pada jam yang sama di hari Selasa mendatang.Rata-rata distribusi Poisson l lebih dari 10, sehingga pendekatan normal dapat dilakukan. Parameter Poisson yang ekivalen dengan distribusi normal adalah :

Koreksi dari distribusi diskrit ke kontinu perlu dilakukan seperti yang dicontohkan sebelumnya. Jadi dalam hal ini peluang kurang dari 20 dapat kita didefinsikan sebagai kurang atau sama dengan 19,5. Luas area di bawah kurva normal lihat Gambar 7.4)

0,5000

0,3106

20,5

z = 0,88

19,5

jawabLuas area di bawah kurva normal dapat dihitung dengan

Dengan menggunakan tabel diperoleh luas areanya adalah 0,3106. Karena nilai z positif, maka luas area yang dicari adalah mulai dari z = 0,88 ke arah kiri atau :

Jadi peluang (pendekatan) kendaraan yang mengunjungi bengkel di hari Selasa kurang dari 20 buah adalah 0,8106 (perhitungan secara eksak dengan menggunakan distribusi Poisson adalah 0,8122).

Distribusi Normal(Distribusi Probabilitas Kontinu)

Distribusi Normal (Distribusi Gaus)Distribusi Normal (Distribusi Gauss) merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik.

Terminology normal karena memang distribusi ini adalah yang paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil diberbagai bidang : - antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan dll), - kesalahan-kesalahan pengukuran dalam eksperimen ilmiah pengukuran-pengukuran intelejensia dan perilaku, - nilai skor berbagai pengujian dan berbagai ukuran dan indikator ekonomi.

Alasan mengapa distribusi normal menjadi penting:Distribusi normal terjadi secara alamiah. Seperti diuraikan sebelumnya banyak peristiwa di dunia nyata yang terdistribusi secara normal.Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya berupa distribusi normalAda beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya Namun distribusi rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Kumulatif NormalSebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter x dan x dengan - < x < dan x >0 jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari X adalah :

Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal x tertentu. Fungsi distribusi kumulatif (cdf cumulative distribution function) dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai : F(x; x, x) = P(X x) =

F(x), hanya bisa ditentukan dari integrasi secara numerik, karena persamaan tersebut tidak bisa diintegrasi secara analitik.

Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak yang mengikut sebuah distribusi normal, maka

68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam 1 x dari x ,95,46% dari nilai-nilai variabel berada dalam 2 x dari x ,99,73% dari nilai-nilai variabel berada dalam 3 x dari x

Gambar hubungan antara luasan dan N(,2)

Statistik Deskriptif NormalUntuk suatu distribusi normal dengan nilai-nilai parameter mean x dan deviasi standard x akan diperoleh suatu distribusi yang simetris terhadap nilai mean x,

sehingga kemencengan (skewness) = 0 dan dapat ditunjukkan bahwa keruncingan (kurtosis) kurva distribusi adalah 3.

Sifat-Sifat Distribusi Normal:Bentuk distribusi normal ditentukan oleh dan .

Distribusi Normal StandardUntuk menghitung probabilitas P(a X b) dari suatu variable acak kontinu X yang berdistribusi normal dengan parameter dan maka fungsi kepadatan probabilitasnya harus diintegralkan mulai dari x=a sampai x =b. Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut. Untuk itu diperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean = 0 dan deviasi standart = 1.

Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. Fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z :

Fungsi distribusi kumulatif :

Menstandardkan distribusi NormalDistribusi normal variable acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter dan berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variable acak X diubah menjadi variable acak standard Z menurut hubungan :

Jika X distribusi normal dengan mean dan deviasi standard maka

Z > 0 jika x > Z < 0 jika x < Simetri : P(0 Z b) = P(-b Z 0)

Contoh :Diketahui data berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15a) P(55x75) = = = P(0Z1,33) = 0,4082 (Tabel Z) Atau

Tabel Z A = 0,4082

b) P(60x80) == P(0,33Z1,67)= P(0Z1,67) P(0Z0,33)= 0,4525 0,1293 = 0,3232

Z1 = = 0,33 B = 0,1293

Z2 = = 1,67 A = 0,4525C = A B = 0,3232

c) P(40x60)= A + B

= = P(-1,00Z0,33) = P(-1,00Z0) + P(0Z0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = = -1,00 A = 0,3412 Z2 = = 0,33 B = 0,1293

d) P(x 40) = 0,5 A = 0,5 0,3412 = 0,1588

P(x 85)

P(x 85) = 0,5 + A= 0,5 + 0,4772= 0,9772

Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?Jawab:

Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas atas nilai E ?