Distribusi BinomialDistribusi Binomial(Distribusi Probabilitas Diskrit)

Percobaan Bernoulli :Percobaan Bernoulli :Sifat-sifat sebagai berikut :Percobaan itu terdiri dari n pengulanganTiap pengulangan memberikan hasil yang

dapat diidentifikasi sukses atau gagalProbabilitas sukses dinyatakan dengan p,

tetap konstan (tidak berubah) dari satu pengulangan ke pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p

Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling bebas.

Distribusi BinomialDistribusi BinomialBanyaknya X sukses dalam n

pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai :

b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, nxnxqpx

n)p,n;x(b

Rata-rata dan Variansi Rata-rata dan Variansi Distribusi Binomial :Distribusi Binomial :Rata-rata =

Variansi =

np

npq2

ContohContohProbabilitas bahwa seorang

pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas :

Paling sedikit 10 orang yang selamatDari 3 sampai 8 orang yang selamatTepat 5 orang yang selamatHitung rata-rata dan variansinya

Contoh Distribusi Binomial : Berdasarkan data Dnas Pertanian Kabupaten Banyumas, 20% dari petani menyatakan sangat puas menggunakan varietas Unsoed-1, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan petani yang pernah menanam padi varietas Unsoed-1, berapakah probabilitas : a) Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas. b) Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas c) Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja d) Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas Jawab :

a. X ≤ 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) = 0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768 b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960 b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480 Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208

a. X ≥ 1 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : B (1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) = 0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0) 1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)5 1 – 0.4437 = 0.5563

b. X = 2 b (2; 5, 0.25) = 0.2637 d. X ≤ 2 X ≤ 4 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528

Distribusi PoissonDistribusi Poisson(Distribusi Probabilitas Diskrit)

Percobaan Poisson :Percobaan Poisson :Jika suatu percobaan

menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah tertentu atau selama interval waktu tertentu, percobaan itu disebut percobaan Poisson.

Distribusi PoissonDistribusi PoissonJumlah X dari keluaran yang terjadi

selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson.

Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi , adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

,......2,1,0,!

);(

xx

expx

Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi Poisson adalah .

Catatan :Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk

pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan.

Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan

np

Rata-rata dan Variansi Rata-rata dan Variansi Distribusi PoissonDistribusi Poisson

1. Dua ratus penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

2. Rata – rata seorang sekretaris baru melakukan lima kesalahan mengetik per halaman. Berapakah

peluang bahwa pada halaman berikut ia : a. Tidak ada kesalahan ( x = 0 ) b. Tidak lebih dari tiga kesalahan ( x ≤ 3) atau ( 0,1,2,3 ) c. Lebih dari tiga kesalahan ( x > 3 ) atau ( 4,…,15)

Jawab : 1. Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, λ= n . p = 200 . 0.01 = 2

P ( x ; λ) = e – λ. λ X X!

= 2.71828 – 2 . 2 3 = 0.1804 atau 18.04 % 3!

2. Dik : λ = 5 a. x = 0 P ( x ; λ) = e – λ. λ X X! P ( 0 ; 5 ) = 2.71828 – 5 . 5 0 = 0.0067 0! b. x ≤ 3 ; P ( x ; λ) = e – λ. λ X X! P (x ≤ 3 , 5) = P( x 1, λ) +….+p(x3, λ) = P( 0, 5 ) + P (1, 5 ) + P ( 2, 5 ) + P ( 3, 5 ) = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650 atau 26.5 % c. X > 3 ; P ( x ; λ) = e – λ. λ X X! P (X > 3 , 5) = P( X 4, λ) +….+p(X 15, λ) = P( 4, 5 ) + P (5, 5 ) + …… + P ( 15, 5 ) atau P (X > 3 , 5) = 1 – [P ( X ≤ 3 , 5 ) ] = 1 – [ P ( X 0, λ) +….+ p (X 3, λ) ] = 1 – [ P ( 0, 5 ) +….+p ( 3, 5 ) ] = 1 – [ 0.2650 ] = 73.5 %

ContohContohDi suatu simpang jalan rata-rata

terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas :◦Pada suatu bulan tertentu di simpang

jalan itu terjadi 7 kecelakaan◦Pada suatu bulan tertentu di simpang

jalan terjadi minimal 4 kecelakaan◦Pada suatu minggu tertentu di simpang

jalan itu terjadi 4 kecelakaan

Hubungan Distribusi Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi Poisson dengan Distribusi BinomialBinomialDistribusi Poisson sebagai suatu

bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar ( n >20) , sedangkan p sangat kecil mendekati 0 (p < 0.01), dan np konstan.

Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan = np

ContohContohDari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?Kejadian Sukses : selalu terlambat masuk kuliah

p = = 0.002 n = 5 000 x > 3

jika diselesaikan dengan peluang Binomial b(x > 3; 5 000, 0.002)tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus sangat tidak praktis. p = 0.002 n = 5 000 x>3 = n p = 0.002 5 000 = 10diselesaikan dengan peluang Poisson poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x 3)

= 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)

= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972

21000

ContohContohDalam suatu proses produksi yang

menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang menyebabkan barang tersebut sukar dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Hitung probablitas dalam sampel random sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung.

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIALBINOMIAL Apabila n sangat besar (di luar tabel

binomial) dan p sangat kecil (seperti np 5), maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi Poisson.

Akan tetapi apabila n di luar nilai tabel dan p bernilai sangat kecil atau sangat besar, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal.

Sebagai petunjuk dalam melakukan pendekatan normal dari binomial adalah :

n 30 np dan n(1 – p) 5

Contoh :Anggota suatu dewan juri berisikan 55% wanita. Berapa peluang terpilihnya 50 anggota juri yang dipilih secara acak akan berisikan anggota wanita sebanyak 30 orang atau lebih.Pemilihan ini jelas merupakan proses binomial dengan n = 50, p = 0,55 dan x 30. Tabel binomial tidak mempunyai nilai untuk n = 50. Pendekatan Poisson juga tidak dapat dilakukan karena np = 27,5.Demikian pula tehnik menggunakan 1 – p untuk p tidak dapat dilakukan juga karena n(1 – p) = 23,5. Akan tetapi kriteria untuk pendekatan normal sudah dipenuhi dimana parameter binomial untuk mendekati distribusi normal adalah :

JawabJawab Sebelum menghitung peluang distribusi normal, terlebih

dahulu perlu dihitung suatu koreksi yang memperkenankan kita melakukan pendekatan dari distribusi diskrit ke distribusi kontinu.

Dalam distribusi kontinu, nilai 29 didefinisikan mengambil nilai antara “28,5 sampai 29,5”, nilai 30 di antara nilai 29,5 sampai 30,5 dan seterusnya. Dengan demikian, nilai-nilai diskrit yang sama atau lebih besar dari 30 dapat diperlihatkan dalam Gambar berikut

  

 

30,5

29,5

z = 0,57

0,2157

0,2843

JawabJawabAkhirnya persoalan di atas dapat diselesaikan sebagaimana persoalan distribusi normal biasa yaitu :

Luas area dari 0 sampai 0,57 adalah 0,2157. Jadi :

Artinya peluang (pendekatan) terpilihnya anggota juri wanita lebih dari 30 orang adalah 0,2843.(Jika dihitung dengan distribusi binomial diperoleh 0,2862).

57,052,3

5,275,29

z

2843,02157,05,0)5,29( XP

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP PENDEKATAN NORMAL TERHADAP POISSONPOISSON

Apabila rata-rata distribusi Poisson lebih dari 10, maka mustahil untuk menggunakan tabel peluang Poisson (meskipun sebenarnya dapat dilakukan dengan komputer). Olehkarenanya pendekatan normal kepada binomial dapat diperluas kepada distribusi Poisson (dalam hal ini n > 10).

ContoContohh Rata-rata jumlah kendaraan yang mengunjungi bengkel

pada jam 16.00 – 17.00 di akhir pekan adalah 16. Berapa peluang bahwa kurang dari 20 kendaraan akan mengunjungi bengkel pada jam yang sama di hari Selasa mendatang.

Rata-rata distribusi Poisson l lebih dari 10, sehingga pendekatan normal dapat dilakukan. Parameter Poisson yang ekivalen dengan distribusi normal adalah :

Koreksi dari distribusi diskrit ke kontinu perlu dilakukan seperti yang dicontohkan sebelumnya. Jadi dalam hal ini peluang “kurang dari 20” dapat kita didefinsikan sebagai “kurang atau sama dengan 19,5”. Luas area di bawah kurva normal lihat Gambar 7.4)

16P 4 P

20,5

19,5

z = 0,88

0,5000

0,3106

jawabjawabLuas area di bawah kurva normal dapat dihitung dengan

Dengan menggunakan tabel diperoleh luas areanya adalah 0,3106. Karena nilai z positif, maka luas area yang dicari adalah mulai dari z = 0,88 ke arah kiri atau : 

Jadi peluang (pendekatan) kendaraan yang mengunjungi bengkel di hari Selasa kurang dari 20 buah adalah 0,8106 (perhitungan secara eksak dengan menggunakan distribusi Poisson adalah 0,8122).

88,04

165,19

z

8106,03106,05,0)5,19( XP

Distribusi NormalDistribusi Normal(Distribusi Probabilitas Kontinu)

Distribusi Normal (Distribusi Distribusi Normal (Distribusi Gaus)Gaus)

Distribusi Normal (Distribusi Gauss) merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik.

Terminology “normal” karena memang distribusi ini adalah yang paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil diberbagai bidang : - antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan dll), - kesalahan-kesalahan pengukuran dalam eksperimen ilmiah pengukuran-pengukuran intelejensia dan perilaku, - nilai skor berbagai pengujian dan berbagai ukuran dan indikator ekonomi.

Alasan mengapa distribusi Alasan mengapa distribusi normal menjadi penting:normal menjadi penting: Distribusi normal terjadi secara alamiah. Seperti

diuraikan sebelumnya banyak peristiwa di dunia nyata yang terdistribusi secara normal.

Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal.

Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya berupa distribusi normal

Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya Namun distribusi rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Kumulatif Fungsi Distribusi Kumulatif NormalNormal

Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter x dan x dengan - < x < dan x >0 jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari X adalah :

xexf x

xx

xxx

2

2

2

21,;

• Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal x tertentu. Fungsi distribusi kumulatif (cdf – cumulative distribution function) dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai :

F(x; x, x) = P(X x) =

• F(x), hanya bisa ditentukan dari integrasi secara numerik, karena persamaan tersebut tidak bisa diintegrasi secara analitik.

dtedttf

x x t

xxx

x

x

2

2

2

21,;

Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak yang mengikut sebuah distribusi normal, maka

68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 1 x dari x ,

95,46% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 2 x dari x ,

99,73% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 3 x dari x

Gambar hubungan antara Gambar hubungan antara luasan dan N(luasan dan N(,,22))

Statistik Deskriptif Statistik Deskriptif NormalNormal

Untuk suatu distribusi normal dengan nilai-nilai parameter mean x dan deviasi standard x akan diperoleh suatu distribusi yang simetris terhadap nilai mean x,

sehingga kemencengan (skewness) = 0 dan dapat ditunjukkan bahwa keruncingan (kurtosis) kurva distribusi adalah 3.

Sifat-Sifat Distribusi Sifat-Sifat Distribusi Normal:Normal:Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ

dan σ.

1 2 μ1 = μ2 σ1 > σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 = σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 < σ2

Distribusi Normal Distribusi Normal StandardStandard

Untuk menghitung probabilitas P(a X b) dari suatu variable acak kontinu X yang berdistribusi normal dengan parameter dan maka fungsi kepadatan probabilitasnya harus diintegralkan mulai dari x=a sampai x =b.

Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut.

Untuk itu diperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean = 0 dan deviasi standart = 1.

Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. Fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z :

Fungsi distribusi kumulatif :

zezfz

N2

2

211,0;

z t

N dtezzZPzf 2

2

211,0;

Menstandardkan distribusi Menstandardkan distribusi NormalNormal

Distribusi normal variable acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter dan berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variable acak X diubah menjadi variable acak standard Z menurut hubungan :

xZ

Jika X distribusi normal dengan mean dan deviasi standard maka

x

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

abZP

bZPbXP

abbZ

aPbxaP

axZPaXP

11

Z > 0 jika x > Z < 0 jika x < Simetri : P(0 ≤ Z ≤ b) = P(-b ≤ Z ≤ 0)

Contoh :1. Diketahui data berdistribusi normal dengan

mean = 55 dan deviasi standar = 15a) P(55≤x≤75) =

=

= P(0≤Z≤1,33) = 0,4082 (Tabel Z)

Atau

Tabel Z A = 0,4082

b) P(60≤x≤80) == P(0,33≤Z≤1,67)= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232

Z1 = = 0,33 B = 0,1293

Z2 = = 1,67 A = 0,4525C = A – B = 0,3232

c) P(40≤x≤60)= A + B

= = P(-1,00≤Z≤0,33) = P(-1,00≤Z≤0) +

P(0≤Z≤0,33) = 0,3412 + 0,1293 = 0,4705 Atau : Z1 = = = -1,00 A = 0,3412 Z2 = = 0,33 B = 0,1293

d) P(x ≤ 40) = 0,5 – A = 0,5 – 0,3412 = 0,1588

e. P(x ≥ 85)

f. P(x ≤ 85) = 0,5 + A= 0,5 + 0,4772= 0,9772

2) Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?Jawab:

Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas atas nilai E ?