Deret Fourier

1. Fungsi PeriodikSebuah fungsi f (x) dikatakan periodik dengan periode T>0, jika berlaku :

f ( x ±T )=f (x ), untuk semua x.

Contoh fungsi periodik yang paling sederhana adalah fungsi sin x dan cos x, karena : sin ( x±2π )=sin x dan cos (x ±2π )=cos x yang menunjukkan bahwa keduanya memiliki

periode T=2π .

2. Deret FourierAndaikan f (x) adalah sebuah fungsi periodic dengan periode T yang

dudefinisikan dalam selang dasar a≤ x≤a+T yakni f ( x )=(x±T ), maka fungsi f (x) dapat diuraikan dalam deret fourier sebagai berikut:

f ( x )=a0

2+∑n=1

∞

(ancosn πxL

+bnsinn πxL )

Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai koefisien-koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f (x) melalui hubungan integral:

a0=1L∫a

a+T

f ( x )dx

an=1L∫a

a+T

f ( x ) cosnπxLdx

bn=1L∫a

a+T

f ( x ) sinn πxLdx

Dengan T = Periode dan L = 12

periode.

Contoh :

1) Diketahui fungsi f (x) sebagai berikut:

f ( x )={1 ,−π<x<00 ,0<x<π ,

Periodik dengan periode 2π sehingga f ( x ±2 π )=f (x ). Uraikan fungsi ini dalam urai deret fourier.Penyelesaian :Menurut definisi fungsi periodik, periode fungsi f (x) diatas adalah T=2π , dengan

demikian L=12T=π , selang dasarnya – π<x<π , jadi a=−π. Di luar selang ini, f (x)

didefinisikan sebagai perluasan selang dasar kea rah kiri dan kanan sumbu x, seperti terlihat pada Gambar 1.

Koefisien-koefisien Fourier dapat dicari sebagai berikut:

a0=1L∫a

a+T

f ( x )dx= 1π∫−π

π

f (x)dx= 1π {∫

−π

0

(1 )dx+∫0

π

(0 )dx }a0=

1π∫−π

0

dx= 1π

( x )|−π0

=ππ=1

an=1L∫a

a+T

f ( x ) cosnπxLdx=1

π∫−π

π

f ( x ) cosnπxLdx

an=1π {∫

−π

0

(1 )cos nx dx+∫0

π

( 0 )cos nx dx}=∫−π

0

cosnx dx

an=1π ( 1n

sinnx )|−π

0

= 1nπ

(sin 0+sinnπ )=0

bn=1L∫a

a+T

f ( x ) sinn πxLdx= 1

π∫−π

π

f ( x )sinnπxLdx

bn=1π {∫

−π

0

(1 )sinnx dx+∫0

π

(0 ) sinnx dx }=1π∫−π

0

sinnx dx

bn=1π (−1

ncosnx )|

−π

0

=−1nπ

(cos0−cos (nπ ) )=−1nπ

¿

bn={−2nπ,nganjil

0 , n genap

Dengan demikian, uraian Fourier untuk fungsi f (x) pada contoh ini adalah :

f ( x )=a0

2+∑n=1

∞

(ancosn πxL

+bnsinn πxL ), an=0

f ( x )=12+∑n=1ganjil

∞ −2nπ

sinnπxπ

f ( x )=12+ 2π (−sin x−1

3sin 3 x−1

5sin 5 x−…)

f ( x )=12− 2π (sin x+ 1

3sin 3 x+1

5sin 5x+…)

2) Diketahui fungsi f (x) sebagai berikut :

f ( x )={1 ,0<x<10 ,1<x<2

Periodik dengan periode 2 sehingga f ( x ±2 )=f (x). Uraikan fungsi ini dalam uraian deret Fourier.Penyesaian:

Periode T=2, sehingga L=12T=1. Selang dasarnya 0≤ x≤2, jadi a=0. Perluasan

f (x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x dapat dilihat dalam Gambar 2.

a0=1L∫a

a+T

f ( x )dx=11∫

0

2

f ( x )dx=1 {∫0

1

(1 )dx+∫1

2

(0)dx }a0=∫

0

1

dx=(x)|01=1

an=1L∫a

a+T

f ( x ) cosnπxLdx=1

1∫0

2

f ( x )cosn πx

1dx

an={∫0

1

(1 )cos nπx dx+∫1

2

(0 ) cosn πxdx }=∫0

1

cos nπx dx

an=1nπ

(sinn πx )|0

1= 1nπ

(sinnπ−sin 0 )=0

bn=1L∫a

a+L

f ( x )sinnπxLdx=1

1∫

0

2

f ( x )sinnπx

1dx

bn={∫0

1

(1 )sinn πxdx+∫1

2

(0 )sinn πx dx}=∫0

1

sinnπx dx

bn=−1nπ

(cosn πx )|0

1=−1nπ

(cosnπ−cos 0 )=−1nπ

( (−1 )n−1)

bn={ 2nπ,nganjil

0 , ngenap

Dengan demikian, uraian Fourier untuk f (x) pada contoh ini adalah:

f ( x )=a0

2+ ∑n=1ganjil

∞2nπ

sinnπx

f ( x )=12+( 2π

sin πx+ 23 π

sin 3 πx+ 25π

sin 5πx+…)f ( x )=1

2+ 2π (sin πx+ 1

3sin 3πx+ 1

5sin 5πx+…)

3)3. Syarat Dirichlet

Persyaratan sebuah fungsi f ( x ) agar dapat dinyatakan dalam deret Fourier ditentukan oleh syarat dirichlet berikut:a) f (x) periodik dengan periode Tb) Bernilai tunggal serta kontinu bagian dalam selang dasarnya; a≤ x≤a+T , dan

c) ∫a

a+T

|f (x )|dx nilainya berhingga.

Maka deret Fourier diruas kanan konvergen ke nilai:(1) f (x) di semua titik kekontinuan f (x) dan

(2)12¿ di setiap titik ketakkontinuan x0 (pada daerah lompatan)

Contoh:

Pada contoh 2 diatas (perhatikan Gambar 2!); Tentukan konvergen ke nilai berapa deret

fourier tersebut di titik-titik kekontinuan x=12,32,34,−52, dan di titik-titik

ketakkontinuan x=0 ,1 ,2,3.

Penyelesaian:

Menurut syarat dirichlet, maka

Di titik-titik kekontinuan :x=1/2 konvergen ke 1 x=3 /4 konvergen ke 1x=3 /2 konvergen ke 0 x=−5 /2 konvergen ke 0

Di titik-titik ketakkontinuan :

x=0 konvergen ke 12

(0+1 )=12

x=1 konvergen ke 12

(1+0 )=12

x=2 konvergen ke 12

(0+1 )=12

x=−3 konvergen ke 12

(1+0 )=12

4. Fungsi Ganjil dan Fungsi GenapSebuah fungsi f (x) adalah :

a) Fungsi genap, jika berlaku f (−x )=f (x )b) Fungsi ganjil, jika berlaku f (−x )=−f (x )

Untuk semua x dalam daerah definisi f (x).Sebagai contoh, fungsi x2 dan cos x adalah fungsi genap, karena (−x )2=x2 dan

cos (−x )=cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah fungsi ganjil, karena (−x )=−(x) dan sin(−x)=−sin x . Pada umumnya fungsi pangkat genap dari x seperti (x2 , x4 , x6 ,…) merupakan fungsi genap dan fungsi pangkat ganjil dari x seperti (x , x3 , x5 ,…) merupakan

fungsi ganjil.Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn dari fungsi periodik genap dan ganjil ini dipergunakan perumusan berikut:

Jika, f ( x )genap { a0=2L∫0

L

f (x )dx

an=2L∫

0

L

f ( x ) cosnπxLdx

b0=0

Dalam hal ini dikatakan f (x) teruraikan dalam deret cosinus (bn=0).

Jika, f ( x )ganjil { a0=0an=0

bn=2L∫0

L

f ( x ) sinn πxLdx

Dalam hal ini, f (x) dikatakan terurai dalam deret sinus (a¿¿0=0)¿.

Seperti biasa L=12T=1

2periode.

Contoh:

1) Diketahui fungsi :

f ( x )=x2 ,−12< x< 1

2

Periodik dengan periode 1, sehingga f ( x ±1 )=f (x). Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier.Penyelesaian:

Fungsi f ( x )=x2 adalah suatu fungsi genap T=1, sehingga L=12T=1

2, akan

teruraikan dalam deret cosinus. bn=0, a0, dan an dapat ditentukan sebagai berikut:

a0=2L∫

0

L

f ( x )dx= 2

( 12 )

∫0

1 /2

x2dx=4 ( 13x3)|

0

1 /2

= 43 ( 1

8 )=16

an=2L∫

0

L

f ( x )cosn πxLdx= 2

( 12 )

∫0

1/2

x2 cosn πxLdx

an=4∫0

1/2

x2 cos2nπx dx

an={x2 12nπ

cos2nπx+2x1

(2nπ )2cos2nπx−

2

(2nπ )2sin 2nπx }|0

1 /2

an=4 { 1

(2nπ )2cos nπ }

an=1

π2 {(−1 )n

n2 }Dengan demikian uraian deret Fourier untuk f ( x )=x2 dengan selang dasar

−12

<x< 12

adalah :

f ( x )=a0

2+∑n=1

∞

an cosnπx1/2

, bn=0

f ( x )= 112

+ 1π2 ∑

n=1

∞ (−1 )n

n2 cos 2nπx

f ( x )= 112

+ 1

π2 {−cos2πx

12−cos

4 πx

22−cos

6 πx

32−…}

f ( x )= 112

− 1

π 2 {cos2 πx

12+cos

4 πx

22+cos

6πx

32+…}

2) Diketahui fungsi :

f ( x )=x ;−π2

<x< π2

Periodik dengan periode π, sehingga f ( x ±π )=f ( x). Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier.Penyelesaian :

Fungsi f ( x )=x adalah fungsi ganjil dengan T=π, sehingga L=π2

, akan teruraikan

dalam deret sinus. a0=0, an=0, bn dapat dicari sebagai berikut:

bn=2L∫

0

L

f ( x )sinnπxLdx= 2

π /2 ∫0

π /2

x sinnπxπ /2

dx

bn=4π ∫0π /2

x sin 2nx dx=4π {– x 1

2ncos2nx+

1

(2n )2sin2nx }|0

π /2

bn=1π (−π4 π

cos nx)=−(−1 )n

n

Dengan demikian uraian deret Fourier untuk f ( x )=x dengan selang dasar −π

2<x< π

2

adalah :

f ( x )=∑n=1

∞

bn sinnπxL

f ( x )=∑n=1

∞ −(−1 )n

nsinnπxπ /2

=∑n=1

∞ −(−1 )n

nsin 2nx

f ( x )={sin 2x1

− sin 4 x2

+sin 6 x3

−…}