BAHAN AJAR

DERET BILANGAN

Dosen Pembimbing. Bintang Wicaksono M.Pd.

Oleh :

Junainah (13144100156)

Siti Zumanah (13144100138)

DERET BILANGAN Ayo belajar

matematika

a

6. Memahami barisan dan deret

bilangan serta penggunaannya

dalam pemecahan masalah

SK TOKOH PENEMU RUMUS

BARISAN dan DERET

Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175 – 1250),

dikenal juga sebagai Fibonacci, adalah seorang

matematikawan Italia yang dikenal sebagai penemu

bilangan Fibonacci dan perannya dalam mengenalkan

sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia

Eropa (algorisma). Leonardo adalah orang yang

memperkenalkan deret.

Bapak dari Leonardo, Guilielmo (William) mempunyai

nama alias Bonacci (‘bersifat baik’ atau ‘sederhana’).

Leonardo, setelah meninggal, sering disebut sebagai

Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci).

William memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa

catatan menyebutkan ia adalah perwakilan dagang untuk

Pisa) di Bugia, Afrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair), dan

sebagai anak muda, Leonardo berkelana ke sana untuk

menolong ayahnya. Di sanalah Fibonacci belajar tentang

sistem bilangan Arab.

Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien

dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian

berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar

kepada matematikawan Arab yang terkenal mada masa itu,

dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an. Pada 1202,

di usia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam

buku Liber Abaci, atau Buku Perhitungan. Buku ini

menunjukkan kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara

menerapkannya ke dalam pembukuan dagang, konversi

berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran

uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik

oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak

yang penting kepada pemikiran Eropa, meski

penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya

percetakan sekitar tiga abad berikutnya. (Contohnya, peta

dunia Ptolemaus tahun 1482 dicetak oleh Lienhart Holle di

Ulm.)

Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang

juga gemar sains dan matematika. Tahun 1240 Republik

Pisa memberi penghormatan kepada Leonardo, dengan

memberikannya gaji.

6.3 Menentukan jumlah n suku

pertama deret aritmatika dan

deret geometri

KD

6.3.1 Menjelaskan pengertian

deret aritmatika dan deret

geometri naik atau turun

6.3.2 Menentukan rumus jumlah

n suku pertama deret

aritmatika dan deret

geometri.

Indikator

6.3.1 Siswa dapat menjelaskan

pengertian deret aritmatika

dan deret geometri naik atau

turun.

6.3.2 Siswa dapat menentukan

rumus jumlah n suku

pertama deret aritmatika dan

deret geometri.

Tujuan

PETA KONSEP

DERET BILANGAN

DERET ARITMATIKA DERET GEOMETRI

Cerita Singkat Bilangan yang Hilang

Bilangan genap 1 – 20 ketika itu sedang berkumpul, tiba- tiba ketua bilangan riil meminta untuk bilangan genap

berbaris. Para bilangan genappun segera berbaris. Saat itun sang ketua bilangan riil menghitung jumlah bilangan

genap yang berbaris.

Bilangan genap merasa ada kawannya yang hilang mereka bingung dan takut dimarahi oleh bilangan riil. Kemudian

bilangan riil mulai menghitung. Ternyata setelah dihitung hanya ada 9 bilangan genap tanpa angka nol. Bilangan

riilpun marah, dan segera menyuruh bilangan genap lain untuk mencari bilangan yang hilang.

Mereka bingung bilangan berapa yang hilang sebenarnya. Tiba-tiba di tengah keributan perdebatan itu, bilangan 2

mengemukakan pendapat. Bagaimana kalau kita tentukan sebenarnya siapa yang tidak hadir.

Idenya langsung disambut hangat, 2 meminta teman-temannya berjejer dari bilangan terkecil sampai terbesar.

Ternyata urutan terakhir yang belum ada. Kemudian mereka menggunakan rumus baris dan deret. Untuk

menentukan bilangan yang hilang adalah dengan cara Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya

ditambah dua. Bilangan terakhir adalah 16 maka bilangan yang hilang itu adalah bilangan 16 + 2 = 18.

Kabar itupun segera dilaporkan pada bilangan riil. Ternyata bilangan ril itu baru sadar kalau dia adalah bilangan

yang hilang tersebut karna dia adalah bilangan 18 yang merupaka ketua himpunan bilangan riil.

Bilangan genap 1 – 20 ketika itu sedang berkumpul, tiba- tiba ketua bilangan riil meminta untuk bilangan genap

berbaris. Para bilangan genappun segera berbaris. Saat itun sang ketua bilangan riil menghitung jumlah bilangan

genap yang berbaris.

Bilangan genap merasa ada kawannya yang hilang mereka bingung dan takut dimarahi oleh bilangan riil. Kemudian

bilangan riil mulai menghitung. Ternyata setelah dihitung hanya ada 9 bilangan genap tanpa angka nol. Bilangan

riilpun marah, dan segera menyuruh bilangan genap lain untuk mencari bilangan yang hilang.

Mereka bingung bilangan berapa yang hilang sebenarnya. Tiba-tiba di tengah keributan perdebatan itu, bilangan 2

mengemukakan pendapat. Bagaimana kalau kita tentukan sebenarnya siapa yang tidak hadir.

Idenya langsung disambut hangat, 2 meminta teman-temannya berjejer dari bilangan terkecil sampai terbesar.

Ternyata urutan terakhir yang belum ada. Kemudian mereka menggunakan rumus baris dan deret. Untuk

menentukan bilangan yang hilang adalah dengan cara Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya

ditambah dua. Bilangan terakhir adalah 16 maka bilangan yang hilang itu adalah bilangan 16 + 2 = 18.

Kabar itupun segera dilaporkan pada bilangan riil. Ternyata bilangan ril itu baru sadar kalau dia adalah bilangan

yang hilang tersebut karna dia adalah bilangan 18 yang merupaka ketua himpunan bilangan riil.

By : Putri Kinanti A

Gambar 1.1 Sumber : http://www.dwipuspita.com

Setiap akhir minggu Nita selalu menyisihkan uang saku yang ia dapatkan

untuk ditabung. Ia bertekad untuk dapat menabung uang lebih banyak pada

minggu-minggu berikutnya. Pada akhir minggu pertama Nita menabung

Rp.1.000,00, pada akhir minggu kedua Nita menabung Rp.2.000,00, pada akhir

minggu ketiga Nita menabung Rp.3.000,00 begitu seterusnya Ia selalu menabung

Rp.1.000,00 lebih banyak dari minggu sebelumnya.

Jumlah uang yang ditabung serta jumlah total uang tabungan Nita setiap

akhir minggunya dapat terlihat seperti tabel di bawah ini.

Akhir Minggu ke- Uang yang Ditabung Total Tabungan

1 1.000 1.000

2 2.000 3.000

3 3.000 6. 000

4 4. 000 10. 000

5 5.000 15. 000

6 6.000 21. 000

7 7.000 18. 000

Mari Berdiskusi

Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan. Deret

dinotasikan dengan Sn. Dengan demikian, jika diketahui barisan bilangan U1, U2,

U3, ... , Un maka deret dari barisan tersebut adalah Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un.

Seperti halnya barisan, deret pun dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu deret

aritmetika dan deret geometri .

Perhatikan bahwa uang yang ditabung oleh Nita membentuk suatu

barisan. Banyaknya uang yang ditabung oleh Nita pada tiap akhir minggu

menyatakan suku dari barisan bilangan tersebut. Total uang tabungan Nita tiap

akhir minggu menyatakan jumlahan dari beberapa suku pertama dari barisan

bilangan tersebut, yang selanjutnya disebut dengan deret bilangan. Jumlah n

suku pertama dinotasikan dengan Sn. Dalam hal ini S2 = 3.000 menyatakan

jumlah 2 suku pertama dari barisan bilangan tersebut. S3 = 6.000 menyatakan

jumlah 3 suku pertama dari barisan bilangan tersebut. Sekarang coba

jumlahkan 4 suku pertama dari barisan tersebut.

Mari

Menyimpulkan

A. DERET ARITMATIKA

Gambar 2.1 Sumber : https://toelank.wordpress.com

Pertambahan hasil produksi mobil pada suatu pabrik tiap bulannya

selalu meningkat. Produksi mobil pada bulan pertama adalah 100 unit, bulan

kedua adalah 120, bulan ketiga adalah 140. Begitu seterusnya hasil produksi

pabrik tersebut menghasilkan 20 unit lebih banyak dari bulan sebelumnya.

Jumlah unit mobil yang dihasilkan tiap bulan serta jumlah total unit mobil

setiap bulannya dapat terlihat seperti tabel di bawah ini.

Bulan ke- Mobil yang Dihasilkan Total unit mobil

1 100 100

2 120 220

3 140 360

4 160 520

5 180 700

6 200 720

7 210 930

Perhatikan bahwa bayaknya unit mobil yang dihasilkan pabrik

membentuk suatu barisan. Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan Sn,

Mari Berdiskusi

maka S4 menyatakan jumlah 4 suku pertama dari suatu barisan. Sekarang coba

jumlahkan 4 suku pertama dari barisan tersebut.

Berikutnya coba jumlahkan 4 suku pertama dari barisan tersebut dengan cara

menuliskan bentuk penjumlahan tersebut dalam urutan terbalik.

Coba jumlahkan dan melalui langah-langkah berikut ini dengan cara

mengisi bagian yang kosong.

+

4 suku

Jumlah 4 suku pertama pada barisan di atas disimbolkan dengan

Bilangan 100 pada bagian menunjukkan suku ke-1 dari barisan

tersebut, sedangkan bilangan 160 menunjukkan suku ke-4 dari barisan

tersebut. Penjumlahan suku-suku pertama pada barisan di atas disebut dengan

deret barisan bilangan aritmatika atau biasa disingkat dengan deret aritmatika.

Oleh karena pembeda pada deret tersebut positif (b = 20) maka deret tersebut

termasuk deret naik.

Berapakah jumlah 10 suku pertama barisan diatas? Temukan cara

tercepat tanpa perlu menjumlahkan satu persatu semua sukunya. Perhatikan

langkah-langkah yang telah kamu lakukan dalam menghitung jumlah 4 suku

pertama barisan di atas dan coba kamu lengkapi langkah-langkah di bawah ini.

Mari

Menyimpulkan

n

𝑈 𝑎 𝑏

𝑈3 𝑎 𝑏

𝑈𝑛− 𝑎 𝑛 − 𝑏

Kamu telah mengetahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan aritmetika

adalah Un = a + (n – 1) b, dengan a adalah U1, b adalah pembeda, dan n

bilangan asli. Maka suku ke-2. Ke-3, dan ke-(n-1) dapat dituliskan dalam

bentuk seperti berikut:

Sekarang coba jumlahkan n suku pertama dari barisan tersebut.

𝑆𝑛 ⋯𝑎 𝑎 𝑏 ⋯ 𝑎 𝑛 − 𝑎 𝑛 − 𝑛 (i)

Suku ke-1 Suku ke-2 Suku ke-n-1 Suku ke-n

Dari hasil melengkapi langkah-langkah di atas kita peroleh informasi

sebagai berikut.

Jika n menunjukkan banyaknya suku dari suatu barisan aritmatika, a menunjukkan

suku pertama, suku ke-n dari barisan aritmatika, maka jumlah n suku pertama

dari barisan aritmatika yang disimbolkan dengan adalah

{ − }

𝑆𝑛 ⋯ { 𝑎 𝑛 − 𝑏}

𝑆𝑛 … { 𝑎 𝑛 − 𝑏}

…

Berikutnya coba jumlahkan n suku pertama dari barisan tersebut dengan cara

menuliskan bentuk penjumlahan tersebut dalam urutan terbalik.

𝑆𝑛 ⋯…… ⋯…… ⋯ ⋯…… ⋯…… (ii)

Suku ke-n Suku ke-n-1 Suku ke-2 Suku ke-1

Coba jumlahkan 𝑖 dan 𝑖𝑖 melalui langah-langkah berikut ini.

𝑆𝑛 ⋯……… ⋯……… ⋯ ⋯……… . . ⋯………… (i)

𝑆𝑛 ⋯……… ⋯……… ⋯ ⋯……… . . ⋯………… (ii)

+

𝑆𝑛 { 𝑎 𝑛 − 𝑏} { 𝑎 𝑛 − 𝑏} ⋯ { 𝑎 𝑛− 𝑏} { 𝑎 𝑛 − 𝑏}

n suku

Mari Menyimpulkan

Contoh Soal 1

1. Misalnya, diberikan deret aritmetika 3 + 7 + 11 + 15 + ....

a. Tentukanlah S16 dari deret tersebut.

b. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau deret turun?

Penyelesaian :

Sn = n/2{2a + (n – 1)b}

S16 = 16/2{2a + (16 – 1)b}

= 8{2a + 15b}

= 8{2(3) + 15(4)}

= 8(6 + 60)

= 8(66)

= 528

Oleh karena pembeda pada deret tersebut positif (b = 4) maka deret tersebut

termasuk deret naik.

1. Misalnya, diberikan deret aritmetika 48 + 45 + 42 + 39 + ....

a. Tentukanlah S18 dari deret tersebut.

b. Apakah deret tersebut merupakan deret naik atau deret turun?

Mari Berlatih

B. DERET GEOMETRI

Gambar 2.1 Sumber : https://www.rinso.co.id

Amin memiliki hobi mengumpulkan kelereng. Tiap akhir minggu ia

selalu membeli kelereng untuk dikoleksi. Pada akhir minggu pertama, ia

membeli 3 buah kelereng. Pada akhir minggu kedua, ia membeli 6 buah

kelereng. Pada akhir minggu ketiga, ia membeli 12 buah kelereng. Begitu

seterusnya Ia selalu membeli kelereng sebanyak 2 kali lipat dari akhir minggu

sebelumnya.

Jumlah kelereng yang dibeli Amin serta jumlah total kelereng setiap

akhir minggunya dapat terlihat pada tabel di bawah ini.

Akhir Minggu ke- Kelereng yang dibeli Total kelereng

1 3 3

2 6 9

3 12 21

4 24 45

5 48 93

Mari Berdiskusi

6 96 189

7 192 381

Perhatikan bahwa bayaknya kelereng yang dibeli Amin membentuk suatu

barisan geometri dengan r (rasio) = 2. Jika jumlah n suku pertama dinotasikan

dengan Sn, maka S5 menyatakan jumlah 5 suku pertama dari suatu barisan.

Sekarang coba jumlahkan 5 suku pertama dari barisan tersebut.

Berikutnya coba kalikan dengan r = 2 pada masing-masing ruas sehingga

diperoleh hasil sebagai berikut.

Coba kurangkan terhadap .

+

− −

− −

−

−

Jumlah 5 suku pertama pada barisan di atas disimbolkan dengan . Bilangan 3

pada bagian menunjukkan suku ke-1 dari barisan tersebut, sedangkan

bilangan 2 menunjukkan rasio dari barisan tersebut. Penjumlahan suku-suku

pertama pada barisan di atas disebut dengan deret barisan bilangan geometri atau

biasa disingkat dengan deret ageometri.

Berapakah jumlah 10 suku pertama barisan diatas? Temukan cara tercepat tanpa

perlu menjumlahkan satu persatu semua sukunya. Perhatikan langkah-langkah

yang telah kamu lakukan dalam menghitung jumlah 5 suku pertama barisan di

atas dan coba kamu lengkapi langkah-langkah di bawah ini.

Mari

Menyimpulkan

𝑈 𝑎𝑟

𝑈3 𝑎𝑟

𝑈𝑛 𝑎𝑟𝑛−

𝑆𝑛 𝑎 𝑎𝑟 𝑎𝑟 . . . 𝑎𝑟𝑛− 𝑖

Kamu telah mengetahui bahwa suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah

Un = arn-1

, dengan a adalah U1, r adalah rasio, dan n bilangan asli. Maka suku

ke-2. Ke-3, dan ke-(n-1) dapat dituliskan dalam bentuk seperti berikut:

Secara umum jumlah n suku pertama baisan geometri dapat ditulis sebagai

tersebut.

Suku ke-1 Suku ke-2 Suku ke-3 Suku ke-n

Dari hasil melengkapi langkah-langkah di atas kita peroleh informasi sebagai

berikut.

Jika n menunjukkan banyaknya suku dari suatu barisan geometri, a menunjukkan

suku pertama, r menunjukkan rasio dari barisan tersebut, maka jumlah n suku

pertama dari barisan geometri yang disimbolkan dengan Sn adalah .....

Mari

Menyimpulkan

𝑟𝑆𝑛 𝑎𝑟 ⋯… ⋯… . . . ⋯… 𝑖𝑖

𝑟𝑆𝑛 𝑎𝑟 ⋯… ⋯… . . . ⋯… 𝑖𝑖

𝑆𝑛 𝑎 ⋯… ⋯… . . . ⋯… 𝑖

Kemudian kalikan 𝑖 dengan r pada masing-masing ruas sehingga diperoleh

hasil sebagai berikut.

Suku ke-1 Suku ke-2 Suku ke-3 Suku ke-n

Coba kurangkan 𝑖𝑖 terhadap 𝑖 .

−

Sn– rSn = a – arn

Sn(1 – ...) = a (... – ...n)

Sn = 𝑎 ...– ...𝑛

– ...

Contoh Soal 2

Diketahui deret geometri 3 + 9 + 27 + ....

a. Tentukan S6 dari deret tersebut.

b. Apakah deret tersebut merupakan deret geometri naik atau geometri turun?

Penyelesaian :

Dari deret tersebut, kamu peroleh a = 3 dan

=

3

a. Oleh karena r = 3 > 1 maka,

−

−

−

−

−

−

.

b. Deret tersebut merupakan deret geometri naik karena r > 1

PENTING

Secara umum jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut.

𝑆𝑛 𝑎 𝑟𝑛−

𝑟− , r >1

𝑆𝑛 𝑎 −𝑟𝑛

−𝑟 , r <1

Dengan a adalah suku pertama (U1) dan r adalah pembanding.

1) Diketahui deret 2 – 4 + 8 – 16 + 32 – ....

a. Tentukan pembanding dari deret tersebut

b. Tentukan jumlah 8 suku pertama deret tersebut.

Mari Berlatih

RANGKUMAN

𝑆𝑛 𝑛 { 𝑎 𝑛 − 𝑏}

1. Deret dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan bilangan.

Deret dinotasikan dengan Sn. Dengan demikian, jika diketahui barisan

bilangan U1, U2, U3, ... , Un maka deret dari barisan tersebut adalah Sn = U1

+ U2 + U3 + ... + Un. Seperti halnya barisan, deret pun dapat dibagi menjadi

dua macam, yaitu deret aritmetika dan deret geometri .

2. Deret aritmatika dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu

barisan bilangan aritmatika.

3. Secara umum jumlah dari suatu deret aritmatika adalah sebagai berikut

4. Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah suku-suku dari suatu barisan

bilangan geometri.

5. Secara umum jumlah dari suatu deret geometri adalah sebagai berikut.

𝑆𝑛 𝑎 𝑟𝑛−

𝑟− , r >1

𝑆𝑛 𝑎 −𝑟𝑛

−𝑟 , r <1

Dengan a adalah suku pertama (U1) dan r adalah pembanding.

A. Pilihan Ganda

1. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34. Jumlah

18 suku pertama adalah...

a. 531

b. 666

c. 1.062

d. 1.332

2. Diketahui deret aritmatika 17, 20, 23, 26, ... Jumlah tiga puluh suku pertama

deret tersebut adalah...

a. 1.815

b. 2.520

c. 2.310

d. 2.550

3. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-3 = 14 dan suku ke-7 = 26. Jumlah

18 suku pertama adalah....

a. 531

b. 603

c. 1.062

d. 1.206

4. Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah

48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ….

a. 368

b. 369

c. 378

Deret Bilangan Uji Kompetensi

d. 379

5. Suku pertama dari deret geometri adalah a dan jumlah delapan suku pertama

sama dengan tujuh belas kali empat suku pertama. Rasio deret geometri itu

sama dengan ...

a. 5

b. 4

c. 3

d. 2

6. Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang membentuk suatu

barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling

panjang 192 cm, maka panjang tali semula adalah...

a. 379 cm

b. 381 cm

c. 383 cm

d. 385 cm

7. Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sehingga potongan-potongan tali itu

membentuk barisan geometri. Panjang tali terpendek 4 cm dan potongan tali

terpanjang 64 cm. Panjang tali semula adalah...

a. 74 cm

b. 114 cm

c. 124 cm

d. 128 cm

8. Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu

barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling

panjang 96 cm maka panjang tali semula adalaha.

a. 183 cm

b. 185 cm

c. 187 cm

d. 189 cm

9. Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang membentuk suatu

barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling

panjang 192 cm, maka panjang tali semula adalah...

a. 379 cm

b. 381 cm

c. 383 cm

d. 385 cm

10. Dalam ruang pertunjukkan, di baris paling depan tersedia 18 kursi. Baris di

belakangnya selalu tersedia 1 kursi lebih banyak daripada baris di depannya.

Jika dalam ruang itu terdapat 12 baris, banyak kursi seluruhnya adalah...

buah.

a. 252

b. 282

c. 284

d. 296

B. Essay

1. Misalnya, diberikan deret aritmetika (t + 23) + (t + 17) + (t + 11) + ....

a. Tentukan pembeda pada deret tersebut.

c. Hitunglah jumlah enam suku pertama deret tersebut.

2. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret 2 + 4 + 8 + 16 + ...

3. Jika jumlah empat suku pertama dan jumlah enam suku pertama suatu deret

aritmetika berturut-turut adalah 56 dan 108, tentukan jumlah kesepuluh suku

pertama deret tersebut.

4. Pak Hardi membeli beras 635 kg untuk persediaan di tokonya. Pada hari

pertama, terjual 5 kg beras. Pada hari kedua, terjual 10 kg beras. Pada hari

ketiga, terjual 20 kg beras, begitu seterusnya. Tentukan dalam berapa hari

beras Pak Hardi akan habis terjual.

5. Tempat duduk gedung pertunjukkan film diatur mulai dari baris depan ke

belakang dengan banyak baris dibelakang lebih 4 kursi di baris depannya.

Bila dalam gedung pertunjukkan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan

ada 20 kursi, tentukan kapasitas kursi gedung pertunjukkan tersebut.

KUNCI JAWABAN

Mari Berlatih 1

1. a. 351

b. turun

Mari Berlatih 2

1. a. -2

b. -170

Uji Kompetensi

A. 1. a

2. a

3. b

4. c

5. d

6. b

7. c

8. d

9. b

10. b

B. 1. a. -6

b. 6t + 48

2. 510

3. 260

4. 7 hari

5. 720

DAFTAR PUSTAKA

Marsigit. 2011. Matematika kelas 9 SMP. Jakarta : Pusat Kurikulum dan

Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional