Barisan dan Deret

Barisan adalah sebarisan bilangan yang tersusun scara teratur dan mempunyai pola tertentu.

Jenis barisan 1. Barisan hitung (barisan aritmatika)

Yaitu suau bilangan yang memiliki pola perubahan antara suku-suku Yng berurutan perupa perubanhan penambahan atau pengurangan , dengan besarnya penambahan atau pengurangan yang sama.

Jika suku dari besar ke kecil terjadi penambahan ( – ) pada b. jadi (–b)Contoh 17, 14, 11, 8, 5 maka b = 14 – 17 = 3

Jika suku dari kecil ke besar maka tetap bContoh 5, 8, 11, 14, 17 maka b = 8 – 5 = 3

Soal. 1 mencari Sn

Barisan 5 , 8 , 11 , 14 , 17. Maka b = 3Tentukan S7

Jawab Sn = a + (n – 1) bS7 = 5 + (7 – 1) 3S7 = 5 + 6 . 3S7 = 5 + 18S7 = 23

Sn = a + (n – 1) b

Keterangan : Sn suku ke n a suku pertama atau S1

n banyak suku b beda/selisih suku

S2 – S1

Soal 2 mencari nJika 6 , 16 , 26 , 36 , 46 b = 10Sn = 146Tentukan n

Jawab Sn = a + (n – 1) b146 = 6 + (n – 1) 10146 = 6 + 10n – 10 146 = 10n – 4 10n = 146 + 410n = 150

n = 15010n = 15

soal 3 mencari b ( beda ) jika a = 2 , n = 50 , dan S19 – S7 = 30tentukan b

jawab Sn = a + (n – 1) bS19 = 2 + (19 – 1) bS19 = 2 + 18bS7 = 2 + (7 – 1) bS7 = 2 + 6bMaka S19 – S7 = 2 + 18b – (2 + 6b)

= 2 + 18b – 2 – 6b30 = 12b

b = 3012b = 2,5

soal 4 mencari a dan b

S3 = 3 , S8 = 13Tentukan a dan b

jawab S3 = a + (n – 1) b S8 = a + (n – 1) b

= a + (3 – 1) b = a + (8 – 1) b= a + 2b = a + 7b

a + 2b = 3a + 7b = 13 _

–5b = –10 b = 2

jawab a + 2b = 3a + 2.2 = 3

a = 3 – 4a = - 1

2. deret aritmatika

jumlah dari suku- suku dalam suatu barisan aritmatika

Soal 1 mencari Dn dan n2 , 5 , 8 , 11 , 14 , 17 tentukan Dn

jawab Sn = a + (n – 1) bS7 = 2 + (7 – 1) 3S7 = 2 + 6 . 3S7 = 2 + 18S7 = 20

Dn = n2 (a + Sn )

D7 = 72 (2 + 20)

D7 = 3,5 . 22D7 = 77

Jika Dn = 260 dan Sn = 38 tentukan n

Barisan kecil ke besar

Dn = n2 ( a + Sn ) atau Dn = n2 {2a+(n−1)b}

Barisan besar ke kecil -b

Dn = n2 {2a−(n−1 )b }

jawab Dn = n2 (a + Sn )

260 = n2 (2 + 38)

260 = n2 . 40

n2 = 26040

n2 = 6,5

n = 6,5 . 2 n = 13

soal 2 mencari beda dan ajika suku diuruttkan dari kecil ke besar, D4 = 17 dan D8 = 50tentukan a dan b

jawab Dn = n2 {2a+(n−1)b }

D4 = 42 {2a+(4−1)b }

17 = 2 (2a + 3b) 17 = 4a + 6b

Dn = n2 {2a+(n−1)b }

D8 = 82 {2a+(8−1)b}

50 = 4 (2a + 7b) 50 =8a + 28b 4a + 6b = 17 →kali2 → 8a + 12b = 17

8a + 28b = 50 _ →kali1 → 8a + 28b = 50 _

-16b = -16 b = 1

jawab 4a + 6b = 174a + 6.1 = 17

4a = 17 – 6 4a = 11

a = 114a = 2,75

3. barisan geometri

susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu dimana susunan bilangan diantara dua suku yang berurutan menunyai rasio yang tetap ( meimiliki pola perubahan suku berupa kelipatan tetap ).

Soal 1 mencari rJika S4 = 24, dan S9 = 768

Keterangan : Sn suku ke n a suku pertama atau S1

n banyak suku

r rasio = sukuatassukubawah

Sn = a.r (n – 1)

Tentukan r

Jawab S4 = a . r (n – 1) S9 = a . r (n – 1)

= a . r (4 – 1) = a . r (9 – 1)

= a . r 3 = a . r 8

r =s9s4

= a . r8

a . r3

r5 = 76824 r = 5√32r = 2

soal 2 mencari n a = 6 , Sn = 768 dan r = 2tentukan n

JawabSn = a . r (n – 1)

768 = 6 .2 (n – 1)

7686 = 2 (n – 1)

128 = 2 (n – 1) log log 128 = (n – 1) log 2

n – 1 = log 128log 2

= 2,10720,3010

n – 1 = 7n = 7 + 1n = 8

catatan : untuk membagi log atas dan bawah di kalkulator agar hasilnya tak berkoma 128 log tanda bagi 2 log tanda sama dengan

soal 3 mencari rS1 = 4 , S6 = 12500Tentukan r

Jawab Sn = a . r (n – 1)

S6 = a. r5

12500 = 4r5

125004 = r5

3125 = r5

r = 5√3125r = 5

soal 4 mencari r, a, dan nS2 = 10 , S8 = 7290 , dan Sn = 21870 Tentukan r, a, dan n dari Sn

Jawab r = S8s2

r = a . r7

a . r

r6= 729010r6 = 729r = 6√729 r = 3

S2 = a.r10 = a.3

a = 103

a = 3 13

Sn = a . r (n – 1)

21870 = 103 . 3(n – 1)

21870103

= 3(n – 1)

6561 = 3 (n – 1) log

n – 1 = log 6561log 3

n – 1 = 8n = 8 + 1 n = 9

4. Deret Geometri

Soal 1 mencari Dn

Jika barisan geometri 5 , 10 , 20 , 40 , 80 Tentukan D4

Jawabr = S2s1

Jika r < 1 maka Dn = a(1−rn)

1−r

Jika r > 1 maka Dn = a(rn−1)r−1

r = 105r = 2

maka Dn = a(rn−1)r−1

D4 = 5(24−1)2−1

D4 = 5(16−1)1

D4 = 5 . 15 D4 = 75

Soal 2 mencari r. Sn, na = 2S4 . S6 = 26244Tentukan r, S4 , n jika Dn = 728JawabS4 = ar3 S6 = ar5

ar3 . ar5 = a2r8

26244 = 22 . r8

26244 = 4 . r8

r8 = 262444r8 = 6561r = 8√6561r = 3

S4 = ar3

S4 = 2 . 33

S4 = 2 . 27 = 54

S6 = ar5

S6 = 2 . 35

S6 = 2 . 243 = 486

S4 . S6 = 2624454 . 486 = 26244

Tentukan n jika Dn = 728

Jawab Dn = a(rn−1)r−1

728 = 2(3n−1)3−1

728 = 2(3n−1)2

728 = 3n – 1 728 + 1 = 3n

729 = 3n loglog 729 = log 3 . n

n = log 729log 3

n = 2,86270,4771 = 6

soal 3 mencari r, a, Sn dan n

S2 = 165 dan S11 : S6 = 132tentukan r, a, S11 , S6 dan n jika Dn = 12

Jawab 1 s11s6

= 132

a . r10

a . r5= 132

r5 = 132

r = 5√ 132

r = 12jawab 2 S2 = ar

165 = a . 12

a = 16512

a = 325jawab 3 S6 = ar5

S6 = 325 .¿

S6 = 325 .132

S6 = 32160

S6 = 15Jawab 4 S11 = ar10

S11 = 325 .¿

S11 = 325 .11024

S11 = 325120

S11 = 1160

Jawab 5 Dn = a(1−rn)

1−r

12 = 325

(1−12

n

)

1−12

12 = 325

(1−12

n

)

12

12 = 325. 21(1−1

2

n

)

12 = 645

(1−12

n

)

12645

= (1−12

n

)

6064 = 1−1

2

n

6064 – 1 = −1

2

n

−464 = −1

2

n

−116 = −1

2

n

116 = 1

2

n

log

n = log 116

log 12

n = 0,06250,5

n = 4soal 1perusahaan genteng menghasilkan 3000 buah genteng di bulan pertama produksi. Dengan menambah tenaga kerja perusahaan bias menambah produksi 500 buahsetiap bulan.

a. Berapa buah genteng yg dihasilkan pada bulan ke 5Sn = a + (n – 1)b

S5 = 3000 + (5 – 1) 500S5 = 3000 + 4 . 500S5 = 3000 + 2000S5 = 5000

b. Berpa buah genteng yang dihasilkan sampai bulan tersebutDn = n/2 (a + Sn)D5 = 5/2 (3000 + 5000)D5 = 2,5 . 8000D5 = 20.000

Soal 2 Besar penerimssn dan penjualan barang adalah Rp. 750 juta dibulan ke 5 dan RP.980 juta di bulan ke 7.

a. Berapa perkembangan penerimaan per tahun ? (b)S5 = a +(n – 1)b720 = a + (5 – 1)b720 = a + 4bDan S7 = a + (n – 1)b980 = a + (7 – 1)b980 = a + 6bMakaa + 6b = 980 a + 4b = 720 _

2b = 260b = 130

b. Berapa penerimaan di tahun pertama ? (a)S7 = a + 6b720 = a + 6 . 130

720 = a + 520720 – 520 = aa = 200

c. Pada tahun keberapa penerimaan Rp.460 ? (n)Sn = a + (n – 1)b460 =200 + (n – 1) 130460 = 200 + 130n – 130460 – 200 + 130 = 130n390 = 130nn = 390/130 = 3

model bunga majemuk gunanya menghitung besarnya pengembalian kredit dimasa mendatang berdasarkan tingkat bunga, atau sebaliknya mengukur nilai sekarang dari investasi yang ddioterima dimasa mendtang. KeteranganFn = future value / jumlah di masa datang dari jumlah sekarangP = jumlah sekarang ( present value)i = tinngkat bunga per tahunn = jumlah tahun

jika tingkat bunga dibayar lebih dari satu kali dalam stahuun (misalnya m kali), maka jumlah dimasa dating menjadi keterangan m = frekuensi pembayaran tinngkat bunga dalam setahun(1 + i)n dan (1 + i/m)n.m adalah compounding interest factor.

Jika Fn diketahui makaKeterangan

Fn = P + (1 + i )n

Fn = P + (1 + i/m )n .m

P = 1¿¿ . F P = 1¿¿ .F

1¿¿

dan 1¿¿

disebut discount factor

soal 1seorang nassabah meinjam uang di bank Rp. 5.000.000 untuk 3 tahun dengan tingkat bunga 2% pertahun

a. Berapa jumlah sluruh uang yang harus dikembalika pada saat perlunasan?

Fn = P (1 + i)n

F3 = 5.000.000 (1 + 0,02)3

F3 = 5.000.000 (1,02)3

F3 = 5.000.000 (1,061208)F3 = 5.306.040

b. Jika tingkat bunga dibayar stiap semester,berapa jumlah uang yang harus dibayar saat perlunasan

Fn = P ( 1 + i)n.m

F3 = 5.000.000 (1 + 0,02)3.2

F3 = 5.000.000 (1,01)6

F3 = 5.000.000 (1,06152)F3 = 5.307.600

Soal 2Tabungan tuan a menjadi 532.400 tiga tahun mendatang. Jika tingkat bunga bank beralku 10% pertahun .Berapa tabungan tuan a pada sekarang ?

P = 1¿¿

. F

P = 1¿¿

. 532.400

P = 11,103

. 532.400

P = 0,7513 (532.400)

P = 400.000

Soal 3 jika diketahui F dan P serta jangka waktu (n) maka mencari tingkat bunga

si a meminjam uang ke bank sebesar 4.000.000bank menetapkan pembayaran uang slama 5 tahun sebesar 6.000.000berapa besar tingkat bunga pada bank ?

i = n√ FP – 1

i = 5√ 6.000.0004.000 .000 – 1

i = 5√1,5 – 1

i = 1,0845 – 1

i = 0.0845 – 100 %

i = 8,45%

soal 4 seseorang harus membayar 4.000.000 atas pinjaman 250.000 Beberapa tahun yang lalu.

Jumlah itu konsekuensi dari bunga 100%. Berapa tahun jang waktu pinjaman tersebut ?

dik : i = 100% = 1

Fn = P (1 + i)n

4 juta = 250 ribu (1 + 1)n

4.000 .000250.000 = 2n

16 = 2 n log

n = log 16log 2

n = 0,20410,3010

i = n√ FP – 1

n = 4 maka jangka waktu 4 tahun