DERET hitung

DERET

Faisal ShalehDyahayu Rahma DiniSilke Arinda Maulina

Arma Desta WiratamaOctavia Setianingrum

Tyas Dwi AriniFitra Isni Rosita

Reza Anandiraka

MEMPERSEMBAHKAN

Yang akan kita bahas..

Deret Sederhana

Konvergensi Deret Taktentu

Pengujian Konvergensi

Deret PangkatDeret

MaclaurinDeret Taylor

Aplikasi Deret dalam Kimia

Deret Arimatika

Deret Geometri

Deret SederhanaDeret adalah rangkaian bilangan yang tersusun

secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu.

Suku/elemen adalah bilangan yang merupakan unsur pembentuk deret

Deret menurut jumlah sukunya :

1. Deret berhingga = Deret yang suku-sukunya tertentu.

2. Deret tak berhingga = Deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas .

Deret Sederhana:

1. Deret Aritmatika

2. Deret Geometri

Deret Sederhana

Deret AritmatikaDeret/barisan bilangan aritmatika adalah

sekumpulan bilangan yang disusun sedemikian rupa sehingga jarak/selisih antara setiap suku dengan suku berikutnya selalu tetap (konstan).

Bentuk umum : Un = a +(n-1) b

a, a+b, a+2b, a+3b,....., a+(n-1)b

dimana: a = suku awal

b = bilangan selisih (konstan)

Deret Sederhana

1. Jumlah deret aritmatika hingga suku ke-n (Sn)

Metode Gaussian

Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un

Dengan menggunakan rumus yang ditemukan Carl Friedrich

Gauss

Sn = n/2 (2a + (n-1)b)

= n/2 (a + Un)

= n/2 (U1 + Un)

Maka selisih dua jumlah deret yang berurutan adalah suku terakhir pada deret yang terakhir,

Sn – Sn-1 = Un

2. Sifat deret aritmatik

U1 + U3 = 2 U2

Deret Sederhana

Deret GeometriBarisan bilangan yang memiliki sifat perbandingan dua suku berurutan adalah sama besar (tetap). Nilai perbandingan yang tetap dilambangkan dengan r.

Bentuk umum :Un = arn-1

sehingga: a + ar1 + ar2 + ar3 +...+ arn-1

Dimana: a=suku awalr= rasio/perbandingan

Rasio (r) =Un /Un-1

Barisan geometri dapat dipandang sebagai barisan eksponensial

Deret Sederhana

Jumlah deret geometri hingga suku ke-n

Sn = a(1-rn) / (1-r) , untuk r<1

Sn = a(rn-1) / (r-1) , untuk r>1

Deret Geometri tak berhingga

Adalah penjumlahan dari : U1 + U2 + U3+ ......

Dengan rumus jumlah deret geometri :

S∞ = a/(1-r)

Deret Sederhana

Konvergensi Deret Tak TentuDeret tak hingga merupakan jumlahan tak

terhingga dari suku-suku yaitu a1+a2+…

+an

Notasi deret tak hingga adalah

Penjumlahan parsial meliputi penjumlahan suku-

suku tertentu

Jumlah S suatu deret tak terhingga diberikan limit :

Jika limitnya eksis dan tertentu, maka deretnya merupakan konvergen

Jika limitnya tak terbatas maka deretnya divergen

1nna

1n na

nn

Slim

n321na...aaaS

Sebagai contoh

Jika r < 1, maka rn akan mendekati nol ketika n tak terhingga

Limitnya eksis dan tertentu, maka deret ini konvergen

Jika r > 1, maka rn akan menjadi tak terhingga bila n tak terhingga sehingga limitnya tak tertentu, maka deret tersebut divergen

Contoh lainnya terdapat pada termodinamika statistik.

Konvergensi Deret Tak Tentu r

raS

n

n

1

)1(

r

a

r

raS

n

nn

n

1

)1

)1((limlim


Deret Suku Positif

Sebuah disebut deret suku positif,

bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini

adalah deret-deret suku positif yang sering

digunakan :

1.Deret geometri

2.Deret harmonis

1nna

Deret Geometri

Bentuk umum :

Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai

berikut :

Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa

sehingga . untuk r 1.

Kekonvergenan dari deret geometri bergantung

pada nilai r.

....... 1321

1

nk

k

rarararaara

132 ... nn rarararaaS

nnn rararararaSr 132 ...

nnn raaSrS

r

raS

n

n

1

1


Deret Harmonis

Bentuk umum :

Untuk menentukan kekonvergenan, dapat

diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu

1

1

n n

nSn

1....

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

.....16

1....

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11


Uji Awal (preliminary test) menyatakan, jika deret divergen.1. Uji Banding2. Uji Integral3. Uji Nisbah4. Uji Banding Khusus


1. Uji BandingJika suku demi suku dari deret , dengan adalah deret konvergen, maka deret juga konvergen. Jika suku demi suku deret , dengan membentuk deret divergen, maka deret juga divergen.

2. Uji Integral


3. Uji Nisbah

Jika deret konvergen Jika deret divergen Jika uji nisbah tidak memberi

kesimpulan

Ditinjau deret positif Jika deret positif konvergen dan

deret konvergen. Jika deret positif divergen dan

deret divergen.

4. Uji Banding KhususPengujian Konvergensi

Deret Bolak-BalikDeret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya

berganti tanda. Sebagai contoh,

Deret bolak-balik ,dengan positif, konvergen jika memenuhi dua syarat berikut:• Setiap suku-suku deret ini secara numerik

kurang dari suku-suku sebelumnya, • Jika


Deret Pangkat

Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga

Bentuk Umum : f(x) = ai xi

Ada 2 macam deret pangkat:1. Deret pangkat dalam x

= a0 + a1 x2 + ... + an xn + ...

2. Deret pangkat dalam x – c

= a0 + a1 (x – x0) + a2 (x – x0)2 +...an(x –x0)n

( pers. A )

ii

ixa

0

io

ii xxa )(

0

Dari persamaan A,

Diasumsikan x, x0, dan koefisien ai merupakan bilangan real. Jumlah parsial untuk n suku pertama bentuk di atas adalah sn yang dapat dituliskan sebagai

sn (x) = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0 )2

+ ... + an(x − x0)n

Dan sisa deret pangkat (pers. A) didefinisikan sebagai Rn

Rn(x) = an+1 (x – x0 )n+1 + an+2 (x – x0 )n+2 + ...

Deret Pangkat

Untuk persamaan (A) di atas dapat diperoleh

s0 = a0

R0 = a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + ...

s1 = a0 + a1(x – x0)

R1 = a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + a4(x – x0)4 + ...

s2 = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2

R2 = a3(x – x0)3 + a4(x – x0)4 + a5(x – x0)5 + ...

Deret Pangkat

Radius Konvergensi

Untuk menentukan nilai x, yang menghasilkan deret konvergen, dapat menggunakan tes rasio. Tes rasio menyatakan bahwa jika rasio absolut dari suku ke-m+1 terhadap suku ke-n mendekati suatu nilai ξ karena n → ∞, maka deret dikatakan konvergen jika ξ <1 dan divergen jika ξ > 1.

ξ = 1 −x-x0

Deret Pangkat

01lim xx

a

a

m

m

m

Konvergensi pada Deret PangkatJika x = x1 , maka deret pangkat (pers. A)

konvergen jika lim sn (x1) = s(x1)

merupakan suatu bilangan real.Sebaliknya, deret pangkat itu akan

divergen jika lim sn (x1) = s(x1)

bukan sebagai suatu bilangan real.

Deret Pangkat

Untuk deret pangkat yang diberikan pada pers. A hanya terdapat tiga kemungkinan :

1. Deret tersebut konvergen hanya ketika

x = x0 jika diperoleh harga R = 0

2. Deret tersebut konvergen pada x-x0 < R , jika diperoleh harga R = 1

3. Deret tersebut konvergen untuk semua x, jika diperoleh harga R = ∞

Deret Pangkat

Deret Maclaurin

Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga

Catatan: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi.

!)0(

!2)0(

)0()0()(

)(2

n

xf

xf

xffxfn

n

Perbandingan Maclaurin dengan Taylor Series

TAYLOR SERIES: Dari awal kita selalu memulai perkiraan

pada nilai

Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun.

MACLAURIN SERIES: merupakan Deret Taylor yang berpusat

pada x0=0

Deret Maclaurin

0x

0xx

Ide awal dari deret MacLaurin adalah sebuah fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk deret polinomial. Misalkan

Jika kita memasukkan nilai x = 0, maka kita dapatkan

Kemudian kita turunkan fungsi tersebut terhadap x , maka kita dapat

Dan jika kita memasukkan nilai x , kita dapat

Kita turunkan fungsi tersebut sekali lagi

Deret Maclaurin

Masukkan lagi x=0 dan kita dapat

Ulangi lagi langkah yang selanjutnya, sehingga kita dapat

Jadi, deret MacLaurin dapat ditulis dengan

Deret Maclaurin

Deret Taylor

Dalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor.

Definisi Deret Taylor

Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan tak hingga dalam sebuah persekitaran sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat.

Dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai :

Deret Taylor

Teorema Taylor dalam Satu Variabel Teorema Taylor menyatakan sembarang fungsi

dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial ex di dekat x = 0:

Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-n’ terhadap ex karena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat n. Hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa:

Deret Taylor

Bentuk Lagrange

Bentuk Lagrange dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sedemikian sehingga:

Deret Taylor

Bentuk Cauchy

Bentuk Cauchy suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan ξ antara a dan x sehingga :

Secara umum, bila G(t) adalah fungsi kontinyu pada selang tertutup [a,x], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (a,x), maka ada suatu bilangan ξ antara a dan x sehingga :

Deret Taylor

Pembuktian Satu Variabel Berikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku

sisa integral. Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa :

yang dapat disusun ulang menjadi:

Sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan integrasi parsial menghasilkan :

Deret Taylor

Dimana dv = dt; persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa :

Persamaan ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama. Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:

Deret Taylor

Aplikasi Deret pada KimiaOsilator Harmonik Energi rata-rata osilator harmonik menurut

mekanika kuantum pada temperatur dapat diperoleh dengan menjumlahkan fungsi partisinya

Penjumlahan suku-suku dalam persamaan di atas menyerupai bentuk sehingga fungsi partisinya

12n 0

Z exp n h / kT

12

n 0

exp h / kT exp nh / kT

n 1

n 0

x (1 x )

12exp h / kT

Z1 exp h / kT

Energi rata-rata osilator adalah

Pada temperatur tinggi dimana kita dapat mengurai bentuk eksponen

suku-suku di atasnya dapat diabaikan, jadi

2 log ZkT

T

12

2

exp h / kTlog

1 exp h / kTkT

T

12

1h

exp h / kT 1

2

12

h h hexp 1

kT kT kT

12 21

2

1h

h / kT h / kT

kT

Gerakan Vibrasi Molekul Diatomik Untuk gerak vibrasi, dapat kita ambil model osilator

harmonik sederhana sebagai pendekatan. Fungsi partisinya :

Untuk fungsi partisi elektronik, kita akan nyatakan dalam bentuk keadaan dasar, energi yang diperlukan untuk mengeksitasi elektron dari keadaan dasar ke keadaan diatasnya. Fungsi partisinya

Fungsi partisi total molekul diatomik diperoleh dari masing-masing komponen

12

v

exp h / kTZ

1 exp h / kT

e o 1 e1 2 e2Z g g exp / kT g exp / kT ...

123

2

h / kT

3 h / kTj 0

V eZ 2 mkT ( 2 j 1)exp j( j 1)K / kT

h 1 e

0 1 e1 ng g exp / kT Z

Jadi, Energi molekul gas diatomik

232

j 0

log ZN kT kT ( 2 j 1)exp j( j 1)K / kT

T

e1

e1

/ kT1 e11

2 / kTh / kT0 1 e1

g e1h

e 1 g g e

ADA PERTANYAAN?

Sekian presentasi dari kami. Terima Kasih

PERTANYAAN

Kharis : Jelaskan dengan lebih rinci untuk deret mac laurin!

Syarif : Apa aplikasi deret dalam bidang kimia khususnya pada laboratorium?

Anisa : Apakah bisa dalam satu deret terdapat kombinasi antara deret aritmatika dan geometri?

DERET hitung

Documents

Transcript of DERET hitung