DERET hitung

Click here to load reader

  • date post

    01-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    167
  • download

    11

Embed Size (px)

description

matematika untuk kimia

Transcript of DERET hitung

DERET

DERETFaisal ShalehDyahayu Rahma DiniSilke Arinda MaulinaArma Desta WiratamaOctavia SetianingrumTyas Dwi AriniFitra Isni RositaReza AnandirakaMEMPERSEMBAHKANYang akan kita bahas..Deret SederhanaKonvergensi Deret TaktentuPengujian KonvergensiDeret PangkatDeret MaclaurinDeret TaylorAplikasi Deret dalam KimiaDeret ArimatikaDeret Geometri

Deret SederhanaDeret adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah tertentu. Suku/elemen adalah bilangan yang merupakan unsur pembentuk deretDeret menurut jumlah sukunya : 1. Deret berhingga = Deret yang suku-sukunya tertentu.2. Deret tak berhingga = Deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas .Deret Sederhana:1. Deret Aritmatika2. Deret Geometri

Deret SederhanaDeret AritmatikaDeret/barisan bilangan aritmatika adalah sekumpulan bilangan yang disusun sedemikian rupa sehingga jarak/selisih antara setiap suku dengan suku berikutnya selalu tetap (konstan).Bentuk umum : Un = a +(n-1) b a, a+b, a+2b, a+3b,....., a+(n-1)b dimana:a = suku awalb = bilangan selisih (konstan)

Deret Sederhana

1. Jumlah deret aritmatika hingga suku ke-n (Sn)Metode GaussianSn = U1 + U2 + U3 + ... + Un Dengan menggunakan rumus yang ditemukan Carl Friedrich GaussSn = n/2 (2a + (n-1)b) = n/2 (a + Un) = n/2 (U1 + Un)Maka selisih dua jumlah deret yang berurutan adalah suku terakhir pada deret yang terakhir, Sn Sn-1 = Un 2. Sifat deret aritmatikU1 + U3 = 2 U2

Deret Sederhana

Deret GeometriBarisan bilangan yang memiliki sifat perbandingan dua suku berurutan adalah sama besar (tetap). Nilai perbandingan yang tetap dilambangkan dengan r. Bentuk umum :Un = arn-1 sehingga: a + ar1 + ar2 + ar3 +...+ arn-1

Dimana: a=suku awalr= rasio/perbandingan

Rasio (r) =Un /Un-1Barisan geometri dapat dipandang sebagai barisan eksponensial

Deret Sederhana Jumlah deret geometri hingga suku ke-nSn = a(1-rn) / (1-r) , untuk r1

Deret Geometri tak berhinggaAdalah penjumlahan dari : U1 + U2 + U3+ ......Dengan rumus jumlah deret geometri :S = a/(1-r)Deret SederhanaKonvergensi Deret Tak TentuDeret tak hingga merupakan jumlahan tak terhingga dari suku-suku yaitu a1+a2++an Notasi deret tak hingga adalah Penjumlahan parsial meliputi penjumlahan suku-suku tertentu

Jumlah S suatu deret tak terhingga diberikan limit :

Jika limitnya eksis dan tertentu, maka deretnya merupakan konvergenJika limitnya tak terbatas maka deretnya divergen

Sebagai contoh

Jika r < 1, maka rn akan mendekati nol ketika n tak terhingga

Limitnya eksis dan tertentu, maka deret ini konvergen

Jika r > 1, maka rn akan menjadi tak terhingga bila n tak terhingga sehingga limitnya tak tertentu, maka deret tersebut divergenContoh lainnya terdapat pada termodinamika statistik.

Konvergensi Deret Tak Tentu

Pengujian KonvergensiDeret Suku PositifSebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan :Deret geometriDeret harmonis

Deret GeometriBentuk umum : Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :

Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga . untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r.

Pengujian KonvergensiDeret HarmonisBentuk umum :

Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu

Pengujian KonvergensiUji Awal (preliminary test) menyatakan, jika deret divergen.Uji BandingUji IntegralUji NisbahUji Banding Khusus

Pengujian Konvergensi

1. Uji BandingJika suku demi suku dari deret , dengan adalah deret konvergen, maka deret juga konvergen. Jika suku demi suku deret , dengan membentuk deret divergen, maka deret juga divergen.

2. Uji Integral

Pengujian Konvergensi3. Uji NisbahJika deret konvergenJika deret divergenJika uji nisbah tidak memberi kesimpulan

Ditinjau deret positif Jika deret positif konvergen dan deret konvergen.Jika deret positif divergen dan deret divergen.

4. Uji Banding Khusus

Pengujian KonvergensiDeret Bolak-BalikDeret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda. Sebagai contoh,

Deret bolak-balik ,dengan positif, konvergen jika memenuhi dua syarat berikut:Setiap suku-suku deret ini secara numerik kurang dari suku-suku sebelumnya, Jika

Pengujian Konvergensi

Deret PangkatDeret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hinggaBentuk Umum : f(x) = ai xiAda 2 macam deret pangkat:Deret pangkat dalam x = a0 + a1 x2 + ... + an xn + ... 2. Deret pangkat dalam x c = a0 + a1 (x x0) + a2 (x x0)2 +...an(x x0)n ( pers. A )

Dari persamaan A,Diasumsikan x, x0, dan koefisien ai merupakan bilangan real. Jumlah parsial untuk n suku pertama bentuk di atas adalah sn yang dapat dituliskan sebagai sn (x) = a0 + a1 (x x0) + a2 (x x0 )2 + ... + an(x x0)n

Dan sisa deret pangkat (pers. A) didefinisikan sebagai RnRn(x) = an+1 (x x0 )n+1 + an+2 (x x0 )n+2 + ... Deret PangkatUntuk persamaan (A) di atas dapat diperolehs0 = a0R0 = a1(x x0) + a2(x x0)2 + a3(x x0)3 + ...s1 = a0 + a1(x x0)R1 = a2(x x0)2 + a3(x x0)3 + a4(x x0)4 + ...s2 = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2R2 = a3(x x0)3 + a4(x x0)4 + a5(x x0)5 + ...

Deret PangkatRadius KonvergensiUntuk menentukan nilai x, yang menghasilkan deret konvergen, dapat menggunakan tes rasio. Tes rasio menyatakan bahwa jika rasio absolut dari suku ke-m+1 terhadap suku ke-n mendekati suatu nilai karena n , maka deret dikatakan konvergen jika 1.

= 1 x-x0

Deret Pangkat

Konvergensi pada Deret PangkatJika x = x1 , maka deret pangkat (pers. A) konvergen jika lim sn (x1) = s(x1)merupakan suatu bilangan real.Sebaliknya, deret pangkat itu akan divergen jika lim sn (x1) = s(x1) bukan sebagai suatu bilangan real.

Deret PangkatUntuk deret pangkat yang diberikan pada pers. A hanya terdapat tiga kemungkinan :1. Deret tersebut konvergen hanya ketika x = x0 jika diperoleh harga R = 02. Deret tersebut konvergen pada x-x0 < R , jika diperoleh harga R = 13. Deret tersebut konvergen untuk semua x, jika diperoleh harga R =

Deret PangkatDeret MaclaurinDeret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga

Catatan: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi.

Perbandingan Maclaurin dengan Taylor SeriesTAYLOR SERIES: Dari awal kita selalu memulai perkiraan pada nilai

Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun.

MACLAURIN SERIES: merupakan Deret Taylor yang berpusat pada x0=0Deret Maclaurin

Ide awal dari deret MacLaurin adalah sebuah fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk deret polinomial. Misalkan

Jika kita memasukkan nilaix = 0, maka kita dapatkan

Kemudian kita turunkan fungsi tersebut terhadapx , maka kita dapat

Dan jika kita memasukkan nilai x, kita dapat

Kita turunkan fungsi tersebut sekali lagi

Deret MaclaurinMasukkan lagix=0dan kita dapat

Ulangi lagi langkah yang selanjutnya, sehingga kita dapat

Jadi, deret MacLaurin dapat ditulis dengan

Deret Maclaurin

Deret TaylorDalam matematika,deret Tayloradalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor.Definisi Deret TaylorDeret Taylor dari sebuahfungsi riilataufungsi kompleks f(x) yangterdiferensialkan tak hinggadalam sebuah persekitaransebuahbilangan riilataukompleks aadalahderet pangkat.

Dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai :

Deret Taylor

Teorema Taylor dalam Satu VariabelTeorema Taylor menyatakan sembarang fungsi dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensialexdi dekatx= 0:

Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-nterhadapexkarena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajatn. Hampiran ini hanya berlaku untukxmendekati nol, dan bilaxbergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan olehsuku sisa:

Deret TaylorBentuk LagrangeBentuk Lagrangedari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan antaraadanxsedemikian sehingga:

Deret TaylorBentuk CauchyBentuk Cauchysuku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan antaraadanxsehingga :

Secara umum, bilaG(t) adalah fungsi kontinyu pada selang tertutup [a,x], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (a,x), maka ada suatu bilangan antaraadanxsehingga :

Deret TaylorPembuktian Satu VariabelBerikut adalah bukti teorema Taylor dengan suku sisa integral. Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa :

yang dapat disusun ulang menjadi:

Sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan integrasi parsial menghasilkan :

Deret TaylorDimana dv=dt; persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa :

Persamaan ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama. Bila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:

Deret TaylorAplikasi Deret pada KimiaOsilator HarmonikEnergi rata-rata osilator harmonik menurut mekanika kuantum pada temperatur dapat diperoleh dengan menjumlahkan fungsi partisinya

Penjumlahan suku-suku dalam persamaan di atas menyerupai bentuk