DERET TAK HINGGA DAN

DERET PANGKAT

PRODI TEKNIK INFORMATIKA

STT POMOSDA NGANJUK

TAHUN 2014

DERET TAK HINGGA DAN DERET PANGKAT

Tujuan Pembelajaran: • Dapat mendefinisikan pengertian deret

• Dapat membedakan deret konvergen dan divergen

• Dapat menguji suatu deret konvergen atau divergen

• Dapat mengaplikasikan deret konvergen dalam pemecahan masalah

fisika

• Dapat mengalikasikan deret divergen dalam penyelesaian masalah

fisika

• Dapat menguraikan fungsi menjadi deret (menggunakan deret Taylor

dan Maclaurin)

• Dapat mengaplikasikan deret pangkat dalam penyelsaian

permasalahan fisika

• Dapat menerapkan aplikasi deret binomial

1. DERET GEOMETRI

Deret geomeri adalah jumlah dari barisan dimana setiap dua suku yang

berurutan mempunyai pebandingan (ratio) yang sama.

Bentuk umummnya :

a+ ar+ar2+ar3+……………arn-1

Jumlah suku ke n

Rumus : Sn=a (1−r n)

1−r

dimana a : adalah suku pertama

r : perbandingan /ratio dua suku beraturan

Sn : adalah jumlah n suku yang pertama

Deret geometri tak hingga

Suatu deret geometri memiliki limit jumlah jika deret geometri tersebut konvergen.

S= limn→ ∞

Sndengan Syarat : |r|< 1

Dari Sn=a (1−r n)

1−r untuk n → ∞ maka rn → 0,

maka :

S∞=a

1−r

Contoh soal

1. 0.555 = 5/10+5/100+5/1000+5/10000+5/100000+……..

a = 5/10, r=1/10

S= a1−r

= 5/101−1/10

=59

2. 4/3+4/9+4/27+4/81+………..

S=

43

1−13

=

4323

=2

2. DEFENISI DAN NOTASI

Deret tak hingga adalah pernyataan penjumlahan bilangan yang tak hingga

banyaknya berbentuk :

a1+a2+a3+………+an+………………………………..

Penulisan deret tak hingga lazimnya ditulis dengan notasi jumlah

∑n=1

∞

❑

(dibaca “sigma n =1 sampai dengan tak hingga) diikutin dengan bentuk umum

suku an. Jadi deret tak hingga dalam notasi ditulis sebagai berikut :

a1+a2+a3+……an+…….= ∑n=1

∞

an

contoh soal :

1. ∑n=1

∞n

n+5=1

6+ 2

7+ 3

8+ 4

9+ 5

9+……….

2. 1/6+1/12+1/20+1/30+…………∑n=2

∞1

n(n+1)

3. APLIKASI DARI DERET GEOMETRI

Sebuah kelereng kecil yang dilepas jatuh menumbuk sebuah lantai datar tegar.

Bila kelentingan kelereng cukup tinggi, ia akan terpantul berulang kali dari lantai ke

udara dengan ketinggian yang semakin rendah hingga pada akhirnya berhenti dilanyai.

Andaikan kelereng dijatuhkan dari ketinggian 1 m dan ketinggian yang dicapainya

setelah terpantul adalah ¾ kali ketinggian sebelumnya. Maka ketinggian pencapaiannya

secara berturut-turut adalah

1, 3/4, (3/4)2, ………(1.1)

Jadi jarak total yang ditempuh kelereng adalah jumlah tinggi awal kelereng 1 m,

ditambah 2 kali jumlah semua tinggi berikutnya (karena kelereng menempuh lintasan

bolak balik yang sama panjang), yaitu

1, 2(3/4), 2(3/4)2, 2(3/4)3 ………(1.2)

Menghitung jumlah bilangan yang tak terhingga banyaknya ini secar pasti

tidaklah mudah, tetapi intuisi dan pengalaman menyatakkn bahwa jumlahnya menuju

suatu nilai tak berhingga.

Pernyataan jumlah bilangan yang dimulai dari suku kedua persamaan (1.2)

yakni;

2(3/4), 2(3/4)2, 2(3/4)3

Memperlihatkan suatu pola teratur dalam mana suku-sukunya, mulai dari suku

kedua, besarnya adalah ¾ kali suku sebelumnya. Jumlah bilangan persamaan (1.3)

diatas adalah contoh pernyataan matematik yang disebut “deret tak terhingga”

Contoh 1:

Sebuah bola tenis memantul dengan ketinggian 9 m, setelah mengenai lantaibola itu

memantul 2/3 tinggi sebelumnya. Panjang lintasan yang ditempuh bola sampai berhenti

adalah

Penyelesaian :

Perhatikan diagram dari lintasan bola tersebut

a = 9 , r= 2/3 maka S∞ = 2a

1−r

¿29

1−2/3=54 m

(ada angka 2 karena bola menempuh lintasan tegak bolak balik yang sama panjang) .

Maka panjang lintasan itu adalah 54 m.

Contoh 2 :

sebuah bola dijatuhka dari ketinggian 2 m. Setiap kali bola menyentuh tanah bola

dipantulkan kembali keatas dengan ketinggian ¾ dari jarak dimana bola jatuh. Tentukan

jarak total yang ditempuh sebelum bola jatuh ?

Penyelesaian :

Dari diagram dari lintasan bola tersebut didapat

a = 2 , r= 3/4 maka S∞ = 2a

1−r

= 22

1−3/ 4 = 16 m

( ada angka 2 karena bola menempuh lintasan tegak bolak balik yang sama panjang) .

4. DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN

Deret tak hingga terbagi menjadi 2. Yaitu, deret tak hingga yang konvergen dan

deret tak hingga yang divergen. Konvergen artinya mempunyai jumlah tertentu.

Sedangkan divergen artinya tidak bisa ditentukan jumlahnya, besarnya yaitu tak hingga.

Misalnya deret yang konvergen yaitu seperti deret berikut ini :

12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+…

Deret tersebut adalah termasuk deret konvergen. Karena jika dijumlahkan sampai suku

yang tak hingga, jumlahnya masih bisa ditentukan (jumlahnya masih berhingga). Kita

akan mencari hasil dari deret tak hingga tersebut

Misalnya

N=12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+…

2 N=1+ 12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+…=N+1

N = 1

Jumlah deret tak hingga tersebut adalah 1.

Deret yang divergen misalnya 

12+ 1

3+ 1

4+ 1

5…

Misalnya

N=12+1

3+ 1

4+ 1

5…

Perhatikan bahwa

N> 12+ 1

4+ 1

8+…

N> 12+ 1

2+ 1

2+…

Jumlah deret ini tidak bisa ditentukan. Dengan kata lain jumlahnya adalah tak hingga..

Contoh soal :

∑n=1

∞

1−1/2n = 1 ini adalah deret konvergen

∑n=1

∞

1 /5n= 0 ini adalah konvergen

APLIKASI DERET DIVERGEN DALAM FISIKA

Reaksi fisi (pembelahan inti) bahan radioaktif

Deret dari reaksi fisik berantai seperti gambar di atas adalah

1 + 2 + 4 + 8 + …

Maka deret dari rekasi fisi berantai tersebut adalah

∑0

∞

2n

Dimana deret tersebut divergen, karena reaks fisi tidak akan berhenti sebelum ada

kondisi yang menyebabkan reaksi tersebut berhenti.

5. UJI DERET KONVERGEN

Untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen

kita harus melakukan uji awal terlebih dahulu sebelum kita uji dengan

metode lain, uji awal ini adalah dengan menguji apakah untuk barisan

yang tak terhingga limn → ∞

an=0. Bila didapatkan hasilnya limn → ∞

an≠ 0 maka

dapat kita pastikan deret tersebut divergen, akan tetapi kita harus

berhati-hati bila limn → ∞

an=0 maka belum tentu deret ini konvergen, maka

untuk mendapatkan kepastiannya harus dilakukan pengujian lebih

lanjut dengan tes yang lain, jadi dapat kita simpulkan bahwa uji awal

bukan digunakan untuk menguji deret konvergen atau tidak, akan

tetapi untuk menguji deret tersebut divergen atau tidak.

Contoh

1. ∑n=1

∞

n, apakah deret ini divergen atau kemungkinan konvergen?

Jawab :

Dengan menggunakan limn → ∞

n=∞. maka jelas deret ini divergen

karena an≠ 0

2. ∑n=1

∞1n, apakah deret ini divergen atau kemnungkinan konvergen?

Jawab

Dengan menggunakan limn → ∞

n=0. maka deret ini kemungkinan

konvergen karena an=0

Latihan

Tunjukkan deret dibawah ini apakah Divergen atau perlu tes lebih

lanjut?

1. ∑n=1

∞n2

(n+1)2

2. ∑n=1

∞n!

(n+1 ) !

6. UJI KONVERGENSI DERET POSITIF

Setelah kita melakukan uji awal dan ternyata di dapatkan hasil

limn → ∞

n=0 , maka tentu saja kita memerlukan beberapa tes lanjutan

untuk menentukan kepastian konvergensinya. Untuk pembahasan

berikut kita akan membatasi pada deret yang bertanda positif saja

untuk semua barisanya (deret positif).

A. UJI BANDING

Uji banding ini digunakan untuk menguji konvergensi dan

divergensi. Untuk menguji deret yang akan kita tinjau dibutuhkan

suatu deret lain yang sudah diketahu konvergensi dan

divergensinya, Teorema

- Jika |an| < mn untuk n =1 , 2 , 3 … dan ∑ mn konvergen ,

Maka ∑ an konvergen

- Jika |an| > dn untuk n = 1, 2, 3 … dan ∑ dn, divergen, Maka

∑ an

Contoh.

Tinjaulah konvergensi deret berikut dengan pembanding

- ∑ 1

n2 Konvergen,

- ∑ 1nDivergen ;

1. ∑n=1

∞1

n2+4

2. ∑n=1

∞n2

n3−1

penyelesaian :

Maka dari hasil pembandingan deret di atas jelas terlihat bahwa

1. Berlaku 1

n2+4< 1

n2 , untuk seluruh n sehingga dengan demikian

deret tersebut Konvergen berdasarkan uji ini. Sedangakan ;

2. Berlaku 1n> n2

n3−1, untuk = 2 dan seterusnya, dengan demikian

deret tersebut divergen.

Latihan

1. Apakah ∑n=1

∞1nkonvergen atau divergen, bila diketahui ∑

n=1

∞12n

adalah divergen

2. APakah ∑n=1

∞1n!

konvergen atau divergen

B. UJI INTEGRAL

Dalam uji kovergensi dengan integral yang dilakukan adalah

melakukan integrasi secara kontinyu terhadap n dimana ∑n

∞

an →

∫n

∞

an dn . jika hasil deret yang di uji tersebut hasilnya berhingga

maka deret tersebut konvergen, dan sebaliknya jika hasilnya

tak-hingga maka deret tersebut divergen.

Contoh : Uji Konvergensi deret berikut ini

1. ∑n=1

∞1n → f ( x )=1

x dengan tes integral

Penyelesaian

¿∫1

∞1x

dx

= limb → ∞

∫1

b1x

dx = limb → ∞

[ ln x ]∞1

= limb → ∞

[ ln (b )−ln (1) ] =∞

Maka deret tersebut divergen

2. Selidiki konvergensi ∑n=1

∞50

n(n+1) dengan tes integral

Penyelesaian

∫1

∞

f ( x )dx= limb →∞

∫1

b50

x (x+1)dx

¿50 limb → ∞

∫1

b1x− 1

x+1dx

¿50 limb → ∞

ln| xx+1|b1

¿50 ln 1−50 ln12

¿50 ln 1−50 ln1+50 ln 2

¿50 ln 2 Konvergen

Latihan

Selidiki konvergensi deret

1. ∑x=1

∞1

x ln x

2. ∑x=1

∞1

x1,001

C. TES RASIO

Jika kita meninjau deret ∑n=1

∞

an dan misalkan limn → ∞ [ an+1

an]=ρ❑ , maka

a) Deret konvergen jika < 1

b) Deret divergen jika > 1

c) Pengujian tidak dapat menetukan konvergen atau divergen bila

= 1

Contoh :

Tes Konvergensi Deret berikut

1. 1 + 12!

+ 13!

+ … + 1n !

+…

2. 1 + 12 +

13 + … +

1n+…

Jawab :

1. an=1n!

dan an+1=1

n !(n+1) ,

❑n=| 1(n+1 ) !

÷1n!|

=n!

(n+1 ) !=

n (n−1 ) …3. 2 . 1(n+1 ) (n ) (n−1 ) …3 . 2.1

= 1n+1

,

= limn → ∞ ( 1

n+1 )❑

=0

Karena ¿1, maka deret tersebut konvergen

2. ¿| 1(n+1 )

÷1n| =

nn+1

¿ limn → ∞ ( n

n+1 )=limn→ ∞

1

11n

❑

=1

Karena ¿1 , maka berdasarka uji rasio tidak bisa ditentukan

apakah deret ini konvergen atau divergen, maka deret ini harus

di uji dengan uji yang lain.

Latihan

Apakah deret berikut konvergen atau divergen

1. ∑x=1

∞2nn!

2. ∑x=1

∞2n

n20

D. UJI BANDING LIMIT

Pada uji ini terbagi atas uji konvergensi dan uji devergensi. Jika

∑ an adalah deret yang ingin di uji konvergensinya dengan

ketentuan an≥ 0 ,dan terdapat deret lain :

a. ∑ bn yang telah diketahui deret konvergen bentuk positif,

jika an ≥ 0 dan

limn → ∞

an

bn< ∞(bukan tak hingga) maka ∑ anadalah deret

konvergen

b. ∑ dn yang telah diketahui divergen bentuk positif, dan jika,

limn → ∞

an

dn

>0, maka ∑ an adalah divergen,

Contoh

1. Tes konvergensi ∑n=3

∞ √2 n2−5n+14 n3−7 n2+2

dan bila diketahui

∑n=3

∞ √n2

n3 =∑n=3

∞1n2 adalah deret konvergen berdasarkan uji

integral.

Penyelesaian ;

limn → ∞

an

bn

=limn → ∞ (√2 n2−5n+1

4 n3−7n2+2÷

1

n2 ) =

limn →∞

n2√2 n2−5 n+1

4 n3−7 n2+2

= limn →∞ √2−5

n+ 1

n2

4−7n+ 2

n3

= √24

, maka √24

< ∞ , maka deret tersebut konvergen

2. Tinjau konvergensi dari deret

∑n=1

∞3n+1¿¿ ¿ sebagai pembanding kita gunakan deret ∑

n=1

∞1n

sebagai deret divergen.

Penyelesiaan

an

dn

=limn →∞

3 n+1¿¿ ¿ =lim

n → ∞¿ 3 n+1

n2+2 n+1x n=

limn →∞

3 n2+n

n2+2n+1=3 3 > 0

Divergen

Latihan

Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen

1. ∑n=1

∞3n−2

n3−2 n2+11

2. ∑n=1

∞1

√n2+19 n

7. DERET BOLAK-BALIK

Deret bolak-balik merupakan penjumlahan deret yang memiliki

tanda berubah-ubah dari positif dan negatif. Sebagai contoh :

1−12+ 1

3−1

4+ 1

5−…+¿¿

Untuk memeriksa konvergensi deret seperti di atas, kondisi yang

akan dipenuhi jika deret tersebut konvergen adalah sebagai berikut :

a. |an+1|<|an| dimana keduanya adalah nilai mutlak

b. limn → ∞

|an|=0

Contoh :

Selidiki konvergensi deret di bawah ini

1.13−1

5+ 1

7−1

9+…+¿ ,

Penyelesaian

(1)|an+1|<|an| Terpenuhi

(2)limn →∞

1

2n+1=0 terpenuhi , maka deret ini konvergen

2. 3−2+ 53−6

4+…+¿

Penyeleaian

(1)|an+1|<|an| Terpenuhi

(2)limn →∞

n+2

n=1 tak terpenuhi, maka deret ini divergen

Latihan

Tentukan apakah deret dibawah ini konvergen atau divergen

1. ∑n=1

∞

¿¿¿

2. ∑n=1

∞1n!

8. KONVERGENSI ABSOLUT DAN KONVERGENSI BERSYARAT

Misalkan deret ∑ an merupakan deret bolak-balik, maka berlaku

teorema beriku : jika deret mutlaknya ∑|an| merupakan sebuah deret

yang konvergen maka ∑ an konvergen. Tetapi tidak berlaku

sebaliknya, jika ∑ ankonvergen maka belum tentu ∑|an| konvergen.

Jika sebuah deret bolak-balik konvergen dan juga deret mutlak yang

terkait dengannya konvergen maka deret tersebut dikatakan

memiliki konvergensi mutlak. Sedangkan jika deret bolak-balik

tersebut konvergen sementara deret mutlaknya divergen maka deret

tersebut dikatakan memiliki konvergensi bersyarat.

Contoh ;

1. 1−23+ 3

32− 4

33+ 5

34… ..+¿

Penyelesaian :

Berdasarakan teorema pertama maka deret di atas di mutlakkan

1+ 23+ 3

32+ 4

33+ 5

34 + …..+n

3n−1

limn → ∞

U n+1

U n = lim

n → ∞

n+13n .

n+1n

=limn → ∞

n+1

3n =13

13<1 →deret positif konvergen

Maka deret ¿ adalah deret konvergen absolute

2. 1 – 59+ 10

28−17

65+…+¿

Penyelesaian

(1)|an+1|<|an| Terpenuhi

(2)limn →∞

n2+1

n3+1=0 terpenuhi , maka deret ini konvergen

Kemudian deret dimutlakkan menjadi

1 + 59+ 10

28+ 17

65+…+ n2+1

n3+1 divergen (sudah di buktikan dengan uji

banding).

Maka deret ¿ , merupakan deret konvergen bersyarat

9. ADA BEBERAPA HAL YANG DIPERHATIKAN TENTANG DERET

1. Deret konvergen atau divergen tidak dipengaruhi oleh pengalianpada setiap suku deret. Namun konvergen atau divergen dipengaruhi oleh penjumlahansuku Dari deret.

2. Dua buah deret yang diketahui konvergen yaitu ∑n=1

∞

an dan ∑n=1

∞

bn dapat

dijumlahkan atau dikurangkan pada setiap sukunya ( sehingga penjumlahan suku n adalah an + bn ). Akibatnya, deret tetap konvergen

3. Susunan deret konvergendapat diatur, tetapi tidak mengakibatkan berubahnya kekonvergenan sebuah deret

Contoh :

∑n=1

∞ (−1)n+1

2 n−1

Penyelesaian :

Bila an=(−1)n+1

2n−1, maka :

an=|an|=|(−1 )n+1

2n−1 |=| 12n−1|= 1

2n−1

Untuk n = 1,2, 3, …

an+1=¿|an+1|=

12 (n+1 )−1

¿ = 1

2n+1

Karena 1

2n+1 ≤

12n+1

dan an+1 ≤an

Dan limn → ∞

|an| limn→ ∞

12 n−1

=0

Latihan :

Tentukan nilai dari ∑n=1

∞3 n−2

n3−2 n2+11

10. INTERVAL KONVERGEN

Deret yang telah dipaparkan sebelumnya adalah deret tetapan. Adapun deret lain

yang biasa digunakan adalah deret fungsi, misalnya fungsi x. kita megenal beberapa

penampilan deret pangkat yang pada suku ke n berbentuk xn atau (x-a)n,dimana a adalah

sebuah tetapan.

Berikut adalah sebuah deret pangkat berbentuk :

∑n=0

∞

an xn=a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … atau

∑n=0

∞

an(x−a) n = a0 + a1 (x-a) + a2 (x-a)2 + a3 (x-a)3 + …

Metode uji yang biasa kita gunakan pada pengujian deret pangkat ini adalah uji

rasio. Pada uji ini diperoleh ρn (n→∞ ¿ yang merupakan nilai mutlak hasil bagi suku ne

(n+1), sebut saja (An+1), terhadap suku ke n, sebut saja (An), Artinya ρ = limn →∞

ρn= lim

n→ ∞|An+1

A n|

Contoh 1:

1- x2

+ x2

4 - x3

8 + … +

(−x )n

2n + …

Penyelesaian:

Ρn =|(−x )n+1

2n+1÷

(−x )2

2n |=|x2|

Ρ = |x2|

Menurut rasio, deret ini disebut konvergen jika ρ < 1, yang dipenuhi oleh

|x /2|<1atqu|x|<2, artinya, deret itu divergen jika |x|>2. Jadi

, interval konvergen dari deret itu adalah|x|<2 atau -2 < x <2.

Contoh 2 :

x− x2

2+ x3

3− x4

4+…+

(−1)n+1¿

xn

n+…¿

Penyelesaian :

Ρn= | xn+1

n+1÷

xn

n |=| nxn+1|

Ρ = limn → ∞| nx

n+1| = |x|

Artinya, deret itu konvergen jika dipenuhi ρ = |x|<1 sehingga ada batas

kekonvergenan x = 1 dan x = -1, deret itu akan menjadi 1 –

12+ 1

3−1

4+… , yang disebut deret selang-seling harmonic dan termasuk deret

konvergen. Sebaliknya, jika x = -1, deret menjadi -1 – 12−1

3−1

4−…, yang

merupakan deret harmonic dengan factor pengali (-1) dan termasuk deret

divergen. Artinya interval konvergen deret itu adalah −1<x ≤1 ≤ .

Latihan 1:

Tentukan apakah deret ini konvergen atau tidak, dan nyatakan batasnya

1.x−2

1+

( x−2 )2

2+

( x−2 )3

3+…+

( x−2 )n

n

2.1−12+ 1

3−1

4+ 1

5−…

11. TEOREMA TENTANG DERET

Telah dipaparkan sebelumnya bahwa deret ∑n=0

∞

an xn disebut deret konvergen jika

nilai x tertentu membuat nilai itu terhingga. Jadi konvergen deret itu bergantung pada

nilai x. berikutnya nilai dari deret itu kita sebut S(x) = ∑n=0

∞

an xn yang kekonvergenannya

bergantung pada x. jika S(x) merupakan sebuah fungsi, S(x) dikatakan konvergen ke

fungsi S(x). akibatnya, fingsi S(x) dapat dipresentasikan ke dalam deret atau

sebaliknya, deret merupakn representasi dari sebuah fungsi. Deret yang merupakan

representasi dari sebuah fungsi dikuasai oleh empat buah teorema, yaitu:

Teorema 1 :

sebuah deret dapat didiferensialkan atau di integralkan pembagian apabila deret yang

didiferensialkan atau diintegralkan itu konvergenn, dan hasil diferensiasi atau integrasi

juga konvergen

Teorema 2 :

Pada dua deret dapat dilakukan operasi penambahan, pengurangan, atau perkalian

asalkan deret hasil operasi itu konvergen atau setidaknya memiliki interval

kekonvergenan yang sama. Jika pembilang atau pembagi sama-sama nol ( misalnya

sin xx

), deret itu memiliki beberapakawasan kekonvergenan dan harus di uji dengan uji

yang lain.

Teorema 3 : Sebuah deret dapat disubsitusikan ke deret yang lain asalkan dalam kawasan kekonvergenan yang sama.

Teorema 4 : Deret (∑n=0

∞

an xn) dapat merepresentasikan sebuah fugsi apabila deret itu

konvergen ke fungsi itu.

12. EKSPANSI FUNGSI KE BENTUK DERET

Fungsi yang mengandung peubah dapat direpresentasikan sebagai deret peubah

itu dengan factor pengali di setiap sukunya asalkan deret tersebut bersifat konvergen.

Sebagai contoh, fungsi sin x dapat dideretkan dalam bentuk :

sin x = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn +…

Nilai tetapan a0, a1,a2,…,an ditentukan dengan mengambil nilai khusus dari x sehingga

sin x diketahui (sin 0 = 0 berarti a0 = 0), serta dengan cara diferensial pada penentuan

koefisien derajat berikutnya. Turunan dari sin x adalah cos x sehingga :

d sinxdx

=cos x=0+¿ a1+2 a2 x+3 a3 x2¿+ … + (n - 1)anxn-1+…

Jika cos 0 = 1 sehingga a1 = 1. Bentuk turunan berikutnya adalah

dcosxdx

=−sin x=¿¿2a2 + 3.2a3 + 4. 3a4x2 +…

Yang memberikan 0 = a2, selanjutnya:

d (−sinx)dx

=¿ -cos x = 3.2a3 + 4.3.2a4x + …

Atau -1 = 3!a3, yang berarti a3 = -1/3!. Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk

penderetan dari sinx yang konvergen pada semua nilai x dan berbentuk

sin x=x−¿ x3

3 !+ x5

5 !¿

Cara penderetan fungsi ini disebut cara penderetan Maclaurin atau disebut deret Taylor

di sekitar titik asal (x=0).

Adapun fungsi deret Maclaurin:

f ( x )=f (0 )+ f ' (0 )1 !

+ f (0)} over {2!} {x} ^ {2} + {f left (0 right )} over {3!} {x} ^ {3} + … + {{f} ^ {left (n - 1 right )} left (0 right )} over {left (n - 1 right ) !} {x} ^ {n - 1} + ¿

Sedangkan Fungsi Taylor dinyatakan dalam deret pangkat dari (x-a)

Rumus :

f ( x )=f (a )+ f ' (a )1!

( x−a )+ f (a)} over {2!} {(x - a)} ^ {2} + … + {{f} ^ {n - 1} (a)} over {left (n - 1 right ) !} {(x - a)} ^ {n - 1} + ¿

dimana a adalah tetapan. Melalui pengambilan fungsi x = f(x) disekitar x = a dan f(x)

yang didiferensialkan diperoleh bentuk f(x) ,f’(x)=

df ( x )dx

, f (x)=d2 f(x)dx2 , …, f ' ( x )=d '} f left (x right )} over {{dx} ^ { sebagai :

f(x) = a0 + a1(x-a) + a2 (x-a)2 + a3(x-a)3 + a4(x-a)4+ … + an(x-a)n+…

f’(x) = a1 + 2a2 (x-a) + 3a3(x-a)2 + 4a4(x-a)3+… + nan(x-a)n-1 +…

f”(x) = 2a2 + 3.2a3(x-a) + 4.3a4(x-a)2+ … + n(n-1)an(x-a)n-2 +…

f”’(x) = 3!a3 + 4.3.2a4(x-a) +… +n(n-1)(n-2)an(x-a)n-3+…

F(n)(x) = n(n-1)(n-2)…1.an + (x-a)

Mengingat f(x-a)= f(a)= a0

f(a) = a0, f’(a) = a1, f”(a) = 2a2,

f”’(a) = 3!a3, … , f(n)(a) = n!an

Selanjutnya f(x) dapat dinyataakan:

f(x) = f(a) + (x-a) f’(a) + 12!

(x−a)2 f (a)+ … + {1} over {n!} {(x - a)} ^ {n} {f} ^ {(n)} (a)+

Pada saat x = 0, bentuk f)x) adalah :

f(x) = f(0) + xf’(0)+ x2

2! f”(0) +

x3

3!f (a)+ … + {{x} ^ {n}} over {n!} {f} ^ {(n)} (0)+

Sebagai contoh ke 2 yaitu fungsi cos x dapat dideretkan dalam bentuk :

Penyelesaian :

cos x = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn + …

Bila nilai tetapan a0, a1, a2, ditentukan dengan mengambil nilai x sehingga x diketahui bahwa cos 0 = 1 berarti a0 = 1.

Secara diferensial pada koefisien derajat berikutnya turunan cos x = -sin x, sehingga:

dcos xdx

=−sin x=1+a1+2 a2 x+3a3 x+…+(n−1 ) an xn−1+…

Misalkan sin x= 0, maka a1 = 0, sehingga menjadi:

d (−sinx )dx

=−cos x=2a2+3. 2a3 x+4.3 a4 x2+…

Jika –cos x = -1, maka a2= -1 selanjutnya

d (−cosx)dx

=sin x=¿3.2 a3+4.3 .2a4 x+…¿

Jika sin x= 0, maka a3= 0

d ¿¿

Jika cos x= 1, maka a4= 1

Atau 1= 4!a4 yang berarti a4 = 1/4!,sehingga diperoleh bentuk penderetan cos x yang konvergen pada semua nilai x, yaitu:

cos x=1−¿ x2

2 !+ x4

4 !− x6

6 !¿

Latihan :

Tuliskan (1 + x)2 sebagai suatu deret Maclaurin pada selang -1 < x< 1.

13. TEKNIK UNTUK MEMPEROLEH EKSPANSI DERET PANGKAT

Terdapat teknik sederhana yang sering digunakan untuk menemukan deret

pangkat dari suatu fungsi dibandingkan dengan menggunakan proses penurunan

berturut. Melalui teorema 4 pada bagian 11 kita mengetahui bahwa fungsi apapun yang

diberikan hanya terdapat satu deret pangkat, yaitu deret pangkat dengan bentuk ∑n=0

∞

an xn

. Walaupun kita dapat memperolehnya dengan banyak metode yang tepat dan yakin

bahwa sama bentuknya dengan deret Maclaurin yang didapat pada bagian 12. Kita dapat

mengilustrasikan variasi metode untuk memperoleh deret pangkat. Di bawah ini

merupakan beberapa penyederhanaan dari deret.

a. Deret Geometris

11−z

=∑n=0

∞

xn=1+x+x2+…;|x|<1

b. Deret Binomial

(1+x )p=1+ px+p ( p−1 )

2 !x2+

p ( p−1 ) ( p−2 )3 !

x3+…;|x|<1

(deret binomial; p adalah bilangan real bernilai positif atau negatif)

c. Fungsi Eksponensial

ex=∑n=0

∞xn

n !=1+ x+ x2

2 !+ x3

3 !+…;untuk semua x

d. Fungsi Trigonometri dan Hiperbolik

cos x=∑n=0

∞

1n x2 n

(2n ) !=1− x2

2 !+ x4

4 !− x6

6 !+…;untuk semua x

sin x=∑n=0

∞

(−1)n x2 n+1

(2n+1 )!=x− x3

3 !+ x5

5 !− x7

7 !+…;untuk semua x

tan x= x+ x3

3+ 2 x5

15−17 x7

315+…;untuk semua x

cosh x=∑n=0

∞x2 n

(2 n )!=1+ x2

2 !+ x 4

4 !+ x6

6 !+…;untuk semua x

sinh x=∑n=0

∞x2n+1

(2n+1 ) !=x+ x3

3 !+ x5

5 !+ x7

7 !+…;untuk semua x

e. Fungsi Logaritma

ln (1+x )=x− x2

2+ x3

3− x4

4+…

−ln (1− x )=ln1

1−x=x+ x2

2+ x3

3+ x 4

4+…

ln(1+x )(1−x)

=¿2(x+ x3

3+ x5

5+ x7

7+…)¿

Berikut ini merupakan beberapa contoh untuk memperoleh ekspansi deret.

a. PERKALIAN DERET DENGAN POLINOM ATAU DERET DENGAN

DERET

1. CONTOH PENGGUNAAN

CONTOH 1: Tentukan deret untuk ( x + 1) sin x!

Penyelesaian :

( x+1 ) sin x=(x+1)( x− x3

3 !+ x5

5 !− x7

7!+…)

¿ x+x2− x3

3 !− x4

3 !+ x5

5 !+ x6

5 !+…

Contoh 2: Tentukan deret untuk ex cos x!

Penyelesaian:

ex cos x=(1+x+ x2

2 !+ x3

3 !+ x4

4 !+…)(1− x2

2!+ x4

4 !− x6

6 !+…)

¿1+x+ x2

2 !+ x3

3!+ x4

4 !+…

−x2

2 !− x3

2 !− x4

2!2 !−…

+ x4

4 !+…

1+x+0 x2− x3

3− x4

6…=1+x− x3

3− x4

6…

Contoh 3: Tentukan deret untuk (1 + x2) cos x!

Penyelesaian:

(1+x2 )cos x=¿ (1+x2 )(1− x2

2 !+ x4

4 !− x6

6 !+…)¿

¿1+x2− x2

2!+ x4

4 !− x4

2 !+ x6

4 !− x6

6 !+…

¿1+ 12!

x2−114 !

x4+296 !

x6+…

2. APLIKASI DALAM FISIKA

Contoh yang paling sederhana yang biasa kita jumpai dalam persoalan Fisika

dasar adalah persoalan bandul sederhana yang disimpangkan dan akan

mengalami gerak periodik ketika dilepaskan akibat gaya gravitasi yang

bertindak sebagai gaya pemulih seperti yang diperlihatkan pada gambar 1 untuk

bandul bermassa m dengan panjang tali l.

Berdasarkan hukum kedua Newton, penggambaran dinamika gerak bandul

dengan massa m tersebut diberikan oleh persamaan diferensial berikut:

d2θd t2 =

−gl

sinθ

Untuk sin dapat digunakan deret binomial.

sin θ=θ− θ3

3 !+ θ5

5 !− θ7

7 !+…

d2θd t2 =

−gl [θ− θ3

3 !+ θ5

5 !− θ7

7 !+… ]

Untuk deret kedua nilai sangat kecil, sehingga sin =

3. LATIHAN

1. Tentukan deret dari (1 + x) ln (1 + x)!

2. Tentukan deret dari sin x1−x

!

b. PEMBAGIAN DUA DERET ATAU DERET DENGAN POLINOM

1. CONTOH PENGGUNAAN

Contoh: Tentukan deret dari 1x

ln (1+x )!

Penyelesaian:

1x

ln (1+ x )=1x (x− x2

2+ x3

3− x4

4+…)

¿1− x2+ x2

3− x3

4

2. LATIHAN

1. Tentukan deret dari fungsi 1x

sin x!

2. Tentukan deret dari fungsi x

sin x !

c. DERET BINOMIAL

1. CONTOH PENGGUNAAN

Contoh 1: Tentukan deret dari 1

1+ x!

Penyelesaian:

11+ x

=(1+x )−1 ; p=−1

Rumus dasar Maclaurin untuk deret binomial

(1+x )p=1+ px+p ( p−1 )

2 !x2+

p ( p−1 ) ( p−2 )3 !

x3+…

Maka deret dari 1

1+ x adalah:

(1+x )−1=1−x+−1 (−1−1 )

2 !x2+

−1 (−1−1 ) (−1−2 )3 !

x3+…

¿1−x+x2−x3+…

Contoh 2: Tentukan uraian fungsi f(x) = ex

(1+x )!

Penyelesaian:

ex

(1+x )=ex (1+x )−1

¿(1+ x+ x2

2 !+ x3

3 !+…) (1−x+x2−x3+…)

¿1+x−x+x2−x2+ x2

2 !+x3−x3− x3

2 !+ x3

3!+…

¿1+ 12!

x2+ 23 !

x3+…

2. APLIKASI DALAM FISIKA

1) Energi Kinetik Relatif Energi Kinetik Newton (v << c)

Dalam relatifitas khusus, untuk sebuah partikel dengan massa m0,

E=γ m0 c2 (Total energi partikel bebas)

K=γ m0 c2−m0 c2 (Energi kinetic relatif)

Dimana γ= 1

√1−v2

c2

Dengan v = kecepatan partikel

c = kecepatan cahaya

(asas korespondensi fisika/ asas yang saling berhubungan)

Tinjau fungsi γ= 1

√1−v2

c2

dengan x = v/ c . Untuk kasus non-relativistik,

dimana x << 1, uraian Taylor fungsi tersebut hingga orde pertama di sekitar

x = 0 adalah:

Sesuai dengan deret binomial

(1+x )p=1+ px+p ( p−1 )

2 !x2+

p ( p−1 ) ( p−2 )3 !

x3+…;|x|<1

(1− v2

c2 )−12 =1+(−1

2 )(−v2

c2 )+…

1

√1− v2

c2

≈ 1+ 12 ( v2

c2 )

Sehingga jika di subsitusikan ke dalam persamaan energi kinetik relatif

diperoleh:

K=(1+ 12 ( v2

c2 ))m0 c2−m0 c2

K=m0c2+ 12

m0 v2−m0 c2

K=12

m0 v2

Dapat dilihat bahwa K ≅12

m0 v2 untuk |v| << c, sehingga energi kinetik

relatif menjadi Energi Kinetik Umum Newton (non relativistik).

2) Aproxsimasi Medan Jauh (“Far Field Approximation”)

Untuk menentukan medan pada titik P, dengan x >> d.

E= q

x2− q

(x+d )2

Catatan :

1( x+d )2

= 1

x2(1+ dx )

2=1x2 (1+ d

x )−2

,

Merupakan deret Binomial untukdx<1

1

( x+d )2= 1

x2 (1−2dx+…)

Sehingga E= q

x2−q [ 1

x2 (1−2dx+…)]=2 qd

x3≅ E

x

d

-q q P

Persamaan tersebut merupakan aproksimasi medan jauh, menunjukkan

bagaimana sebaran dominan dari E dengan jarak.

3. LATIHAN.

1. Tentukan deret binomial dari 1+x1−x

!

2. Tentukan deret binomial dari 1

(1+ x )2!

3. Tentukan deret binomial dari

1

√1−v2

c2

!

4. Tentukan deret binomial dari 3

1−x2!

d. DERET TAYLOR MENGGUNAKAN DASAR DERET MACLAURIN

1. CONTOH PENGGUNAAN

Contoh 1. Tentukan deret fungsi ln x disekitar x = 1!

Penyelesaian.

Ini artinya deret dari pangkat (x – 1) dekat dengan x, sehingga dapat dituliskan:

ln x = ln [1 + (x – 1)]

dengan menggunakan persamaan, dapat kita subsitusikan x dengan (x – 1)

ln (1+x )=x− x2

2+ x3

3− x4

4+…

Maka didapat

ln (1+(x−1))=(x−1)−¿¿

Contoh 2: Uraikan cos x disekitar x = 3π/2!

Penyelesaian:

cos x=cos[ 3π2+( x−3 π

2 )]Dengan menggunakan sifat: cos (A±B) = cos (A) cos (B) ± sin (A) sin (B)

Maka persamaan di atas dapat diuraikan menjadi

cos x=cos[ 3π2+( x−3 π

2 )]¿cos (x−3 π

2 )cos ( 3 π2 )−sin (x−3 π

2 )sin( 3 π2 )

¿cos (x−3 π2 )(0 )−sin( x−3 π

2 )(−1)

¿ sin( x−3 π2 )

Dengan menggunakan persamaan,

sin x=¿ x− x3

3 !+ x5

5 !− x7

7 !¿ , subsutusi x dengan (x−3π

2 )Maka

cos x=cos[ 3π2+( x−3 π

2 )]=sin( x−3 π2 )

sin( x−3 π2 )=¿(x−3 π

2 )− 13 ! (x−3 π

2 )3

+ 15 ! (x−3π

2 )5

− 17 ! (x−3 π

2 )7

+…¿

2. APLIKASI DALAM FISIKA

1) Penentuan Besar Waktu Paruh pada Peluruhan Radioaktif Pada

Nuklida Radioaktif yang Berumur Panjang (“Long-Life Nuclide”)

Pernahkah kamu membayangkan waktu paru untuk nuklida yang

berumur panjang dapat ditentukan dengan periode waktu yang singkat?

Selama peluruhan adalah proses acak, kita tidak dapat menentukan kapan

sebuah atom tertentu akan meluruh. Banyaknya peuruhan dN pada waktu

tertentu bergantung pada nomor atom sampel, N. Jadi -dNdt

∝ N .

Peluruhan nuklida bervariasi, sehingga setiap radionuklida memiliki

konstanta peluruhan tersendiri yaitu λ. Kebalikan dari konstanta peluruah

adalah waktu T sebuah partikel sebelum meluruh. Peluang untuk peluruhan,

−dNN

sebanding dengan waktu peningkatan dt.

Olehkarena itu ,−dNN

=λdt

Tanda negatif menunjukkan bahwa N berkurang tiap pertambahan

waktu. Hasil dari penurunan persamaan di atas adalah

N=N 0 e−λt=N0 e−tT

Dimana N0 adalah nilai N saat t = 0. Persamaan tersebut dapat ditulis:

e−tT = N

N 0

=N0−ΔN

N0

=1− Δ NN0

Dimana Δ N adalah banyaknya nuklida yang meluruh selama waktu t. Dapat

kita gunakan deret Taylor untuk mengembangkan e−tT .

e−tT =1+

(−tT )1!

+(−t

T )2

1!+(−t

T )3

1!+…≈ 1− t

T

Karena t jauh lebih kecil dari T. Oleh karena itu, di dapat

1− tT=1− Δ N

N0

→tT= Δ N

N0

Hubungan di atas dapat digunakan untuk menentukan waktu paruh dari

sebuah nuklida yang berumur lama.

2) Penentuan Besar Energi Potensial

Mengapa V = m gy untuk gravitasi?

Bukankah dalam permasalahan ini v=−GmM

r

M

mr

Rv ( R )=−GmM

R

v ' (R)=GmM

R2

v ' ' (R)=−2GmM

R2

Sehingga dengan menggunakan ekpansi Taylor untuk V (r) sekitar r = R

V (r )≅−GmMR

+GmM

R2(r−R )−GmM

R3(r−R)2+…

Dari gambar dapat dilihat bahwa (r – R) merupakan ketinggian dari atas

tanah sehingga nilai GM

R2 = g = 9,81

Maka :

V ( y )≅−GmMR

+mgy , dengan eror hinggaGmM

R3y2

Inilah yang sering kita sebut dengan Energi Potensial = mgy = mgh, di dekat

permukaan bumi.

3. LATIHAN.

1. Uraikan sin x disekitar a = 3π/2!

2. Uraikan cos x disekitar a = π!

3. Uraikan cot x disekitar a = 3π/2!

4. Uraikan ex disekitar a = 3π/2!

14. AKURASI DALAM PERHITUNGAN

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka -untuk alasan

praktis- deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu.

Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dinamakan deret Taylor

terpotong dan dinyatakan oleh:

Rn ( x )=f ( x )−[ f (a )+ ( x−a )1 !

f ' (a )+ ( x−a )2

2 !f ' ' (a )+…+

( x−a )n

n !f n ( a )]

Atau sering ditemui persamaan:

Rn ( x )= ( x−a )n+1 f (n+1)(c )(n+1 )!

Dimana c adalah titik diantara a dan x. formula ini dapat digunakan untuk membuktikan

deret Taylor dan Maclaurin untuk sebuah fungsi konvergen atau tidak.

15. BEBERAPA PENGGUNAAN DERET

Perhitungan Numerik

Aplikasi deret pangkat dapat digunakan untuk menghitung nilai dari suatu fungsi tanpa

menggunakan alat bantu hitung/kalkulator. penggunaan deret untuk perhitungan nilai

fungsi yang tidak dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakan kalkulator.

Contoh 1.

Tentukan nilai dari ln√ (1+x )(1−x) – tan x dengan x = 0,0015.

Penyelesaian.

ln √ 1+ x1−x

−tan x=(x+ x3

3+ x5

5+ x7

7… ..)−(x+ x3

3+ 2 x5

15+ 17 x7

315….)

¿ x5

15+ 4 x7

45….

= 5,06 x 10-16

Dengan galat sebesar x7 atau 10-21.

Contoh 2.

x = 0,0015 x = 0,0015

x = 0,0015

Tentukan nilai d 4

dx4 ( 1x

sin x2)

Penyelesaian.

1x

sin x2= 1x (x2− x6

3 !+ x10

5 !…..)=x− x5

3 !+ x9

5!… ..

Kemudian persaaman tersebut di turunkan empat kali dan dihitung nilainya dengan x =

0,1

−5∙ 4 ∙3 ∙ 2 x3 !

+ 9∙ 8 ∙7 ∙6 x5

5 !=−2+0,00025 …

Atau sekitar -2 dengan eror 10-4

Penjumlahan Deret

Contoh. Tentukan jumlah dari deret harmonik berikut:

1−12+ 1

3−1

4+…

Bentuk ini sama dengan deret.

ln (1+x )=x− x2

2+ x3

3− x4

4+…

Dengan mensubsitusi nilai x = 1

ln 2=1−12+ 1

3−1

4+…=0.6931471805599

Evaluasi Deret Tentu

Contoh.

Integral Fresnel (integral dari sin x2 dan cos x2) muncul dalam permasalahan difraksi

Fresnel dalam optik.

∫0

1

sin x2 dx=∫0

1

( x2− x6

3 !+ x10

5 !−…)dx

¿ 13− 1

7 ∙3 !+ 1

11 ∙ 5 !−…

= 0,33333 – 0,02381 + 0,00076 – …

= 0, 31028 – … (dengan galat kurang dari 1/(15.7!) atau sekitar 10-5)

x = 0,1

RANGKUMAN

1. Deret adalah penjumlahan semua suku-suku suatu barisan.

2. Jika jumlah deret S menuju harga tertentu, maka deretnya disebut konvergen.

Sedangkan jika S nilainya takhingga, maka deret disebut divergen.

3. Uji konvergensi deret positif

a. Uji Pendahuluan

Jika limn→∞

an≠0 , maka deret divergen. Tetapi jika

limn→∞

an=0 , maka perlu uji

lanjut.

b. Uji banding

i). Jika suku demi suku dari deret an≤ mn, dengan ∑ mn adalah deret

konvergen, maka ∑ an juga konvergen.

ii). Jika suku demi suku deret an≥ dn , dengan ∑ dn adalah deret divergen,

maka ∑ an juga divergen.

c. Uji integral

I=∫∞

an dn ⟨ berharga tertentu, deret konvergen¿±∞ , deret divergen

d. Uji banding limit

Pengujian deret positif ∑n=1

∞

an menggunakan uji banding limit terdiri dari dua

bagian yaitu uji konvergen dan uji divergen.

(i). Jika deret positif ∑n=1

∞

bnkonvergen dan

limn→∞

an

bn

<∞ (bukan takhingga),

maka deret ∑n=1

∞

ankonvergen.

(ii). Jika deret positif ∑n=1

∞

dndivergen dan

limn→∞

an

dn

>0 , maka deret

∑n=1

∞

an

divergen.

e. Uji bagi (Rasio)

ρ=limn→∞

ρn=limn→∞

|an+1

an

|

Kriteria uji hasil bagi dinyatakan sebagai berikut:

(i). Jika ρ<1 , deret konvergen

(ii). Jika ρ>1 , deret divergen

(iii). Jika ρ=1, uji bagi tidak dapat memberikan kesimpulan

4. Uji konvergensi deret ganti tanda

Deret ganti tanda ∑n=1

∞

(−1)n+1 an dengan an>0 , konvergen jika memenuhi dua

persyaratan berikut:

(i). limn→∞

an=0 .

(ii). Setiap suku deret ini nilainya selalu lebih kecil dari suku-suku sebelumnya,

yaitu |an+1|<|an|.

Untuk deret ganti tanda yang konvergen, jika deret mutlak dari deret ganti tanda

juga konvergen, maka dikatakan bahwa deret ganti tanda konvergen mutlak.

Sebaliknya apabila deret mutlaknya divergen, maka dikatakan sebagai

konvergen bersyarat.

5. Deret Taylor dirumuskan sebagai:

f ( x =∑n=0

∞ 1n!

f (n)(b )(x−b )n

. Jika b = 0, uraian dikenal sebagai deret

Maclaurin yaitu

f ( x )=∑n=0

∞ 1n!

f (n)( b) xn

6. Interval konvergensi deret pangkat dapat ditentukan menggunakan uji bagi.

7. Deret pangkat digunakan untuk perhitungan numerik, penjumlahan deret,

evaluasi hasil dari integral tentu.

8. Aplikasi deret pangkat Taylor pada fisika ditemui pada energy kinetik relative,

penentuan waktu paruh nuklida berumur panjang (long half life nuclide), energy

potensial pada benda dekat dengan permukaan bumi, dan pendekatan medan

jauh dalam elektostatis.