1. STANDAR KOMPETENSI PEMBELAJARAN

Standar KompetensiSub Kompetensi

Jenis dan bentuk pola bilanganMenjelaskan pola bilangan ganjil dan genap, pola bilangan persegi, segitiga dan persegi panjang

Barisan dan deretMenjelaskan definisi baris dan deretMenemukan rumus barisan dan deret aritmetikaMenemukan rumus barisan dan deret geometriMenghitung suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometriMenghitung deret geometri tak hinggaMenghitung deret divergen dan konvergenMenghitung deret pangkat

2. URAIAN MATERIApa yang akan kamu pelajari! Pola bilangan ganjil dan genap. Pola bilangan persegi, segitiga, dan persegi panjang.Kata kunci Bentuk pola

A. Jenis Dan Bentuk Pola Bilangana) Pola Bilangan GanjilSuatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-pola.Contoh 1:Tentukanlah jumlah dari 8 bilangan ganjil yang pertama !Penyelesaian:1+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13 + 15 = 64 atau n2 = 82 = 64Pola bilangan : 2n n , n bilangan asli (1,2,3,4...n)

b) Pola Bilangan GenapPola bilangan genap yang kita pelajari adalah yang semestinya pada himpunan bilangan asli. kita simpulkan bahwa jumlah dari n bilangan genap yang pertama adalah n (n + 1). Contoh 2:Tentukan jumlah dari 7 bilangan genap yang pertama !Penyelesaian:Tujuh bilangan genap yang pertama adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14Jumlah 7 bilangan genap yang pertama adalah : n (n + 1) = 7 ( 7 + 1 ) = 56 Pola bilangan : 2n

c) Pola Bilangan PersegiBilangan persegi adalah bilangan yang memiliki pola seperti persegi, Karena bilangan- bilangan 1, 4, 9, 16 berhubungan dengan persegi, maka bilangan itu dinamakan pola bilangan persegi.Contoh 3 :Hitunglah jumlah titik pola ke-10 dari bilangan persegi !Penyelesaian:Banyak titik pola ke-10 dari bilangan persegi adalah :n2 = 102 = 100Pola bilangan : 2n

d) Pola Bilangan SegitigaPola bilangan segitiga diambil dari salah satu barisan bilangan pada segitiga pascal, Pola barisan 1, 3, 6, 10,.... bentuknya seperti segitiga, maka pola bilangan itu disebut pola bilangan segitiga.Pola bilangan : n (n+1)

e) Pola Bilangan Persegi PanjangPola bilangan adalah 2, 6, 9, 20,...karena bentuknya seperti persegi panjang, maka pola bilangan itu dinamakan pola bilangan persegi panjang.Pola bilangan : n (n+1)

f) Pola Bilangan Segitiga PascalUntuk lebih memahami pola bilangan segitiga pascal, perhatikan gambar:Bilangan pada diagonal-diagonal segitiga pascal dapat dilihat pada pascal, yaitu:Diagonal ke-1: 1, 1, 1, 1,.....Diagonal ke-2: 1, 2, 3, 4, 5,....Diagonal ke-3: 1, 3, 6, 10,...Diagonal ke-4: 1, 4, 10,...dan seterusnyaPola bilangan : 2n-1

B. Barisan dan Deret bilangana) Definisi BarisanBarisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan dengan aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku. Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu :Barisan berhingga, jika banyaknya suku-suku tertentu jumlahnya.Barisan tak berhingga, jika banyaknya suku-suku tak berhinga jumlahnya.Perhatikanlah setiap barisan dibawah ini!1, 3, 5, 7, 9,11, seterusnya yang selalu bilangan ganjil-20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, dan seterusnya yang selalu berselisih 5Coba perhatikan barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, dan seterusnya.Suku ke-1 adalah 1, biasanya ditulis dengan lambang U1 = 1Suku ke-2 adalah 3, biasanya ditulis dengan lambang U2 = 3Suku ke-3 adalah 5, biasanya ditulis dengan lambang U3 = 5Dan seterusnya.Berapakah suku ke-4!Dalam menentukan suku ke-4 dari barisan harus diketahui tata urutan suku barisan itu. Dalam hal ini, suatu bilangan yang tetap ditambahkan agar didapat bilangan di depannya. Bilangan tetap itu disebut selisih atau beda.Contoh 4:Suatu barisan bilangan diketahui 2, 5, 8, 11.... dan seterusnya. tentukanlahSuku ke-1 d) Suku ke-4Suku ke-2 e) Suku ke-5Suku ke-3 f) beda dan aturan tiap sukuPenyelesaian :a. U1 = 2b. U2= 5c. U3 = 8d. U4 = 11e.U5 = 14Bedanya 3, Aturan tiap suku diperoleh dengan cara menambahkan.

b) Definisi DeretDeret bilangan merupakan jumlah beruntun dari suku-suku suatu barisan bilangan.Berarti, deret bilangan dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... adalah 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + .... Contoh 5:Ani seorang staf di bagian personalia pada suatu perusahaan BUMN. Ia mendapat kepercayaan untuk menjadi ketua panitia pada hari ulang tahun ke-30 perusahaan tersebut. Peserta upacara pada hari ulang tahun perusahaan itu akan berbaris seperti gambar berikut.

Tentukan jumlah peserta upacara yang harus dipersiapkan Ani !Penyelesaian :Jumlah peserta pada setiap kelompok dapat dinyatakan dengan barisan bilangan 1, 4, 9, 16, .... Oleh karena barisan upacara itu terdiri atas 7 kelompok maka harus ditentukan jumlah peserta pada kelompok 5 hingga 7, dengan menentukan pola bilangan pada barisan tersebut terlebih dahulu, yaitu:U1 = 1 maka 12 = 1 diperoleh U1 = 12U2 = 4 maka 22 = 4 diperoleh U2 = 22U3 = 9 maka 32 = 9 diperoleh U3 = 32U4 = 16 maka 42 = 16 diperoleh U4 = 42Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh pola bilangan Un = n2 sehingga diperoleh:U5 = 52 = 25U6 = 62 = 36U7 = 72 = 49Oleh karena urutan bilangan tersebut memiliki pola maka urutan bilangan itu merupakan barisan bilangan. Jadi, jumlah seluruh peserta upacara adalah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140 Jadi jumlah peserta yang harus disiapkan Ani sebanyak 140 orang.

c) Menentukan Suku Ke-N Dari Suatu BarisanPenulisan barisan bilangan dapat dinyatakan dalam rumus aljabar. Misalkan: barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7,dan seterusnya.Barisan bilangan ganjil tadi dapat kita petakan dengan barisan bilangan asli.Bilangan asli 1, 2, 3, 4.....n 1 3 5 7 UnPada tiap suku mempunyai beda 2, maka rumus suku ke-n bilangan ditulis dengan Un = 2n 1 dengan n anggota bilangan asli. Untuk suku ke-100, suku ke-n tinggal diganti menjadi U100 = 2 x 100 -1 =199. Jadi, suku ke-100 dari bilangan ganjil adalah 199Contoh 5 :Carilah suku ke-n dari suatu barisan 1, 4, 7, 10 .....dan seterusnnya. Tentukan suku ke 200 barisan berikut !Penyelesaian:Beda suku yang berurutan adalah suku-n adalah Un = 3n 2U200 = 3 x 200-2 = 598Jadi, suku ke-200 adalah 598

C. Barisan Dan Deret Aritmatika (Deret Hitung )a) Barisan AritmatikaBarisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan dimana setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang tetap yang disebut beda ( b ). 1. Suku ke-nSecara umum jika suku ke-n suatu barisan arimetika adalah Un, maka berlaku : b = Un Un 1.Jika suku pertama dari barisan aritmetika ( U1 ) dinotasikan dengan a dan beda dinotasikan dengan b, maka suku-suku pada barisan aritmetika tersebut dapat ditulis sebagai berikut :U1 = aU2 = a + bU3 = ( a + b ) + b = a + 2bU4 = ( a + 2b ) + b = a + 3b....Un = a + ( n 1 ) b Merupakan rumus suku ke-n barisan aritmetika.Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan Sn = (2a + (n 1)b) = (a + Un) Keterangan : Un = Suku ke-n, a = Suku pertama, b = BedaContoh 6 :Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, . Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama !

Penyelesaian:2, 5, 8, 11, adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3. Suku ke-10, U10 = 2 + (10 1) 3 = 29 Jumlah 4 suku pertama = (2(2) +(4-1)3) = 26Contoh 7 :Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 3n2 15n, maka U3 = ?Penyelesaian:Perhatikan bahwa jika kita mengurangkan jumlah n suku pertama, Sn dengan jumlah n 1 suku pertama, Sn-1, maka akan didapatkan suku ke-n, Un. Jadi, Un = Sn Sn-1. Un = (3n2 15n) (3(n 1)2 15(n 1)) Un = 3n2 15n 3n2 + 6n 3 + 15n 15 = 6n 18 Maka U3 = 6(3) 18 = 0 Cara lain adalah dengan langsung menghitung U3 = S3 S2. Ciri-ciri barisan aritmatika : Merupakan urutan bilangan yang teratur; Mempunyai beda (selisih) yang sama; Tidak disertai tanda operasi bilangan seperti penjumlahan dan pengurangan.

2. Suku tengah Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmatika maka : Ut = dengan n merupakan bilangan ganjil Contoh 8 :Diketahui 3, , 13, 15, adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan tersebut !Penyelesaian:3, , 13, 15 adalah barisan aritmatika.Maka U1 = a = 3 dan Un = 15Maka suku tengah, Ut = 21(3 + 15) = 9

b) Deret Aritmatika (DA)Deret aritmetika adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku dari barisan aritmetika. Jika a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n 1 ) b merupakan deret aritmetika baku. Jumlah n suku deret aritmetika dinotasikan dengan Sn, Sehingga :Sn = a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n 1 ) b

=

1. Jumlah n suku pertama deret aritmatikaRumus jumlah suku ke-n pada deret aritmetika dapat dicari dengan cara sebagai berikur :

Sn = a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ... + ( a + ( n 1 ) bSn = ( a + ( n 1 ) b + ( a + ( n 2 ) b + ... + a 2 Sn = ( 2a + ( n 1 ) b + ..... + ( 2a + ( n 1 ) b Sebanyak n suku sehingga :2 Sn = n ( 2a + ( n 1 ) b Sn = n ( 2a + ( n 1 ) b Merupakan rumusderet aritmetikaKeterangan : Sn = Jumlah suku ke-n , n = banyak sukuContoh 9 :Ditentukan deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + ....Carilah:a. Rumus suku ke-n ?b. Rumus jumlah n suku pertama ? c. Jumlah 20 suku pertama ?Penyelesaian:Diketahui: a = 1, dan b = 3a. Rumus suku ke-n.Un = a + ( n - 1 )b = 1 + ( n - 1 )3 = 3n b. Jumlah n suku pertama Sn= n ( 1 + 3n - 2 ) 2 Sn= n (3n - 1) 2Sn= 3n2 n 2 2c. Jumlah 20 suku pertama Sn= 3n2 n 2 2Sn= 3(20)2 20 2 2= 600 10= 590Jadi, 20 jumlah suku pertama adalah 590.

D. Barisan Dan Deret Geometri (Deret Ukur)Ciri barisan aritmetika memiliki beda yang sama. Pada subbab ini, Anda akan mempelajari barisan geometri. Apakah perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri! Pelajarilah uraian berikut.

a) Barisan GeometriBarisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku didepannya dengan bilangan tetap yang disebut rasio yang dinotasikan dengan r. Jika suatu barisan geometri U1, U2, U3, ..., Un maka rasio dapat dituliskan :

r =

b) Suku Ke-N Barisan Geometri Apabila suku pertama barisan geometri dinyatakan dengan notasi a, dan rasio dinyatakan dengan notasi r, maka :U1 = aU2 = arU3 = arr = ( ar2 )U4 = a ( r2 ) r = ar3...Un = ar n-1Merupakan rumus suku ke-nbarisan geometriKeterangan : Un = Suku ke-n, a = Suku pertama, r = rasioContoh 10 :Coba Anda perhatikan barisan berikut.3, 9, 27, 81, ... 32, 18, 8, 4, ...Penyelesaian:Dari barisan a, dapat dilihat bahwa pada suku-suku yang berdekatan memiliki hasil bagi yang tetap, yaitu:

Coba Anda lihat barisan pada butir b di pembahasan sebelumnya. Barisan tersebut memiliki urutan bilangan sebagai berikut. 32, 16, 8, 4, Rasio dari barisan tersebut adalah :

Coba Anda bandingkan barisan a dan barisan b pada pembahasan tersebut. Apa yang dapat Anda simpulkan! Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditulis sebagai berikut :

Jika |r| > 1, artinya r < - 1 atau r > 1 maka barisan suku-suku geometri itu semakin besar. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik. Jika Jika |r| < 1 artinya -1 < r < 1, maka dinamakan barisan deometri turun.

c) Menentukan Rumus Suku Ke-n Barisan GeometriJika suku pertama UI, dinyatakan dengan a dan perbandingan dua suku berurutan adalah rasio r = dan suku ke- n dinyatakan dengan Un , maka kita dapat :U2 = r U2 = UI r = arUIU3 = r U3 = U2 r = ar2U2Dari bentuk diatas, kita peroleh suatu barisan geometri, pada umumnya sebagai berikut :Un = r Un = arn-1 Un-1

Contoh 11 :Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 16, sedangkan suku ke empat sama dengan 1024.Ditanya:Rasio ?Rumus suku ke-n ?Penyelesaian:Dik : a =16 dan U4 = 128Jwb : arn- 1= arn-1 128 = 16 r4-1r3 = 83 = 2 Un = arn-1 = 16 ( 2 )n-1=16 x 2n-1

Rumus suku tengah Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah : Ut = Contoh 12 :Suku tengah barisan geometri adalah 16. Jika rasio adalah 2 dan suku ke-7 adalah 64. Tentukan suku terakhir! Penyelesaian:

Jadi suku terakhir barisan tersebut adalah 256 d) Deret GeometriDeret geometri adalah suatu deret yang diperoleh dengan menjumlahkan suku-suku barisan geometri. Jika a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 merupakan deret geometri baku, maka jumlah n suku pertamanya dinotasikan Sn sehingga :

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1

= Rumus jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn Sn r Sn = a - arn( 1 r ) Sn = a - arn

Sn = Contoh 13 :Coba perhatikan barisan geometri berikut. 3, 9, 27, 81, Dapatkah Anda menghitung jumlah 4 suku pertamanya! Untuk menghitung jumlah 4 suku pertamanya, dapat dilakukan penjumlahan 3 + 9 + 27 + 81 = 120. Penjumlahan beruntun suku-suku geometri merupakan deret geometri. Jadi, 3 + 9 + 27 + 81 merupakan deret geometri. jumlah n suku pertamanya dinyatakan sebagai berikut.

dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama. Jadi, jumlah 4 suku pertama barisan geometri 3, 9, 27, 81, dapat dihitung dengan rumus berikut.Penyelesaian:

1. Deret geometri tak hinggaDeret geometri tak hingga adalah salah satu bentuk istimewa dari deret geometri yang baru saja kita diskusikan. Keistimewaannya terletak pada banyak unsur-unsurnya yaitu banyaknya tak terhingga. Karenanya didefinisikan bahwa deret geometri tak hingga adalah suatu deret geometri yang banyak unsur-unsur atau suku-sukunya tak hingga. Deret geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari U1, U2, U3 + . Atau dituliskan sebagai ; dimana 1 < r < 1

Deret geometri tak berhingga akan konvergen untuk 1 < r < 1 dan deret geometri tak berhingga akan divergen untuk r > 1 atau r < - 1.Contoh 14 :Diketahui deret geometri tak berhingga :1 + 2log(x 2) + 2log2(x 2) + 2log2(x 2) + Tentukan batas nilai x agar deret konvergen !Penyelesaian:a = 1 dan r = 2log (x 2)Deret konvergen jika :1 < r < 1 -1 < 2log(x 2) < 1

Dari (i) dan (ii) maka batas nilai x agar deret konvergen adalah= < x < 4

2. Deret konvergen dan divergenSuatu deret tak hingga disebut deret konvergen jika jumlah n sukunya (Sn) menuju ke sebuah harga tertentu jika n. Sebaliknya jika Sn tidak menuju ke harga tertentu ketika n disebut deret divergen.Contoh 15 :Tinjau suatu deret: 1+++Deret ini dikenal sbg deret ukur (geometri) dengan a=1, r =. Jumlah n suku pertama dirumuskan sebagai:

Jika n , maka deret konvergenTinjau suatu deret: 1+3+9+27+81+.Juga merupakan deret ukur dengan a=1 dan r=3.

deret divergenTinjau suatu deret: 1+3+5+7+.Deret ini dikenal sbg deret hitung (aritmatika) dengan a=1, d=2. Jumlah n suku pertama dirumuskan sebagai:

deret divergen

Sifat Deret Tak Hingga :

Jika deret konvergen, maka

(ingat, tidak berlaku sebaliknya)

JIka maka deret adalah divergen.

E. Deret pangkatDeret pangkat adalah suatu deret tak berhingga yang berbentuk:

Dimana an (n = 1, 2, 3,...) konstanta kompleks, z variabel kompleks dan c pusat deret.Kekonvergenan deret pangkat pada suatu titik berhubungan dengan kekonvergenan deret bilangan kompleks. Hal ini disajikan pada definisi berikut.Contoh 16 :Tentukan daerah kovergensi dari deret pangkat: Penyelesaian:

Misalkan maka dan

kekonvergenannya adalah konvergen pada |z| > 1. Bila z=1, maka deret merupakan deret harmonis. Karena itu deret divergen.

3. RANGKUMAN1. Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan dengan aturan atau pola tertentu. Setiap bilangan pada barisan bilangan disebut suku.2. Contoh barisan :1, 3, 5, 7, 9,11, seterusnya yang selalu bilangan ganjil-20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, dan seterusnya yang selalu berselisih 53. Deret bilangan merupakan jumlah beruntun dari suku-suku suatu barisan bilangan.4. Deret bilangan dari barisan 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,... adalah 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + ....5. Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan dimana setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang tetap yang disebut beda ( b ). 6. Deret pangkat adalah suatu deret tak berhingga yang berbentuk:

Dimana an (n = 1, 2, 3,...) konstanta kompleks, z variabel kompleks dan c pusat deret.7. 4. SUGGESTED READINGMatematika Teknik oleh K.A StroudSebuah buku pembelajaran yang ditujukan untuk mahasis-wa teknik ini, sangat bagus untuk pembelajaran mata kuliah Matematika Teknik. Dengan pembahasan yang disajikan dalam bentuk yang terprogram, mahasiswa ditun-tun mendalami matemati-ka selangkah demi selangkah, dengan segudang contoh soal dan latihan-latihan.

Kalkulus oleh Varberg, Purcell dan RigdonSebuah buku yang ringkas namun jelas ini membantu mahasiswa memahami konsep-konsep penting kalkulus tanpa harus bersusah payah dan kesulitan dengan materi-materi yang terlalu dalam namun tidak terlalu dibutuhkan. Isinya akurat tanpa perlu berlebihan, tanpa harus ikut-ikutan tren. Penulis menggunakan aplikasi, grafik dan teknologi komputer dengan efektif, ideal untuk dosen yang ingin pembahasan tepat dan ringkas.

1. CONTOH SOAL DAN LATIHANJawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar! 1. Jumlah ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, , adalah .Penyelesaian : a = 3, b = 2,U10 = (a + 9b)U10 = 3 + 18 = 212. Jumlah n suku yang pertama dari deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = 3n2 5n. Beda dari deret tersebut adalah.Penyelesaian : Sn = 3n2 5nUn = 6n 8Beda = 63. Dari barisan aritmatika diketahui suku ke-10 adalah 41 dan suku ke- 5adalah 21, maka besarnya suku ke-50 adalah ....Penyelesaian : Un= a + ( n 1 )bU10= a + 9b = 41U5= a + 4b = 215b = 20 b = 4a + 4b = 21 a + 4.4 =21 a + 16 = 21 a= 5Maka U50= a + ( 50 1 )4 = 5 +49.4 = 5 + 196 = 2014. Jumlah n suku pertaman deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2+ 5n. Suku ke-20 dari deret aritmetika tersebut adalah .Penyelesaian : Un= Sn Sn 1U20= S20 S19= (202+ 5.20) (192+5.19) = 500 456 = 445. Diketahui barisan aritmetika dengan Un adalah suku ken. Jika U2+ U15+ U40= 165, maka U19= .Penyelesaian : U2+ U15+ U40= 165(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 1653a + 54b= 165 (dibagi 3)a + 18b= 55Jadi U19= a + 18b = 55

DAFTAR PUSTAKA

Ngapiningsih, Anna Yuni Astuti. 2007. Matematika Realistik Kelas IX untuk SMP dan MTs. Klaten: Intan PariwiraSukino dan Wilson Simangunsong. 2007. Matematika untuk SMP kelas IX. Jakarta : ErlanggaSartono Wirodikromo. 2004. Matematika SMA kelas XII IPA. Jakarta: ErlanggaSuwah Sembiring. Cucun Cunayah. Ahmad Zaelani.2008. Pelajaran Matematika

Barisan dan DeretPage 21