DERET FOURIER JANGKAUAN SETENGAH GELOMBANG SINUS

Fida Annisa Imron Hafsah, JTD 1C, 10

1. Ekspansikan f(x) = x, 0 < x < 2 dalam jangkauan setengah gelombang sinus.

Jawab:

Perluaslah definisi yang diketahui hingga fungsi ganjil dengan periode 4. Ini disebut

sebagai perluasan ganjil dari f(x). Periode T = 2L = 4, L = 2.

Jadi, an = 0 dan

bn = 2L

∫0

L

f ( x )sinnπx

Ldx=2

2∫0

2

x sinnπx

2dx

= {( x )(−2nπ

cosnπx2 )−(1 )( −4

n2 π2 sinnπx2 )}|2 π

0=−4 π

nπcosnπ

Maka f(x) = ∑n=1

∞ −4nπ

cosnπ sinnπx

2

= 4x (sin

πx2

−12

sin2 πx

2+1

3sin

3 πx2

−⋯)

Sumber: Murray Spiegel and Robert C. Wrede, Schaum’s Outlines of Theory and

Problems of ADVANCED CALCULUS, The McGraw-Hill Companies, 2002.

2. Buat sketsa grafik dari fungsi f(x) = x terdefinisikan pada -2 < x < 2, periode T= 2L= 4.

Ekspansikan fungsi tersebut dalam deret Fourier dan hitunglan nilai deretnya di titik x =1.

Jawab:

Karena periode T=2L=4 atau L=2, dan dari sketsa gambar interval yang dipilih -2 < x < 2

dengan demikian koefisien deret Fourier fungsi diatas diberikan oleh:

ao = 12∫−2

2

f (x ) dx=12∫−2

2

x dx=12 [ 1

2x2] 2

−2

= 14

¿

Sedangkan koefisien an diberikan oleh:

an = 12∫−2

2

f (x ) cosnπ2

x dx=12∫−2

2

x cosnπ2

x dx

= 12 [ 2 x

nπsin

nπx2

+ 4

n2 π2cos

nπx2 ] 2

−2

= 12

4nπ

¿

Karena sin(−nπ ¿ = −sin nπ=0 dan cos (−nπ )=cos nπ maka

an = 0.

Sedangkan koefisien bn diberikan oleh:

bn = 12∫−2

2

f (x ) sinnπ2

x dx=12∫−2

2

x sinnπ2

xdx

= 12 [−2x

nπcos

nπx2

+ 4

n2 π2sin

nπx2 ] 2

−2

= 12 (−4

nπ )¿Karena sin(−nπ ¿ = −sin nπ=0 dan cos (−nπ )=cos nπ maka

bn = −2nπ

¿

Mengingat, cos nπ = -1 jika n ganjil dan cos nπ = 1 jika n genap maka koefisien bn

diberikan oleh:

b1 = 4π

, b2 = −42 π

, b3 = 4

3 π, b4 =

−44 π

, b5 = 4

5 π⋯ dan seterusnya.

Karena ao = 0, an = 0 maka ekspansi deret Fourier fungsi diberikan oleh:

f(x)= ∑n=1

∞

(¿− 4nπ

)cos nπ sin nπx

2¿

= 4π

sinπ2

x− 42 π

sin2 π2

x+ 43 π

sin3 π2

x− 44 π

sin4 π2

x±⋯

= 4π

¿

= 4π∑n=1

∞1n

sinnπ2

x

Karena deret konvergen dan jumlahnya adalah f(x), jika x = 1, f(1) = 1, maka dihasilkan:

f(1) = 4π∑n=1

∞1n

sinnπ2

1 = 4π (sin

π2−1

2sin

2 π2

+ 13

sin3 π2

−14

sin4 π2

+ 15

sin5π2

±⋯)1 =

4π (1−1

3+ 1

5−1

7+ 1

9∓⋯)

1 = 4π∑n=1

∞ (1 )n+1

2 n−1

Jadi diperoleh jumlah tak hingga deret berganti tanda:

∑n=1

∞ (1 )n+1

2n−1= 4

π

Sumber: Sudaryono, Untung Rahardja, Edi S. Mulyanta, Kalkulus for IT, Penerbit

ANDI, 2012.

3. Tentukan ekspansi deret Fourier untuk fungsi berikut.

f ( x )

-4 0 4 8

Jawab:

Dari sketsa diatas, pada interval -4 < x < 0, f(x) = 0, dan pada interval 0 < x < 4, f(x) = 0,

dan pada interval 0 < x < 4, f(x) = 2, serta nilai itu akan berulang untuk setiap x pada

interval -4 < x < (-4+8k). Jadi definisi dan periode fungsi adalah:

f(x) = {0 , jika−4< x<02 , jika 0<x<4

dengan periode T = 2L = 8 atau L = 4

dengan menggunakan definisi fungsi di atas, maka koefisien Fouriernya diberikan oleh:

a0 = 14∫−4

4

f ( x ) dx=14∫−4

0

(0 ) dx+ 14∫0

4

(2 )dx=24

[x2 ] 40=2

an = 0,

Sedangkan koefisien bn diberikan oleh:

bn = 14∫−4

4

f ( x ) sinnπx

4dx

= 14∫−4

4

(0 ) sinnπx

4dx+ 1

4∫0

4

(2 )sinnπx

4dx

= 14

¿

Mengingat, cos nπ = -1 jika n ganjil dan cos nπ = 1 jika n genap maka koefisien bn

diberikan oleh:

(1 – cos nπ) = {2 , jika n ganjil0 , jika n genap

Dengan demikian koefisien bn = diberikan oleh:

b1 = 4π

, b2 = 0, b3 = 4

3 π, b4 = 0, b5 =

45 π

⋯ dan seterusnya.

Mengingat an = 0 maka ekspansi deret Fourier fungsi diberikan oleh:

f(x)= 22+∑

n=1

∞

(¿ 2nπ

)(1−cosnπ )sin nπx

4¿

= 1+ 4π

sinπx4

+ 43π

sin3 πx

4+ 4

5 πsin

5 πx4

= 1+ 4π

¿

= 1+ 4π∑n=1

∞1

(2 n−1)sin

(2 n−1)π4

x

Terlihat bahwa untuk x = 2, f(2) = 2 karena deret konvergen dan jumlahnya adalah f(2)

maka untuk x = 2, dihasilkan:

f(2)= 1+ 4π∑n=1

∞1

(2n−1 )sin

(2n−1 ) π4

(2 )

2 = 1+ 4π

(sinπ2+ 1

3sin

3 π2

+ 15

sin5 π2

+ 17

sin7 π2

⋯)

2 = 4π (1−1

3+ 1

5−1

7±⋯)

2 = 4π∑n=1

∞ (−1 )n+1

(2n−1)

Sumber: Sudaryono, Untung Rahardja, Edi S. Mulyanta, Kalkulus for IT, Penerbit

ANDI, 2012.

4. Deretkanlah fungsi berikut menurut Deret Fourier!

f(x)= {0−2<x<030<x<2

dengan periode 4 , L=2

Jawab:

a0 = 12∫−2

0

0 dx+¿ 12∫0

2

3 dx=12

3 x¿ 20=3

an = 0, n = 1, 2, ⋯

bn = 12∫−2

0

0sinnπx

2dx+ 1

2∫0

2

3 sinnπx2

dx

= 12¿

= 3

nπ¿

n = 1, 2, ⋯

Jadi,

f(x)= 32+ 6

π(sin

πx2

+ 13

sin3 πx

2+1

5sin

5 πx2

+ 17

sin7 πx

2+⋯)

Atau:

f ( x )=32+ 6

π∑n=1

∞

( 12 n−1

¿sin(2 n−1 ) πx

4)¿

Sumber: Sudaryono, Untung Rahardja, Edi S. Mulyanta, Kalkulus for IT, Penerbit

ANDI, 2012.