BAHAN AJAR

TELAAH KURIKULUM DAN MATEMATIKA SMA 1

DOSEN PENGAMPU

RINA AGUSTINA S Pd M Pd

NIDN 0212088701

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO

2015

KATA PENGANTAR

حيمالر اللهبسم ا حمن الر

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita

dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang begitu melimpah

Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW

yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam

Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Eksponen dan Logaritma

Barisan dan Deret serta Statistik dan Peluang Semoga bahan ajar ini dapat

memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam

pembelajaran Telaah Kurikulum dan Matematka SMA 1 bagi mahasiswa

Pendidikan Matematika

Metro September 2015

Penyusun

BAB I EKSPONEN DAN LOGARITMA

A Menemukan konsep eksponen

Untuk menentukan konsep eksponen kita selesaikan masalah yang disajikan dibawah ini secara berkelanjutankita lebih dahulu berusaha memikirkan berupaya mencari ide-ide kreatif berdiskusi mencoba memecahkan masalah di dalam kelompok belajar Dari beberapa model matematika yang melibatkan eksponen Kalian secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan teman kalianBerdasarkan ciri-ciri tersebut kalian menuliskan konsep eksponen dengan pemahaman sendiri

Masalah 11

Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi Pada kultur bakteri tersebut satu bakteri membelah jadi r bakteri setiap jam Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlah bakteri tersebut menjadi 40000 bakteriPenelitian tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelajaran dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam Alternatif Penyelesaian Diketahui Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlahnya menjadi 40000 bakteri Ditanya a Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan b Berapa jumlah bakteri dala waktu 8 jam

Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam Misalkan jumlah bakteri pada awalnya ( t = 0 ) adalah

Jam ke-t 0 1

Jumlah bakteri ( r

Dari hasil pengamatn data pada tabel di ataskita dapat membuat

hubungan pertumbuhan jumlah bakteri ( terhadap pertumbuhan waktu (t)

= r atau secara singkat ditulis (1)

t dalam jam adalah jumlah bakteri saat t=0 dan r adalah bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam setelah 5 jam terdapat 40000 bakteri kita subtitusi ke formula di atas maka diperoleh = 10000 dan 40000

r=2

Jadi penelitian tersebut menemukan bahwa setiap jam 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t=0 subtitusi r = 2 ke pesamaan = 10000 sehingga 8 0000 dengan demikian Subtitusikan = 1250 ke persamaan (1) pola pertumbuhan tersebut dinyatakan

( ( = 320000

Jadi setelah 8 jam peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320000 bakteri

B Pangkat Bulat negatif Untuk a bilangan real dan a m bilngan bulat positif didefinisikan

Contoh

Jika nilai x = 2 dan y = 2 tentukan nilai ( Penyelesaian

(

(

C Pangkat Nol

Untuk a bilangan real dan a maka Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0

D Sifat-sifat pangkat Bulat Positif

119886119898

119886

8 3 7 3 9 3 3 3

1 Jika 119886 bilangan real m dan n bilangan bulat positif maka

119886119898 119886119899 119886119898+119899

2 Jika 119886 bilangan real m dan 119886 119898119886119896119886 119886119898

119886119899 119886119898 119899

3 Jika 119886 bilangan real dan 119886 m dan n bilangan bulat

positif maka (119886119898 119899 119886119898 119899

E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat

pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan

F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari

pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic

Akar ke n atau akar

pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan

pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu

Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan a dan b bilangan bulat dan b

bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan

irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya

Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic

disebut bentuk akar jika dan

hanya jika hasil radic

adalah bilangan irrasional

Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan

irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5

dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut

1 radic

2 radic 7

adalah bukan bentuk akar karena radic 7

= 3

G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a

adalah bilangan real dan a dengan a 0

dan

adalah bilangan pecahan n

a dan adalah bilangan pecahan n maka

=(

Perrhatikan bahwa

dan perlihatkan bahwa

radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

erhatikan untuk kasus di bawah ini

119886119898119899

119886

119898

Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a

p

n

119898

119899 adalah bilangan pecahan

n jika nqge 2 maka 119886119898

119899 119886119901

119902 = 119886119898

119899 119901

119902

+

+

=

radic radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut

contoh

a 3radic radic = (3+4)radic

= 7radic

b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )

2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa

radic sifat perkalian dan

pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh

a radic8

radic

=

= =2

b radic

radic =

radic

3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut

a Merasionalkan bentuk

radic

Bentuk

radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic

radic

radic

radic radic

radic =

radic

b Merasionalkan bentuk

+radic

radic

radic +radic dan

radic radic

Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional

c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (

pradic119903119899

119902radic119903119902

(119901 119902 radic119903119899

pradic119903119899

119902radic119903119899

(119901 119902 radic119903119899

e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)

f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan

irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat

bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh

radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic

disebut betuk akar

apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk

+ radic

radic

radic + radic dan

radic radic

4 Menyederhanakan bentuk radic( radic

sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk

khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini

diskusikan masalah berikut dengan teman mu

a (radic radic ) (radic radic )

b (radic radic ) (radic radic )

dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk

sederhananya menjadi radic( radic

selanjutnya perhatikan contoh berikut

radic8 radic = radic( 3 radic 3

= radic radic 3 3

= radic(radic radic3)

= radic radic3

I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar

biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar

menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel

dan didefinisikan sebagai

dengan D adalah sekala decibel bunyi I

adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan

adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu

sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek

Intensitas Bunyi

frasl

Intensitas Bunyi

Ambang batas bawah

pendengaran

Suara Bisik-bisik

3 Percakapan normal

8 Lalu lintas padat

8 3 Pesawat jet lepas landas

J Sifat-sifat Logaritma

Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu

misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka

sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma

a 119886 a a 119886119899 119899

a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888

b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0

berlaku a 119887

119888 = a 119887 a 119888

c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887

d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888

berlaku alog b log119887119888

log119886119888 =

log119886119899

e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888

f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899

119898

(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

KATA PENGANTAR

حيمالر اللهبسم ا حمن الر

Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita

dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang begitu melimpah

Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW

yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam

Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Eksponen dan Logaritma

Barisan dan Deret serta Statistik dan Peluang Semoga bahan ajar ini dapat

memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam

pembelajaran Telaah Kurikulum dan Matematka SMA 1 bagi mahasiswa

Pendidikan Matematika

Metro September 2015

Penyusun

BAB I EKSPONEN DAN LOGARITMA

A Menemukan konsep eksponen

Untuk menentukan konsep eksponen kita selesaikan masalah yang disajikan dibawah ini secara berkelanjutankita lebih dahulu berusaha memikirkan berupaya mencari ide-ide kreatif berdiskusi mencoba memecahkan masalah di dalam kelompok belajar Dari beberapa model matematika yang melibatkan eksponen Kalian secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan teman kalianBerdasarkan ciri-ciri tersebut kalian menuliskan konsep eksponen dengan pemahaman sendiri

Masalah 11

Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi Pada kultur bakteri tersebut satu bakteri membelah jadi r bakteri setiap jam Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlah bakteri tersebut menjadi 40000 bakteriPenelitian tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelajaran dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam Alternatif Penyelesaian Diketahui Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlahnya menjadi 40000 bakteri Ditanya a Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan b Berapa jumlah bakteri dala waktu 8 jam

Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam Misalkan jumlah bakteri pada awalnya ( t = 0 ) adalah

Jam ke-t 0 1

Jumlah bakteri ( r

Dari hasil pengamatn data pada tabel di ataskita dapat membuat

hubungan pertumbuhan jumlah bakteri ( terhadap pertumbuhan waktu (t)

= r atau secara singkat ditulis (1)

t dalam jam adalah jumlah bakteri saat t=0 dan r adalah bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam setelah 5 jam terdapat 40000 bakteri kita subtitusi ke formula di atas maka diperoleh = 10000 dan 40000

r=2

Jadi penelitian tersebut menemukan bahwa setiap jam 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t=0 subtitusi r = 2 ke pesamaan = 10000 sehingga 8 0000 dengan demikian Subtitusikan = 1250 ke persamaan (1) pola pertumbuhan tersebut dinyatakan

( ( = 320000

Jadi setelah 8 jam peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320000 bakteri

B Pangkat Bulat negatif Untuk a bilangan real dan a m bilngan bulat positif didefinisikan

Contoh

Jika nilai x = 2 dan y = 2 tentukan nilai ( Penyelesaian

(

(

C Pangkat Nol

Untuk a bilangan real dan a maka Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0

D Sifat-sifat pangkat Bulat Positif

119886119898

119886

8 3 7 3 9 3 3 3

1 Jika 119886 bilangan real m dan n bilangan bulat positif maka

119886119898 119886119899 119886119898+119899

2 Jika 119886 bilangan real m dan 119886 119898119886119896119886 119886119898

119886119899 119886119898 119899

3 Jika 119886 bilangan real dan 119886 m dan n bilangan bulat

positif maka (119886119898 119899 119886119898 119899

E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat

pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan

F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari

pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic

Akar ke n atau akar

pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan

pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu

Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan a dan b bilangan bulat dan b

bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan

irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya

Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic

disebut bentuk akar jika dan

hanya jika hasil radic

adalah bilangan irrasional

Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan

irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5

dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut

1 radic

2 radic 7

adalah bukan bentuk akar karena radic 7

= 3

G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a

adalah bilangan real dan a dengan a 0

dan

adalah bilangan pecahan n

a dan adalah bilangan pecahan n maka

=(

Perrhatikan bahwa

dan perlihatkan bahwa

radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

erhatikan untuk kasus di bawah ini

119886119898119899

119886

119898

Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a

p

n

119898

119899 adalah bilangan pecahan

n jika nqge 2 maka 119886119898

119899 119886119901

119902 = 119886119898

119899 119901

119902

+

+

=

radic radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut

contoh

a 3radic radic = (3+4)radic

= 7radic

b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )

2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa

radic sifat perkalian dan

pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh

a radic8

radic

=

= =2

b radic

radic =

radic

3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut

a Merasionalkan bentuk

radic

Bentuk

radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic

radic

radic

radic radic

radic =

radic

b Merasionalkan bentuk

+radic

radic

radic +radic dan

radic radic

Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional

c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (

pradic119903119899

119902radic119903119902

(119901 119902 radic119903119899

pradic119903119899

119902radic119903119899

(119901 119902 radic119903119899

e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)

f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan

irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat

bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh

radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic

disebut betuk akar

apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk

+ radic

radic

radic + radic dan

radic radic

4 Menyederhanakan bentuk radic( radic

sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk

khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini

diskusikan masalah berikut dengan teman mu

a (radic radic ) (radic radic )

b (radic radic ) (radic radic )

dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk

sederhananya menjadi radic( radic

selanjutnya perhatikan contoh berikut

radic8 radic = radic( 3 radic 3

= radic radic 3 3

= radic(radic radic3)

= radic radic3

I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar

biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar

menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel

dan didefinisikan sebagai

dengan D adalah sekala decibel bunyi I

adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan

adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu

sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek

Intensitas Bunyi

frasl

Intensitas Bunyi

Ambang batas bawah

pendengaran

Suara Bisik-bisik

3 Percakapan normal

8 Lalu lintas padat

8 3 Pesawat jet lepas landas

J Sifat-sifat Logaritma

Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu

misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka

sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma

a 119886 a a 119886119899 119899

a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888

b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0

berlaku a 119887

119888 = a 119887 a 119888

c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887

d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888

berlaku alog b log119887119888

log119886119888 =

log119886119899

e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888

f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899

119898

(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

BAB I EKSPONEN DAN LOGARITMA

A Menemukan konsep eksponen

Untuk menentukan konsep eksponen kita selesaikan masalah yang disajikan dibawah ini secara berkelanjutankita lebih dahulu berusaha memikirkan berupaya mencari ide-ide kreatif berdiskusi mencoba memecahkan masalah di dalam kelompok belajar Dari beberapa model matematika yang melibatkan eksponen Kalian secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan teman kalianBerdasarkan ciri-ciri tersebut kalian menuliskan konsep eksponen dengan pemahaman sendiri

Masalah 11

Seorang peneliti bidang mikrobiologi di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi Pada kultur bakteri tersebut satu bakteri membelah jadi r bakteri setiap jam Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlah bakteri tersebut menjadi 40000 bakteriPenelitian tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelajaran dan mencari tahu banyak bakteri dalam waktu 8 jam Alternatif Penyelesaian Diketahui Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian jumlahnya menjadi 40000 bakteri Ditanya a Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan b Berapa jumlah bakteri dala waktu 8 jam

Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam Misalkan jumlah bakteri pada awalnya ( t = 0 ) adalah

Jam ke-t 0 1

Jumlah bakteri ( r

Dari hasil pengamatn data pada tabel di ataskita dapat membuat

hubungan pertumbuhan jumlah bakteri ( terhadap pertumbuhan waktu (t)

= r atau secara singkat ditulis (1)

t dalam jam adalah jumlah bakteri saat t=0 dan r adalah bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam setelah 5 jam terdapat 40000 bakteri kita subtitusi ke formula di atas maka diperoleh = 10000 dan 40000

r=2

Jadi penelitian tersebut menemukan bahwa setiap jam 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t=0 subtitusi r = 2 ke pesamaan = 10000 sehingga 8 0000 dengan demikian Subtitusikan = 1250 ke persamaan (1) pola pertumbuhan tersebut dinyatakan

( ( = 320000

Jadi setelah 8 jam peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320000 bakteri

B Pangkat Bulat negatif Untuk a bilangan real dan a m bilngan bulat positif didefinisikan

Contoh

Jika nilai x = 2 dan y = 2 tentukan nilai ( Penyelesaian

(

(

C Pangkat Nol

Untuk a bilangan real dan a maka Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0

D Sifat-sifat pangkat Bulat Positif

119886119898

119886

8 3 7 3 9 3 3 3

1 Jika 119886 bilangan real m dan n bilangan bulat positif maka

119886119898 119886119899 119886119898+119899

2 Jika 119886 bilangan real m dan 119886 119898119886119896119886 119886119898

119886119899 119886119898 119899

3 Jika 119886 bilangan real dan 119886 m dan n bilangan bulat

positif maka (119886119898 119899 119886119898 119899

E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat

pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan

F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari

pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic

Akar ke n atau akar

pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan

pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu

Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan a dan b bilangan bulat dan b

bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan

irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya

Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic

disebut bentuk akar jika dan

hanya jika hasil radic

adalah bilangan irrasional

Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan

irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5

dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut

1 radic

2 radic 7

adalah bukan bentuk akar karena radic 7

= 3

G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a

adalah bilangan real dan a dengan a 0

dan

adalah bilangan pecahan n

a dan adalah bilangan pecahan n maka

=(

Perrhatikan bahwa

dan perlihatkan bahwa

radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

erhatikan untuk kasus di bawah ini

119886119898119899

119886

119898

Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a

p

n

119898

119899 adalah bilangan pecahan

n jika nqge 2 maka 119886119898

119899 119886119901

119902 = 119886119898

119899 119901

119902

+

+

=

radic radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut

contoh

a 3radic radic = (3+4)radic

= 7radic

b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )

2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa

radic sifat perkalian dan

pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh

a radic8

radic

=

= =2

b radic

radic =

radic

3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut

a Merasionalkan bentuk

radic

Bentuk

radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic

radic

radic

radic radic

radic =

radic

b Merasionalkan bentuk

+radic

radic

radic +radic dan

radic radic

Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional

c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (

pradic119903119899

119902radic119903119902

(119901 119902 radic119903119899

pradic119903119899

119902radic119903119899

(119901 119902 radic119903119899

e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)

f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan

irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat

bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh

radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic

disebut betuk akar

apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk

+ radic

radic

radic + radic dan

radic radic

4 Menyederhanakan bentuk radic( radic

sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk

khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini

diskusikan masalah berikut dengan teman mu

a (radic radic ) (radic radic )

b (radic radic ) (radic radic )

dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk

sederhananya menjadi radic( radic

selanjutnya perhatikan contoh berikut

radic8 radic = radic( 3 radic 3

= radic radic 3 3

= radic(radic radic3)

= radic radic3

I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar

biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar

menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel

dan didefinisikan sebagai

dengan D adalah sekala decibel bunyi I

adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan

adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu

sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek

Intensitas Bunyi

frasl

Intensitas Bunyi

Ambang batas bawah

pendengaran

Suara Bisik-bisik

3 Percakapan normal

8 Lalu lintas padat

8 3 Pesawat jet lepas landas

J Sifat-sifat Logaritma

Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu

misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka

sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma

a 119886 a a 119886119899 119899

a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888

b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0

berlaku a 119887

119888 = a 119887 a 119888

c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887

d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888

berlaku alog b log119887119888

log119886119888 =

log119886119899

e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888

f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899

119898

(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

r=2

Jadi penelitian tersebut menemukan bahwa setiap jam 1 bakteri membelah menjadi 2 bakteri Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t=0 subtitusi r = 2 ke pesamaan = 10000 sehingga 8 0000 dengan demikian Subtitusikan = 1250 ke persamaan (1) pola pertumbuhan tersebut dinyatakan

( ( = 320000

Jadi setelah 8 jam peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320000 bakteri

B Pangkat Bulat negatif Untuk a bilangan real dan a m bilngan bulat positif didefinisikan

Contoh

Jika nilai x = 2 dan y = 2 tentukan nilai ( Penyelesaian

(

(

C Pangkat Nol

Untuk a bilangan real dan a maka Untuk lebih memahami definisi di atas perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut dengan bilangan 0

D Sifat-sifat pangkat Bulat Positif

119886119898

119886

8 3 7 3 9 3 3 3

1 Jika 119886 bilangan real m dan n bilangan bulat positif maka

119886119898 119886119899 119886119898+119899

2 Jika 119886 bilangan real m dan 119886 119898119886119896119886 119886119898

119886119899 119886119898 119899

3 Jika 119886 bilangan real dan 119886 m dan n bilangan bulat

positif maka (119886119898 119899 119886119898 119899

E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat

pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan

F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari

pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic

Akar ke n atau akar

pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan

pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu

Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan a dan b bilangan bulat dan b

bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan

irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya

Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic

disebut bentuk akar jika dan

hanya jika hasil radic

adalah bilangan irrasional

Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan

irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5

dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut

1 radic

2 radic 7

adalah bukan bentuk akar karena radic 7

= 3

G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a

adalah bilangan real dan a dengan a 0

dan

adalah bilangan pecahan n

a dan adalah bilangan pecahan n maka

=(

Perrhatikan bahwa

dan perlihatkan bahwa

radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

erhatikan untuk kasus di bawah ini

119886119898119899

119886

119898

Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a

p

n

119898

119899 adalah bilangan pecahan

n jika nqge 2 maka 119886119898

119899 119886119901

119902 = 119886119898

119899 119901

119902

+

+

=

radic radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut

contoh

a 3radic radic = (3+4)radic

= 7radic

b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )

2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa

radic sifat perkalian dan

pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh

a radic8

radic

=

= =2

b radic

radic =

radic

3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut

a Merasionalkan bentuk

radic

Bentuk

radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic

radic

radic

radic radic

radic =

radic

b Merasionalkan bentuk

+radic

radic

radic +radic dan

radic radic

Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional

c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (

pradic119903119899

119902radic119903119902

(119901 119902 radic119903119899

pradic119903119899

119902radic119903119899

(119901 119902 radic119903119899

e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)

f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan

irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat

bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh

radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic

disebut betuk akar

apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk

+ radic

radic

radic + radic dan

radic radic

4 Menyederhanakan bentuk radic( radic

sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk

khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini

diskusikan masalah berikut dengan teman mu

a (radic radic ) (radic radic )

b (radic radic ) (radic radic )

dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk

sederhananya menjadi radic( radic

selanjutnya perhatikan contoh berikut

radic8 radic = radic( 3 radic 3

= radic radic 3 3

= radic(radic radic3)

= radic radic3

I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar

biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar

menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel

dan didefinisikan sebagai

dengan D adalah sekala decibel bunyi I

adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan

adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu

sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek

Intensitas Bunyi

frasl

Intensitas Bunyi

Ambang batas bawah

pendengaran

Suara Bisik-bisik

3 Percakapan normal

8 Lalu lintas padat

8 3 Pesawat jet lepas landas

J Sifat-sifat Logaritma

Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu

misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka

sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma

a 119886 a a 119886119899 119899

a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888

b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0

berlaku a 119887

119888 = a 119887 a 119888

c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887

d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888

berlaku alog b log119887119888

log119886119888 =

log119886119899

e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888

f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899

119898

(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

E Pangkat Pecahan Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat

pecahan Misalkan a bilangan real dan a m n bilangan bulat positif didefinisikan

F Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan inversi dari

pemangkatan suatu bilanganakar dilabangkan notasi radic

Akar ke n atau akar

pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai radic dengan adalah bilangan

pokok basis dan n adalah indekseksponen akarBentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya Sebelum mempelajari bentuk akar kita harus memahami konsep bilangan rasional dan irasional terlebih dahulu

Bilangan rasional berbeda dengan bilnagan irasional Bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

dengan a dan b bilangan bulat dan b

bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat bilangan bilngan pecahan murni dan bilangan pecahan desimal sedangkan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak terhingga dan tak berpola Contoh bilangan

irrasional misalnya radic 3 373 dan sebagainya

Misalkan a bilangan real dan n bilangan positif radic

disebut bentuk akar jika dan

hanya jika hasil radic

adalah bilangan irrasional

Bilangan irrasional yang menggunakan tanda akar (radic) dinamakan bentuk akar tetapi ingattidk semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan

irrasional Contoh radic dan radic bukan bentuk akar karena nilai dari radic adalah 5

dan nilai radic adalah 8 keduanya bukan bilangan irrasional Agar lebih jelas perhatikan cocntoh berikut

1 radic

2 radic 7

adalah bukan bentuk akar karena radic 7

= 3

G Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar Jika a

adalah bilangan real dan a dengan a 0

dan

adalah bilangan pecahan n

a dan adalah bilangan pecahan n maka

=(

Perrhatikan bahwa

dan perlihatkan bahwa

radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

erhatikan untuk kasus di bawah ini

119886119898119899

119886

119898

Sifat-sifat pangkat pecahan Misalkan a adalah bilangan real dan a

p

n

119898

119899 adalah bilangan pecahan

n jika nqge 2 maka 119886119898

119899 119886119901

119902 = 119886119898

119899 119901

119902

+

+

=

radic radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut

contoh

a 3radic radic = (3+4)radic

= 7radic

b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )

2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa

radic sifat perkalian dan

pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh

a radic8

radic

=

= =2

b radic

radic =

radic

3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut

a Merasionalkan bentuk

radic

Bentuk

radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic

radic

radic

radic radic

radic =

radic

b Merasionalkan bentuk

+radic

radic

radic +radic dan

radic radic

Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional

c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (

pradic119903119899

119902radic119903119902

(119901 119902 radic119903119899

pradic119903119899

119902radic119903119899

(119901 119902 radic119903119899

e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)

f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan

irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat

bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh

radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic

disebut betuk akar

apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk

+ radic

radic

radic + radic dan

radic radic

4 Menyederhanakan bentuk radic( radic

sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk

khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini

diskusikan masalah berikut dengan teman mu

a (radic radic ) (radic radic )

b (radic radic ) (radic radic )

dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk

sederhananya menjadi radic( radic

selanjutnya perhatikan contoh berikut

radic8 radic = radic( 3 radic 3

= radic radic 3 3

= radic(radic radic3)

= radic radic3

I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar

biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar

menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel

dan didefinisikan sebagai

dengan D adalah sekala decibel bunyi I

adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan

adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu

sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek

Intensitas Bunyi

frasl

Intensitas Bunyi

Ambang batas bawah

pendengaran

Suara Bisik-bisik

3 Percakapan normal

8 Lalu lintas padat

8 3 Pesawat jet lepas landas

J Sifat-sifat Logaritma

Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu

misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka

sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma

a 119886 a a 119886119899 119899

a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888

b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0

berlaku a 119887

119888 = a 119887 a 119888

c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887

d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888

berlaku alog b log119887119888

log119886119888 =

log119886119899

e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888

f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899

119898

(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

+

+

=

radic radic radic sehingga dapat disimpulkan

radic

H Operasi Pada bentuk Akar 1 Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

operasi penjumlahandan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai ekspone dan basis sma Untuk setiap pq dan r adalah bilangan real dan r ge berlaku sifat-sifat berikut

contoh

a 3radic radic = (3+4)radic

= 7radic

b radic radic3 ( tidak dapat diselesaikan karena akarnya tidak senama )

2 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa

radic sifat perkalian dan

pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut Contoh

a radic8

radic

=

= =2

b radic

radic =

radic

3 Merasionalkan Penyebut Bentuk akar

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti radic radic radic3 radic7 radic radic Merupakan bilangan irrasional Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan maka dikatakan sebagai penyebut irrasional Penyebut irrasional dapat diubah menjadi bilangan rasional Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan bergantung pada bentuk pacahan itu sendiri Akan tetapi prinsip dasarnya samayaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawanya Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut

a Merasionalkan bentuk

radic

Bentuk

radic dirasionalkan dengan cara mengalikanya dengan radic

radic

radic

radic radic

radic =

radic

b Merasionalkan bentuk

+radic

radic

radic +radic dan

radic radic

Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atasperlu kita pahamibentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional

c Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 ( d Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya

bilangan irrasional Contoh 2 + radic7 7 (

pradic119903119899

119902radic119903119902

(119901 119902 radic119903119899

pradic119903119899

119902radic119903119899

(119901 119902 radic119903119899

e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)

f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan

irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat

bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh

radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic

disebut betuk akar

apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk

+ radic

radic

radic + radic dan

radic radic

4 Menyederhanakan bentuk radic( radic

sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk

khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini

diskusikan masalah berikut dengan teman mu

a (radic radic ) (radic radic )

b (radic radic ) (radic radic )

dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk

sederhananya menjadi radic( radic

selanjutnya perhatikan contoh berikut

radic8 radic = radic( 3 radic 3

= radic radic 3 3

= radic(radic radic3)

= radic radic3

I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar

biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar

menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel

dan didefinisikan sebagai

dengan D adalah sekala decibel bunyi I

adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan

adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu

sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek

Intensitas Bunyi

frasl

Intensitas Bunyi

Ambang batas bawah

pendengaran

Suara Bisik-bisik

3 Percakapan normal

8 Lalu lintas padat

8 3 Pesawat jet lepas landas

J Sifat-sifat Logaritma

Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu

misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka

sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma

a 119886 a a 119886119899 119899

a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888

b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0

berlaku a 119887

119888 = a 119887 a 119888

c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887

d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888

berlaku alog b log119887119888

log119886119888 =

log119886119899

e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888

f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899

119898

(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

e Jika bilangan irrasional dijumlahkan dengan bilangan irrasional maka hasilnya bilangan irrasional atau rasional contoh (1)

f jika bilangan rasional dialihkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan

irasional contoh 2 x radic = 2radic g jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional maka hasilnya dapat

bilangan rasional atau bilangan irasional h Contoh

radic x radic = radic x 5radic = 25 (25 adalah bilangan rasional)radic

disebut betuk akar

apabila hasil akar a adalah bilangan irasional untuk merasionalkan bentuk

+ radic

radic

radic + radic dan

radic radic

4 Menyederhanakan bentuk radic( radic

sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk

khusus yaitu bentuk radic( radic perhatikan proses berikut ini

diskusikan masalah berikut dengan teman mu

a (radic radic ) (radic radic )

b (radic radic ) (radic radic )

dari hasil kegiatan yang kamu lakukan kamu akan memperoleh bentuk

sederhananya menjadi radic( radic

selanjutnya perhatikan contoh berikut

radic8 radic = radic( 3 radic 3

= radic radic 3 3

= radic(radic radic3)

= radic radic3

I Menentukan Konsep Logaritma telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yag rentang nya luar

biasa suara paling keras yang dapat didengar oleh orang yang sehat tanpa merusak gendang telinga memiliki intensitas 1 triliun kali lebih kuat dar pada suara paling rendah yang bisa didengar

menghitung intensitas bunyi dengan rentang begitu besar tentu sangat tidak nyaman Namun dengan logaritma perhitungan ini akan menjadi lebih sederhana Logaritma merupakan suatu operasi hitung Alexander Graham Bell (1847-1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi skala ini dinamakan decibel

dan didefinisikan sebagai

dengan D adalah sekala decibel bunyi I

adalah intensitas bunyi dengan satuan Watt per meter persegi frasl dan

adalah intansitas bunyi paling minimum yang bisa didengar orang yang sehat yaitu

sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek

Intensitas Bunyi

frasl

Intensitas Bunyi

Ambang batas bawah

pendengaran

Suara Bisik-bisik

3 Percakapan normal

8 Lalu lintas padat

8 3 Pesawat jet lepas landas

J Sifat-sifat Logaritma

Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu

misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka

sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma

a 119886 a a 119886119899 119899

a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888

b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0

berlaku a 119887

119888 = a 119887 a 119888

c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887

d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888

berlaku alog b log119887119888

log119886119888 =

log119886119899

e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888

f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899

119898

(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

sebagai gambaran berikut ini adalah table intensitas bunyi beberapa objek

Intensitas Bunyi

frasl

Intensitas Bunyi

Ambang batas bawah

pendengaran

Suara Bisik-bisik

3 Percakapan normal

8 Lalu lintas padat

8 3 Pesawat jet lepas landas

J Sifat-sifat Logaritma

Dari definisi 19 logaritma merupakan invers dari perpangkatan oleh karena itu terdapat 3 sifat dasar logaritma yaitu

misalkan a dan n bilangan real a gt 0 dan a maka

sifat- sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi logaritma Bebarapa sifat operasi logaritma

a 119886 a a 119886119899 119899

a) Untuk a b dan c bilangan real positif a dan b gt 0 belaku a (119886119909119888 a 119887 a 119888

b) Untuk a b dan c bilangan real dengan a gt 0 a dan bgt 0

berlaku a 119887

119888 = a 119887 a 119888

c) Untuk ab dan n bilangan real agt 0 b gt 0 a berlaku a 119887119899 = n a 119887

d) Untuk a b dan c bilangan real positif 119886 119887 119889119886119899 119888

berlaku alog b log119887119888

log119886119888 =

log119886119899

e) Untuk a b dan c bilangan real positif dengan 119886 119889119886119899 119888 berlaku a 119887 119909 a 119888 = a 119888

f) Untuk a dan b bilangan real positif dengan 119886 berlaku an 119887119899 119899

119898

(alog b) dengan mn bilangan bulat dan m 0 g) untuk a dan b bilangan real positif a 1 berlaku aalogb = b

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

BAB II BARISAN DAN DERET

A Pengertian Barisan dan Deret

1 Pola Bilangan dan Barisan Pola bilangan sering di jumpai dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada

suatu perjamuan ketika belum ada tamu yang datang maka tuan rumah tidak berjabat tangan Jika satu tamu datang maka terjadi 1 kali jabat tangan jika kemudian ada 1 tamu lagi yang datang maka terjadi 3 kali jabat tangan Berikut adalah pola bilangan yang dapat terbentuk

Banyak orang

Banyak Jabat Tangan 1 0 = 0 2 0 + 1 = 1 3 0 + 1 + 2 = 3 n 0 + 1 + 2 + + ( n ndash 1 )

Contoh soal Ada 10 orang tamu + 1 tuan rumah berapa banyak jabat tangan yang mungkin

terjadi Banyak jabat tangan = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 kali

jabat tangan

2 Barisan Bilangan Barisan bilangan adalah susunan bilangan ndash bilangan yang memiliki aturan

tertentu dan di pisahkan dengan koma

Contoh soal 3 7 9 rarr B c 11 8 5 2 - rarr B c -3 Tentukan tiga suku pertama pada barisan yang suku umumnya di rumuskan

dengan n 9

Jawab n 9 9 9 3 3 9

Bentuk umum

119880119899 119880 119880 119880

119880 119880 119880

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

3 Deret Bilangan Jumlah suku-suku dari suatu barisan di sebut deret Bentuk umumnya adalah

sebagai berikut

Contoh Deret bilangan genap 2 + 4 + 6 + 8 + Deret bilangan persegi panjang 2 + 6 + 12 + 20 + Deret bilangan kubik 3

B Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika

1 Barisan Aritmatika Perhatikan penggaris ukuran 30 cm Pada penggaris tersebut terdapat bilangan

berurutan 0 1 2 3 4 30 Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai jarak yang sama yaitu 1 cm Jarak antar bilangan berurutan menunjukan selisih antar bilangan Bilangan ndash bilangan berurutan seperti padda penggaris memiliki selisih yang sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan bilangan Barisan bilangan seperti ini di sebut barisan aritmatika dengan selisih setiap dua suku berurutannya yang disebut beda

Bentuk umum

Pada barisan aritmatika berlaku

Contoh Tentukan beda dari suku-suku di bawah ini

a 4 7 10 13 b -10 -6 -2 2

Jawab a Beda = 7 ndash 4 = 3 b Beda = -6 ndash (-10) = 4

2 Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika

Suku ke-n Barisan Aritmatika adalah

Keterangan

119880 119880 119880 119880119899

119880119894

119899

119894

119880 119880 119880 119880119899 119886119905119886119906 119886 (119886 119887 (119886 119887 (119886

(119899 119887

119880119899 119880119899 119887

119880 119880 119887119880

119880119899 119880119899 119887

119880119899 119886 (119899 119887

Sehingga

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

n = Suku ke ndash n a = Suku pertama b = Beda n = Banyaknya suku

Contoh 1

Tentukan suku pertama beda dan suku ke-10 dari barisan 4 7 10 13

Jawab a = 4 b = 7 ndash 4 = 3 n ( ( 3 3

Contoh 2

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24 a Tentukan beda dan jenis barisan dari barisan aritmetika tersebut b Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut Jawab Diketahui

suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36

a Untuk menentukan beda Un = a + (n 1) b maka U7 = 6 + (7 1) b 36 = 6 + 6 b 36 6 = 6 b 30 = 6 b b = 5

Jadi beda pada barisan itu adalah 5 Oleh karena b gt 0 barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik

b Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai

berikut 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51

Contoh 3 D m 8 3 7 7 Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut Jawab Diketahui a = U1 = 8

b = U2 U1 = 3 ( 8 = 3 8 = 5

Jadi rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Un = a + (n 1) b = 8 (n 1) 5 = 8 n 5 = 5n ndash 13

Contoh 4 Diketahui barisan bilangan asli kurang dari 125 Tentukan banyak bilangan yang a habis dibagi 2 b habis dibagi 5 c habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 Penyelesaian Barisan bilangan itu adalah 1 2 3 4 124 a Barisan bilangan yang habis dibagi 2 adalah 2 4 6 8 124 b Barisan bilangan yang habis dibagi 5 adalah 5 10 15 20 120 c Barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah

anggota penyelesaian pertanyaan bagian a dikurangi anggota penyelesaian pertanyaan b

Jadi barisan bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah 2 4 6 8 12 14 16 18 22 24 26 28 32 118 122 124

3 Suku Tengah Barisan Aritmatika ( Uk ) Barisan nuntuk n ganjil Maka dapat di rumuskan sebagai berikut

Contoh Di ketahui barisan aritmatika 3 9 15 21 117 Tentukan suku tengahnya

Jawab

n

+

= 60

4 Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika di antara 2 bilangan a dan Un di sisipkan bilangan a Un K bilangan

Maka setelah di sisipi k bilangan banyaknya suku pada barisan ada (k+2)=n n (

Pada barisan baru berlaku

119880119896 119880119899 119886

Un = a + ( k + 2 ndash 1 )b Un = a + ( k + 1 )b

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Contoh

Di antara bilangan 6 dan 24 di sisipkan 8 bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika Tentukan bedanya

Jawab a = 6 Un = 24 k = 8

b = n

+ =

+

5 Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika Jika U1 U2 U3 Un adalah barisan aitmatika maka U1 +U2 + U3 Un merupaka deret aritmatika Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan Sn

Sn =U1 +U2 + U3 Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

atau

Contoh 1 Di ketahui deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + Hitung jumlah 25 suku

pertama Jawab

Sn =

( (

S25=

( (

S25= 1300

Contoh 2 Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 Penyelesaian Diketahui a = 51 b = 2 dan Un = 99 Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100 pertama-tama kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100 yaitu n Dengan menggunakan rumus

Un = a + (n ndash 1) b 99 = 51 + (n ndash 1)(2) 99 = 51 + 2n ndash 2 99 = 49 + 2n 2n = 99 ndash 49 n = 25

Sn =

119899 ( 119886 119880119899 Sn =

119899 ( 119886 ( 119899 119887

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika

Sn =

( (

diperoleh

S25 =

25 [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24) = 25(75) = 1875

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1875

C Barisan Geometri dan Deter Geometri 1 Barisan Geometri

Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1 U2 U3 U4 n-1 Un

Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri jika nilai perbandingan untuk setiap suku ke ndash n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ) ditulis

D m

Misalkan suku pertama sama dengan a rasio sama dengan r maka U1 U2 U3 Un

a ar ar2 n ndash 1 Dengan demikian rumus suku ke ndash n barisan geometri adalah Contoh

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32 Tentukan

a suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut b suku kesembilan barisan geometri tersebut

Jawab Diketahui

U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn ndash 1 maka U4 = ar3 = 4 (1)

U7 = ar6 = 32 (2)

Dari persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a = 4r3 (3)

Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) ar6 = 32 maka 4r3 = 32

Un = arn-1

r =

minus

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

r3 = 8 r = 2

Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1) diperoleh ar3 = 4 maka a(2)3 = 4 a 8 = 4 a = frac12

Jadi suku pertamanya adalah 12 dan rasionya adalah 2 2 Rumus Suku Tengah Barisan Geometri

Suatu barisan geometri dengan n suku n bilangan ganjil maka suku tengah ( Uk ) dinyatakan sebagai berikut

Contoh Di ketahui Barisan Geometri 2 8 32 8192 Tentukan suku tengahnya Jawab

a = 2 Un = 8192

Uk = radic n

Uk = radic 8 9 8

3 Sisipan pada Barisan Geometri Pada barisan geometri a Un disisipkan k suku

K suku

Pada barisan geometri baru banyaknya suku adalah ( k + 2 ) Jadi

Contoh

Di antara bilangan

dan 64 disisipkan 7 bilangan sehingga menjadi barisan

geometri Tentukan rasio Jawab

r = radic

r = radic

r = radic

r = radic

= 2

Uk = radic 119899

Un = arn-1 rarr Un = ar(k+2-1) rarrUn = ark+1

rarrr = radic

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

4 Deret Geometri Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku ndash suku barisan geometri Jika U1 U2 U3 U4 n-1 Un adalah barisan geometri maka U1 +U2 + U3 + Unmerupaka deret geometri Jumlah nsuku pertama disimbolkan dengan (Sn) Sn =U1 +U2 Un-1 + Un

Rumus jumlah n suku pertama adalah

Contoh Tentukan jumlah ke 6 deret geometri berikut 2 + (-10) + 50 + + (-6250)

Jawab

1

1

r

raS

n

n

15

1)5(2 6

nS

6

156242

nS

5208nS

5 Deret Geometri Tak Hingga

Jika suatu deret geometri Sn =U1 +U2 Un-1 + Un dengan n mendekati takhingga makaderet geometri tersebut dikatakan sebagai deret geometri tak hingga dan di tulis dengan

Sinfin =U1 +U2 Un-1

Jika

rkarena

r

raitSmakar

n

n

1

1lim1

Jika

011

1lim1 mendekatirkarena

r

a

r

raitSmakar

n

n

Sehingga rumus jumlah deret geometri takhingga untuk 01 adalahrr

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Contoh 1 Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut

a 1 + 12 + 14 + 18 +

b + +

+

+

Jawab

a 1 + 12 + 14 + 18 + Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = frac12 sehingga

b + +

+

+

Perhatikan deret 2 + 1 + 12 + 14 + Dari deret tersebut diperoleh a = 2 dan r = frac12

Jadi + +

+

+ = = 16

Contoh 2

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4 Carilah rasionya

Penyelesaian

Dari soal di atas unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan Sinfin = 4

Kita substitusikan ke dalam rumus Sinfin

harr 1 ndash r = frac12 harr r = frac12

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Jadi rasionya adalah frac12

6 Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk

barisan bilangan lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri

Barisan dan Deret Geometri Contoh 1

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi Tentikanlah

a banyaknya kursi pada baris ke-10

b banyaknya kursi dalam gedung itu

Penyelesain

a y 3 3 38 m U10 = a + (n ndash 1)b = 30 + (10 ndash 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi b Kita gunakan rumus deret aritmatika

Deret tak hingga genap

Sn = 119834119851

120783 119851120784 untuk bilangan genap

Deret tak hingga ganjil Sn = 119834

120783 119851120784 untuk

bilangan ganjil

Barisan dan Deret aritmatika Un = a + (n ndash 1)b

Sn =

( n

Un = arn-1

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

S10 =

( 3

= 480 Jadi banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi Contoh 2

Mulai tahun 2000 Pak Arman mempunyai kebun tebu Penghasilan

kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6000000- Mulai

tahun2001 Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang

PakArman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun penghasilan kebun

tebunyanaik Rp 500000- Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak

Arman padaakhir tahun 2005

Penyelesaian Misalkan a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005 Jadi a = Rp 6000000- b = Rp 500000- dan P2005 akan dicari Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebuntebu Pak Arman setiap

Akhir tahun adalah tetap maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahun 2005 kita dapat menerapkanrumusunsurke n dari

Barisan aritmatika dengan U1 = a = a = Rp 6000000- b = Rp 500000 P2005 = U6 = a + 5b = 6000000 + 5(500000) = 6000000 + 2500000 = 8500000 Jadi perkiraan penghasilan kebuntebu Pak Arman pada akhirtahun 2005 Adalah Rp 8500000-

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

BAB III STATISTIK DAN PELUANG

A Beberapa Pengertian Dasar Dalam Statistika

1 Datum dan Data a Datum adalah keterangan atau informasi tunggal yang diperoleh dari

suatu penelitian b Data adalah bentuk jamak dari datum atau kumpulan datum

Berdasarkan jenisnya data dibedakan menjadi 2 macam yaitu data kualitatif dan data kuntitatif Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk bilangan misalnya data tentang mutu hasil panen jagung Data kuantutatif adalah yaitu data yang berbentuk bilangan Data kuantitatif dibedakan menjadi data diskrit dan data kontinu Data diskrit atau cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitung Contoh data banyak buku yang dibawa siswa kelas x Data kontinu atau ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur Contoh data berat badan siswa kelas x

2 Statistik statistika Populasi dan Sampel a Statistik adalah kumpulan data yang dapat menggambarkan suatu

keadaan b Statistika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari tentang

pengumpulan data penyajian data penganalisis data penarikan kesimpulan dari data itu dan pembuatan keputusan

c Populasi adalah himpunan semua objek yang menjadi bahan pengamatan d Sampel adalah bagian populasi yang diamati dan dapat mewakili populasi

3 Pengumpulan Data Pengumpulan data ada dua cara sebagai berikut a Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti setiap anggota

populasi Metode sensus dapat dilakukan dengan wawancara dan angket (kuesioner)

b Sampling adalah pengumpulan data dengan hanya mengambil sampel dari populasi yang diteliti

B Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Data statistik dapat disajikan dalam bentuk diagram Dalam bahasa

yang mudah diagram berarti gambar untuk menerangkan sesuatu 1 Diagram batang

Diagram batang adalah diagram berbentuk batang atau balok Contoh Data jumlah pelanggan dan pemakaian internet disebuah provinsi disajikan dalam tabel berikut

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Tahun Pelanggan Pemakai Jumlah

2005 866 8081 8947

2006 1087 11226 12313

2007 1500 16400 17900

2008 1709 20001 21710

2009 2010 25195 27205

Diagram batang tegak

2 Diagram Garis Diagram garis adalah garafik yang berbentuk garis lurus Biasanya diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu kewaktu secara berurutan

Tahun Impor (dalam kuintal)

2004 9500

2005 4000

2006 4500

2007 10500

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

2005 2006 2007 2008 2009

Jumlah

Jumlah

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

2008 1500

2009 2000

3 Diagram Lingkaran dan Diagram pastel a Diagram lingkaran adalah diagram berbentuk daerah lingkaran Daerah

lingkaran dibagi dalam juring-juring lingkaran Besar sudut juring lingkaran sebanding dengan besar nilai data yang disajikan

b Diagram pastel adalah diagram lingkaran yang berbentuk tiga dimensi ( mempunyai ketebalan) contoh Mata pencaharian 300 penduduk desa makmur pada tahun 2009 ditunjukan oleh tabel berikut

Mata Pencaharian Frekuensi

Petani 90

Peternak 10

Pedagang 120

Guru 50

Karyawan 30

Jumlah 300

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

2004 2005 2006 2007 2008 2009

Impor

Impor

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Mata

Pencaharian

Besar Sudut Juring Presentase

Petani

9

3 3

8

9

3

3

Peternak

3 3

3

3 33

Pedagang

3 3

3

Guru

3 3

3

7

Karyawan 3

3 3 3

3

3

Diagram Lingkaran

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Petani 108 Guru 60

Pedagang 144

Karyawan 36

Peternak 12

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

c Data berkelompok merupakan data yang dituliskan dalam suatu interval Umumnya data berkelompok data berkelompok digunakan untuk menuliskan data dalam jumlah banyak 1) Tabel Distribusi frekuensi berkelompok

Istilah-istilah dalam tabel distribusi data berkelompok anatara lain sebagai berikut a) Kelas interval yaitu kelompok nilai data yang ditulis dalam bentuk interval

menggunakan aturan Sturgess yaitu k = 1 + 33 log n b) Batas bawah kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kiri untuk setiap

kelas interva c) Batas atas kelas yaitu nilai data yang terletak disebelah kanan untuk setiap

kelas interval d) Tepi bawah kelas yaitu batas bawah kelas dikurangi ketelitian data

a) Jika data berupa bilangan bulat maka ketelitian datanya 05 b) Jka data berupa bilangan satu desimal maka ketelitianya 005 dan

seterusnya e) Tepi atas kelas yaitu batas atas kelas ditambah ketelitian data f) Tepi tengah kelas yaitu setengah kali jumlah batas bawah dan batas atas

kelas g) Panjang kelas yaitu selisih antara tepi bawah dan tepi atas kelas

dirumuaskan

Panjang kelas ng n

n l

Diagram Pastel

Petani

Peternak

Pedagang

Guru

Karyawan

Pedagang 144

Petani 108 Guru

60

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Tabel distribusi Nilai frekuensi

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

2) Histogram dan Poligon

Histogram adalah diagram yang terdiri atas batang-batang yang saling berimpit Dari histogram ini selanjutnya dapat digambar poligon frekuensi Caranya yaitu dengan menarik garis melalui titik tengah sisi atas setiap batang histogram

3) Ogive 1 Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang diperoleh dengan

menghubngkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif 2 Ogive positif v f m frdquo rdquo 3 O v f v f m f ldquoL rdquo

Contoh Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan fisika

Nilai frekuensi Tepi bawah Tepi atas

34-38

39-43

44-48

49-53

54-58

59-63

2

7

7

8

5

3

335

385

435

485

535

585

385

435

485

535

585

635

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Dari data tersebut diperoleh ogive positif dan ogive negatif berikut T f m f ldquo rdquo v f

Nilai f le

le38

le 3

le 8

le 3

le 8

le 3

2

9

16

24

29

32

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ldquo rdquo v f

Nilai f ge

ge33

ge38

ge 3

ge 8

ge 3

32

30

23

16

8

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

ge 8 3

C Ukuran Pemusatan Data Saat melakukan sebuah penelitian seorang peneliti harus cermat mencatat

data Sebab kebenaran dan keakuratan data akan berpengaruh terhadap kebenaran hasil penelitian Jika sebuah penelitian melibatkan data yang sangat banyak seorang peneliti dapat menggunakan pencatatan data berkelompok Sebaliknya ia dapat menggunakan pencatatan data tunggal jika data tersebut hanya sedikit

Perbedaan cara pencatatan data mengakibatkan perbedaan cara pengolahan data Dalam subbab ini anda akan mempelajari cara mengelolah data tunggal dan data berkelompok

1 Ukuran Permustan Data Tunggal a Rata-ratarataan (mean)

Rata-ratarataan (mean) adalah perbandingan antara jumlah nilai data dengan banyak data Data tunggal

m m m y m

y y m y m

n atau

sum

n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data N banyak datum yang diamati disebut ukuran data

nilai datum yang ke-i Notasi sum( c m menyatakan penjumlahan suku-suku

0

5

10

15

20

25

30

35

335 385 435 485 535 585 635

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

b Rata-Rata Gabungan Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing rata-rata diketahui kamu dapat menghitung rata-rata gabungan dari kelompok kelompok data tersebut seperti berikut Misalnya kelompok data ke-1 memiliki rata-rata kelompok data ke-2 memiliki rata-rata kelompok data ke-i memiliki rata-rata maka rata-rata gabungannya dapat ditentukan dengan rumus

g

Keterangan = rata-rata kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan seterusnya = jumlah data kelompok 1 kelompok 2 kelompok 3 dan

seterusnya Contoh

Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 39 siswa adalah 50 Jika seorang siswa yang dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut rata-ratanya menjadi 51 tentukan nilai ujian yang siswa tersebut

Jawab

g

39

39

9 9 90

Jadi nilai ujian siswa tersebut adalah 90

c Median Median (M ) adalah nilai data yang terletak di tengah-tengah suatu data yang telah diurutkan (data terurut) Jika banyak data ganjil maka

M data ke n+

Jika banyak data genap maka

M

d Modus Modus (Mo) adalah nilai data yang paling sering muncul Denga kata lain modus adalah nilai data yang frekuensi paling besar Berdasarkan banyaknya modus data dapat dikelompokan sebagai berikut Unimodus adalah data yang hanya mempunyai satu modus Bimodus adalah data yang mempunyai dua modus

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Multimodus adalah data ng mempunyai lebih dari dua modus Data yang tidak mempunyai modus

Contoh Tentukan mean media dan modus dari data berikut ini 10 7 10 6 8 10 4 5 Jawab 4 5 6 7 8 10 10 10

Mean

n

+ + + + + + +

7

Jadi rata-rata dari data itu adalah 75 Median data genap

M

8

8

M

M 7 8

M 7

Jadi median dari data tersebut adalah 75 Modus Dari data di atas mempunyai modus 10 Sebab dari datum 10 paling

sering muncul yaitu sebanyak 3 kali

2 Ukuran Pemusatan Data Berkelompok a Rata-ratarataan (mean)

Rataan data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut

sum f

n

sum f n

Keterangan ( dibaca x bar) rataan dari suatu data f frekuensi kelas ke-i titik tengah kelas ke-i

b Median Median (M ) data berkelompok dapat dirumuskan sebagi berikut

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

M L (

f

f

)

Keterangan

L = tepi bawah kelas median n = banyak data f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

p = panjang kelas c Modus

Modus (Mo) data berkelempok dapat dirumuskan sebagia berikut

Mo L

Keterangan

L = tepi bawah kelas modus = selisih frekuensi kelas modus dan kelas Sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya p = panjang kelas

contoh diberikan data kuis statistik dari 40 mahasiswa

31 41 64 54 76 82 61 90 78 62 56 87 76 45 54 73 80 67 94 82 92 64 63 75 74 60 77 82 45 59 31 77 87 95 99 80 71 72 63 94

Dari data di atas 1 Buatlah daftar distribusi dengan k=7 p=7 di mulai dari data terkecil 2 Dari daftar tersebut carilah mean median modus

Jawab 1 Distribusi frekuensi

Banyak kelas 1+33 log 40=627=7 Rentang data Xmax-Xmin=99-31=68

Lebar kelas

9 7

Nilai Kuis Statistik nilai Frekuensi Fk X1 FX1

31-40 2 2 355 71

41-50 3 5 455 1365

51-60 5 10 555 2775

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

61-70 7 17 655 4585

71-80 11 28 755 8305

81-90 6 34 855 513

91-100 6 40 955 573

Jumlah 40 2860

Mean

sum f n

sum f n

8

7

Median

M L (

f

f

)

M 7 (

7

)

M 7 7

M 7 ( 73 M 7 73 M 73 3

Modus

Mo L

Mo 7

Mo 7 ( Mo 7 Mo 7 9

D Ukuran Letak Dan Ukuran Penyebaran Data 1 Ukuran letak data tunggal

a Kuartil

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Pada data dengan banyak data ge kuartil membagi data menjadi 4 bagian sama banyak sehingga diperoleh tiga nilai yang membagi bagian itu Ketiga nilai itu disebut kuartil

1) Kuartil pertamabawah (Q1)

Q1 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

2) Kuartil keduatengah (Q2)

Q2 membagi data terurut menjadi

atau

bagian

Dengan kata lain Q2 merupakan median data

3) Kuartil ketigatengah (Q3)

Q3 membagi data terurut menjadi

bagian dan

bagian

3(

3

4) Rataan kuartil Rataan kuartil (Rk) adalah rata-rata dari kuartil pertama dan kuartil ketiga

(

5) Rataan tiga kuartil (trirata) Rataan tiga kuartil (Rt) dirumuskan sebagai berikut

(

6) Statistik lima serangkai Statistik lima serangkai adalah rangkaian yang terdiri atas 5 angka dan dapat memberikan gambaran tentang kecenderungan memusatnya data

a) Statistik lima serangkai dengan median (Q2) b) Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Median(Q2) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

c) Statistik lima serangkai dengan trirata Ringkasan 5 angka tersebut Nilai minimum ( n Kuartil pertama Trirata (Rt) Kuartl ketiga Nilai maksimum(

b Desil dan persentil

Data dengan banyak data ge dapat di bagi menjadi 10 bagian yang dibatasi oleh 9 buah nilai Keseimbangan nilai itu disebut desil

Desil ke-i (Di) dirumuskan sebagai berikut

D

(

Keterangan i =123 9

n= ukuran data

Persentil merupakan nilai-nilai yang membatasi data menjadi 100 bagian Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

(

Keterangan i =123 99

n= ukuran data

2 Ukuran Letak Data Berkelompok a Kuartil

1) Kuartil pertama (Q1)

L (

f

f

)

2) Kuartil kedua (Q2)

L (

f

f

)

3) Kuartil ketiga (Q3)

L (

3 f

f

)

Keterangan Li = tepi bawah kelas kuartil i = 123 f

= frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil i = 123

f = frekuensi kelas kuartil i = 123

n = banyak kelas

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

p = panjang kelas b Desil dan Persentil

Desil ke-i dirimuskan sebagi berikut

D L (

f

f

)

Keterangan L = tepi bawah kelas desil ke-i fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-i f

= frekuensi kelas desil ke-i

p = panjang kelas Persentil ke-i (Pi) dirumuskan sebagai berikut

L (

f f

)

L = tepi bawah kelas persentil ke-i n = banyak data fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-i f

= frekuensi kelas persentil ke-i

p = panjang kelas

3 Ukuran Penyebaran Data Tunggal a Jangkauan

Jangkauan (R) atau rentang (range) adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil

n Keterangan

R = jangkauan =nilai data terbesar n =nilai data terkecil

b Jangkauan antarkuartil Jangkauan antarkuartil atau hamparan (H) adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3) dengan kuartil pertama (Q1)

c Simpangan Kuartil Simpangan kuartil (Qd) atau rentang semi antarkuartil adalah setengah kali jangkauan antarkuartil

(

d Langkah Suatu langkah (L) sama dengan satu setengah kali panjang satu hamparan

L

(

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

e Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam merupakan nilai yang terletak satu langkah di bawah kuartil pertama Pagar luar merupakan nilai yang terletak satu langkah di atas kuartil ketiga

Pagar dalam = L Padar Luar = L

f Simpangan rata-rata Simpangan rata-rata (SR) adalah jumlah harga mutlak masing-masing simpangan (x1- ) dibagi banyak data

sum | |n

g Ragam Ragam atau variasi data (S2) dirumuskan sebagai berikut

sum ( n

h Simpangan Baku

Simpangan baku (S) atau deviasi standar datadirumuskan sebagai berikut

radic radicsum ( n

4 Ukuran penyebaran data Berkelompok a Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata(SR) data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f | |n

sum f n

b Ragam c Ragam (S2) atau variansi data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

sum f ( n

sum f n

d Simpangan Baku Simpangan baku (S) data berkelompok dirimuskan sebagai berikut

radicsum f ( n

sum f n

E Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan unsur yang diambil dari sekelompok unsur yang tersedia Banyaknya permutasi dari K unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama dengan

nPk = n

(n

Contoh

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua sekretaris dan bendahara dari 9 calon yang memenuhi kriteria Tetukan banyaknya susunan kepengurusan yang mungkin dari 9 calon tersebut Jawab

a Banyak calon ada 9 akan dipilih 3 orang untuk menempati ketua sekretaris dan bendahara Banyak susunan yang mungkin

nPk = n

(n

9P3 =

(

9P3 =

b 9P3 = 9 8 7 caraDari kartu angka 4 5 6 7 dan 8 di buat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda Tentukan banyaknya bilangan-bilangan tersebut 1) le 2) le Penyelesaian 1 le

Karena bilangan ndash le m y oleh satu angka yaitu angka 4 4 5 6

Dapat juga dengan menentukan susunan lainya Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 8 ini berarti harus memilih 2 angka dari 4 angka

P (42) =

(

Jadi terdapat 12 cara m y le 2 le

Karena bilangan- le m y angka yaitu angka 4 dan 5 Untuk 4 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur) 5 rarr angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4 6 7 dan 8

( pilih 2 dari 4 unsur)

B y y y le

(

(

3

J y le

F Macam-macam permutasi 1 Permutasi siklismelingkar

Penyusunan unsur atau objek dalam lingkaran disebut susunan melingkar atau permutasi melingkar Misalnya ada 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar Banyaknya permutasi dari n unsur yang disusun secara melingkar dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus (

Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu

Gambar 1 permutasi siklis

Pada gambar 1 Posisi 1 dan 2 menujukan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam Coba anda amati gambar 1 apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2 Apabila anda mengamati dengan seksama maka posisi 1 = posisi 2

Jadi permutasi siklis dua unsur mempunyai satu caraAgar anda lebih memahami permutasi siklis Pelajari uraian berikut ini Misalnya dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing di beri nama ABCdan DKeempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat di terangkan sebagai berikut

1 ABCD 7 BACD 13 CABD 19 DABC

2 ABDC 8 BADC 14 CADB 20 DACB

3 ACBD 9 BCAD 15 CBAD 21 DBCA

4 ACDB 10 BCDA 16 CBDA 22 DBAC

5 ADBC 11 BDAC 17 CDAB 23 DCAB

6 ADCB 12 BDCA 18 CDBA 24 DCBA

Jadi terdapat 24 susunan

Amati ada susunan-susunan yang samayaitu 1 ABCD = BCAD = CDAB = DABC 4 ACDB = BACD = CDBA =

DBAC 2 ABDC = BDCA = CABD = DCAB 5 ADBC = BCAD = CADB =

DBCA 3 ACBD = BDAC = CBDA =DACB 6 ADCB = BADC = CBAD =

DCBA Dengan demikian dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda yaitu ABCDABDCACBDACDBADBCADCB Jadi banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6 Atau dengan cara Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 ndash 1) = 3 = 3 x 2 x 1 = 6 cara

Contoh Banyaknya permutasi 5 orang duduk mengelilingi suatu meja bundar adalah Jawab ( ( 3

2 Permutasi dari sekumpulan unsur yang diantaranya ada unsure yang sama Adakalanya diantara objek yang tersedia terdapat objek-objek yang sejenis

Jika semua objek itu disusun maka akan terdapat susunan yang sama atau permutasi yang sama Banyak permutasi atau susunan yang berbeda dari n objek dimana terdapat n1 objek yang sejenis I n1 y II k objek yang sejenis ke-k dapat diselesaikan dengan rumus

nP =

Contoh Tentukanlah banyak permutasi dari huruf yang terdapat pada kata MATEMATIKA Jawab Banyak huruf yang tersedia = 10 Huruf M ada 2 jenis (kenis I) huruf ada 3 jenis (jenis II) huruf T ada 2 jenis (jenis III) Banyak permutasi

3

3

9 8 7 3

3

G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan

urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan

nCk atau C(nk) dengan rumus

C(nk) =

(

Contoh Diketahui himpunanA= le

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)

Contoh a) Diketahui

= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11

orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian

4nharr

(

harr ( (

(

harr (

harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9

O K ge y m m 9

pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi

=

(

9

9 8 7 3

(9 8 7 3

16796

H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari

suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh

percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)

Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA

I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing

berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan

dengan rumus P(A) =

Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang

percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3

P(A) = (

(

1 Gabungan dua kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (

Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B

S = 3 (

A = ( (

B = ( 3 (

A = ( (

P(A ( ( (

3

3

2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh

Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap

Jawab

S = 3

A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (

B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (

P(A ( (

=

= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah

1

3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|

3

3

9 8 7 3

3

G Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan

urutannya Pada kombinasi AB = BA Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat m y K le Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan

nCk atau C(nk) dengan rumus

C(nk) =

(

Contoh Diketahui himpunanA= le

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur Jawab A= le 3 n(A)=6 Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6 2)

Contoh a) Diketahui

= 4n tentukan nilai n b) Dari 20 peserta didik akan dipilih sebuah tim sepak bola yang terdiri atas 11

orang Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut Penyelesaian

4nharr

(

harr ( (

(

harr (

harr ( 8 harr 8 harr 9 harr ( 9

O K ge y m m 9

pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi

=

(

9

9 8 7 3

(9 8 7 3

16796

H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari

suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh

percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)

Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA

I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing

berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan

dengan rumus P(A) =

Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang

percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3

P(A) = (

(

1 Gabungan dua kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (

Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B

S = 3 (

A = ( (

B = ( 3 (

A = ( (

P(A ( ( (

3

3

2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh

Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap

Jawab

S = 3

A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (

B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (

P(A ( (

=

= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah

1

3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|

pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan Banyak cara memilih 11 orang siswi dari 20 siswi

=

(

9

9 8 7 3

(9 8 7 3

16796

H Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari

suatu percobaan disebut ruang sampel Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S Contoh

percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ) Jika P adalah kejadian muncul dua angka tentukan S P (kejadian)

Jawab S = AAA AAG AGA GAA GAG AGG GGA GGG P = AAG AGA GAA

I Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing

berkesempatan sama untuk muncul Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan

dengan rumus P(A) =

Contoh Pada percobaan pelemparan sebuah dadu tentukanlah peluang

percobaan kejadian muncul bilangan genap Jawab S = 1 2 3 4 5 6 n ( S ) = 6 Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap maka A = 2 4 6 dan n ( A ) = 3

P(A) = (

(

1 Gabungan dua kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku P ( ( ( (

Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B

S = 3 (

A = ( (

B = ( 3 (

A = ( (

P(A ( ( (

3

3

2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh

Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap

Jawab

S = 3

A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (

B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (

P(A ( (

=

= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah

1

3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|

Catatan P ( c ldquo A Brdquo ( c ldquo A Brdquo Contoh Pada pelemparan sebuah dadu A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap carilah peluang kejadian A atau B

S = 3 (

A = ( (

B = ( 3 (

A = ( (

P(A ( ( (

3

3

2 Kejadian Saling Lepas Untuk setiap kejadian berlaku P(A ( ( ( Jika ( ( sehingga P(A ( ( sehingga dalam kasus ini A dan B disebut dua kejadian saling lepas Contoh

Jika terdapat sebuah dadu dan akan kita lambungkan sekali misalnya A merupakan kejadian munculnya bilangan ganjil dan B merupakan kejadian munculnya bilangan genap Tentukan peluang kejadian dari munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap

Jawab

S = 3

A = bilangan ganjil yaitu 3 rarr (

B = bilangan Prima yaitu 3 rarr (

P(A ( (

=

= 1 Maka peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau bilangan genap adalah

1

3 Kejadian Bersyarat Secara umum kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tulis (A| sebaliknya jika kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu ditulis (B|

Untuk menghitung peluang kejadian bersyarat digunakan rumus sebagai berikut Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dulu di tentukan

aturan

P (A| = (

(

Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dulu di tentukan aturan

P (B| = (

(

Contoh

Dua buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali Hitunglah peluang kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu

Penyelesaian Ruang contoh pada percobaan ini adalah S dengan n(S) = 6 x 6 = 36 Misalnya

A = ( ( (3 ( ( ( n(A) = 6

P(A) = (

(

B adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 maka B = ( ( ( n(B) = 3

P(B) = (

(

A ( (

P(A

Kejadian munculnya angka 1 untuk dadu kedua (kejadian A) dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 (kejadian B) terjadi lebih dulu adalah kejadian bersyarat (A| Peluang kejadian bersyarat A| adalah

P(A| = (

( =

Jadi peluang kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu

adalah P(A| =

J Peluang Kejadian Pada Pengambilan 1 Peluang pengambilan

contoh dengan pengembalian Misalkan dari satu set kartu remi akan di ambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua kalau kartu yang telah telah diambil pada pengambilan pertama di kembalikan Peluang kejadian diatas dapat dihitung sebagai berikut

Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka

P(E1) =

P(E2) =

Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka

P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =

Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah

P (E1 E2) =

2 Peluang Pengambilan

Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama

maka

P(E1) =

Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka

P (E2| =

Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka

P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=

Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu

King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah

K Binomial Newton (pengayaan)

Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut

Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua

sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4

Misalkan E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan E2 adalah kejadian terambilnya kartu king pada pengambilan kedua maka

P(E1) =

P(E2) =

Perhatikan bahwa E1 dan E2 merupakan kedua kejadian yang saling bebas maka

P (E1 E2) = P (E1) x P (E2) =

Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua adalah

P (E1 E2) =

2 Peluang Pengambilan

Contoh Tanpa Pengembalian Masalah yang sama seperti dalam paal A akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan Misalnya E1 adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama

maka

P(E1) =

Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52- 1) = 51 lembar Misalnya E2 adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua ( kejadian E2 ditentukan oleh syarat kejadian E1) maka

P (E2| =

Karena | Merupakan kejadian bersyarat maka

P (E1 E2) = P (E1) x P(E1 E2)=

Jadi peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu

King pada pengambilan kedua ( tanpa pengembalian ) adalah

K Binomial Newton (pengayaan)

Kamu perlu mengingat kembali mengenai susunan bilangan-bilangan yang dinamakan segitiga Pascal seperti bagan berikut

Dari bagan itu dapat ditulis dalam koefisien binomial atau suku dua

sebagai berikut misalkan x dan y (x + y)1 = x + y (x + y)2 = x 2 + 2 x y + y2 (x + y)3 = x 3 + 3 x 2y + 3 x y2 + y3 (x + y)4 = x 4 + 4x3y + 6 x 2y2 + 4 x y3 + y4

(x + y)5 = x 5 + 5 x 4y + 10 x 3y2 + 10 x 2y3 + 5 x y4 + y5 (x + y)n

Contoh

(x2 + 2y)5 = ( ) (x2)5 + (

) (x2)4 (2y)1 + (

) (x2)3 (2y)2 + (

) (x2)2 (2y)3 + (

)

(x2)1 (2y)4

= ( ) (x2)0 (2y)5

= x10 + 10x8y + 40x6y2 + 80x4y3 + 80x2y4 + 32y5