I. BARISAN TAKBERHINGGA

I.A. PENDAHULUANSuatu barisan a1, a2, a3, a4, . . . adalah suatu susunan bilangan yang terurut dengan

urutan bilangan asli. Atau dapat dikatakan juga bahwa suatu barisan takberhingga adalah sebuah fungsi yang daerah asalnya adalah himpunan bilangan asli. Barisan dapat dituliskan

dalam bentuk an n

1 atau disingkat {an}.

Suatu barisan dapat dispesifikasikan dengan memberikan suku awal yang cukup untuk membentuk suatu pola seperti contoh berikut,

1, 4, 7, 10, 13, . . .

Suku ke-n dari barisan ini dapat ditentukan dengan rumus eksplisit yaitu,

an = 3n 2, n 1

atau dengan rumus rekursi,an = an1 + 3, n 2, a1 = 1

Kedua rumus tersebut menggambarkan barisan yang sama, yaitu

nan = 3n 2

(n 1)an = an1 + 3

(n 2, a1 = 1)

1 a1 = 3(1) 2 = 1 a1 = 1

2 a2 = 3(2) 2 = 4 a2 = a1 + 3 = 1 + 3 = 4

3 a3 = 3(3) 2 = 7 a3 = a2 + 3 = 4 + 3 = 7

4 a4 = 3(4) 2 = 10 a4 = a3 + 3 = 7 + 3 = 10

5 a5 = 3(5) 2 = 13 a5 = a4 + 3 = 10 + 3 = 13

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Sekarang akan kita tinjau rumus eksplisit untuk empat barisan berikut,

Rumus Eksplisit Barisan

1) an = 1 1

n , n 1, 0

3

4, , , , ,

1

2

2

3

4

5 . . .

2) bn = 1 + (1)n 1

n, n 1 0

3

2

2

3

5

4,

4

5

7

6

6

7 . . . , , , , , ,

3) cn = (1)n + 1

n, n 1 0

3

2

2

3

5

4,

4

5 7

6

6

7 . . . , , , , , ,

4) dn = 0,999, n 1 0,999, 0,999, 0,999, 0,999, . . .

Grafik dari barisan-barisan ini adalah,

DND

1

1)

a1 a2 a3 a4

00-1 1

2)

b1 b3 b5

00-1 1

b4 b2

3)

c1c5 c3

00-1 1

c6c4 c2

4)

d1d2 d3

00-1 1

Gambar I.1

I.B. KEKONVERGENANPerhatikan keempat barisan di atas, nilai suku-suku dalam setiap barisan tersebut

semakin mendekati satu. Tetapi tidak semuanya konvergen menuju 1. Barisan yang konvergen menuju 1 adalah {an} dan {bn}, sedangkan {cn} dan {dn} tidak.

Agar suatu barisan konvergen menuju 1 syaratnya adalah, nilai-nilai barisan tersebut harus mendekati satu dan harus tetap berdekatan, syarat ini tidak dipenuhi oleh {cn}. Berdekatan artinya makin lama semakin dekat dalam sebarang tingkat ketelitian, hal ini tidak dipenuhi oleh {dn.}. Walaupun {dn} tidak konvergen menuju 1, tetapi {dn} konvergen menuju 0,999. Barisan yang tidak konvergen seperti {cn} disebut divergen. Untuk kejelasan, di bawah ini diberikan definisi dari konvergen dan divergen.

Definisi : Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atau berlimit L yang dituliskan sebagai,

limn

na = L

apabila untuk setiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk

n N a Ln

Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga, dinamakan barisan yang divergen.

Dari teorema ini dapat disimpulkan bahwa suatu barisan misalkan {an}akan konvergen jika

limitnya ada atau limn

na ada yang berupa bilangan.

Contoh I.1

Buktikan untuk p positif bulat (asli), barisan 1

np

konvergen menuju 0, atau lim

npn

10

Jawab :

DND

2

Untuk soal ini ann p1

dan L = 0. Misalkan diketahui 0, selanjutnya pilihlah N 1

p

maka untuk n N berlaku,

a L

n n Nn p p p p p

10

1 1 1

1 /

Jadi menurut definisi di atas, barisan 1

np

konvergen menuju 0 atau,

limn

pn

10

Barisan yang dibicarakan di atas sepintas tampak sama dengan fungsi. Memang antara barisan dengan fungsi terdapat hubungan yang erat. Misalkan kita tinjau grafik

barisan an = 1 1

n dengan fungsi a(x) = 1

1

x. Perbedaan antara keduanya adalah

peubah (variabel) dalam barisan (atau daerah asal an) adalah bilangan asli, sedangkan peubah dalam fungsi a(x) daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil. Dalam barisan

diperoleh limn

na = 1, sedangkan dalam fungsi diperoleh juga lim ( )

xa x

= 1 seperti yang

diperlihatkan dalam Gambar I.2.

n N an 1

n N a x ( ) 1

Gambar I.2

DND

3

Karena barisan mempunyai hubungan yang kuat dengan fungsi, maka Teorema-teorema mengenai limit yang telah kita kenal dalam fungsi berlaku juga untuk barisan seperti diberikan di bawah ini.

Teorema I.1Andaikan {an} dan {bn} adalah barisan-barisan yang konvergen dan k adalah sebuah konstanta. Maka :

1. limn

k = k

2. limn

nka = k a

nnlim

3. lim(n

na bn ) = lim

nna

limn

nb

4. lim( . )n

n na b = lim . lim

nn

nna b

5. limn

a

bn

n

lim

limn

n

nn

a

b

, asalkan limn

nb 0

Contoh I.2

Diketahui barisan 3

8 12

29

27

64

48

113 . . ., , , , Tentukanlah rumus eksplisit dari barisan ini dan

tentukan juga apakah barisan ini konvergen atau tidak ?

Jawab :

Barisan 3

8 12

29

27

64

48

113 . . ., , , , dapat dituliskan dalam bentuk,

3(1)

7 +1

3(4)

28 +1

3(9)

63 +1

3(16)

112 +1 . . ., , , ,

atau3(1)

7(1) +1

3(4)

7(4) +1

3(9)

7(9) +1

3(16)

7(16) +1 . . ., , , ,

atau3(1 )

7(1 ) +1

3(2 )

7(2 ) +1

3(3 )

7(3 ) +1

3(4 )

7(4 ) +1 . . .

2

2

2

2

2

2

2

2, , , , = 3

7 1

2

2

n

n Jadi rumus ekplisitnya adalah,

3

7 1

2

2

n

n

Untuk mengetahui apakah barisan 3

7 1

2

2

n

n

konvergen atau tidak, kita tentukan apakah

limn

n

n 3

7 1

2

2 ada atau tidak ? Untuk melihat apa yang terjadi pada suatu hasil bagi dua suku

banyak dalam n apabila n membesar, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat n yang terbesar dalam penyebut. Kemudian kita gunakan sifat-sifat dalam Teorema I.1 yang dinyatakan oleh nomor dalam kotak di atas sama dengan. Nomor-nomor ini menyatakan nomor sifat-sifat limit dalam Teorema I.1. tersebut.

DND

4

limn

n

n 3

7 1

2

2 = lim

( / )n n 3

7 1 2 (bagi pembilang dan penyebut dengan n2)

= lim

lim[ ( / )]n

nn

3

7 1 2

= lim

lim lim( / )n

n nn

3

7 1 2

= 3

7 1 2

lim( / )n

n

= 3

7 0

3

7

Jadi barisan konvergen menuju 3

7.

Contoh I.3.

Apakah barisan ln n

en

konvergen ?. Jika ya, hitunglah limitnya.

Jawab :Untuk menjawab soal seperti ini dapat kita gunakan fakta sebagai berikut,

Jika lim ( )x

f x = L, maka lim

nnf

= L

Fakta ini memudahkan kita karena Kaidah l’Hospital dapat digunakan untuk peubah

kontinu. Dalam hal ini menurut kaidah l’Hospital, lim( )

( )lim

'( )

'( )x x

f x

g x

f x

g x atau

limln

lim/

xx

xx

x

e

x

e

10

Karena fungsi dan barisan menuju limit yang sama (lihat Gambar I.2) maka,

limln

nn

n

e0

Artinya, ln n

en

konvergen menuju 0.

Untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan suatu barisan dapat juga digunakan cara lain seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut,

Teorema I.2 (Teorema Apit)Andaikan {an} dan {cn} barisan yang konvergen menuju L dan andaikan an bn cn untuk n K (K bilangan asli yang tetap). Maka {bn} juga konvergen menuju L.

DND

5

3

5

1

Contoh I.4

Buktikan bahwa barisan sin3 n

n

konvergen menuju 0, atau lim

sin

n

n

n

3

0

Jawab :

Untuk n 1, kita peroleh 1 13

n

n

n n

sin, oleh karena lim

n

1

n = 0 dan lim

n 1

n

= 0,

maka berdasarkan Teorema I.2 (Teorema Apit),

limsin

n

n

n

3

0

Jadi barisan sin3 n

n

konvergen menuju 0.

Teorema I.3

Jika limn

na

= 0, maka lim .n

na = 0

Bukti :

Oleh karena a a an n n dan limn

na

0, atau an konvergen menuju 0, maka

menurut teorema apit, {an} juga konvergen menuju 0 atau limn

na = 0.

Contoh I.5

Apabila 1 1r , buktikanlah bahwa lim .n

nr

0

Jawab :

Untuk r = 0, maka jelas limn rn = 0. Apabila r 0, maka r 1, sehingga

11

r . Jadi kita

dapat menuliskan 1

r = 1 + p, untuk suatu bilangan p 0. Menurut Teorema Binomial,

1

r n = (1 + p)n = 1 + pn + (suku positif) pn

Sehingga, 01

rpn

n

Oleh karena lim limn npn p n

1 1 1

0, maka berdasarkan Teorema Apit dapat diperoleh

limn

nr

0 atau ekivalen dengan limn

nr

0. Berdasarkan Teorema I.3 diperoleh limn

nr

0.

Apabila r 1, misalkan r = 2, maka rn akan melampaui tiap bilangan yang diketahui apabila n menjadi makin besar. Hal ini dapat dituliskan,

limn

nr

, untuk r 1

Untuk ini dapat kita katakan bahwa barisan {rn} divergen. Supaya barisan {rn} konvergen, barisan harus menuju ke suatu limit yang berhingga. Barisan {rn} juga divergen apabila r 1.

DND

6

I.C. BARISAN MONOTONMisalkan {an} adalah suatu barisan yang tak turun. Hal ini berarti bahwa untuk

n 1, berlaku an an+1. Contohnya, an = n2, dan ann 11

. Dalam hal ini hanya ada dua

kemungkinan, yaitu an menjadi semakin besar apabila n menuju (n ) atau menuju ke suatu batas apabila an tidak menuju ke takberhingga oleh karena limitnya terbatas (lihat Gambar I.3). Sifat-sifat yang dibicarakan ini diterangkan dalam teorema berikut.

Teorema I.4 (Teorema Barisan Monoton)Apabila U adalah batas atas untuk suatu barisan {an} yang tak turun, maka barisan ini konvergen menuju suatu limit A yang kurang dari atau sama dengan U. Begitu pula apabila L suatu batas bawah untuk suatu barisan yang tak naik {bn}, maka barisan {bn} konvergen menuju suatu limit B lebih dari atau sama dengan L.

limn

na = A

Gambar I.3

Dalam Teorema I.4, barisan {an} dan {bn} tidak perlu monoton dari permulaan, tetapi sudah cukup monoton untuk n K. Karena kekonvergenan atau kedivergenan suatu barisan tidak bergantung pada suku-suku awal akan tetapi bergantung pada suku-suku ke-n yang besar.

Contoh I.6

Buktikan dengan menggunakan Teorema I.4 .bahwa barisan {bn} dengan bn = n

n

2

2

konvergen

DND

7

Jawab :Beberapa suku permulaan barisan ini adalah,

1

2, , , , , 1,

9

8

25

32

36

24

49

128 . . .

Untuk n 3, tampak bahwa barisan tersebut menurun, yaitu (bn bn+1). Bukti ini dapat dilihat di bawah ini. Setiap pertidaksamaan setara dengan pertidaksamaan yang lain.

n nn n

2 2

12

1

2

( )

nn2

21

2

( )

2 2 12 2n n n

n n2 2 1

n n( ) 2 1

Pertidaksamaan terakhir benar untuk n 3. Oleh karena barisan menurun dan di bawah terbatas oleh nol, maka menurut Teorema I.4, barisan tersebut mempunyai limit. Dengan menggunakan Kaidah l’Hopital dapat ditunjukkan bahwa limit barisan tersebut adalah nol, yaitu

lim lim

lim

lim

lim

nn

nn

nn

nn

nn

bn

n

n

=

=

=

=

2

1

1

2

22

22

21

20

I.D. SOAL LATIHANDiketahui rumus eksplisit an untuk barisan {an} dalam soal 115. Tuliskanlah lima suku pertama dari setiap barisan tersebut, dan tentukanlah apakah barisan tersebut konvergen atau divergen. Jika

konvergen, tentukanlah limn

na

1. an

nn 2 1

2. an

nn

2 1

3 23. a

n

n nn

4 1

2 3

2

2

4. an

nnn

( )1

15. a

nn

n

1 1( ) 6. a

n

n

n

nn

1

1

7. an n

nn 2

2

3 2

58. a

nn cos

2

9.

an

nn sin 2

10. an

n n2

11. an

n n

n n

3 2

3 21 1

( )

( )12. a

e

nn

n

2

DND

8

13. an

nn ln

14. ann

n

1

2 15. an

n

nn

1

1 2cos

Tentukanlah rumus ekplisit untuk an dalam soal 16 - 21. Kemudian tentukanlah apakah

barisan tersebut konvergen atau divergen. Apabila konvergen, tentukanlah limn

na

16. 1

2, , , ,

2

3

3

4 4

5 . . . 17. 1

3

5

5

9, , , , ,

2

3

4

7 . . . .

18. 11 2 32 2 2, , , ,

2

2

3

3

4

4 . . . 2 2 2

19. sin , , , , . . . 2 sin 1

2 3 sin

1

3 4 sin

1

4 1

20. 23

2

4

2

52

4

2

5

2, 1, 2

. . . 3

, , , 21. 11

2

1

2

1

3

1

3

1

4

1

4

1

5 , , , , . . .

Tuliskanlah empat suku pertama dari barisan {an} dalam soal 22-25. Kemudian buktikanlah bahwa barisan tersebut konvergen dengan menggunakan Teorema I.4.

22. an

n n4 3

223. a

nnn

11

41

1

91

12

2 . . . ,

24. ann 1

1

2!

1

3

1

! . . . +

!25. a a an n 1 11

1

21,

Hitunglah setiap limit dalam soal 26-33 dengan menggunakan teorema mengenai limit.

26. limn

n

n

2 7

3 227. lim

n

n n

n n

3 5

5 2 6

2

2 28. lim( )

n

n n

n

n

n

2

1 1

2

2

29. limn

n n

1 30. limn

n n

n

3 4

2 1

2

31. limn

n

n

2 3

3 7

4

32. limn

n

n n

2 4

3 10

5 2

7 3 33. lim( )

( )n

n

n

1 2 10

5 3 10

34. Buktikan bahwa limn 1

1

n

n

= e

35. Buktikan bahwa limn

n

n2 1

= 0.

36. Buktikanlah jika limn

na = 0 dan {bn} terbatas, maka lim

nn na b

= 0.

37. Bukikanlah bahwa apabila {an}konvergen dan {bn} divergen, maka {an + bn} divergen.

38. Apabila {an}dan {bn} divergen, maka apakah {an + bn} juga divergen.

DND

9