Barisan dan Deret

EXPERT COURSE

#bimbelnyamahasiswa

Barisan

Definisi

Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli.

Notasi: f: N R

n f(n ) = 𝑎𝑛Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil{an} dengan an adalah suku ke-n.

Bentuk penulisan dari barisan :

1. bentuk eksplisit suku ke-n

2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya.

3. bentuk rekursi

a n

1 an

a 1, an111,1

2,1

3,1

4, . .𝑎𝑛=

1

𝑛

Kekonvergenan Barisan

Definisi:Barisan { 𝑎𝑛} dikatakankonvergenmenujuL atauberlimitL danditulissebagai

nlim 𝑎𝑛L

Jika untuk tiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehinggauntuk

𝑛 ≥ 𝑁 ֜ 𝑎𝑛 −𝐿 < 𝜀

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

Catatan

Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan.Kita akan menggunakan fakta berikut.

x Jika lim lim f (n) L

nf (x) L , maka

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.

Sifat Limit Barisan

Sifatdari limit barisan, jikabarisan { 𝑎𝑛} konvergenke L

danbarisan { 𝑏𝑛} konvergenke M, maka

1. lim𝑛→∞

( 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛) = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 ± lim𝑛→∞

( 𝑏𝑛) = 𝐿 ± 𝑀

2. lim𝑛→∞

( 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 . lim𝑛→∞

( 𝑏𝑛) = 𝐿.𝑀

3. lim𝑛→∞

(𝑎𝑛

𝑏𝑛) =

lim𝑛→∞

𝑎𝑛

lim𝑛→∞

𝑏𝑛=

𝐿

𝑀, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑀 ≠ 0

Barisan { 𝑎𝑛} dikatakan

a. Monoton naik bilaan+1 ≥an

b. Monotonturunbila an+1≤an

Contoh

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

1.

x

artinya barisan an konvergen menuju ½.

Jawab: Ambil

2x 1f(x) , Dalam hal ini menurut kaidah

I’Hospital,

2n 1 2

n

1limn

Jadi,

𝑎𝑛 =𝑛

2𝑛 − 1

lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = lim𝑥→∞

𝑥

2𝑥 − 1=1

2

Contoh

2. a n

Jawab: Ambil f (x) , Dalam hal ini menurut kaidahI’Hospital,

x1

artinya barisan an konvergen menuju e.

Jadi,

= exp lim𝑥→∞

൙ln 1 +

1𝑥

1𝑥

x x

lim

1 +1

𝑛

𝑛

1 +1

𝑥

𝑥

1 +1

𝑥

𝑥

exp lim𝑥→∞

𝑥. 1 +1

𝑥

= 𝑒𝑥𝑝 lim𝑥→∞

൙−

1𝑥

2

.𝑥

𝑥 + 1

−1𝑥

2 = exp lim𝑥→∞

𝑥

𝑥 + 1= 𝑒1 = 𝑒

lim𝑛→∞

1 −1

𝑛

𝑛

= 𝑒

Latihan

1.

2. 8.

7.

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

11.

10.

9.

6.

5.

4.

3.

𝑎𝑛 =4𝑛2 + 1

𝑛2 − 2𝑛 + 3

𝑎𝑛 =3𝑛2 + 2

𝑛 + 1

𝑎𝑛 =𝑛

𝑛 + 1

𝑎𝑛 =(−𝜋)𝑛

4𝑛

𝑎𝑛 =ln(𝑛)

𝑛

𝑎𝑛+1 = 1 +1

2𝑎𝑛, 𝑎1 = 1

𝑎𝑛+1 =1

2(𝑎𝑛+

2

𝑎𝑛), 𝑎1 = 2

1

2,2

3,3

4,4

5, . .

−1,2

3,−

3

5,4

7,−

5

9, . .

1,1

1 −12

,1

1 −23

,1

1 −34

, . .

1

2 −12

,2

3 −13

,3

4 −14

,4

5 −15

, . .

Deret Tak Hingga

Bentukderet tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagaiberikut:

dengan𝑎𝑛adalah sukuke-n.

𝑛=0

∞

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯

Barisan Jumlah Parsial

i0

Misalkan S menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret n

a i , maka

S = a1 1

Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret a i

i0

Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.

S2 = a1 + a2

.

.

. n

i0

Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an = a i

Kekonvergenan Deret Tak Hingga

i0

Deret tak hingga a i konvergen dan mempunyai

jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn}

konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn}

divergen maka deret divergen.

Deret Geometri

Bentuk umum deret geometri adalah

ar n1

n1

= a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...

dengan a 0.

Jumlah parsial deret ini adalahn

Sn = ar i1 = a +ar +a r2 + ... + a rn-1

i1

dan dapat ditulis sebagai 𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟, 𝑟 ≠ 1

Sifat Deret Geometri

1.Jikar <1 maka barisan{𝑟𝑛} konvergen ke 0karena

lim 𝑟 𝑛= 0, maka deretnyakonvergenken

𝑎

1 − 𝑟

2. Jika r > 1 maka barisan {rn} divergen karena

lim r n = ,n

maka deretnya juga divergen

Contoh

(Selidiki kekonvergenannya)

1.

Jawab:Kalau kita perhatikan

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya

2Sn = 1 – ( 1 )n

Dan

nn n 2

1lim S = lim (1 – ( )n) = 1

Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

1

2+1

4+1

8+

1

16+

1

32+. .

𝑆1 =1

2= 1 −

1

2𝑆2 =

1

2+1

4=3

4= 1 − (

1

2)2

𝑆3 =1

2+1

4+1

8=7

8= 1 − (

1

2)3

Contoh (2)

i1 i(i 1)

12.

Jawab:Kalau kita perhatikan

1=

1-

1

i(i 1) i i1

(Deret Kolaps)

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

n 1

1 . . . 4 n

3 3

2 2

1 1 1 1 1 1Sn = 1

Dan

n 1

1 =1

nn

n

n 1

1lim S = lim 1 = 1

Contoh (3)

3.

Jawab:Dari sini kita dapatkan

i1 i

1

2 3 4 5 6 7 8Sn = 1 + 1

1

1

1

1

1

1 . . .

1

n

(Deret Harmonik)

Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen.

Sn = 1 +1 1 . . .

1

n

n

1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 81 1

1 + 1

8 8 8

1 . . .

11 1 1

2 4 4 8

2 2 2 2 n= 1 + 1

1

1

1 . . .

1

Uji kedivergenan dengan suku ke-n.

n0

Apabilaa n

nKonvergen maka lim a n = 0, ekivalen

nlim an

0 maka deret divergen.

Contoh: Buktikan bahwa

2 3n 4n1 3n

n2

divergen.

Bukti

Jadi terbukti bahwa divergen.

2 3n 4n1 3n

n2

lim𝑛→∞

𝑛2

3𝑛2 + 3𝑛 + 4= lim

𝑛→∞

1

3 +3𝑛 +

4𝑛2

=1

3(𝑇𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑁𝑜𝑙)

Masalah Baru

Dalam banyak kasus bahwa lim a n = 0, tetapi dari sinin

kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebutkonvergen atau divergen.

Sebagai contoh deret harmonik,

1 1 1 1 1 1 1 1

n1

n

1

n2 3 4 5 6 7 8=1 + . . . + . . .

Jelas bahwa lim a n = 0, tetapi deret harmonik adalahn

deret yang divergen.

Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.

Uji Deret Positif

1. Tes Integral

Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0pada selang [1,)

a. Jika integral tak wajar konvergen, maka deret

konvergen.

b. Jika integral tak wajar

divergen.

divergen, maka deret

න1

∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑛=1

∞

𝑓(𝑛)

𝑛=1

∞

𝑓(𝑛)

න1

∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Contoh

1. Selidiki kekonvergenan dari2

n en

x2

Jawab. Kita ambil f (x) xe

n1

, sehingga

Jadi karena x e1

x2

dx konvergen, maka n1

2

n en

juga konvergen.

න1

∞

𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥 = lim

𝑏→∞න1

𝑏

𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥 =

1

2lim𝑏→∞

න1

𝑏

𝑒−𝑥2𝑑(𝑥2)

= −1

2lim𝑏→∞

𝑒−𝑥2|1𝑏 = −

1

2lim𝑏→∞

1

𝑒𝑏2− 𝑒1

=1

2𝑒

Contoh

2. Selidiki kekonvergenan dari

n2 n ln n

, sehingga

1

x ln x

1Jawab. Kita ambil f (x)

bdx dx

lim lim d (lnx)

Jadi karena

juga divergen.

b2 x ln x 2 x ln x ln xb 2

lim lnlnb lnln 2 b

2 x ln x

dxdivergen, maka

n2 n ln n

1

Latihan

1

n1 2n 1

4. 1

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

n3

2 2n 1. 1

2n2 n ln n

3n1 4 3n2

1

2. 5.

3.

𝑛=1

∞1

4𝑛2 + 1

Uji Deret Positif

2. Uji Deret -p

Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum

1

i1pi

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan

Kalau kita perhatikan, untuk

1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen.

t0, sehingga diperoleh deret2. p > 1 maka lim t1p =

yang konvergen.

lim𝑡→∞

1∞ 1

𝑥𝑝dx= lim

𝑡→∞

𝑥1−𝑝

1−𝑝 1

𝑡

= lim𝑡→∞

𝑡1−𝑝−1

1−𝑝

Uji Deret Positif

t3. p < 1 maka lim t1p =∞, sehingga diperoleh deret yang

divergen.

4. p < 0, suku ke-n deret

n

Pii1

1tidak menuju 0.

1, yaitu,

nP

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n

Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu:

1. Deret-p konvergen apabila p > 12. Deret-p divergen apabila 0 p 1

Contoh

Apakah deret berikut konvergen atau divergen?

1.

1,001

1

n 1 n

Berdasarkan uji deret-p, deret

1,001

1

n 1 n konvergen

karena p=1,001 > 1

divergen

karena p= ½ < 1

2.

21

1

n 1n

Berdasarkan uji deret-p, deret

21

1

n 1 n

Uji Deret Positif

3. Tes Perbandingan dengan deret lain

Andaikan a n

n1`

konvergen, makan1`

1. Jika b n

dan b n deret positif, jika an bn makan1`

n1`

a n konvergen

n1`

n1`

2. Jika a n divergen, maka b n divergen

Contoh

Selidiki Kekonvergenan deret berikut:

1.

2 5n3 n

n

Jawab:Akan kita bandingkan deret ini denganan =

n n

1dan b =

n

n 2 5,

kita tahu bahwa

1adalah deret harmonik dan

n1n

n

n 2 5 n 1 , Sehingga karena

n1n

1

2 5n2 n

n

deret divergen, maka

deret yang divergen.

Contoh

Jawab:

nAkan kita bandingkan deret ini dengan b = dan an=

adalah deret hiperharmonik dengan

2.

2 5n1 n

1

1

n 2 52n

1

kita tahu bahwa

1

deret yang konvergen.konvergen, maka

2 5n1 n

1

n2

1 1 , Sehingga karena

n 2 5

2n1 n

p = 2 >1 dan

2n1 n

1

deret

Latihan

Selidiki kekonvergenan deret berikut

2 5n1 n

n

1

2n3 n 2

1

12.

4.1.

2 5n3 n

n 1n1 2

1

5.n1 2n 1

3.

4. Tes Banding limit

n

anAndaikan an dan bn deret positif dan lim

n b

Uji Deret Positif

= L

danbn

n1`

sama-sama

1. Jika 0 < L < maka a n

n1`

konvergen atau divergen

2. Jika L = 0 dan bn

n1`

konvergen maka a n konvergen.n1`

Contoh

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

n1 5n 2 7n31.

2n 3

sehingga

n

lim an

n b

n1 5n 2 7n3

2n 3konvergen.

= 2

Jadi karena L=2 dan

2

1

n 1n

Jawab:

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=1

n2

3 2

1n2

n 5n 72n 3

limn 3 2

3 22n 3n

n 5n 7 lim

n

konvergen, maka deret

Contoh

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut :

n1 n 2 42.

1

sehingga

lim an

n bn

divergen.

= 1

divergen, maka deret

n1 n 2 4

1

Jawab:

Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan

deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn=1

n

1n

12

lim n 4n

2n

n 2 4limn= =

Jadi karena L=1 dan 1

n 1 n

Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

n1

2

n

n1

3

3n 1

n 2n 3

12n

n 4

ln n

2.

4.

5.

1.

n 1n1 n

n1 n2

2n 3

n1

3.

Uji Deret Positif

k ak

lim ak1

5. Tes Hasil Bagi

Diketahuiak merupakan suatu deret dengan

k1

suku-suku yang positif, misalkan

k1

1. Jika < 1 maka deret ak konvergen

2.Jika > 1 maka deret a k divergenk1

3.Jika = 1 maka uji deret ini tidak dapat

dilakukan.

Contoh

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

1. 3

n1

n

n!

Misalkan suku ke-n adalah an =n!

3n

, maka suku ke-n+1

Jawab:

adalah an+1=3n1

n 1!sehingga

Karena nilai limit r=0 (< 1), maka deret

3

n1

n

n!konvergen

3 lim 0 lim

3 n!n1

n 3n n 1! n n 1n !

n 1!3n1

limn

na

a

3nlim n 1

n

Contoh

2.

2

3n

n1 n

nMisalkan suku ke-n adalah a =2n

3n

, maka suku ke-n+13n1

Jawab:

adalah an+1=

n 12sehingga

Karena nilai limit r=3 (> 1), maka deret

2

3n

n1 ndivergen

3 lim

n 123n2

n2n 1n

3n1n2

limn

2

3 3n2

n 13n1

limnan

an

lim n 1

n

Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

n1

n!

2n!

5 n

n!

n3

2.

4.

5.

1.

n1

nn

nn

2n!n4 n

n !

n1

n1

3. n1

Uji Deret Positif

6. Tes Akar

Diketahui ak merupakan suatu deret dengank1

suku-suku yang positif, misalkanklimk ak a

k1

1. Jika a konvergen

divergen2. Jika a

< 1 maka deret ak

> 1 maka deret a k

k1

3. Jika a = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

Contoh

Selidiki kekonvergenan deret

Jawab:

Misalkan suku ke-n adalah , maka nilai

limitnya adalah

Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret

n1 n 1

n

2n 2

divergen

1.

𝑛=1

∞2𝑛 + 2

𝑛 − 1

𝑛

𝑎𝑛 =2𝑛 + 2

𝑛 − 1

𝑛

lim𝑛→∞

𝑛 𝑎𝑛 = lim𝑛→∞

2𝑛 + 2

𝑛 − 1= 2

Contoh

2.

n

n1 2n1

n 2

Jawab: n

Misalkan suku ke-n adalah an = 2n 1

n 2 , maka nilai

limitnya adalah

n 2n 1 2lim n a lim

n 2

1n

n

Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deretn1 n 1

n

2n 2

konvergen

Latihan

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut:

1

n

n1 ln n

n

3n 2

nn

n1 2

n

1 1 n

2. 4.

3. 1.

n1 2n 1n1 3n 2

Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Mutlak

an a1 a 2 a3 a 4 ...1

Deret Ganti Tanda

Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut n1

n1

dengan an > 0, untuk semua n.

Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu

n 2 3 4

n 1 1 n 1 1

1 1

1

1 ...

an a1 a 2 a3 a 4 ...1

Deret Ganti Tanda

Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut

n1

n1

dengan an > 0, untuk semua n.

Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu

n 2 3 4

n 1

1 n 1 1 1

1

1

1 ...

Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Mutlak

Uji Deret Ganti Tanda

Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika

1. an+1< an

2. lim an 0n

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

1. 1 1

1

1 ...

2 3 4

2. 11

1

1 ...

2! 3! 4!

Contoh

1. Jawab (uji ganti tanda)11

Dari soal diatas kita punya an= n , dan an+1 =

tersebut konvergen jika

, deretn 1

a.1

1

n n n

n 11

11

an1

an

n a >an+1

n1

b. lima lim 1 0

n nn

n

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

Contoh

2. Jawab (uji ganti tanda)1 1

tersebut konvergen jika

Dari soal diatas kita punya an= n!, dan an+1 =n1!, deret

1

1

1 n 1n!a.

an1

an an >an+1

n1!

b. lima lim1 0

n n!n

n

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

Latihan

1

n1

n1 2

3n1

Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut:

31

n1n

n n

2

n n3 11n

n(n1)

4.

5.

1.

2.1n1

1

n n

nn1 n

n !

n1

3. n1

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat

n1

bn

n1

dikatakan konvergen mutlak jika bn konvergen.

n1

divergen,Dan dikatakan konvergen bersyarat jika bn

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga

mutlak deret tersebut konvergen. Atau dengan kata lain

konvergen.

tetapi bn

n1

Pengujian Kekonvergenan Mutlak

Misalkan an

n1

dengan an 0danna

alim n1

n= r. Maka

1. bila r < 1 maka deret konvergen mutlak2. bila r > 1 maka deret divergen3. bila r = 1 maka tes gagal.Bisa digunakan uji deret positif lainnya

Contoh

Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen

1. 1n

n1 2

n!n1

Jawab:

Dari soal diatas kita punya a = 2n

n11 , dan a2n1

=1n2

2

2n!

a

nann1

n1n2

nn1

n1!1r lim n1 lim

2 n1!n

2n1 n! lim

n

2 lim

n n 1

n n! n+1 n1!

Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak

sehingga

0

Contoh

2. 1n1 1

nn1

Jawab:

Dengan uji deret ganti tanda deret

1n1

n1 1

n

1

konvergen

1n1 1

n

adalah deret divergen

n1 n1 n

Jadi deret n1

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1)

adalah konvergen bersyarat.

(buktikan!!), sedangkan an

Latihan

5 n1

n n 11

n1

n

nn11.1

n

4.

Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen:

2

(4)

n1

n

n

(1)n

n1 3n 2

(1)

n1

n1

n ln n

(1)n1

n1n1 n

2.

3.

5.

6.

Deret Pangkat

Deret pangkat secara umum ada dua bentuk

1. Deret pangkat dalam x didefinisikan

n0

nan x = a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan

n0

na x bn= a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen.

Selang Kekonvergenan

Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagi mutlak sebagai berikut:

Misalkan n0

an x bndan n

na (x b)

n1an 1(x b)L lim

n

1. Jika L < 1, maka deret konvergen.2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan gunakan

uji deret sebelumnya.

Soal

Tentukan selang kekonvergenan deret

nn0 (n 1)2

x n

x n

1.

2.n0

(n 1)!

(n 1)!xn

n0

3.

Jawab

1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

:L limxn1 xn

n 2n 1(n 2) (n 1)2n

x

2 lim

x (n 1)

n 2 (n 2)

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu–2 < x < 2

Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitu x = 2 atau x = -2 . Pada x = 2

1

2 n1 n1n

2n

n 1 n 1

deret ini adalah deret harmonik yang divergen.

Jawab

Pada x = –2

n1

1n

n1

n

2n

n 1n 12

deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen.

Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 x < 2

Jawab(2)

2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

xn1 xn

0L limn 2!

:n 1!

limn 2

x

n n

Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuk semua nilai x.

Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)

Jawab(3)

3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

n 2!xn1

n 1!xnL lim

n limn 2x

n0, jika x 0, jika x 0

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.

Teorema 1

Himpunan kekonvergenan deret pangkat

an x nberbentuk

n0

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut:

1. satu titik x = 02. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau

keduanya titik ujungnya.3. seluruh himpunan bilangan riil

Teorema 2

n0

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut :

1. satu titik x = b

2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya.

3. seluruh himpunan bilangan riil

Himpunan kekonvergenan deret pangkat

an (x b)n

Latihan

Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut:

2n0 n1

(x 1)n

...x 24 ln4x 23 ln3x 22 ln2x 2

1.

2.

4.813.272.93

2! 3!

2 3

...x 2 x 2

x 23.

Operasi deret pangkat

1 x 1 deretDalam pasal sebelumnya untuk

a

1 xaxn

n1

Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di

atas (misal S(x)= axn ) misalkan bagaimana jika S(x)n1

didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.

Teorema

Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I; jadi

S(x)= nan x = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x

3+ . . .n0

n

Da x 2 3n0

n

n1an n x

x

0S(t) dt 0

n0

xnant

xn1

n0 n 1

1

2

1

3

1

Maka

1. S’(x) =

=

= an

n1

dt = a0x +

a1 x2 + 3a2 x +

44a3 x + . . .2.

= D[a0 + a1 x + a2 x + a3 x + . . .]

= a1 + 2a2 x + 3a3 x2+ . . .

=

Contoh

Sesuai teorema di atas

1

1 x= 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1< x <1, tentukan

1

1 x2a. b. ln(1 – x)

Jawab:

a.1

1 x2

Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh

2

1 1D

x 1 x

1 x2 3

, -1< x <1

= 1 + 2x + 3x + 4 x + . . .

n xn1

n1

Contoh

a. ln (1 – x)

Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku, kita peroleh juga

x x

2 3 t ...dt1

ln(1 x) 1 tdt 1 t t

0 0

0

x 1

x2 1

x3 1

x4 ...2 3 4

t 1

t 2 1

t 3 1

t 4 ...2 3 4

x

nx , -1< x <1

n1 n

1

Latihan

1

1 x

1 x1

1 x2

1. f (x)

6. f (x) ln2. f (x)

5. f(x)=tan-1(x)

Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)

x

1 x

1f (x) x 2

2

3.

1 x

1

2 3xf (x) 7.

1 x

1

1 x2f (x) 4.

Deret Taylor dan Deret Maclurin

Deret Taylor

Definisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x=b. Maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk

n(n) ( )

x b = f(b) + f ’(b)(x-b)+ + . . .

2f ''(b) (xb)

2!

f "(0) x2

n0

f b

n!

f(x) =

deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b.

Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu

n0

n(n)

xf (0)

n!f(x) = = f(0) + f ’(0)(x)+ + . . .

2!

Contoh

Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin:

1. f(x)= sin x

Jawab:

f(x) = sin x

f ’(x) = cos x

f ’’(x) = - sin x

f ’’’(x) = - cos x

f lV (x) = sin x

f(0) = 0

f’(0) = 1

f’’(0) = 0

f’’’(0) = -1

f lV(0) = 0

Sehingga,

3! 5! 7!

73 5

f (x) sin x xx

x

x . . . 1

n0

2n1n x

2n1!

Contoh

2. f(x)= ex

Jawab:

f(x) = ex

f ’(x) = ex

f ’’(x) = ex

f ’’’(x) = ex

f lV (x) = ex

f(0) = 1

f’(0) = 1

f’’(0) = 1

f’’’(0) = 1

f lV(0) = 1

432

. . .x x x

2! 3! 4!

Sehingga,

f (x) ex 1 x

n0

nx

n!

Contoh

dengan deret taylor dengan pusat3. Perderetkan f(x)= ex

di x=1

Jawab:

f(x) = ex

f ’(x) = ex

f ’’(x) = ex

f ’’’(x) = ex

f lV (x) = ex

f(1) = e

f’(1) = e

f’’(1) = e

f’’’(1) = e

f lV(1) = e

2! 3! e

x 12 x 13Sehingga,

f (x) ex e e(x 1) en!

x 1n

. . . en0

Latihan

1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin

a. f(x) = cos x

b. f(x) = cos x2

c. f(x) = cos2 x

e. f(x) = sin2 x

f. f(x) = sec x

g. f(x) = tan x

d. f(x) = ex + sinx h. f(x) = sec x

2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan pusat x = a

a. f(x) = cos x, a = /3 a. f(x) = ex, a = 2

b. f(x) = sin x, a = /3