Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA BISNIS

Sri PurwaningsihEKONOMI BISNIS

Manajemen dan Akuntansi

Sesi 2 ini akan membahasTeori Deret Hiutung dan Deret Ukur pada Matematika Bisnis sehingga Mahasiswa mempunyai dasar yang kuat untuk melakukan pengukuran kedua jenis Deret tersebut

www.mercubuana.ac.id

Deret Hitung dan Deret UkurMatematika Bisnis Sesi 2

A. Barisan AritmetikaDefinisi

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dandilambangkan dengan b.Perhatikan juga barisan-barisan bilanganberikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan

Aritmetikac. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisihsetiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap(konstan).

Contoh :a. 1, 4, 7, 10, 13, ...+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ...+6 +6 +6Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ...–5 –5 –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlakub = Un – Un – 1.

1

U1 = aU2 = U1 + b = a + bU3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2bU4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3bU5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b...

Un = Un-1 + b = a + (n – 1)bJadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

Keterangan: Un = suku ke-na = suku pertamab = bedan = banyak suku

Un = a + (n – 1)b

Contoh 1 :Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7,

12, ....Jawab:

–3, 2, 7, 12, …Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

Un = –3 + (n – 1)5.Suku ke-8 : U8 = –3 + (8 – 1)5 = 32.Suku ke-20 : U20 = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 :Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Tentukan banyak suku barisan tersebut.Jawab:Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan Un = 40.Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga;

40 = –2 + (n – 1)340 = 3n – 53n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

B. Deret Aritmetika• Definisi

• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D . Dengan demikian, Dn = U1 + U2 + U3 + ... + Un . Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Dn , perhatikan contoh berikut :

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. Dn =U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b.

Contoh 1:Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14.

Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.Jawab:

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.

D5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14D5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

2D5 = 16 + 16 + 16 + 16 + 162D5 = 5 x 16

D5 = D5 = 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.2165×

Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

Dn = U1 + U2 + U3 + …+Un-2 + Un-1 + Un.Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b

kurang dari suku berikutnya.Un-1 = Un – bUn-2 = Un-1 – b = Un – 2bUn-3 = Un-2 – b = Un – 3b

Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) +

Un…(1)

Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut:Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a …(2)Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkanDn= a + (a + b ) + (a + 2b ) + …+ (Un-2b) + (Un-b) + Un

Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2b)+ ... +(a+2b)+(a+b)+a

2Dn = (a + Un ) + (a + Un )+ (a + Un) + ... + (a + Un)

n sukuDengan demikian, 2Dn = n(a + Un )

Dn = (1/2) n(a + Un )Dn = (1/2) n(a + (a + (n – 1)b))Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah :

Keterangan:Dn = jumlah n suku pertamaa = suku pertamab = bedaUn = suku ke-nn = banyak suku

Dn = (1/2) n(a + Un )Dn = (1/2) n(2a + (n – 1)b)

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....

Jawab:Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

D100 = 1/2 x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}= 50 (202)= 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebutadalah 10.100.

Contoh 3:Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100.

Jawab:Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah

3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un = 99.Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;

Un = a + (n – 1)b99 = 3 + (n – 1)33n = 99n = 33

Jumlah dari deret tersebut adalah

Dn = n (a + U )

D33 = x 33(3 + 99)

= 1.683Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurangdari 100 adalah 1.683

n21

21

Contoh 4:Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari

deretaritmatika berturut-turut adalah 18 dan 24.Jumlah tujuh suku pertamanya adalah …..Penyelesaian :a + 2b = 18a + 4b = 24 -

-2b = -6b = 3 a = 12S = 7/2.(2(12) + (7-1)3)

= 147

Soal – soal

1. Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika, 3, 8, 13, 18, …

2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan aritmatikaberikut ini :

a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, …c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, …

3. Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan aritmatikaadalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama danbedanya. Berapakah Un dan Dn

4. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhiradalah 27. Tentukan Un dan Dn

5. Carilah jumlah dari a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertamab. 25 bilangan bulat positif genap yang pertamac. 60 bilangan bulat positif yang pertama

Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri adalah susunan bilanganyang dibentuk menurut urutan tertentu, di manasusunan bilangan di antara dua suku yangberurutan mempunyai rasio yang tetap(dilambangkan dengan huruf r).Jika a1 adalah suku pertama dan r adalah rasioyang tetap, maka suku ke 2 dan seterusnyaadalaha2 = a1ra3 = a2r = a1r2

a4 = a3r = a1r3

Sehingga bentuk umum dari barisan geometri untuk suku ke-n adalah

an = a1rn-1 atau Sn = a1rn-1

Di mana an = Sn = suku ke – na1 = suku pertamar = rasio yang tetapn = banyaknya suku

Contoh

Carilah suku ke delapan darii barisan geometri di mana suku pertama adalah 16 dan rasionya adalah 2Jawab:Diketahui : a1 = 16 , r = 2, n=8Ditanyakan S8 = …?S8 = a1r8-1= a1r7 = 16(2)7 = 2048

Contoh

•

Deret Geometri•

Rumus Deret Geometri•

Contoh

•

Soal - soal

1. Carilah jumlah dari 6 suku pertama padasetiap barisan berikut ini:a. 2, 10,50, 250, … c. 6, 3, …b. 3, 9, 27, 81 d. 16,8, 4, 2, …2. Carilah enam suku pertama dari barisangeometri berikuta. a = 2; r =1/2 d. a = 6; r = -1/2b. a = 12; r =1/3 e. a = 4; r =1/3c. a = 10 ; r = 1/4

3. Carilah nilai dari deret geometri untuk 4 bilangan pertama dari setiap barisan geometridengan a dan r diketahui di bawah inia. a = 4; r =1/4 d. a = 10; r = -2b. a = 4; r =1/4 e. a = 15; r =1/3c. a = 8 ; r = 3/2

4. Diketahui deret geometri 2 + 22 + 23 + …. + 2n =510. Tentukan nilai n !

5. Diketahui deret geometri dengan U2 = 6 dan U4=54. Hitung jumlah delapan sukupertamanya !

Terima KasihSri Purwaningsih, SE.,M.Ak