BAB III LIMIT PENDAHULUAN - · PDF fileKekontinuan Fungsi ... (kekontinuan di satu titik)...
Transcript of BAB III LIMIT PENDAHULUAN - · PDF fileKekontinuan Fungsi ... (kekontinuan di satu titik)...
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 22
2013
BAB III LIMIT
(Pertemuan ke 4)
PENDAHULUAN
Diskripsi singkat
Pada bab ini dibahas tentang limit, antara lain mengenai pengertian limit secara intuisi/tak
formal, pengertian persis tentang limit, pengkajian mendalam tentang limit, teorema limit utama
dan teorema subtitusi.
Manfaat
Pengertian limit memberikan gagasan baru, yang membedakan kalkulus dengan
matematika lainnya. Kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Jadi fungsi limit
merupakan andil yang sangat dominan ketika mendalami kalkulus.
Relevansi
Untuk mempelajjari kalkulus dengan baik, maka pengertian tentang limit sangat
diperlukan, karena pemahaman tentang limit akan mendasari pemahaman tentang kalkulus. .
Learning Outcomes
Mahasiswa dapat mengenal, mamahami arti limit serta terapannya dalam bidang-bidang
terkait, dan dapat mengerjakan soal-soal limit dengan baik.
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 23
2013
PENYAJIAN
Pengertian limit memberikan gagasan baru, yang membedakan kalkulus dengan
matematika lainnya. Kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit.
Contoh 1: Pandang fungsi yang ditentukan oleh rumus berikut.
Fungsi tersebut tak terdefinisi pada x = 1, karena di titik ini berbentuk , yang tanpa arti.
Sebuah pertanyaan: “Apa yang terjadi pada bila x mendekati 1?”.
x
1,25 3,813
1,1 3,310
1,01 3,030
1,001 3,003
1,000 ?
0,999 2,997
0,99 2,970
0,9 2,710
0,75 2,313
Tabel nilai Diagram skematis Grafik:
Gambar 3-1
4
3
2
1
1
y
x x x
1,25
1,1 1,01
1,001
0,999 0,99 0,9
0,75
3,813
3,310
3,030
3,003
2,997
2,970
2,710
2,313
Definisi (pengertian limit secara intuisi/tak formal)
Untuk mengatakan bahwa , berarti bahwa bilamana x dekat tetapi
berlainan dari c (atau ) , maka f(x) dekat ke L.
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 24
2013
Telah dihitung beberapa nilai f(x) untuk x dekat 1 (lihat tabel), dan telah dibuat diagram
skematisnya, serta telah disketsakan garfik (Gambar 1).
Semua informasi tampaknya menunjuk ke kesimpulan yaitu f(x) mendekati 3 bila x
mendekati 1. Dalam lambang matematis ditulis sebagai:
dibaca: “limit dari untuk x mendekati 1 adalah 3”.
Berikut adalah definisi yang menurut sementara orang disebut definisi terpenting dalam
kalkulus.
Perhatikan bahwa tidak disyaratkan agar sesuatu tepat benar di c. Fungsi f bahkan tidak
perlu terdefinisi di c. Pemikiran limit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsi dekat c, bukannya
di c.
Pertanyaan: seberapa dekat ?
Contoh 1. Cari limit berikut :
Bila x dekat 3, maka 4x – 5 dekat terhadap 4.3 – 5 = 7. Ditulis sebagai berikut:
Contoh 2. Cari limit berikut:
Penyelesaian. Perhatikan bahwa tidak terdefinisi di x = 3, tetapi tak
masalah (sama dengan contoh sebelumnya). Untuk mendapatkan gagasan tentang apa yang
terjadi bila x mendekati 3, dapat memakai kalkulator untuk menghitung ungkapan yang
diberikan, misalnya di 3,1; 3,01; 3,001,dan seterusnya.Tetapi adalah jauh lebih baik
memakai sedikit aljabar untuk menyederhanakan persoalan. Maka
Definisi (pengertian persis tentang limit)
Mengatakan bahwa , berarti bahwa untuk tiap > 0 yang
diberikan (betapapun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian
sehingga asalkan bahwa , yakni,
→
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 25
2013
Contoh 3. Cari limit berikut :
Penyelesaian.
Contoh 4. Cari limit berikut :
Penyelesaian. Tidak ditemukan cara unttuk menyederhanakan limit tersebut secara aljabar.
Kalkulator akan menolong memperoleh bayangan tentang nilai itu (lihat tabel).
Kesimpulannya (walau tak kuat) adalah:
x -1,0 -0,5 -0,1 -0,01 0 0,01 0,1 0,5 1,0
0,84147 0,95885 0,99833 0,99998 ? 0,99998 0,99833 0,95885 0,84147
Tanda Peringatan
Ternyata keadannya tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh,
demikian juga dengan intuisi kita. Contoh berikut mengetengahkan jebakan yang mungkin terjadi.
Contoh 5. Cari limit berikut :
Dengan seperti yang terdahulu, maka disusun tabel nilai seperti terlihat pada Gambar.
x
1 0,99995
0,5 0,24991
0,1 0,00990
0,01 0,000000005
0 ?
Dengan melihat angka-angka yang ada pada
tabel, nampaknya kesimpulan nilai limit
tersebut mengarah pada harga = 0. Tetapi itu
salah. Jika diingat bahwa grafik ,
nilainya 1 untuk x mendekati 0. Maka :
Contoh 6. Cari limit berikut :
Penyelesaian. Contoh ini mengetengahkan pertanyaan paling rumit tentang limit. Untuk itu
perhatikan dua hal berikut:
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 26
2013
1. Ambil sebarisan nilai x yang mendekati
0, jika anda beruntung maka
menemukan angka-angka yang
berakibat nilai akan berayun
secara liar (lihat tabel).
2. Jika menggambarkan gafik
, siapapun tidak akan
menghasilkan gafik yang sangat baik,
tetapi dengan bantuan nilai-nilai yang
ada pada tabel, nampaknya
memberikan petunjuk yang baik,
tentang apa yang tejadi. Di sekitar titik
asal grafik bergoyang ke atas dan ke
bawah di antara harga -1 dan 1
berulang kali secara tak hingga. Jelas
bahwa tidak berada pada
suatu bilangan unik L bila x dekat 0.
Kesimpulannya tidak
ada.
x
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
0 ?
y
x
-1
1
Gambar 3-2
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 27
2013
Soal-soal. Carilah limit berikut.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Pengkajian mendalam tentang limit
Seharusnya tidak mudah percaya terhadap apa yang dikatakan orang, dalam arti bijaksana
dalam menyikapinya. Kehati-hatian menerima pernyataan orang menjadi hal penting, sambil
memeriksanya. Jika mengatakan kepada seorang matematikawan bahwa sesuatu adalah benar,
maka wajar jika kemungkinan mendapat tanggapan: ”buktikan!”. Untuk membuktikan, maka
haruslah memahami arti kata-kata yang digunakan dengan sejelas-jelasnya, terutama yang
menyangkut kata limit, karena kalkulus semuanya bersandar pada arti kata tersebut.
Untuk mengatakan bahwa , berarti selisih antara f(x) dan L dapat dibuat
sekecil mungkin, dengan mensyaratkan bahwa x cukup dekat tetapi tidak sama dengan c. Untuk
mengemukakan buktinya, menggunakan huruf Yunani yaitu ε (epsilon) dan δ (delta) untuk
menggantikan bilangan-bilangan kecil positif.
Mengatakan bahwa f(x) berbeda dari L dan lebih kecil dari ε, sama saja mengatakan
bahwa:
Ini berarti bahwa f(x) terletak dalam selang terbuka (L-ε, L+ε). Selanjutnya ucapan bahwa x cukup
dekat tetapi berlainan dengan c, sama saja mengatakan bahwa untuk suatu δ, x terletak dalam
selang terbuka (c-δ, c+δ), dengan c tidak diikutkan. Untuk mengatakan ini, dapat ditulis:
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 28
2013
Definisi yang menurut sementara orang disebut definisi yang terpenting dalam kalkulus
adalah sebagai berikut.
Gambar 3-3, kiranya dapat membantu untuk memahami pengertian definisi tersebut di atas.
Untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga
L
L
F(x) F(x)
c x
c
x δ δ
F(x) F(x)
L
c c-δ c-δ x x
L-
L-
L
c
Gambar 3-3
Definisi (pengertian persis tentang limit)
Mengatakan bahwa , berarti bahwa untuk setiap ε>0 yang deberikan
(betapapun kecilnya), terdapat δ>0 yang berpadanan sedemikian sehingga
asalkan bahwa ;
yakni →
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 29
2013
Teorema Limit
Contoh 1. Carilah
Penyelesaian.
Contoh 2. Carilah
Penyelesaian.
3 8 2
5
5 3
8 2
Teorema A (Teorema Limit Utama)
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi
yang mempunyai limit di c. maka :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. , asalkan
8.
9. , asalkan bilamana n genap
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 30
2013
Contoh 3. Carilah
Penyelesaian.
Contoh 5. Carilah
Penyelesaian.
Contoh 6. Carilah
Penyelesaian. Baik Teorema B ataupun pernyataan 7 Teorema A tidak berlaku, karena limit dari
penyebut 0. Tetapi karena limit pembilang adalah 11, jika dibagi oleh bilangan positif dekat
dengan 0, hasilnya sebuah bilangan positif yang besar (dapat dibuat sekehendak). Dikatakan
bahwa limitnya tidak ada (atau + ).
Contoh 7. Carilah
Penyelesaian. Lagi-lagi teorema B tak dapat diterapkan. Tetapi kali ini hasil baginya mengambil
bentuk tanpa arti ( ) di x = 2. Harus disederhanakan dulu secara aljabar (faktorisasi),
sebelum menentukan limitnya. Maka
7
5
9 4
8,1 2
Teorema B (Teorema Subtitusi)
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka:
Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut c tidak nol.
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 31
2013
Kekontinuan Fungsi
Dalam arti umum, kata kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses yang
berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Gagasan inilah yang berkenaan fungsi, yang
sekarang ingin dibuat persis. Pandang tiga grafik yang diperlihatkan dalam Gambar 1. Hanya grafik
yang ketiga memperlihatkan kekontinuan di c.
Gambar 1
Dengan definisi ini, bermaksud mensyaratkan 3 hal:
1. ada,
2. ada,
3.
Jika salah satu dari ketiga hal tersebut tak dipenuhi, maka f tak kontinu (diskontinu) di c.
y y y
x x x c c c
F(x) F(x) F(x)
ada, tetapi
tidak ada
Definisi (kekontinuan di satu titik)
Dikatakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang
terbuka di sekitar c tekandung dalam daerah asal f dan
Gambar 3-4
(a) (b) (c)
Matematika Teknik 1, Bab 3
s. johanes, dtm sv ugm 32
2013
Contoh 1. Andaikan , x 2.
Bagaimana seharusnya f didefinisikan di
x = 2, agar kontunu di titik it?
Penyelesaian:x
Karena itu definisikan f(2) = 4. Grafik dari
fungsi yang dihasilkan, diperlihatkan pada
Gambar 3-5. Kenyataannya dapat dilihat
bahwa f(x) = x + 2, kontinu untuk semua x.
Soal-soal. Nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu di 2? Jika tak kontinu jelaskan
sebabnya !
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Dalam soal nomer 28 s/d 30 tak terdifinisi di suatu titik tertentu. Bagaimana
mendifinisikannya di sana, agar kontinu pada titik itu.
27.
28.
29.
30.
y
x
2
2 3 1
4
1
3 , x 2
, x = 2
Gambar 3-5