BAB II VEKTOR

Sasaran Belajar

Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :

a. Memehami pengertian dan penggambaran vektor dengan benar

b. Membedakan antara besaran vektor dan skalar

c. Melakukan operasi matematika (penjumlahan, pengurangan, dan perkalian)

antara vektor dengan skalar atau vektor dengan vektor.

d. Menguraikan vektor pada bidang dua dimensi.

2.1 Penggambaran Vektor

Gambar 2.1 gaya yang bekerja pada kotak

Misalkan kita menarik kotak atau mendorong kotak dengan sudut tertentu maka

berarti kita memberikan gaya F dengan sudut dengan arah tertentu pada kotak

tersebut. Penggambaran gaya pada kotak itu merupakan juga penggambaran vektor

(vektor gaya) seperti pada gambar 2.2 dibawah.

Gambar 2.2 gaya sebagai vektor

Contoh vektor lain adalah vektor kecepatan, vektor arah medan, dan lain

sebaigainya.

Penggambaran vektor dapat dilukiskan seperti gambar 2.3 berikut.

12

F

F

B

A

Bab II Vektor

Arah vektor adalah arah anak panah AB

Panjang vektor adalah panjang AB

Simbol : AB

Gambar 2.3 penggambaran vektor

Besaran vektor dapat pula ditulis dengan huruf tebal seperti vektor a atau ditulis

dengan garis diatas huruf tersebut seperti : vektor a

Dalam buku ini besaran vektor ditulis dengan huruf tebal. Huruf yang sama tetapi

bentuknya tidak tebal menyatakan besar dari besaran vektor yang bersangkutan

seperti besar dari gaya F adalah F.

2.2 Penjumlahan Vektor

a. metode geomertis dan poligon (segi banyak)

yaitu penjumlahan vektor dengan cara memindahkan salah satu vektor ke

kepala vektor yang lainnya.

Misal :

Gambar 2.4 penjumlahan vektor metode geometris

dan poligon (segi banyak)

13

R

ab

ab a + b = R

de

f

s

de

f s = d + e + f

Bab II Vektor

Dua sifat penting dalam penjumlahan vektor ini adalah

a + b = b + a (hukum komutatif)

d + (e + f) = (d + e) + f (hukum assosiatif)

b. Metode Jajaran Genjang / Trigono metri

yaitu penjumlahan vektor dengan menggunakan fungsi dasar trigonometri

seperti sinus, cosinus, dan tangen dari suatu sudut.

Gambar 2.5 penjumlahan vektor metode trigonometri

Contoh.

Dua buah gaya F1 dan F2 besarnya 10 N dan 20 N bekerja pada sebuah benda

sedemikian rupa sehingga membentuk sudut 55o. Tentukan resultan dan arah

gaya tersebut terhadap F2.

Jawab.

R2 = F12 + F2

2 – 2. F1. F2.cos = 102 + 202 – (2 . 10 . 20 . cos 55) = 270,57

R = 16,45

14

b

b

c

a

RR2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos

aca

sinsin

F1

F2

R

Bab II Vektor

2.3 Komponen Vektor dan Penjumlahan Vektor Metode Analitik

Setiap dua vektor yang hasil penjumlahan vektornya sama dengan sebuah vektor

yang diketahui disebut komponen dari vektor.

Ax adalah komponen vektor A di sumbu x sedangkan Ay adalah komponen vektor

A di sumbu y. Besar dari masing-masing komponen vektor tersebut adalah :

Ax = A cos

Ay = A sin

Untuk penjumlahan vektor dua dimensi mungkin metode geometris agak mudah

kita kerjakan tetapi untuk tiga dimensi seringkali kurang menguntungkan. Cara

liannya yaitu dengan menggunakan metode analitik termasuk disini penguraian

vektor ke dalam komponen-komponennya dalam suatu sistim koordinat tertentu.

Metode poligon memang suatu metode grafik yang memuaskan untuk mencari

resultan dari sejumlah gaya akan tetapi agak sulit untuk keperluan prehitungan

karena umumnya kita harus bekerja dengan sejumlah segitiga yang tidak ada sudut

90o nya. Untuk mencari resultannya adalah : mula-mula semua gaya diuraikan

menjadi komponen-komponen tegak lurus sepanjang sumbu cartesian yang cocok,

kemudian menggabungkan menjadi resultan tunggal. Dengan cara begini kita akan

bekerja dengan segitiga siku-siku. Misal :

15

BBq

Bpp

Ay

Ax

y

A

x

q

y

Ry

Rx

R

F3x

F3y

F2y

F2xF1

F2

F3

F1

F2

F3

x

y

x

Bab II Vektor

F1 tidak perlu diuraikan karena terletak disepanjang sumbu x sehingga F1x = F1

dan F1y = 0, F2 diuraikan menjadi F2x = F2 cos dan F2y = F2 sin kemudian F3

juga diuraikan menjadi F3x = F3 cos dan F3y = F3 sin dimana komponen F3 ini

adalah negatif karena terletak pada sumbu negatif. Seterusnya kita cari resultan

komponen gaya pada sumbu x dan sumbu y aitu :

Rx = Fx = F1x + F2x + F3x dan

Ry = Fx = F1y + F2y + F3y

Sehingga resultan gaya R adalah

Contoh :

Empat buah gaya seperti gambar bekerja pada sebuah benda pada titik O. Carilah

besaran resultannya dan tentukan arah resultan tersebut.

Jawab.

F1 x = F1 cos 0 = 10 . 1 = 10 F1 y = F1 sin 0 = 10 . 0 = 0

F2 x = F2 cos 45 = 10 . 0,707 = 7,07 F2 y = F2 sin 45 = 10 . 0,707 = 7,07

- F 3 x = - F3 cos 30 = - 20 . 0,866 = - 17,32 F3 y = F3 sin 30 = 20 . 0,5 = 10

16

30o

30o 45o

F4

F3

F1

F2

F1 = F2 = 10 N

F3 = F4 = 20 N

Bab II Vektor

- F 4 x = - F4 cos 30 = -20 . 0,866 = -17,32 ; - F4 y = -F3 sin30 = -20 . 0,5 = -10

Fx = F1 x + F 2 x + (- F3 x ) + (- F4 x ) = 10 + 7,07 – 17,32 – 17,32 = - 17,57

Fy = F1 y + F 2 y + F3 y + (- F4 y ) = 0 + 7,07 + 10 – 10 = 7,07

2.4 Perkalian Vektor

Ada tiga macam perkalian vektor yaitu : perkalian vektor dengan skalar,

perkalian antara dua vektor yang menghsilkan skalar (dot product), perkalian dua

vektor yang menghasilkan vektor lain (cross product).

a. Perkalian vektor dengan skalar

Perkalian vektor dengan skalar memiliki arti yang sederhana yaitu hasil

kali suatu skalar k dengan sebuah vektor a dituliskan sebagai ka didefinisikan

sebagai sebuah vektor baru yang besarnya adalah k dikalikan dengan besar a

Contoh

Gaya F besarnya 10 N, bagaimana pendapat anda jika gaya ini dikalikan 3.

Jawab

R = 3 F = 3 . 10 = 30 N

10 N 30 N

Berarti besar gayanya menjadi tiga kali lebih besar yaitu 30 N dengan arah

vektor tetap.

b. perkalian antara dua vektor yang menghsilkan skalar (dot product)

Jika besaran vektor dikalikan dengan vektor lain harus dibedakan antara

perkalian skalar (dot product) dengan perkalian vektor (cross product).

Perkalian skalar antara dua vektor a dan b dituliskan sebagai a . b dan

didefinisikan sebagai :

a . b = a b cos

17

Bab II Vektor

dengan a : adalah besar vektor a

b : adalah besar vektor b

cos : adalah sudut antara kedua vektor tersebut.

Karena a dan b skalar dan cor adalah bilangan murni maka hasil dari

perkalian kedua vektor tersebut adalah sebuah skalar. a . b ini juga disebut

sebagai perkalian titik dan a . b = b . a.

Contoh.

Dua buah gaya a dan b besarnya 20 N dan 40 N membentuk sudut 60o.

Tentukan hasil perkalian titik dari kedua vektor ini.

Jawab.

a . b = a b cos = 20 . 40 . cos 30 = 400 N

c. perkalian dua vektor yang menghasilkan vektor lain (cros product)

perkalian vektor (cross product) antara dua vektor a dan b dituliskan

sebagai a x b dan hasilnya adalah sebuah vektor lain c dengan nilai c adalah

c = a x b

Besar vektor c didefinisikan sebagai :

c = a x b = a b sin

a x b ini disebut juga sebagai perkalian silang (dibaca a cross b) dan a x b

tidaklah sama dengan b x a karena arah dari hasil perkalian (vektor c) akan

berbeda.

Arah dari c sebagai hasil perkalian dari a dan b adalah tegak lurus dari

bidang yang di bentuk oleh vektor a dan b atau dengan kaidah tangan kanan.

18

60o

a

b

a

b

c = a x b

a

b

c/ = b x a

Bab II Vektor

a x b = - (b x a)

contoh.

Sebuah vektor a dalam bidang x-y berarah 250o berlawanan dengan jarum jam dari

sumbu x positif dan besarnya adalah 7,4 satuan. Vektor b berarah sejajar denga

sumbu z dan besarnya 5 satuan. Hitunglah :

a. perkalian skalar a . b

b. perkalian vektor a x b

jawab.

a. Karena a dan b salaing tegak lurus maka sudut antara kedua vektor tersebut

adalah 90o sehingga cos 90 = 0 maka :

a . b = a b cos = (7,4) (5) cos 90 = 0

b. Besar hasil perkalian vektornya adalah

a x b = a b sin = (7,4) (5) sin 90 = 37

arah dari hasil perkalian ini tegak lurus dengan bidang dari a dan b dan terletak

pada bidang x-y dengan membentuk sudut 250o – 90o = 160o dengan sumbu x

positif (seperti kaidah tangan kanan).

2.5 Selisih Vektor

19

250o

ba

a x b

160o

Bab II Vektor

Proses pengurangan suatu besaran aljabar dengan besaran lainnya sama saja

dengan menambah dengan negatif besaran pengurang tersebut. Begitu pula dengan

besaran vektor, artinya :

a – b = a + (- b)

Cara menghitung hasil pengurangan ini sama halnya dengan cara penjumlahan

yang telah dibicarakan pada bagian 2.2 dan 2.3 diatas. Jadi bisa dilakukan dengan

cara geometri, trigonometri, maupun dengan cara analitik.

Ringkasan

1. vektor bisa digambarkan dengan garis panah dengan arah panah adalah

arah vektor. Penulisan simbol dengan dua cara yaitu dengan huruf tebal seperti

vektor a atau dengan garis diatas huruf ( a ).

2. Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan cara jajaran genjang,

poligon, atau geometri. Sedangkan selisih vektor merupakan jumlah dari negatif

penjumlahnya.

3. perkalian vektor ada dua macam yaitu perkalian titik (dot product) yang

menghasilkan skalar dan perkalian silang (cross product) yang menghasilkan vektor

lain.

20

– b

b

a

a – b

a – b

a

– b

b

a

b

Cara geometri / poligon

Cara jajaran genjang / trigonometri

Bab II Vektor

Soal-soal

1. Tentukanlah resultan dan arah gaya berikut ini

2. Pada gambar berikut tentukan arah dan besar gaya pada masing-masing

tali jika beban m adalah 10 lb.

3. Tentukan gaya tegangan T pada kabel, arah, dan besar gaya yang

dilakukan engsel pada balok penopang pada gambar berikut andaikan berat benda

1000 lb dan berat penopang diabaikan.

21

m

45o

90o

m

45o30o

(a) (b)

30o

F3 = 30 N

F2 = 30 N

x

y

F4 = 40 N

F1 = 10 N

30o

15o

Bab II Vektor

4. Sebuah balok diseret kekanan dengan kecepatan konstan oleh gaya 10 lb

yang membuat sudut 30o terhadap horisontal. Koefisien gesek antara balok dan

permukaan adalah 0,5. Berapa berat balok tersebut.

5. Mobil seberat 10.000 N bergerak keatas bukit dengan kemiringan 30o.

Berapa besar gaya dorong dari mesim mobil agar mobil bisa bergerak keatas bukit,

tuliskan pula gaya-gaya yang bekerja.

22

30o

(a)

60o

45o

(b)