Bab 5
-
Upload
fitriana416 -
Category
Education
-
view
50 -
download
5
Transcript of Bab 5
April 15, 2023
Bab 5Suku Banyak
PersamaanSuku
Banyak
BentukUmum
OperasiAljabar
Nilai SukuBanyak
MenentukanFaktor
menggunakan
Suku Banyak
Pembagian
Teorema Sisa
Penyelesaian
Penjumlahan,Pengurangan,dan Perkalian
Teorema
Faktor
Jumlah danHasil Kali
Akar
mempelajari
April 15, 2023
1. Tentukan koefisien-koefisien persamaan
3x3 – 2x2 + 5x + 1 = 0. Berapa suku tetapnya?
2. Sederhanakanlah (5x + 2)2 + (2x – 1)2.
3. Tentukan penyelesaian dari
a. x2 – 4x + 3 = 0;
b. 2x2 – x – 3 = 0;
c. 6x2 – x – 2 = 0.
4. Tentukan faktor-faktor dari (x2 + 2x + 1)(2x2 + 3x – 2) = 0.
April 15, 2023
1. Pengertian Suku Banyak, Derajat, Koefisien, dan Suku Tetap
Bentuk umum suku banyak:
Misalkan f(x) adalah suku banyak dengan variabel x.
f(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a0
dengan n adalah derajat suku banyak.
Dalam hal ini, an, an – 1, an – 2, ... a0 berturut-turut adalah
koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, ..., x0.
Ingat x0 adalah suatu konstanta. Dalam hal ini, x0 = a0.April 15, 2023
Contoh:
Tentukan derajat, koefisien, dan suku tetap dari suku banyak 4x3 –
2x2 + x + 3.
Jawab
Suku banyak f(x) = 4x3 – 2x2 + x + 3.
Suku dengan pangkat tertinggi adalah 4x3 sehingga derajat
f(x) adalah 3.
Koefisien x3 diperoleh dari 4x3, yaitu 4.
Koefisien x2 diperoleh dari –2x2, yaitu –2.
Koefisien x diperoleh dari x, yaitu 1.
Suku tetap adalah 3.
April 15, 2023
2. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak
Suku sejenis adalah suku yang memiliki derajat x yang
sama. Misalnya, 3x2 sejenis dengan –x2 tetapi tidak sejenis dengan 3x3, –2x5 sejenis dengan 5x5, dan x6 sejenis dengan –2x6.
Contoh:
Misalkan diketahui f(x) = –4x3 + 2x2 – 7x + 6 dan
g(x) = 2x3 – x2 + 5x – 5. Tentukan f(x) + g(x).
Jawab:
f(x) + g(x) = (–4x3 + 2x2 – 7x + 6) + (2x3 – x2 + 5x – 5)
= (–4x3 + 2x3) + (2x2 + (–x2) + (–7x + 5x) +
(6 + (–5))
= –2x3 + x2 – 2x + 1
April 15, 2023
3. Perkalian Suku Banyak
Perlu diingat bahwa dalam bilangan berpangkat berlaku sifat:
am × an = am+n
ContohTentukan hasil perkalian dari suku banyak berikut.(2x – 3)(x + 2)Jawab:Cara 1: (Dengan sifat distributif)(2x – 3)(x + 2) = 2x(x + 2) – 3(x + 2 = 2x2 + 4x – 3x – 6
= 2x2 + x – 6Cara 2: (Dengan skema)
(2x – 3)(x + 2) = 2x2 + 4x – 3x – 6 = 2x2 + x – 6
April 15, 2023
4. Kesamaan Suku Banyak
Dua suku banyak memiliki kesamaan jika keduanya berderajat
sama dan koefisien dari variabel dengan pangkat yang
bersesuaian adalah sama.
Misalkan:
f(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a0
g(x) = bnxn+ bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ... + b0
Fungsi f(x) sama dengan g(x), dinotasikan f(x) = g(x), jika dan
hanya jika
an = bn, an – 1 = bn – 1, ..., a0 = b0.
April 15, 2023
Contoh:
Diketahui suku banyak px2 + qx + r sama dengan
4x2 – 3x + 10. Tentukan nilai-nilai p, q, dan r.
Jawab:
Karena kedua suku banyak sama maka
px2 + qx + r = 4x2 – 3x + 10.
Dengan demikian, diperoleh
px2 = 4x2 p = 4
qx = –3x q = –3
sehingga r = 10.
April 15, 2023
1. Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Substitusi
Misal diketahui suatu fungsi f(x) = 2x2 + 3x – 4.
Bagaimana cara menentukan nilai f untuk x = 3?
Dengan subtitusi x = 3, diperoleh
f(x) = 2x2 + 3x – 4
f(3) = 2(3)2 + 3(3) – 4
= 2(9) + 9 – 4
= 18 + 9 – 4 = 23
Hal ini dapat diperluas untuk x = k dan f(x) merupakan
fungsi sebuah suku banyak.
April 15, 2023
2. Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Cara Sintetik
Perhatikan metode sintetik berikut.
Misalkan f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0.
Kita ubah f(x) menjadi f(x) = (a3x2+ a2x+ a1)x + a0
= (( a3x + a2 )x + a1)x + a0
Bentuk f(x) = ((a3x + a2)x + a1)x + a0 disebut bentuk bagan. Nilai suku
banyak untuk x = k adalah
f(k) = ((a3k + a2)k + a1)k + a0.
Jika persamaan terakhir dituliskan dalam bentuk skema atau sintetik,
tampak seperti berikut.
April 15, 2023
April 15, 2023
Tanda ” ” berarti kalikan dengan k.
Hasil penjumlahan secara vertikal paling akhir merupakan nilai
f(k).
+
k a3
a3
a2
a3k
a3k + a2
(a3k + a2)k
(a3k + a2)k + a1
((a3k + a2)k + a1)k
a1 a0……….. (koefisien)
.... (hasil kali dengan k)
((a3k + a2)k + a1)k + a0 = f(k)
Contoh:
Tentukan nilai f(x) = 5x4 – 4x3 + 2x2 + 10x + 5, untuk x = 3.
Jawab:
Perhatikan bahwa f(x) = 5x4 – 4x3 + 2x2 + 10x + 5.
f(3) = 5(34) – 4(33) + 2(32) + 10(3) + 5
= 350
Nilai f(3) dapat juga dihitung dengan cara sintetik berikut.
April 15, 2023
5 11 35 115
3
350 = f(3)
15 33 105 345
5 -4 2 10 5
+
1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian
Kalian tentu sudah pernah mempelajari pembagian dengan cara bersusun. Misalkan kita akan menghitung 412 : 7.
58 → hasil bagi
7 412 → bilangan yang dibagi
35
62
56
6 → sisa pembagian
Jadi, hasilnya dapat kita tuliskan sebagai berikut.
April 15, 2023
Pembagi →
2. Konsep Habis Membagi dan Modulo (Pengayaan)
a. Habis Membagi (Keterbagian)
Pada pembagian 15 : 5, bilangan 5 habis membagi 15, ditulis
5 | 15. Habis membagi artinya sisanya nol. Pada pembagian
14 : 5, bilangan 5 tidak habis membagi 14, ditulis 5 | 14.
14 : 5 = 2 sisa 4 dapat ditulis 14 = 2 × 4 + 4.
1) Keterbagian oleh 2, 4, dan 8
2|p, jika p merupakan bilangan genap.
4|p, jika 2 digit terakhirdari p habis dibagi 4.
8|p, jika 3 digit terakhir dari p habis dibagi 8.
April 15, 2023
2) Keterbagian oleh 3, 6, dan 9
3|p, jika jumlah digit dari p habis dibagi 3.
6|p, jika P merupakan bilangan genap dan jumlah digit dari p habis dibagi 3.
9|p, jika jumlah digit dari p habis dibagi 9.
3) Ketebagian oleh 11
11|p, jika jumlah (+) dan (–) secara selang-seling dari digit p habis dibagi 11.
4) Keterbagian oleh 99
99|p jika jumlah kelompok 2 digit dari kanan p habis dibagi 99.
Sifat keterbagian
1) Jika a|b dan b|c maka a|c.
2) Jika ab|c maka a|c dan b|c.
April 15, 2023
Contoh:
Tunjukkan bahwa
a. 3.316 habis dibagi 4;
b. 34.848 habis dibagi 99.
Jawab:
a. Sifat habis dibagi 4 adalah dua digit terakhir habis dibagi 4.
3.316 → dua digit terakhir adalah 16, sedangkan 16 habis dibagi 4.
Jadi, 3.316 habis dibagi 4 atau 4 | 3.316.
b. Sifat habis dibagi 99 adalah jika jumlah kelompok dua digit dari
kanan bilangan itu habis dibagi 99.
34.848 dikelompokkan dua digit dari kanan 3 48 48.
48 + 48 + 3 = 99. Kalian tahu, bahwa 99 | 99. Jadi, 34.848 habis
dibagi 99 atau 99 | 34.848. April 15, 2023
b. Modulo
Suatu sistem bilangan yang sering digunakan adalah bilangan modulo 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.Misal: Bilangan 32 dalam modulo 10, ditulis
32 (mod 10) 32 = 3 × 10 + 2 (mod 10).
Contoh:
Tentukan sisa pembagian 47 oleh 10.
Jawab:
Sisa pembagian 47 oleh 10 47 (mod 10)≅ ≅ 4 × 10 + 7 (mod 10)
≅ 4 × 10 (mod 10) + 7 mod (10)
≅ 0 (mod 10) + 7 mod (10)
≅ 7 mod (10)
Jadi, sisa pembagian 47 oleh 10 adalah 7.April 15, 2023
3. Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)
Cara Bersusun:
Misalkan suku banyak f(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 3 dibagi x – 2.
4x2 + x + 4 hasil bagi
x – 2 4x3 – 7x2 + 2x + 3 (1)
4x3 – 8x2 (2)
x2 + 2x (3)
x2 – 2x (4)
4x + 3 (5)
4x – 8 (6)
11 (sisa) (7)
April 15, 2023
Keterangan:
(1) 4x3 dibagi dengan x, hasilnya adalah 4x2.
(2) 4x2 dikalikan dengan (x – 2) menghasilkan 4x3 – 8x2.
(3) 4x3 – 7x2 dikurangi 4x3 – 8x2, yaitu x2. Kemudian,
ambilkan 2x sehingga terbentuk x2 + 2x; x2 dibagi x,
hasilnya x.
(4) x dikalikan (x – 2) menghasilkan x2 – 2x.
(5) x2 + 2x dikurangi x2 – 2x, hasilnya 4x. Kemudian, ambil
angka 3; 4x dibagi x, hasilnya 4.
(6) 4 dikalikan dengan (x – 2), hasilnya 4x – 8. Kemudian,
4x + 3 dikurangi 4x – 8 menghasilkan 11.
(7) Ketika derajat sisa lebih kecil daripada derajat pembagi,
proses dihentikan.
April 15, 2023
211
)44(2
3274 223
x x x
x
x xx
Dari langkah-langkah tersebut, kita dapat menuliskansebagai berikut.
4x3 – 7x2 + 2x + 3 = (x – 2) (4x2 + x + 4) + 11
suku banyak yang dibagi pembagi × hasil bagi sisa
Suku banyak yang dibagi, f(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 3,
Pembaginya, p(x) = x – 2
Hasil bagi, H(x) = 4x2 + x + 4
Sisanya, S = 11
Secara umum, dapat diperoleh bentuk f(x) = p(x) H(x) + S.
April 15, 2023
Dari uraian dan contoh di atas, dapat dibuat suatu
algoritma pembagian suku banyak dengan (x – k) sebagai
berikut.
April 15, 2023
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x – k) hasil
baginya H(x) dan sisanya S maka berlaku
f(x) = (x – k) H(x) + S
b. Cara Horner
Langkah-langkah menentukan pembagian suku banyak
dengan (x – k) menggunakan cara Horner:
April 15, 2023
1) Suku banyak ditulis dalam urutan pangkat menurun
tanpa ada pangkat yang tidak ditulis. Jika ada pangkat
yang tidak ditulis dalam soal, tuliskan dengan
memberi koefisien 0 untuk pangkat tersebut.
2) Nilai nol pembagi dicari, yaitu x – k = 0 atau x = k.
3) Tuliskan koefisien-koefisien suku banyak f(x) dan
gunakan cara bagan untuk menyelesaikannya.
4) Kalian telah mengetahui bahwa f(x) dapat dinyatakan
dengan f(x) = (x – k) H(x) + S.
Jika kita substitusikan x = k pada f(x) maka diperoleh
f(k) = (k – k) H(k) + S f(k) = S.
Jadi, sisa pembagian suku banyak itu adalah S = f(k).
Contoh:
Jika f(x) = 4x3 + 5x2 + 6x – 10 dibagi dengan (x – 3),
tentukan hasil bagi dan sisa pembagian menggunakan
cara Horner.
April 15, 2023
Jawab
f(x) = 4x3 + 5x2 + 6x – 10 dibagi (x – 3).
x – 3 = 0 atau x =3.
Bagan cara Horner dituliskan sebagai berikut. ← eksponen f(x)
← koefisien-koefisien f(x)
← hasil kali dengan 3
x2 x b0
H(x)
H(x) = 4x2 + 17x + 57
S = 161
Jadi, 4x3 + 5x2 + 6x – 10 = (x – 3)(4x2 + 17x + 57) + 161.
x3 x2 x a
4 5 6 -10
4 17 57
3
161 = S
12 51 171 +
April 15, 2023
4. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + k)a. Cara Bersusun
Teorema:
April 15, 2023
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b), hasil baginya
H(x), dan sisanya S maka dapat dituliskan sebagai
f(x) = (ax + b) H(x) + S
b. Cara Horner
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) hasil
baginya H(x) dan sisanya maka suku banyak
itu dapat dituliskan:
f(x) = (ax + b) H(x) + S.
a
bfS
Contoh:
Tentukan hasil pembagian f(x) = 3x4 – 2x2 + x – 3 jika dibagi
(3x + 1) dengan cara Horner.
Jawab:
f(x) = 3x4 – 2x2 + x – 3 dibagi dengan 3x + 1.
Pembagi (3x + 1) kita samakan dengan nol sehingga diperoleh
3x + 1 = 0 atau x =
April 15, 2023
April 15, 2023
koefisien-koefisien f(x)
eksponen f(x)
hasil kali dengan -1
Jadi, diperoleh H(x)
dan sisa pembagian
Dengan demikian, dapat dituliskan
April 15, 2023
5. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c; a ≠ 0
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax2 + bx + c), hasilnya
H(x), dan sisanya S(x) maka berlaku
f(x) = (ax2 + bx + c)H(x) + S(x)
Sisa pembagian S(x) berderajat satu sebab pembaginya
berderajat dua dan dapat dituliskan dalam bentuk umum
S(x) = px + q
p dan q adalah koefisien sisa pembagian.
April 15, 2023
Contoh:
Diketahui f(x) = 3x4 + 10x3 – 8x2 + 3x + 1 dibagi dengan
(x2 + 3x – 1). Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari
pembagian tersebut.
Jawab:
Kita akan menggunakan cara bersusun untuk menentukan
hasil bagi dan sisa pembagian.
April 15, 2023
(3x4 dibagi x2, hasilnya 3x2)
3x4 + 9x3 – 3x2 - (hasil kali 3x2 (x2 + 3x – 1)
x3 – 5x2 + 3x (x3 dibagi x2, hasilnya x)
x3 + 3x2 – x - (hasil kali x(x2 + 3x – 1)
–8x2 + 4x + 1 (dibagi x2, hasilnya –8)
–8x2 –24x + 8 - (hasil kali –8(x2 + 3x – 1)
28x – 7 (sisa pembagian)
H(x) = 3x2 + x – 8
S(x) = 28x – 7
Jadi, 3x4 + 10x3 – 8x2 + 3x + 1 = (x2 + 3x – 1)(3x2 + x – 8) + (28x –7).
xxxxxx 13810313 2342
April 15, 2023
3x + x – 8
1. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (x – k)
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan (x –
k) maka sisa pembagiannya adalah S = f(k).
Bukti:
Karena f(x) adalah suku banyak, f(x) = (x – a) H(x) +S
adalah identitas maka f(x) = (x – a) H(x) + S.
Untuk x = k, persamaan di atas berubah menjadi
f(k) = (k – k) H(k) + S
f(k) = 0 × H(k) + S
Jadi, diperoleh f(k) = S atau S = f(k). ............ (terbukti)
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan sisa dari pembagian suku banyak berikut.
3x4 – 5x3 + 6x2 – x + 2 dibagi x – 2
Jawab:
f(x) = 3x4 – 5x3 + 6x2 – x + 2
(x – 2) berarti x – 2 = 0 atau x = 2.
Menurut teorema sisa, S = f(k) atau S = f(2).
Substitusi x = 2 ke persamaan f(x) diperoleh
S = f(2)
= 3(2)4 – 5(2)3 + 6(2)2 – 2 + 2
= 32
Jadi, sisa pembagian itu adalah S = 32.
April 15, 2023
a
bfS
2. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (ax + b)
Dari pembagian cara Horner, telah diketahui bahwa
pembagian f(x) dengan pembagi berbentuk (ax + b)
memberikan sisa .
a
bfS
April 15, 2023
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) maka sisa pembagiannya adalah
3. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (x – a)(x – b)
Menurut algoritma pembagian suku banyak dengan
pembagi (x – a)(x – b) maka f(x) dapat dituliskan sebagai
berikut.
f(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)
S(x) = px + q, p dan q merupakan koefisien sisa pembagi.
April 15, 2023
Langkah-Langkah:
a. Pembagi berderajat dua difaktorkan menjadi (x – a)(x – b).
b. Algoritma pembagian f(x) oleh (x – a)(x – b) ditulis
f(x) = (x – a)(x – b)H(x) + px + q .................................... (1)
c. Tentukan f(a) dan f(b) dengan menyubstitusikan nilai x = a dan
x = b ke persamaan (1) sehingga diperoleh
f(a) = pa + q .................................................................... (2)
f(b) = pb + q ..... .............................................................. (3)
Persamaan (2) dan (3) membentuk sistem persamaan linear
dalam variabel p dan q.
d. Tentukan nilai p dan q dari sistem persamaan itu sehingga
akan diperoleh S(x) = px + q.
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan sisa dari (3x4 – 2x3 + 4x2 – 10) dibagi (x2 + x – 12).
Jawab:
a. Pembagi x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) x = –4 dan x = 3
b. Substitusi x = –4 dan x = 3 ke persamaan f(x) = 3x4 – 2x3 + 4x2 – 10.
1) sisa f(–4) = 3(–4)4 – 2(–4)3 + 4(–4)2 – 10 = 950;
2) sisa f(3) = 3(3)4 – 2(3)3 + 4(3)2 – 10 = 215.
c. Dari persamaan pembagian f(x) dengan (x + 4)(x – 3), diperoleh
f(x) = (x + 4)(x – 3) H(x) + (px + q) …………………………………….. (1)
1) Substitusikan x = –4 ke persamaan (1) sehingga diperoleh
f(–4) = (–4 + 4)(–4 – 3) H(–4) + p(–4) + q
950 = –4p + q ............................................................................. (2)
2) Substitusikan x = 3 ke persamaan (2) sehingga diperoleh
f(3) = (3 + 4)(3 – 3) H(3) + p(3) + q
215 = 3p + q ............................................................................... (3)
April 15, 2023
d. Dari persamaan (2) dan (3), dapat kita tentukan nilai p dan q.
–4p + q = 950
3p + q = 215
––––––––––– –
–7p = 735 atau p = –105
Substitusikan p = –105 ke persamaan (3) maka akan
diperoleh q = 530.
Dengan menyubstitusikan nilai p = –105 dan q = 530 ke S(x)
= px + q, diperoleh sisa pembagian S(x) = –105x + 530.
April 15, 2023
1. Pengertian Teorema Faktor
April 15, 2023
f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya
jika f(k) = 0.
f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya
jika
Contoh:
Tunjukkan bahwa (x – 3) merupakan faktor dari
f(x) = 3x3 – 8x2 + x – 12.
Jawab:
Dengan menggunakan teorema faktor untuk menunjukkan
(x – 3) merupakan faktor dari f(x) maka cukup ditunjukkan
bahwa f(3) = 0.
f(3) = 3(3)3 – 8(3)2 + 3 – 12
= 81 – 72 + 3 – 12
= 0
Karena f(3) = 0 maka (x – 3) merupakan faktor dari
f(x) = 3x3 – 8x2 + x – 12.
April 15, 2023
2. Menentukan Faktor-Faktor Linier dari Suku Banyak
Contoh:
Tentukan faktor-faktor dari suku banyak
2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6.
Jawab:
Diketahui suku banyak f(x) = 2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6.
Suku tetap dari f(x) adalah –6.
Faktor-faktor bulat dari 6 adalah ±1, ±2, ±3, dan ±6.
Dengan menggunakan cara Horner, faktor bulat x = k diuji
satu per satu sampai ditemukan faktor pertama (x – k) yang
memberikan nilai f(k) = 0.
April 15, 2023
a. Untuk x = 1
(x – 1) adalah faktor dari f(x) dan diperoleh hasil bagi
H1(x) = 2x3 – 3x2 – 11x + 6.
b. Selanjutnya, diuji x = –1 pada H1(x).
Karena sisa = 12 ≠ 0 maka (x + 1) bukan merupakan faktor f(x).
x4 x3 x2 x a0
2 -3 -11 6 0 = sisa
2 -3 -11 6 +
2 -5 -8 17 -6
1
x3 x2 x b0
2 -3 -11 6
2 5 6 12 = sisa
-1
2 5 6 +
April 15, 2023
c. Uji untuk x = 2 pada H1(x)
Karena sisa = –12 ≠ 0 maka (x – 2) bukan merupakan
faktor f(x).
d. Uji untuk x = –2 pada H1(x)
Karena sisa S = 0 maka (x + 2) merupakan faktor dari f(x) dan diperoleh hasil bagi H2(x) = 2x2 – 7x + 3.
x3 x2 x b0
2 -3 -11 6
2 1 -9 -12 = sisa
2 4 2 -18 +
x3 x2 x b0
2 -3 -11 6
2 -7 3 0 = sisa
-2
4 -14 -6 +
April 15, 2023
Jika telah diperoleh hasil bagi H2(x) berderajat dua,
pengujian faktor-faktor ±1, ±2, ±3, dan ±6 dihentikan.
Dengan demikian, hasil yang telah diperoleh adalah
f(x) = (x – 1)(x + 2)(2x2 – 7x + 3).
Suku banyak berderajat dua 2x2 – 7x + 3 kita faktorkan
sehingga diperoleh 2x2 – 7x + 3 = (2x – 1)(x – 3).
Jadi, hasil pemfaktoran f(x) adalah
f(x) = 2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6 = (x – 1)(x + 2)(x – 3)(2x – 1).
April 15, 2023
Untuk f(x) suku banyak dan k bilangan real, pernyataan-
pernyataan berikut ekuivalen.
1. (x – k) adalah faktor dari f(x).
2. x = k adalah penyelesaian atau akar dari persamaan
dari f(x) = 0.
3. x = k adalah pembuat nol dari f(x).
4. (k, 0) adalah koordinat titik potong grafik f(x) dengan
sumbu X.
April 15, 2023
1. Menentukan Akar-Akar Rasional Suatu Persamaan Berderajat Tinggi
Teorema Rasional Nol:
Jika f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a0 memiliki
koefisien-koefisien bulat dan (dengan p dan q tidak
memiliki faktor prima yang sama) merupakan pembuat
nol rasional f(x) maka p haruslah faktor dari a0 dan q
faktor dari an.
Contoh:
Diketahui f(x) = 3x4 + 3x3 – 2x2 + 13x – 8 = 0. Gunakan
teorema rasional nol untuk mendaftar semua akar
rasional yang mungkin.
April 15, 2023
q
p
Jawab:Diketahui f(x) = 3x4 + 3x3 – 2x2 + 13x – 8 = 0.
Suku tetap a0 = –8 dan koefisien pangkat tertinggi a4 = 3.
Semua bilangan bulat p merupakan faktor dari a0 = –8,
yaitu ±1, ± 2, ±4,±8, dan q adalah faktor dari a4 = 3,yaitu ±1 dan ±3.Semua akar rasional yang mungkin dari
persamaan f(x) adalah , yaitu ±1, ±2, ±4, ±8, , ,
, dan .
Suatu persamaan suku banyak f(x) = 0 berderajat nmemiliki paling banyak n buah faktor.
3
2
3
8
3
4
q
p
3
1
April 15, 2023
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Berderajat
Tinggi
a. Persamaan Suku Banyak f(x) = 0 Berderajat Dua
1) Bentuk umumnya ax2 + bx + c = 0, dengan akar-akarnya
x1 dan x2.
2) Jumlah akar-akarnya, x1 + x2
3) Hasil kali kedua akar, x1x2
April 15, 2023
b. Persamaan Suku Banyak f(x) = 0 Berderajat Tiga
1) Bentuk umumnya ax3 + bx2 + cx + d = 0, dengan akar-
akar x1, x2, dan x3.
2) Jumlah akar-akar, x1 + x2 + x3
3) Jumlah hasil kali dua akar, x1x2 + x1x3 + x2x3
4) Hasil kali ketiga akar x1x2x3
April 15, 2023
c. Persamaan Suku Banyak Berderajat Empat
Bentuk umumnya ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, dengan akar-akarnya x1, x2, x3, dan x4, berlaku sebagai berikut.
1) Jumlah akar-akar, x1+x2+x3+x4
2) Jumlah hasil kali dua akar,
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4
3) Jumlah hasil kali tiga akar,
x1x2x3 + x1x2x4 + x2x3x4 + x1x3x4
4) Hasil kali keempat akar, x1x2x3x4
a
c
a
e
a
d
April 15, 2023
a
b