Bab 5 Pengujian

53
Materi 5 Pengujian Hasil Bilangan Random Ir. Risma A. Simanjuntak, MT Teknik Industri Fakultas Teknologi industri Institut Sains & Teknologi AKPRIND Yogyakarta

description

Materi Kuliah Simulasi Sistem

Transcript of Bab 5 Pengujian

Page 1: Bab 5 Pengujian

Materi 5Pengujian Hasil Bilangan Random

Ir. Risma A. Simanjuntak, MT

Teknik Industri

Fakultas Teknologi industri

Institut Sains & Teknologi AKPRIND

Yogyakarta

Page 2: Bab 5 Pengujian

Kompetensi

• Memahami pengertian distribusi probabilitas

• Memahami penggunaan distribusi probabilitas dalam simulasi

• Mengetahui teknik pengujian

• Dapat memvalidasi algoritma simulasi dengan pengujian Goodness of Fit

Page 3: Bab 5 Pengujian

Pokok Bahasan

• Pengujian pembangkit bilangan random

• Frequency test (Kolmogorof-Smirnov atau Chi

Square)

• Runs test

Page 4: Bab 5 Pengujian

Pengantar

• Suatu bilangan acak mempunyai dua sifat statistik yang penting, yaitu keseragaman dan ketidaktergantungan (uniformity and independence). Untuk mendapatkan sifat yang diinginkan dari bilangan acak secara pasti, maka sejumlah pengujian harus dilakukan

Page 5: Bab 5 Pengujian

Hasil bilangan random yang baik :

Bilangan random yang dihasilkan benar-benar tampak dari distribusi U(0,1)

Tidak ada korelasi antar bilangan random (independence)

Page 6: Bab 5 Pengujian

Beberapa pengujian :

• Frequency test (Kolmogorof-Smirnov atau Chi Square)

• Runs test • Autocorrelation test• Gap test• Poker test

Page 7: Bab 5 Pengujian

Test untuk uniformHipotesa :

Ho : Ri ~ U(0, 1)H1 : Ri ~ U(0, 1)

IndependenceHipotesa :

Ho : Ri ~ IndependentlyH1 : Ri ~ Independently

Page 8: Bab 5 Pengujian

1. Frequency Test

• Kolmogorof-Smirnov

digunakan untuk sample kecil

Fn (x) = Number of Xi / N

F (Xi) = i / n

Page 9: Bab 5 Pengujian

Langkah-langkah

1. Rangking data mulai dari yang terkecil sampai terbesarR1 < R1 < …… < RN

2. Hitung D+ = max { i / N - Ri }

D- = max { Ri - (i – 1) / N }

3. Hitung D = max ( D+ , D- )

Page 10: Bab 5 Pengujian

Langkah (lanjut) :

4. Tentukan nilai kritis (table) α dari table dengan tingkat kepercayaan α dan sample N

5. Jika nilai hitung lebih besar dari nilai table maka data tersebut berdistribusi uniform atau distribusi tertentu

Page 11: Bab 5 Pengujian

Test distribusi

• Distribusi uniform :F(x) = 1/(b-a) x a < x < b

a = 0 dan b = 1

• Distribusi eksponensialf(x) = ∫ 1/λ . e-x/λ untuk x > 0

F(x) = 1 – e-x / λ untuk x > 0

Page 12: Bab 5 Pengujian

Contoh 1. Test Kolmogorof Smirnov Distribusi uniform

• Misalkan hasil bilangan pembangkitan : 0.44 , 0.81 , 0.14 , 0.05 , 0.93

• Test apakah data tersebut berdistribusi uniform

• Dengan tingkat kepercayaan α = 0.05

Page 13: Bab 5 Pengujian

Penyelesaian :Untuk sample kecil ---- test Kolmogorof Smirnov

R1 0.05 0.14 0.44 0.81 0.93

i/N 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

i / N - Ri 0.15 0.26 0.16 - 0.07

Ri - (i – 1) / N

0.05 - 0.04 0.21 0.13

Dari table α = 0.05 dan N = 5 adalah 0,565Nilai hitung < nilai table : 0.26 < 0.565Berarti berdistribusi uniform

******

Page 14: Bab 5 Pengujian

Contoh 2. Test Kolmogorof Smirnov Distribusi eksponensial

Berdasarkan pengamatan didapat data interval waktu kedatangan sebagai berikut :

3.10 0.20 12.10 1.40 0.05 7.00 10.90 13.70 5.30 9.10

Tes data tersebut apakah berdistribusi eksponensial

Page 15: Bab 5 Pengujian

Penyelesaian :

• Sample kecil ---- test Kolmogorof Smirnov

Page 16: Bab 5 Pengujian

No Xi F(xi) i/n i/n – F(xi) F(xi) – (i-1) / n

1 3.10 0.049 0.1 0.051 0.049

2 3.30 0.052 0.2 0.148 -0.048

3 15.40 0.244 0.3 0.056 0.044

4 16.80 0.267 0.4 0.133 -0.033

5 16.85 0.267 0.5 0.233 -0.133

6 23.85 0.379 0.6 0.221 -0121

7 34.75 0.552 0.7 0.148 -0.048

8 48.45 0.769 0.8 0.031 0.069

9 53.75 0.853 0.9 0.047 0.053

10 62.85 0.998 1.0 0.002 0.098

D+ = 0.233

D- = 0.098

Page 17: Bab 5 Pengujian

Dari table X2 0.05 , 10 = 0.409 ;

nilai hitung = 0.233

Nilai hitung < nilai table : 0.233 < 0.409

Berarti berdistribusi eksponensial

*****

Page 18: Bab 5 Pengujian

Contoh 3. Test Chi Square Untuk Distribusi uniform

Misalkan :• Hasil bilangan pembangkitan bilangan sebanyak

100 kali seperti data dibawah ini

• Test apakah data tersebut berditribusi uniform

• Tingkat keyakinan 5%

Page 19: Bab 5 Pengujian

Data pengamatan

0.34 0.90 0.25 0.89 0.87 0.44 0.12 0.21 0.46 0.67

0.83 0.76 0.79 0.64 0.70 0.74

0.06 0.99 0.02

0.47 0.30 0.05

0.79 0.42

0.99 0.49

0.37 0.49

0.72 0.05

0.06 0.62

0.18 0.26 0.97 0.88 0.64 0.47 0.60 0.11 0.29 0.78

Page 20: Bab 5 Pengujian

• Pdf dari distribusi uniform :

f(x) = untuk a ≤ x ≤ b

a = 0 dan b 1 maka f(x) = x

• X02 = ∑(Oi – Ei)2 / Ei

Ei = n/m ------ Ei = n.pi

dxab

1

Page 21: Bab 5 Pengujian

Contoh perhitungan :

pi = ∫ fx (x) dx

Pi =

dxab

1

= x│10

= 0.10 – 0 = 0.10

E = n.p1 = 100 x 0.10 = 10

20

P2 = x│10

Dst

Page 22: Bab 5 Pengujian

Penyelesaian :

Interval Freg Pengamatan

Oi

Freg Harapan Ei

( Oi - Ei )2 / Ei

0.00-0.10 8 10 0.4

0.10-0.20 8 10 0.4

0.20-0.30 10 10 0.0

0.30-0.40 9 10 0.1

0.40-0.50 12 10 0.4

0.50-0.60 8 10 0.4

0.60-0.70 10 10 0.0

0.70-0.80 14 10 1.6

0.80-0.90 10 10 0.0

0.90-1.00 11 10 0.1

Total 100 100 3.4

Page 23: Bab 5 Pengujian

Dari table X2 0.05 , 9 = 16,9 ;

nilai hitung = 3.4

Nilai hitung < nilai table : 3.4 < 16.9

Berarti data berdistribusi uniform

******

Page 24: Bab 5 Pengujian

Contoh 4 Berdistribusi Eksponensial

Berdasarkan data pengamatan kedatangan yang dilakukan

sebanyak 60 kali pengamatan

Test data tersebut apakah benar berdistribusi eksponensial

dengan tingkat kepercayaan 5%

Page 25: Bab 5 Pengujian

12 07 26 06 18 15 44 28 09 44 16 19 37 29 08

10 09 18 35 17 20 31 08 24 15 18 30 11 28 68

07 19 04 26 25 37 46 09 18 14 07 34 26 09 49

09 16 32 07 04 06 23 08 36 19 05 21 09 03 22

Data pengamatan

Page 26: Bab 5 Pengujian

Penyelesaian :

• Menentukan banyaknya interval kelas

Range : Xmax - Xmin

K = (1 + log 30)

P = Range / k

Page 27: Bab 5 Pengujian

a. Tentukan interval kelas dan frekuensi

Kelas Frekuensi Data

00 - 10

19 07 06 09 08 09 .. .. ..

10 – 20 16 12 18 15 16 19 10 .. .. ..

20 – 30 12 26 28 29 24 28 .. .. ..

30 – 40 8 37 35 31 30 37 .. .. ..

40 – 50 4 44 40 46 49

50 – 60 0

60 – 70 1 68

Page 28: Bab 5 Pengujian

Pdf dari distribusi eksponensial :

f(x) = ∫ 1/λ . e-x/λ untuk x > 0

CDF distribusi eksponensial :

F(x) = 1 – e-x / λ untuk x > 0

Page 29: Bab 5 Pengujian

Pi = Fx (ai) - Fx (ai-1)

Fx (ai) = Fx (10) = 1 - e-10 / 20.1 = 0.392

Fx (ai-1) = Fx (0) = 1 - e-0 / 20.1 = 0

Pi = P1 = 0.392 – 0 = 0.392

Maka E1 = n.p1 = 60 x 0.392 = 23.52

Page 30: Bab 5 Pengujian

b. Perhitungan Chi Sguare Test

Kelas Freg Pengamat

an (Oi)

Freg Harapan (Ei

=n.pi)

(Oi – Ei)2 / Ei

00 – 10 19 23.52 0.869

10 – 20 16 14.31 0.200

20 – 30 12 8.69 1.261

30 – 40 8 5.29 1.388

40 – 50 4 3.21 1.236

50 – 70 1 4.97

T o t a l 60 60 4.954

Page 31: Bab 5 Pengujian

Jika frekuensi lebih kecil dari 5 dapat dikombinasikan dengan frek yang terdekat

Dari table X2 0.05 , 5 = 7.81 ; nilai hitung = 4.954

Nilai hitung < nilai table : 4.954 < 7.81

Berarti berdistribusi eksponensial

*******

Page 32: Bab 5 Pengujian

2. Uji Run (Runs Test)

• Runs up and Runs down

Uji ini menggunakan metode naik run dan turun run .

• Suatu run didefinisikan sebagai rangkaian dari suatu kejadian (event) yang sama yang didahului dan di ikuti oleh kejadian yang berlainan.

Page 33: Bab 5 Pengujian

Run test (lanjut)

• Panjang dari run adalah jumlah dari kejadian yang timbul dalam run.

• Analisa uji run dideskripsikan sebagai bilangan yang nilainya di atas rata-rata diberi tanda + dan yang nilainya di bawah rata-rata akan diberi tanda -. Kemudian jumlah panjang (b) dari run untuk setiap tanda dijumlahkan.

Page 34: Bab 5 Pengujian

Run test (lanjut)

Formula yang digunakan adalah :

N = n1 + n2

Keterangan :n1 = jumlah bilangan di atas rata-ratan2 = jumlah bilangan di bawah rata-rata.N = Jumlah panjang dari run

Page 35: Bab 5 Pengujian

Run test (lanjut)

• Untuk nilai n1 atau n2 > 20, nilai b cukup beralasan bila didekati oleh distribusi normal, N. Pendekatan ini dapat digunakan untuk menguji ke tidak tergantungan dari sejumlah angka yang dibangkitkan oleh suatu generator. Oleh karena itu, uji statistik normal standar dapat dikembangkan dengan menggunakan mean dari jumlah pengamatan run,b dan membaginya dengan standar deviasi.

Page 36: Bab 5 Pengujian

2

1

22121

21

1

..2..2

21..2

0

NN

Nnnnn

Nnnb

Z

Uji statistik tersebut adalah :

Kegagalan untuk menolak hipotesis ketidaktergantungan terjadi jika –Zα/2≤ Zo≤ Zα/2 dimana α adalah tingkat kepercayaan. Nilai kritis dan penolakannya dapat dilihat seperti gambar dibawah ini :

Page 37: Bab 5 Pengujian

Daerah Penerimaan Hipotesis

–Zα/2 Zα/2

Daerah penerimaan

Gambar 1 Daerah Penerimaan Hipotesis

Page 38: Bab 5 Pengujian

Contoh Run Test

0,63 0,72 0,79 0,81 0,52 0,94 0,83 0,93 0,87 0,67

0,54 0,83 0,89 0,55 0,88 0,77 0,74 0,95 0,82 0,86

0,43 0,32 0,36 0,18 0,08 0,19 0,18 0,27 0,36 0,34

0,31 0,45 0,49 0,43 0,46 0,35 0,25 0,39 0,47 0,41

Page 39: Bab 5 Pengujian

Urutan runs up dan runs down sebagai berikut :

+ + + - + - + - - -

+ + - + - - + - + -

- + - - + - - + + -

- + + - + - - + + -

Page 40: Bab 5 Pengujian

Menentukan :

n1 = 18

n2 = 22

N = n1 + n2 = 22+ 18 = 40

b = 17

Page 41: Bab 5 Pengujian

Untuk menentukan mean digunakan formula :

2

1..2 21 N

nnb

= 20,3

2

1

40

22.18.2

Page 42: Bab 5 Pengujian

Untuk menentukan variasi digunakan formula :

1

..2..22

21212

NN

Nnnnnb

9,54

14040

4022.18.222.18.22

Page 43: Bab 5 Pengujian

Untuk uji statistiknya digunakan formula

2

1

22121

21

1

..2..2

21..2

0

NN

Nnnnn

Nnnb

Z

= - 1,07

54,9

3,2017

Page 44: Bab 5 Pengujian

Test hipotesa

Nilai uji statistik Z0,025 = 1,96 , berada dalam daerah penerimaan , yang menyatakan bahwa bilangan-bilangan acak yang dibangkitkan tersebut tidak bergantung satu dengan yang lainnya

*******

Page 45: Bab 5 Pengujian

Replikasi

• Replikasi mempunyai pengertian bahwa setiap menjalankan dan menghentikan simulasi dengan cara yang sama dan menggunakan set parameter input yang sama pula (identical part) tetapi menggunakan masukan bilangan random yang terpisah (independent part) untuk membangkitkan hasil-hasil simulasi

• Panjang waktu simulasi yang diinginkan setiap replikasi disebut length of replication.

Page 46: Bab 5 Pengujian

Jumlah Replikasi

• Pendekatan yang digunakan dalam simulasi adalah dengan membangkitkan data dalam jumlah yang cukup kemudian dilakukan pengulangan (replikasi) untuk dapat menganalisa hasil dari simulasi yang dijalankan.

Page 47: Bab 5 Pengujian

Metode yang umum untuk menentukan jumlah replikasi adalah dengan melakukan beberapa percobaan menggunakan berbagai bilangan acak berbeda untuk mendapatkan mean dan deviasi standar dari variabel yang diukur.

Page 48: Bab 5 Pengujian

Menentukan panjang simulasi

N = 2

22

K

SDZ

Keterangan :K = akurasi yang diinginkan dari variabel simulasi

p = tingkat akurasi SD = standart deviasi data observasi N = rata-rata dari jumlah variabel simulasi Z = deviasi normal standar

dengan nilai K = p. x

x

Page 49: Bab 5 Pengujian

Z = 1,96 (dengan tingkat kepercayaan = 95%)

a. K = p. x

2

22

K

SDZ

2

22

204,1441

93,936196,1

162,10 162

= 5% x 28824,08 = 1441,204

Page 50: Bab 5 Pengujian

Rangkuman

• Satu cara yang sering digunakan dalam menetapkan distribusi probabilistik dari variabel yang ada adalah dengan menganalisa data-data historis.

Page 51: Bab 5 Pengujian

Rangkuman (lanjut)

• Lakukan simulasi untuk sejumlah besar pengamatan. Jumlah replikasi yang sesuai dengan cara yang sama dengan jumlah yang tepat dari suatu sampel dalam eksperimen aktual. Uji statistik yang umum mengenai signifikansi yang dapat digunakan. Dengan simulasi komputer, jumlah sampel yang dapat dilakukan sangat

Page 52: Bab 5 Pengujian

Soal soal

1. Dengan menggunakan KS dan tingkat kepercayaan 0,05 , test data tersebut apakah berdistribusi eksponensial 29,02, 06, 33, 18, 23, 07, 01, 37, 47, 14, 03, 21, 31, 07, 05, 09, 11,15, 24

2. Misalkan 22 batches dari hasil yang sudah dibangkitkan 5.7, 22.8, 17.4, 14.9, 20.1, 24.5, 24.7, 19.5, 16.3, 18.0, 21.3, 23.6, 23.9, 18.2, 18.8, 21.3, 20.6, 17.7, 19.4, 19.9, 16.8, 21.2, dengan confidence level 95%. Hitung , mean, variance dan uji statistik

Page 53: Bab 5 Pengujian

Kunci Jawaban

1. Berdistribusi eksponensial

2. Mean = 14,33

Variance = 3,59

Z = - 0,93