Bab 5 Pengujian
description
Transcript of Bab 5 Pengujian
![Page 1: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/1.jpg)
Materi 5Pengujian Hasil Bilangan Random
Ir. Risma A. Simanjuntak, MT
Teknik Industri
Fakultas Teknologi industri
Institut Sains & Teknologi AKPRIND
Yogyakarta
![Page 2: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/2.jpg)
Kompetensi
• Memahami pengertian distribusi probabilitas
• Memahami penggunaan distribusi probabilitas dalam simulasi
• Mengetahui teknik pengujian
• Dapat memvalidasi algoritma simulasi dengan pengujian Goodness of Fit
![Page 3: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/3.jpg)
Pokok Bahasan
• Pengujian pembangkit bilangan random
• Frequency test (Kolmogorof-Smirnov atau Chi
Square)
• Runs test
![Page 4: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/4.jpg)
Pengantar
• Suatu bilangan acak mempunyai dua sifat statistik yang penting, yaitu keseragaman dan ketidaktergantungan (uniformity and independence). Untuk mendapatkan sifat yang diinginkan dari bilangan acak secara pasti, maka sejumlah pengujian harus dilakukan
![Page 5: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/5.jpg)
Hasil bilangan random yang baik :
Bilangan random yang dihasilkan benar-benar tampak dari distribusi U(0,1)
Tidak ada korelasi antar bilangan random (independence)
![Page 6: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/6.jpg)
Beberapa pengujian :
• Frequency test (Kolmogorof-Smirnov atau Chi Square)
• Runs test • Autocorrelation test• Gap test• Poker test
![Page 7: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/7.jpg)
Test untuk uniformHipotesa :
Ho : Ri ~ U(0, 1)H1 : Ri ~ U(0, 1)
IndependenceHipotesa :
Ho : Ri ~ IndependentlyH1 : Ri ~ Independently
![Page 8: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/8.jpg)
1. Frequency Test
• Kolmogorof-Smirnov
digunakan untuk sample kecil
Fn (x) = Number of Xi / N
F (Xi) = i / n
![Page 9: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/9.jpg)
Langkah-langkah
1. Rangking data mulai dari yang terkecil sampai terbesarR1 < R1 < …… < RN
2. Hitung D+ = max { i / N - Ri }
D- = max { Ri - (i – 1) / N }
3. Hitung D = max ( D+ , D- )
![Page 10: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/10.jpg)
Langkah (lanjut) :
4. Tentukan nilai kritis (table) α dari table dengan tingkat kepercayaan α dan sample N
5. Jika nilai hitung lebih besar dari nilai table maka data tersebut berdistribusi uniform atau distribusi tertentu
![Page 11: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/11.jpg)
Test distribusi
• Distribusi uniform :F(x) = 1/(b-a) x a < x < b
a = 0 dan b = 1
• Distribusi eksponensialf(x) = ∫ 1/λ . e-x/λ untuk x > 0
F(x) = 1 – e-x / λ untuk x > 0
![Page 12: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh 1. Test Kolmogorof Smirnov Distribusi uniform
• Misalkan hasil bilangan pembangkitan : 0.44 , 0.81 , 0.14 , 0.05 , 0.93
• Test apakah data tersebut berdistribusi uniform
• Dengan tingkat kepercayaan α = 0.05
![Page 13: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/13.jpg)
Penyelesaian :Untuk sample kecil ---- test Kolmogorof Smirnov
R1 0.05 0.14 0.44 0.81 0.93
i/N 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00
i / N - Ri 0.15 0.26 0.16 - 0.07
Ri - (i – 1) / N
0.05 - 0.04 0.21 0.13
Dari table α = 0.05 dan N = 5 adalah 0,565Nilai hitung < nilai table : 0.26 < 0.565Berarti berdistribusi uniform
******
![Page 14: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh 2. Test Kolmogorof Smirnov Distribusi eksponensial
Berdasarkan pengamatan didapat data interval waktu kedatangan sebagai berikut :
3.10 0.20 12.10 1.40 0.05 7.00 10.90 13.70 5.30 9.10
Tes data tersebut apakah berdistribusi eksponensial
![Page 15: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/15.jpg)
Penyelesaian :
• Sample kecil ---- test Kolmogorof Smirnov
![Page 16: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/16.jpg)
No Xi F(xi) i/n i/n – F(xi) F(xi) – (i-1) / n
1 3.10 0.049 0.1 0.051 0.049
2 3.30 0.052 0.2 0.148 -0.048
3 15.40 0.244 0.3 0.056 0.044
4 16.80 0.267 0.4 0.133 -0.033
5 16.85 0.267 0.5 0.233 -0.133
6 23.85 0.379 0.6 0.221 -0121
7 34.75 0.552 0.7 0.148 -0.048
8 48.45 0.769 0.8 0.031 0.069
9 53.75 0.853 0.9 0.047 0.053
10 62.85 0.998 1.0 0.002 0.098
D+ = 0.233
D- = 0.098
![Page 17: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/17.jpg)
Dari table X2 0.05 , 10 = 0.409 ;
nilai hitung = 0.233
Nilai hitung < nilai table : 0.233 < 0.409
Berarti berdistribusi eksponensial
*****
![Page 18: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh 3. Test Chi Square Untuk Distribusi uniform
Misalkan :• Hasil bilangan pembangkitan bilangan sebanyak
100 kali seperti data dibawah ini
• Test apakah data tersebut berditribusi uniform
• Tingkat keyakinan 5%
![Page 19: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/19.jpg)
Data pengamatan
0.34 0.90 0.25 0.89 0.87 0.44 0.12 0.21 0.46 0.67
0.83 0.76 0.79 0.64 0.70 0.74
0.06 0.99 0.02
0.47 0.30 0.05
0.79 0.42
0.99 0.49
0.37 0.49
0.72 0.05
0.06 0.62
0.18 0.26 0.97 0.88 0.64 0.47 0.60 0.11 0.29 0.78
![Page 20: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/20.jpg)
• Pdf dari distribusi uniform :
f(x) = untuk a ≤ x ≤ b
a = 0 dan b 1 maka f(x) = x
• X02 = ∑(Oi – Ei)2 / Ei
Ei = n/m ------ Ei = n.pi
dxab
1
![Page 21: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh perhitungan :
pi = ∫ fx (x) dx
Pi =
∫
dxab
1
= x│10
= 0.10 – 0 = 0.10
E = n.p1 = 100 x 0.10 = 10
20
P2 = x│10
Dst
![Page 22: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/22.jpg)
Penyelesaian :
Interval Freg Pengamatan
Oi
Freg Harapan Ei
( Oi - Ei )2 / Ei
0.00-0.10 8 10 0.4
0.10-0.20 8 10 0.4
0.20-0.30 10 10 0.0
0.30-0.40 9 10 0.1
0.40-0.50 12 10 0.4
0.50-0.60 8 10 0.4
0.60-0.70 10 10 0.0
0.70-0.80 14 10 1.6
0.80-0.90 10 10 0.0
0.90-1.00 11 10 0.1
Total 100 100 3.4
![Page 23: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/23.jpg)
Dari table X2 0.05 , 9 = 16,9 ;
nilai hitung = 3.4
Nilai hitung < nilai table : 3.4 < 16.9
Berarti data berdistribusi uniform
******
![Page 24: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh 4 Berdistribusi Eksponensial
Berdasarkan data pengamatan kedatangan yang dilakukan
sebanyak 60 kali pengamatan
Test data tersebut apakah benar berdistribusi eksponensial
dengan tingkat kepercayaan 5%
![Page 25: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/25.jpg)
12 07 26 06 18 15 44 28 09 44 16 19 37 29 08
10 09 18 35 17 20 31 08 24 15 18 30 11 28 68
07 19 04 26 25 37 46 09 18 14 07 34 26 09 49
09 16 32 07 04 06 23 08 36 19 05 21 09 03 22
Data pengamatan
![Page 26: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/26.jpg)
Penyelesaian :
• Menentukan banyaknya interval kelas
Range : Xmax - Xmin
K = (1 + log 30)
P = Range / k
![Page 27: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/27.jpg)
a. Tentukan interval kelas dan frekuensi
Kelas Frekuensi Data
00 - 10
19 07 06 09 08 09 .. .. ..
10 – 20 16 12 18 15 16 19 10 .. .. ..
20 – 30 12 26 28 29 24 28 .. .. ..
30 – 40 8 37 35 31 30 37 .. .. ..
40 – 50 4 44 40 46 49
50 – 60 0
60 – 70 1 68
![Page 28: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/28.jpg)
Pdf dari distribusi eksponensial :
f(x) = ∫ 1/λ . e-x/λ untuk x > 0
CDF distribusi eksponensial :
F(x) = 1 – e-x / λ untuk x > 0
![Page 29: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/29.jpg)
Pi = Fx (ai) - Fx (ai-1)
Fx (ai) = Fx (10) = 1 - e-10 / 20.1 = 0.392
Fx (ai-1) = Fx (0) = 1 - e-0 / 20.1 = 0
Pi = P1 = 0.392 – 0 = 0.392
Maka E1 = n.p1 = 60 x 0.392 = 23.52
![Page 30: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/30.jpg)
b. Perhitungan Chi Sguare Test
Kelas Freg Pengamat
an (Oi)
Freg Harapan (Ei
=n.pi)
(Oi – Ei)2 / Ei
00 – 10 19 23.52 0.869
10 – 20 16 14.31 0.200
20 – 30 12 8.69 1.261
30 – 40 8 5.29 1.388
40 – 50 4 3.21 1.236
50 – 70 1 4.97
T o t a l 60 60 4.954
![Page 31: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/31.jpg)
Jika frekuensi lebih kecil dari 5 dapat dikombinasikan dengan frek yang terdekat
Dari table X2 0.05 , 5 = 7.81 ; nilai hitung = 4.954
Nilai hitung < nilai table : 4.954 < 7.81
Berarti berdistribusi eksponensial
*******
![Page 32: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/32.jpg)
2. Uji Run (Runs Test)
• Runs up and Runs down
Uji ini menggunakan metode naik run dan turun run .
• Suatu run didefinisikan sebagai rangkaian dari suatu kejadian (event) yang sama yang didahului dan di ikuti oleh kejadian yang berlainan.
![Page 33: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/33.jpg)
Run test (lanjut)
• Panjang dari run adalah jumlah dari kejadian yang timbul dalam run.
• Analisa uji run dideskripsikan sebagai bilangan yang nilainya di atas rata-rata diberi tanda + dan yang nilainya di bawah rata-rata akan diberi tanda -. Kemudian jumlah panjang (b) dari run untuk setiap tanda dijumlahkan.
![Page 34: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/34.jpg)
Run test (lanjut)
Formula yang digunakan adalah :
N = n1 + n2
Keterangan :n1 = jumlah bilangan di atas rata-ratan2 = jumlah bilangan di bawah rata-rata.N = Jumlah panjang dari run
![Page 35: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/35.jpg)
Run test (lanjut)
• Untuk nilai n1 atau n2 > 20, nilai b cukup beralasan bila didekati oleh distribusi normal, N. Pendekatan ini dapat digunakan untuk menguji ke tidak tergantungan dari sejumlah angka yang dibangkitkan oleh suatu generator. Oleh karena itu, uji statistik normal standar dapat dikembangkan dengan menggunakan mean dari jumlah pengamatan run,b dan membaginya dengan standar deviasi.
![Page 36: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/36.jpg)
2
1
22121
21
1
..2..2
21..2
0
NN
Nnnnn
Nnnb
Z
Uji statistik tersebut adalah :
Kegagalan untuk menolak hipotesis ketidaktergantungan terjadi jika –Zα/2≤ Zo≤ Zα/2 dimana α adalah tingkat kepercayaan. Nilai kritis dan penolakannya dapat dilihat seperti gambar dibawah ini :
![Page 37: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/37.jpg)
Daerah Penerimaan Hipotesis
–Zα/2 Zα/2
Daerah penerimaan
Gambar 1 Daerah Penerimaan Hipotesis
![Page 38: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/38.jpg)
Contoh Run Test
0,63 0,72 0,79 0,81 0,52 0,94 0,83 0,93 0,87 0,67
0,54 0,83 0,89 0,55 0,88 0,77 0,74 0,95 0,82 0,86
0,43 0,32 0,36 0,18 0,08 0,19 0,18 0,27 0,36 0,34
0,31 0,45 0,49 0,43 0,46 0,35 0,25 0,39 0,47 0,41
![Page 39: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/39.jpg)
Urutan runs up dan runs down sebagai berikut :
+ + + - + - + - - -
+ + - + - - + - + -
- + - - + - - + + -
- + + - + - - + + -
![Page 40: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/40.jpg)
Menentukan :
n1 = 18
n2 = 22
N = n1 + n2 = 22+ 18 = 40
b = 17
![Page 41: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/41.jpg)
Untuk menentukan mean digunakan formula :
2
1..2 21 N
nnb
= 20,3
2
1
40
22.18.2
![Page 42: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/42.jpg)
Untuk menentukan variasi digunakan formula :
1
..2..22
21212
NN
Nnnnnb
9,54
14040
4022.18.222.18.22
![Page 43: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/43.jpg)
Untuk uji statistiknya digunakan formula
2
1
22121
21
1
..2..2
21..2
0
NN
Nnnnn
Nnnb
Z
= - 1,07
54,9
3,2017
![Page 44: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/44.jpg)
Test hipotesa
Nilai uji statistik Z0,025 = 1,96 , berada dalam daerah penerimaan , yang menyatakan bahwa bilangan-bilangan acak yang dibangkitkan tersebut tidak bergantung satu dengan yang lainnya
*******
![Page 45: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/45.jpg)
Replikasi
• Replikasi mempunyai pengertian bahwa setiap menjalankan dan menghentikan simulasi dengan cara yang sama dan menggunakan set parameter input yang sama pula (identical part) tetapi menggunakan masukan bilangan random yang terpisah (independent part) untuk membangkitkan hasil-hasil simulasi
• Panjang waktu simulasi yang diinginkan setiap replikasi disebut length of replication.
![Page 46: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/46.jpg)
Jumlah Replikasi
• Pendekatan yang digunakan dalam simulasi adalah dengan membangkitkan data dalam jumlah yang cukup kemudian dilakukan pengulangan (replikasi) untuk dapat menganalisa hasil dari simulasi yang dijalankan.
![Page 47: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/47.jpg)
Metode yang umum untuk menentukan jumlah replikasi adalah dengan melakukan beberapa percobaan menggunakan berbagai bilangan acak berbeda untuk mendapatkan mean dan deviasi standar dari variabel yang diukur.
![Page 48: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/48.jpg)
Menentukan panjang simulasi
N = 2
22
K
SDZ
Keterangan :K = akurasi yang diinginkan dari variabel simulasi
p = tingkat akurasi SD = standart deviasi data observasi N = rata-rata dari jumlah variabel simulasi Z = deviasi normal standar
dengan nilai K = p. x
x
![Page 49: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/49.jpg)
Z = 1,96 (dengan tingkat kepercayaan = 95%)
a. K = p. x
2
22
K
SDZ
2
22
204,1441
93,936196,1
162,10 162
= 5% x 28824,08 = 1441,204
![Page 50: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/50.jpg)
Rangkuman
• Satu cara yang sering digunakan dalam menetapkan distribusi probabilistik dari variabel yang ada adalah dengan menganalisa data-data historis.
![Page 51: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/51.jpg)
Rangkuman (lanjut)
• Lakukan simulasi untuk sejumlah besar pengamatan. Jumlah replikasi yang sesuai dengan cara yang sama dengan jumlah yang tepat dari suatu sampel dalam eksperimen aktual. Uji statistik yang umum mengenai signifikansi yang dapat digunakan. Dengan simulasi komputer, jumlah sampel yang dapat dilakukan sangat
![Page 52: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/52.jpg)
Soal soal
1. Dengan menggunakan KS dan tingkat kepercayaan 0,05 , test data tersebut apakah berdistribusi eksponensial 29,02, 06, 33, 18, 23, 07, 01, 37, 47, 14, 03, 21, 31, 07, 05, 09, 11,15, 24
2. Misalkan 22 batches dari hasil yang sudah dibangkitkan 5.7, 22.8, 17.4, 14.9, 20.1, 24.5, 24.7, 19.5, 16.3, 18.0, 21.3, 23.6, 23.9, 18.2, 18.8, 21.3, 20.6, 17.7, 19.4, 19.9, 16.8, 21.2, dengan confidence level 95%. Hitung , mean, variance dan uji statistik
![Page 53: Bab 5 Pengujian](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022051114/55cf97a2550346d03392aecb/html5/thumbnails/53.jpg)
Kunci Jawaban
1. Berdistribusi eksponensial
2. Mean = 14,33
Variance = 3,59
Z = - 0,93