Bab 5
-
Upload
pitrahdewi -
Category
Documents
-
view
173 -
download
6
Transcript of Bab 5
![Page 1: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/1.jpg)
April 15, 2023
Bab 5Suku Banyak
![Page 2: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/2.jpg)
PersamaanSuku
Banyak
BentukUmum
OperasiAljabar
Nilai SukuBanyak
MenentukanFaktor
menggunakan
Suku Banyak
Pembagian
Teorema Sisa
Penyelesaian
Penjumlahan,Pengurangan,dan Perkalian
Teorema
Faktor
Jumlah danHasil Kali
Akar
mempelajari
April 15, 2023
![Page 3: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/3.jpg)
1. Tentukan koefisien-koefisien persamaan
3x3 – 2x2 + 5x + 1 = 0. Berapa suku tetapnya?
2. Sederhanakanlah (5x + 2)2 + (2x – 1)2.
3. Tentukan penyelesaian dari
a. x2 – 4x + 3 = 0;
b. 2x2 – x – 3 = 0;
c. 6x2 – x – 2 = 0.
4. Tentukan faktor-faktor dari (x2 + 2x + 1)(2x2 + 3x – 2) = 0.
April 15, 2023
![Page 4: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/4.jpg)
1. Pengertian Suku Banyak, Derajat, Koefisien, dan Suku Tetap
Bentuk umum suku banyak:
Misalkan f(x) adalah suku banyak dengan variabel x.
f(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a0
dengan n adalah derajat suku banyak.
Dalam hal ini, an, an – 1, an – 2, ... a0 berturut-turut adalah
koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, ..., x0.
Ingat x0 adalah suatu konstanta. Dalam hal ini, x0 = a0.April 15, 2023
![Page 5: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh:
Tentukan derajat, koefisien, dan suku tetap dari suku banyak 4x3 –
2x2 + x + 3.
Jawab
Suku banyak f(x) = 4x3 – 2x2 + x + 3.
Suku dengan pangkat tertinggi adalah 4x3 sehingga derajat
f(x) adalah 3.
Koefisien x3 diperoleh dari 4x3, yaitu 4.
Koefisien x2 diperoleh dari –2x2, yaitu –2.
Koefisien x diperoleh dari x, yaitu 1.
Suku tetap adalah 3.
April 15, 2023
![Page 6: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/6.jpg)
2. Penjumlahan dan Pengurangan Suku Banyak
Suku sejenis adalah suku yang memiliki derajat x yang
sama. Misalnya, 3x2 sejenis dengan –x2 tetapi tidak sejenis dengan 3x3, –2x5 sejenis dengan 5x5, dan x6 sejenis dengan –2x6.
Contoh:
Misalkan diketahui f(x) = –4x3 + 2x2 – 7x + 6 dan
g(x) = 2x3 – x2 + 5x – 5. Tentukan f(x) + g(x).
Jawab:
f(x) + g(x) = (–4x3 + 2x2 – 7x + 6) + (2x3 – x2 + 5x – 5)
= (–4x3 + 2x3) + (2x2 + (–x2) + (–7x + 5x) +
(6 + (–5))
= –2x3 + x2 – 2x + 1
April 15, 2023
![Page 7: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/7.jpg)
3. Perkalian Suku Banyak
Perlu diingat bahwa dalam bilangan berpangkat berlaku sifat:
am × an = am+n
ContohTentukan hasil perkalian dari suku banyak berikut.(2x – 3)(x + 2)Jawab:Cara 1: (Dengan sifat distributif)(2x – 3)(x + 2) = 2x(x + 2) – 3(x + 2 = 2x2 + 4x – 3x – 6
= 2x2 + x – 6Cara 2: (Dengan skema)
(2x – 3)(x + 2) = 2x2 + 4x – 3x – 6 = 2x2 + x – 6
April 15, 2023
![Page 8: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/8.jpg)
4. Kesamaan Suku Banyak
Dua suku banyak memiliki kesamaan jika keduanya berderajat
sama dan koefisien dari variabel dengan pangkat yang
bersesuaian adalah sama.
Misalkan:
f(x) = anxn+ an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a0
g(x) = bnxn+ bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ... + b0
Fungsi f(x) sama dengan g(x), dinotasikan f(x) = g(x), jika dan
hanya jika
an = bn, an – 1 = bn – 1, ..., a0 = b0.
April 15, 2023
![Page 9: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh:
Diketahui suku banyak px2 + qx + r sama dengan
4x2 – 3x + 10. Tentukan nilai-nilai p, q, dan r.
Jawab:
Karena kedua suku banyak sama maka
px2 + qx + r = 4x2 – 3x + 10.
Dengan demikian, diperoleh
px2 = 4x2 p = 4
qx = –3x q = –3
sehingga r = 10.
April 15, 2023
![Page 10: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/10.jpg)
1. Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Substitusi
Misal diketahui suatu fungsi f(x) = 2x2 + 3x – 4.
Bagaimana cara menentukan nilai f untuk x = 3?
Dengan subtitusi x = 3, diperoleh
f(x) = 2x2 + 3x – 4
f(3) = 2(3)2 + 3(3) – 4
= 2(9) + 9 – 4
= 18 + 9 – 4 = 23
Hal ini dapat diperluas untuk x = k dan f(x) merupakan
fungsi sebuah suku banyak.
April 15, 2023
![Page 11: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/11.jpg)
2. Menentukan Nilai Suku Banyak dengan Cara Sintetik
Perhatikan metode sintetik berikut.
Misalkan f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0.
Kita ubah f(x) menjadi f(x) = (a3x2+ a2x+ a1)x + a0
= (( a3x + a2 )x + a1)x + a0
Bentuk f(x) = ((a3x + a2)x + a1)x + a0 disebut bentuk bagan. Nilai suku
banyak untuk x = k adalah
f(k) = ((a3k + a2)k + a1)k + a0.
Jika persamaan terakhir dituliskan dalam bentuk skema atau sintetik,
tampak seperti berikut.
April 15, 2023
![Page 12: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/12.jpg)
April 15, 2023
Tanda ” ” berarti kalikan dengan k.
Hasil penjumlahan secara vertikal paling akhir merupakan nilai
f(k).
+
k a3
a3
a2
a3k
a3k + a2
(a3k + a2)k
(a3k + a2)k + a1
((a3k + a2)k + a1)k
a1 a0……….. (koefisien)
.... (hasil kali dengan k)
((a3k + a2)k + a1)k + a0 = f(k)
![Page 13: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/13.jpg)
Contoh:
Tentukan nilai f(x) = 5x4 – 4x3 + 2x2 + 10x + 5, untuk x = 3.
Jawab:
Perhatikan bahwa f(x) = 5x4 – 4x3 + 2x2 + 10x + 5.
f(3) = 5(34) – 4(33) + 2(32) + 10(3) + 5
= 350
Nilai f(3) dapat juga dihitung dengan cara sintetik berikut.
April 15, 2023
5 11 35 115
3
350 = f(3)
15 33 105 345
5 -4 2 10 5
+
![Page 14: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/14.jpg)
1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian
Kalian tentu sudah pernah mempelajari pembagian dengan cara bersusun. Misalkan kita akan menghitung 412 : 7.
58 → hasil bagi
7 412 → bilangan yang dibagi
35
62
56
6 → sisa pembagian
Jadi, hasilnya dapat kita tuliskan sebagai berikut.
April 15, 2023
Pembagi →
![Page 15: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/15.jpg)
2. Konsep Habis Membagi dan Modulo (Pengayaan)
a. Habis Membagi (Keterbagian)
Pada pembagian 15 : 5, bilangan 5 habis membagi 15, ditulis
5 | 15. Habis membagi artinya sisanya nol. Pada pembagian
14 : 5, bilangan 5 tidak habis membagi 14, ditulis 5 | 14.
14 : 5 = 2 sisa 4 dapat ditulis 14 = 2 × 4 + 4.
1) Keterbagian oleh 2, 4, dan 8
2|p, jika p merupakan bilangan genap.
4|p, jika 2 digit terakhirdari p habis dibagi 4.
8|p, jika 3 digit terakhir dari p habis dibagi 8.
April 15, 2023
![Page 16: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/16.jpg)
2) Keterbagian oleh 3, 6, dan 9
3|p, jika jumlah digit dari p habis dibagi 3.
6|p, jika P merupakan bilangan genap dan jumlah digit dari p habis dibagi 3.
9|p, jika jumlah digit dari p habis dibagi 9.
3) Ketebagian oleh 11
11|p, jika jumlah (+) dan (–) secara selang-seling dari digit p habis dibagi 11.
4) Keterbagian oleh 99
99|p jika jumlah kelompok 2 digit dari kanan p habis dibagi 99.
Sifat keterbagian
1) Jika a|b dan b|c maka a|c.
2) Jika ab|c maka a|c dan b|c.
April 15, 2023
![Page 17: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh:
Tunjukkan bahwa
a. 3.316 habis dibagi 4;
b. 34.848 habis dibagi 99.
Jawab:
a. Sifat habis dibagi 4 adalah dua digit terakhir habis dibagi 4.
3.316 → dua digit terakhir adalah 16, sedangkan 16 habis dibagi 4.
Jadi, 3.316 habis dibagi 4 atau 4 | 3.316.
b. Sifat habis dibagi 99 adalah jika jumlah kelompok dua digit dari
kanan bilangan itu habis dibagi 99.
34.848 dikelompokkan dua digit dari kanan 3 48 48.
48 + 48 + 3 = 99. Kalian tahu, bahwa 99 | 99. Jadi, 34.848 habis
dibagi 99 atau 99 | 34.848. April 15, 2023
![Page 18: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/18.jpg)
b. Modulo
Suatu sistem bilangan yang sering digunakan adalah bilangan modulo 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.Misal: Bilangan 32 dalam modulo 10, ditulis
32 (mod 10) 32 = 3 × 10 + 2 (mod 10).
Contoh:
Tentukan sisa pembagian 47 oleh 10.
Jawab:
Sisa pembagian 47 oleh 10 47 (mod 10)≅ ≅ 4 × 10 + 7 (mod 10)
≅ 4 × 10 (mod 10) + 7 mod (10)
≅ 0 (mod 10) + 7 mod (10)
≅ 7 mod (10)
Jadi, sisa pembagian 47 oleh 10 adalah 7.April 15, 2023
![Page 19: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/19.jpg)
3. Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)
Cara Bersusun:
Misalkan suku banyak f(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 3 dibagi x – 2.
4x2 + x + 4 hasil bagi
x – 2 4x3 – 7x2 + 2x + 3 (1)
4x3 – 8x2 (2)
x2 + 2x (3)
x2 – 2x (4)
4x + 3 (5)
4x – 8 (6)
11 (sisa) (7)
April 15, 2023
![Page 20: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/20.jpg)
Keterangan:
(1) 4x3 dibagi dengan x, hasilnya adalah 4x2.
(2) 4x2 dikalikan dengan (x – 2) menghasilkan 4x3 – 8x2.
(3) 4x3 – 7x2 dikurangi 4x3 – 8x2, yaitu x2. Kemudian,
ambilkan 2x sehingga terbentuk x2 + 2x; x2 dibagi x,
hasilnya x.
(4) x dikalikan (x – 2) menghasilkan x2 – 2x.
(5) x2 + 2x dikurangi x2 – 2x, hasilnya 4x. Kemudian, ambil
angka 3; 4x dibagi x, hasilnya 4.
(6) 4 dikalikan dengan (x – 2), hasilnya 4x – 8. Kemudian,
4x + 3 dikurangi 4x – 8 menghasilkan 11.
(7) Ketika derajat sisa lebih kecil daripada derajat pembagi,
proses dihentikan.
April 15, 2023
![Page 21: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/21.jpg)
211
)44(2
3274 223
x x x
x
x xx
Dari langkah-langkah tersebut, kita dapat menuliskansebagai berikut.
4x3 – 7x2 + 2x + 3 = (x – 2) (4x2 + x + 4) + 11
suku banyak yang dibagi pembagi × hasil bagi sisa
Suku banyak yang dibagi, f(x) = 4x3 – 7x2 + 2x + 3,
Pembaginya, p(x) = x – 2
Hasil bagi, H(x) = 4x2 + x + 4
Sisanya, S = 11
Secara umum, dapat diperoleh bentuk f(x) = p(x) H(x) + S.
April 15, 2023
![Page 22: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/22.jpg)
Dari uraian dan contoh di atas, dapat dibuat suatu
algoritma pembagian suku banyak dengan (x – k) sebagai
berikut.
April 15, 2023
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x – k) hasil
baginya H(x) dan sisanya S maka berlaku
f(x) = (x – k) H(x) + S
![Page 23: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/23.jpg)
b. Cara Horner
Langkah-langkah menentukan pembagian suku banyak
dengan (x – k) menggunakan cara Horner:
April 15, 2023
1) Suku banyak ditulis dalam urutan pangkat menurun
tanpa ada pangkat yang tidak ditulis. Jika ada pangkat
yang tidak ditulis dalam soal, tuliskan dengan
memberi koefisien 0 untuk pangkat tersebut.
2) Nilai nol pembagi dicari, yaitu x – k = 0 atau x = k.
3) Tuliskan koefisien-koefisien suku banyak f(x) dan
gunakan cara bagan untuk menyelesaikannya.
![Page 24: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/24.jpg)
4) Kalian telah mengetahui bahwa f(x) dapat dinyatakan
dengan f(x) = (x – k) H(x) + S.
Jika kita substitusikan x = k pada f(x) maka diperoleh
f(k) = (k – k) H(k) + S f(k) = S.
Jadi, sisa pembagian suku banyak itu adalah S = f(k).
Contoh:
Jika f(x) = 4x3 + 5x2 + 6x – 10 dibagi dengan (x – 3),
tentukan hasil bagi dan sisa pembagian menggunakan
cara Horner.
April 15, 2023
![Page 25: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/25.jpg)
Jawab
f(x) = 4x3 + 5x2 + 6x – 10 dibagi (x – 3).
x – 3 = 0 atau x =3.
Bagan cara Horner dituliskan sebagai berikut. ← eksponen f(x)
← koefisien-koefisien f(x)
← hasil kali dengan 3
x2 x b0
H(x)
H(x) = 4x2 + 17x + 57
S = 161
Jadi, 4x3 + 5x2 + 6x – 10 = (x – 3)(4x2 + 17x + 57) + 161.
x3 x2 x a
4 5 6 -10
4 17 57
3
161 = S
12 51 171 +
April 15, 2023
![Page 26: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/26.jpg)
4. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + k)a. Cara Bersusun
Teorema:
April 15, 2023
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b), hasil baginya
H(x), dan sisanya S maka dapat dituliskan sebagai
f(x) = (ax + b) H(x) + S
b. Cara Horner
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) hasil
baginya H(x) dan sisanya maka suku banyak
itu dapat dituliskan:
f(x) = (ax + b) H(x) + S.
a
bfS
![Page 27: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh:
Tentukan hasil pembagian f(x) = 3x4 – 2x2 + x – 3 jika dibagi
(3x + 1) dengan cara Horner.
Jawab:
f(x) = 3x4 – 2x2 + x – 3 dibagi dengan 3x + 1.
Pembagi (3x + 1) kita samakan dengan nol sehingga diperoleh
3x + 1 = 0 atau x =
April 15, 2023
![Page 28: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/28.jpg)
April 15, 2023
koefisien-koefisien f(x)
eksponen f(x)
hasil kali dengan -1
![Page 29: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/29.jpg)
Jadi, diperoleh H(x)
dan sisa pembagian
Dengan demikian, dapat dituliskan
April 15, 2023
![Page 30: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/30.jpg)
5. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c; a ≠ 0
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (ax2 + bx + c), hasilnya
H(x), dan sisanya S(x) maka berlaku
f(x) = (ax2 + bx + c)H(x) + S(x)
Sisa pembagian S(x) berderajat satu sebab pembaginya
berderajat dua dan dapat dituliskan dalam bentuk umum
S(x) = px + q
p dan q adalah koefisien sisa pembagian.
April 15, 2023
![Page 31: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/31.jpg)
Contoh:
Diketahui f(x) = 3x4 + 10x3 – 8x2 + 3x + 1 dibagi dengan
(x2 + 3x – 1). Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari
pembagian tersebut.
Jawab:
Kita akan menggunakan cara bersusun untuk menentukan
hasil bagi dan sisa pembagian.
April 15, 2023
![Page 32: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/32.jpg)
(3x4 dibagi x2, hasilnya 3x2)
3x4 + 9x3 – 3x2 - (hasil kali 3x2 (x2 + 3x – 1)
x3 – 5x2 + 3x (x3 dibagi x2, hasilnya x)
x3 + 3x2 – x - (hasil kali x(x2 + 3x – 1)
–8x2 + 4x + 1 (dibagi x2, hasilnya –8)
–8x2 –24x + 8 - (hasil kali –8(x2 + 3x – 1)
28x – 7 (sisa pembagian)
H(x) = 3x2 + x – 8
S(x) = 28x – 7
Jadi, 3x4 + 10x3 – 8x2 + 3x + 1 = (x2 + 3x – 1)(3x2 + x – 8) + (28x –7).
xxxxxx 13810313 2342
April 15, 2023
3x + x – 8
![Page 33: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/33.jpg)
1. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (x – k)
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan (x –
k) maka sisa pembagiannya adalah S = f(k).
Bukti:
Karena f(x) adalah suku banyak, f(x) = (x – a) H(x) +S
adalah identitas maka f(x) = (x – a) H(x) + S.
Untuk x = k, persamaan di atas berubah menjadi
f(k) = (k – k) H(k) + S
f(k) = 0 × H(k) + S
Jadi, diperoleh f(k) = S atau S = f(k). ............ (terbukti)
April 15, 2023
![Page 34: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/34.jpg)
Contoh:
Tentukan sisa dari pembagian suku banyak berikut.
3x4 – 5x3 + 6x2 – x + 2 dibagi x – 2
Jawab:
f(x) = 3x4 – 5x3 + 6x2 – x + 2
(x – 2) berarti x – 2 = 0 atau x = 2.
Menurut teorema sisa, S = f(k) atau S = f(2).
Substitusi x = 2 ke persamaan f(x) diperoleh
S = f(2)
= 3(2)4 – 5(2)3 + 6(2)2 – 2 + 2
= 32
Jadi, sisa pembagian itu adalah S = 32.
April 15, 2023
![Page 35: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/35.jpg)
a
bfS
2. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (ax + b)
Dari pembagian cara Horner, telah diketahui bahwa
pembagian f(x) dengan pembagi berbentuk (ax + b)
memberikan sisa .
a
bfS
April 15, 2023
Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) maka sisa pembagiannya adalah
![Page 36: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/36.jpg)
3. Teorema Sisa dengan Pembagi Berbentuk (x – a)(x – b)
Menurut algoritma pembagian suku banyak dengan
pembagi (x – a)(x – b) maka f(x) dapat dituliskan sebagai
berikut.
f(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)
S(x) = px + q, p dan q merupakan koefisien sisa pembagi.
April 15, 2023
![Page 37: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/37.jpg)
Langkah-Langkah:
a. Pembagi berderajat dua difaktorkan menjadi (x – a)(x – b).
b. Algoritma pembagian f(x) oleh (x – a)(x – b) ditulis
f(x) = (x – a)(x – b)H(x) + px + q .................................... (1)
c. Tentukan f(a) dan f(b) dengan menyubstitusikan nilai x = a dan
x = b ke persamaan (1) sehingga diperoleh
f(a) = pa + q .................................................................... (2)
f(b) = pb + q ..... .............................................................. (3)
Persamaan (2) dan (3) membentuk sistem persamaan linear
dalam variabel p dan q.
d. Tentukan nilai p dan q dari sistem persamaan itu sehingga
akan diperoleh S(x) = px + q.
April 15, 2023
![Page 38: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/38.jpg)
Contoh:
Tentukan sisa dari (3x4 – 2x3 + 4x2 – 10) dibagi (x2 + x – 12).
Jawab:
a. Pembagi x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) x = –4 dan x = 3
b. Substitusi x = –4 dan x = 3 ke persamaan f(x) = 3x4 – 2x3 + 4x2 – 10.
1) sisa f(–4) = 3(–4)4 – 2(–4)3 + 4(–4)2 – 10 = 950;
2) sisa f(3) = 3(3)4 – 2(3)3 + 4(3)2 – 10 = 215.
c. Dari persamaan pembagian f(x) dengan (x + 4)(x – 3), diperoleh
f(x) = (x + 4)(x – 3) H(x) + (px + q) …………………………………….. (1)
1) Substitusikan x = –4 ke persamaan (1) sehingga diperoleh
f(–4) = (–4 + 4)(–4 – 3) H(–4) + p(–4) + q
950 = –4p + q ............................................................................. (2)
2) Substitusikan x = 3 ke persamaan (2) sehingga diperoleh
f(3) = (3 + 4)(3 – 3) H(3) + p(3) + q
215 = 3p + q ............................................................................... (3)
April 15, 2023
![Page 39: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/39.jpg)
d. Dari persamaan (2) dan (3), dapat kita tentukan nilai p dan q.
–4p + q = 950
3p + q = 215
––––––––––– –
–7p = 735 atau p = –105
Substitusikan p = –105 ke persamaan (3) maka akan
diperoleh q = 530.
Dengan menyubstitusikan nilai p = –105 dan q = 530 ke S(x)
= px + q, diperoleh sisa pembagian S(x) = –105x + 530.
April 15, 2023
![Page 40: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/40.jpg)
1. Pengertian Teorema Faktor
April 15, 2023
f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya
jika f(k) = 0.
f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya
jika
![Page 41: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/41.jpg)
Contoh:
Tunjukkan bahwa (x – 3) merupakan faktor dari
f(x) = 3x3 – 8x2 + x – 12.
Jawab:
Dengan menggunakan teorema faktor untuk menunjukkan
(x – 3) merupakan faktor dari f(x) maka cukup ditunjukkan
bahwa f(3) = 0.
f(3) = 3(3)3 – 8(3)2 + 3 – 12
= 81 – 72 + 3 – 12
= 0
Karena f(3) = 0 maka (x – 3) merupakan faktor dari
f(x) = 3x3 – 8x2 + x – 12.
April 15, 2023
![Page 42: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/42.jpg)
2. Menentukan Faktor-Faktor Linier dari Suku Banyak
Contoh:
Tentukan faktor-faktor dari suku banyak
2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6.
Jawab:
Diketahui suku banyak f(x) = 2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6.
Suku tetap dari f(x) adalah –6.
Faktor-faktor bulat dari 6 adalah ±1, ±2, ±3, dan ±6.
Dengan menggunakan cara Horner, faktor bulat x = k diuji
satu per satu sampai ditemukan faktor pertama (x – k) yang
memberikan nilai f(k) = 0.
April 15, 2023
![Page 43: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/43.jpg)
a. Untuk x = 1
(x – 1) adalah faktor dari f(x) dan diperoleh hasil bagi
H1(x) = 2x3 – 3x2 – 11x + 6.
b. Selanjutnya, diuji x = –1 pada H1(x).
Karena sisa = 12 ≠ 0 maka (x + 1) bukan merupakan faktor f(x).
x4 x3 x2 x a0
2 -3 -11 6 0 = sisa
2 -3 -11 6 +
2 -5 -8 17 -6
1
x3 x2 x b0
2 -3 -11 6
2 5 6 12 = sisa
-1
2 5 6 +
April 15, 2023
![Page 44: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/44.jpg)
c. Uji untuk x = 2 pada H1(x)
Karena sisa = –12 ≠ 0 maka (x – 2) bukan merupakan
faktor f(x).
d. Uji untuk x = –2 pada H1(x)
Karena sisa S = 0 maka (x + 2) merupakan faktor dari f(x) dan diperoleh hasil bagi H2(x) = 2x2 – 7x + 3.
x3 x2 x b0
2 -3 -11 6
2 1 -9 -12 = sisa
2 4 2 -18 +
x3 x2 x b0
2 -3 -11 6
2 -7 3 0 = sisa
-2
4 -14 -6 +
April 15, 2023
![Page 45: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/45.jpg)
Jika telah diperoleh hasil bagi H2(x) berderajat dua,
pengujian faktor-faktor ±1, ±2, ±3, dan ±6 dihentikan.
Dengan demikian, hasil yang telah diperoleh adalah
f(x) = (x – 1)(x + 2)(2x2 – 7x + 3).
Suku banyak berderajat dua 2x2 – 7x + 3 kita faktorkan
sehingga diperoleh 2x2 – 7x + 3 = (2x – 1)(x – 3).
Jadi, hasil pemfaktoran f(x) adalah
f(x) = 2x4 – 5x3 – 8x2 + 17x – 6 = (x – 1)(x + 2)(x – 3)(2x – 1).
April 15, 2023
![Page 46: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/46.jpg)
Untuk f(x) suku banyak dan k bilangan real, pernyataan-
pernyataan berikut ekuivalen.
1. (x – k) adalah faktor dari f(x).
2. x = k adalah penyelesaian atau akar dari persamaan
dari f(x) = 0.
3. x = k adalah pembuat nol dari f(x).
4. (k, 0) adalah koordinat titik potong grafik f(x) dengan
sumbu X.
April 15, 2023
![Page 47: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/47.jpg)
1. Menentukan Akar-Akar Rasional Suatu Persamaan Berderajat Tinggi
Teorema Rasional Nol:
Jika f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a0 memiliki
koefisien-koefisien bulat dan (dengan p dan q tidak
memiliki faktor prima yang sama) merupakan pembuat
nol rasional f(x) maka p haruslah faktor dari a0 dan q
faktor dari an.
Contoh:
Diketahui f(x) = 3x4 + 3x3 – 2x2 + 13x – 8 = 0. Gunakan
teorema rasional nol untuk mendaftar semua akar
rasional yang mungkin.
April 15, 2023
q
p
![Page 48: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/48.jpg)
Jawab:Diketahui f(x) = 3x4 + 3x3 – 2x2 + 13x – 8 = 0.
Suku tetap a0 = –8 dan koefisien pangkat tertinggi a4 = 3.
Semua bilangan bulat p merupakan faktor dari a0 = –8,
yaitu ±1, ± 2, ±4,±8, dan q adalah faktor dari a4 = 3,yaitu ±1 dan ±3.Semua akar rasional yang mungkin dari
persamaan f(x) adalah , yaitu ±1, ±2, ±4, ±8, , ,
, dan .
Suatu persamaan suku banyak f(x) = 0 berderajat nmemiliki paling banyak n buah faktor.
3
2
3
8
3
4
q
p
3
1
April 15, 2023
![Page 49: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/49.jpg)
2. Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Berderajat
Tinggi
a. Persamaan Suku Banyak f(x) = 0 Berderajat Dua
1) Bentuk umumnya ax2 + bx + c = 0, dengan akar-akarnya
x1 dan x2.
2) Jumlah akar-akarnya, x1 + x2
3) Hasil kali kedua akar, x1x2
April 15, 2023
![Page 50: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/50.jpg)
b. Persamaan Suku Banyak f(x) = 0 Berderajat Tiga
1) Bentuk umumnya ax3 + bx2 + cx + d = 0, dengan akar-
akar x1, x2, dan x3.
2) Jumlah akar-akar, x1 + x2 + x3
3) Jumlah hasil kali dua akar, x1x2 + x1x3 + x2x3
4) Hasil kali ketiga akar x1x2x3
April 15, 2023
![Page 51: Bab 5](https://reader036.fdokumen.com/reader036/viewer/2022062304/55b52a29bb61eb3b698b468a/html5/thumbnails/51.jpg)
c. Persamaan Suku Banyak Berderajat Empat
Bentuk umumnya ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, dengan akar-akarnya x1, x2, x3, dan x4, berlaku sebagai berikut.
1) Jumlah akar-akar, x1+x2+x3+x4
2) Jumlah hasil kali dua akar,
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4
3) Jumlah hasil kali tiga akar,
x1x2x3 + x1x2x4 + x2x3x4 + x1x3x4
4) Hasil kali keempat akar, x1x2x3x4
a
c
a
e
a
d
April 15, 2023
a
b