2009-04-07 - TBK novi (2)

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

1/9

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1

Pismeni ispit, 07.04.2009.

Dimenzionisati armiranobetonski element optereen sledeim aksijalnim silama:

G = 1000 kN (pritisak, stalno optereenje)P = -800 kN (zatezanje, vertikalno povremeno optereenje)

D= 250 kN (alternativno dejstvo, dopunsko optereenje)

Povremeno i dopunsko optereenje mogu, ali i ne moraju delovati istovremeno. Kvalitetmaterijala: MB 30, RA 400/500.

O#igledno je da element moe biti i pritisnut (spoljanju silu prihvataju i beton i armatura),ali i zategnut (ukupnu silu zatezanja preuzima armatura).

Kada dimenzije popre#nog preseka nisu poznate, prora#un pritisnutih preseka po#inje us-

vajanjem procenta armiranja. Uglavnom se usvaja minimalna vrednost (m=0.6%) i iz uslo-va ravnotee normalnih sila sra#una jedina nepoznata, potrebna povrina betona. Kodcentri#no zategnutih elemenata se iz uslova ravnotee normalnih sila sra#unava jedinanepoznata, potrebna povrina armature, nakon #ega se presek podesno oblikuje.

Kako u ovom slu#aju usvojena armatura mora da zadovolji i ra#unski potrebnu za slu#aj

dejstva sile zatezanja, kao i minimalnu za slu#aj dejstva sile pritiska, presek se najpredimenzionie prema sili zatezanja.

Ukoliko se u ra#un uzmu samo stalno i povremeno optereenje, vrednosti koeficijenata si-gurnosti su vee nego ako se uzmu u obzir sva optereenja (#lan 80 PBAB 87). U slu#aju

centri#nog zatezanja je ea= 10 > 3, pa zavisno od broja optereenja, sledi:

Zu1= 1.6G + 1.8P

Zu2= 1.3G + 1.5P + 1.3D

U ovom slu#aju sila G je pritisak. Silu pritiska ne bi trebalo uzeti u obzir kada se traimaksimalno mogue zatezanje, ali u pitanju je stalno optereenje, koje se mora uzeti u

obzir u svakoj kombinaciji. Ovo je primer povoljnog dejstva stalnog optereenja, jer to jesila G vea, ukupna sila zatezanja je manja. Sila G se u prethodne izraze unosi sa

negativnim znakom, a parcijalni koeficijent sigurnosti u oba slu#aja ima vrednost guG=1.0:

kN525Z5252503.18005.1)1000(0.1Z

4408008.1)1000(0.1Zu

2u

1u =

=++-=

=+-=

RA 400/500 sv= 400 MPa = 40 kN/cm2

40

525ZA

v

ua =s= = 13.13 cm2

Usvajanje armature i oblikovanje preseka nije smisleno pre nego to se presek ne

dimenzionie i prema merodavnoj sili pritiska. U slu#aju centri#nog pritiska je ea= -2, pazavisno od broja optereenja u kombinaciji, sledi:

Nu1= 1.9G+2.1P

Nu2= 1.5G + 1.8P + 1.5D

Kako je sila usled povremenog optereenja sila zatezanja, nee biti uzeta u obzir, pa sledi:

kN1900N18752505.110005.1N

190010009.1Nu

2u

1u

=

=+=

==

Uslov ravnotee normalnih sila moe se napisati u obliku:

30

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

2/9



Nu= Absb+ Aasa= AbfB+ Aasv

gde je jedina nepoznata potrebna povrina betona. U prethodni izraz ispravno je uvrstitistvarnu povrinu armature, ali kako armatura jo uvek nije usvojena, koristie se ra#unskipotrebna vrednost, #ime je prora#un na strani sigurnosti:

05.2

4013.131900

Ab-

= = 671 cm2

Preostaje provera da li je zadovoljen procenatarmiranja za pritisnut element:

MIN%6.0%95.1671

13.13m=>==m

usvojeno: b/d = 35/20 cm

8R16(16.08 cm2)

Poto element moe biti i pritisnut, potrebno je propisati i maksimalni razmak uzengija:

=

==

=

cm30

cm20)d,bmin(

cm24161515

.mine .,maxu = 20 cm usv. U8/20

Kontinualna greda preko tri oslonca, raspona 26.0 m, pravougaonog popre#nogpreseka b/d = 40/60 cm, optereena je jednako raspodeljenim stalnim opteree-

njem g=30 kN/m(uklju#ena i sopstvena teina nosa#a, deluje na oba raspona) i povreme-

nim optereenjemp=60 kN/m(deluje u proizvoljnom poloaju na nosa#u). Potrebno je:- odrediti potrebnu povrinu armature u karakteristi#nim presecima prema merodavnim

momentima savijanja. Obezbediti da u svim popre#nim presecima dilatacija zategnu-te armature bude barem 7 (dimenzije preseka ne menjati);

- izvriti osiguranje od glavnih napona zatezanja na svim delovima nosa#a gde je topotrebno (u slu#aju primene koso povijenih profila, mesta povijanja odrediti konstruk-cijom integralne krive);

- za usvojeni raspored armature nad osloncemsra#unati napone u betonu i armaturi, srednjerastojanje i karakteristi#nu irinu prslina (t=0);

- usvajajui geometrijske karakteristike i armatu-ru preseka u polju, sra#unati maksimalni ugibnosa#a usled stalnog optereenja, vodei

ra#una o uticaju te#enja betona (j=2.5);

- ukoliko je presek sa maksimalnim momentomsavijanja u polju armiran kao na skici desno,sra#unati koliko je povremeno optereenje p1mogue naneti na nosa#(u kombinaciji sa za-datim stalnim optereenjem g) uz zadovoljenjepropisanih koeficijenata sigurnosti. Smatrati da

se i ovo optereenje moe nai u bilo kom po-loaju na nosa#u. U obzir uzeti i nosivost pritis-nute armature u preseku. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

31

35

4.5

4.5

11

4.5

4.5

4R16

4R16

U8/20

26

20

40

25.5

60

4.5

4.5

5.5

4.5

4.5

4R22

2R22

U10/20

10

2R12

20

11 10

2R22

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

3/9



Dijagrami prese#nih sila

Reakcije oslonaca, dijagrami momenata savijanja i transverzalnih sila na kontinualnomnosa#u preko dva jednaka raspona, usled jednako raspodeljenog optereenja na jednom,odnosno oba raspona, prikazani su na narednoj skici.

9128

pL2 9128

pL2

1

8pL2

38

pL

58pL

58pL

38

pL

716

pL

916

pL

116pL

116pL

116

pL2

49512pL

2

38

L

L0=34LL0=

78

L

716

L

M1

T1

p

A1=716

pL

L

B1=58

pL C 1=1

16pL

L

p

A2=38

pL

L

B2=54pL C2=

38

pL

L

M2

T2

DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA

MB 30 fB= 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2 ; tr= 1.1 MPa = 0.11 kN/cm

2

Presek nad osloncemMaksimalni moment se dobija kada povremeno optereenje deluje na #itavom nosa#u:

qu= 1.6g + 1.8p = 1.630 + 1.860 = 156 kN/m

8

0.6156

8

LqM

22u

max,u

=

= = 702 kNm

pretp. a1= 7 cm b/d/h = 40/60/53 cm

0.7811.1

05.24010702

53k a

2

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

4/9



t[MPa]

tRu=2.95

tr=1.1

l = 2.405

tn=3.07

L0T

= 3.75

l1= 1.124

(m=4)

tu,u

=1.5

7M

(m=2)

21a cm91.3759.840

05.2

100

5340984.26A =+

=

usvojeno Aa1: 10R22 (38.00 cm2) gornja zona

usvojeno Aa2: 3R22 (11.40 cm2) donja zona

Presek u polju

Maksimalni moment se dobija kada povremeno optereenje deluje samo u jednom polju.Maksimalne vrednosti momenata Mgi Mpnije potrebno sra#unati, jer se ne javljaju u istompreseku. Potrebno je nai presek sa maksimalnim grani#nim momentom Mu, a to je preseku kome je odgovarajua transverzalna sila Tu=0:

kN5.1570.66016

7A;kN5.670.630

8

3A 1pg ====

Au= 1.667.5 + 1.8157.5 = 391.5 kN

qu= 1.630 + 1.860 = 156 kN/m

x = Au/ qu= 391.5 / 156 = 2.51 m

kNm3.4912

51.215651.25.391M

2

max,u =

-=

=m

=ee=

=%366.24

128.8/5.3/165.2

05.240

103.491

53k 1ab

2

21a cm47.26

4005.2

1005340366.24A ==

usvojeno: 7R22 (26.61 cm2) donja zona

OSIGURANJE OD GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA

Presek kod srednjeg oslonca

Maksimalna sila Tuse dobija kada se povremeno optereenje nalazi na oba raspona:

Tg= 5/8306.0 = 112.5 kNTp= 5/8606.0 = 225 kN

Tu= 1.6112.5 + 1.8225 = 585 kN

t=

=t

r

r

2n 3cm

kN307.0

539.040

585

L0T= Tu/ qu= 585 / 156 = 3.75 m

-=l307.0

11.0175.3 = 2.405 m

( )2Ru cm

kN295.011.0307.0

2

3=-=t

491.3

2.51

391.5

qu= 156 kN/m

Tu

Mu

x

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

5/9



t[MPa]tRu=1.43 tr=1.1

l = 1.164

tn=2.05

L0T= 2.51

Usvojeno: m = 2 ; q= 45 ; a= 90

( ) )1(u)1(

uu a78.645cot90sin90cos40

295.040

a2e =+

pretp. R10 (au(1)

= 0.785 cm2) eu%6.780.785 = 5.33 cm

Ako se usvoje #etvorose#ne uzengije, potrebno rastojanje je dvaput vee, eu%10.66 cm.

usvojeno: UR10/10(m=4)

Korektno je sra#unati duinu l1na kojoj su potrebne #etvorose#ne uzengije (od ta#ke Mdo oslonca). Napon koji mogu prihvatiti dvose#ne uzengije je:

2u,u cm

kN157.040

1040

785.02=

=t

-=l295.0

157.01405.21 = 1.124 m

Na ostalom delu duine osiguranja usvojene su dvose#ne uzengije UR10/10. Kaoalternativa, umesto unutranje uzengije mogu se postaviti koso povijeni profili.

0Aa=D (pic momenta)

Presek kod krajnjeg oslonca

Maksimalna sila Tuu ovom preseku se dobija kada povremeno optereenje deluje samo urazmatranom polju - ista kombinacija daje i maksimalni moment savijanja u polju, pa jemaksimalna transverzalna sila vesra#unata:

Tu= 1.667.5 + 1.8157.5 = 391.5 kN

t==t r

r2n 3

MPa1.1

cm

kN205.0539.040

5.391

L0T= 391.5 / 156 = 2.51 m

-=l205.0

11.0151.2 = 1.164 m

( )2Ru cm

kN143.011.0205.0

2

3=-=t

Usvojeno: m = 2 ; q= 45 ; a= 90

( ) )1(u)1(

uu a01.1445cot90sin90cos40

143.040

a2e =+

pretp. R10 (au(1)

= 0.785 cm2) eu%14.010.785 = 11.0 cm

usvojeno: UR10/10(m=2)

( ) ( )01402

5.391cotcot

2

TA

v

mua -

=a-qs

=D = 4.89 cm2

usvojeno: 3R22 (11.40 cm

2

)

1

1Minimalno treina armature iz polja (usvojeno 7R22)

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

6/9



40

25.5

60

4.54.5

5.5

4.5

4.5

5R22

2R22

UR10/20

31

2R12

20

2R22

40

25.5

4.5

4.5

5.5

4.5

4.5

4R22

UR10/10

2R1220

5R22

5R22

UR10/10

polje oslonac

31

60

PRORAUN NAPONA PRESEK NAD OSLONCEM

MB 30 Eb= 31.5 GPa 5.31

210

E

En

b

a == = 6.67

10

1055.45a1

+= = 7.25 cm h = 60 7.25 = 52.75 cm

a2= 4.5 cm 75.52

5.4

h

a2 = = 0.085

Aa1= 10R22

75.5240

00.381

=m = 0.0180 = 1.80%

Aa2= 4R22 75.5240

60.72 =m = 0.0072 = 0.72%

s2+ 26.67(1.80+0.72)10

-2s - 26.67(1.80+0.720.085)10

-2= 0

s2+ 0.336s - 0.248 = 0 s = 0.358

-3

358.01

2

358.0=J

2

IIb = 0.056

( )8

0.66030MMM2

pga +=+= = 405 kNm

( ) ( ) 222

bcm

kN90.1

085.01085.0358.00072.067.6056.0

358.0

75.5240

10405=

--+

=s

605.0105.31

0.19

EMPa0.19

3b

bbb =

=s

=e=s

358.0

358.010.1967.61a

-=s = 227.8 MPa

31a 10210

8.227

=e = 1.085

358.0

085.0358.00.1967.62a

-=s = 96.7 MPa

32a 10210

7.96

=e = 0.460

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

7/9



PRORAUN RAZMAKA I IRINE PRSLINA PRESEK NAD OSLONCEM

MB 30 fbzm= 2.4 MPa 24bzs cmkN

177.06.0

4.06.024.07.0f =

+=

6

6040W

2

1b

= = 24000 cm3Mr= 0.1772400010

-2= 42.50 kNm < M = 405 kNm

a0= aI- /2 = 4.5 - 2.2/2 = 3.4 cm

= 22 mm = 2.2 cm e= 31.0/4 = 7.75 cm

k1= 0.4 (RA 400/500) k2= 0.125 (#isto savijanje)

==

=+

cm302/602/d

cm5.262.25.710h ef.bz, = 26.5 cm

5.2640

38.00ef.z1,

=m = 0.0359 = 3.59%

0359.0

2.2125.04.0

10

75.74.32lps +

+= = 11.4 cm

2

a

2

1

405

5.420.10.11

)0t(0.1

)500/400RA(0.1

-=z

==b

=b= 0.989

apk= 1.70.9891.08510-3

11.4 = 2110-3

cm = 0.21 mm

PRORAUN UGIBA

12

6040J

3

b

= = 720000 cm4 ;

6

6040W

2

b

= = 24000 cm3

Usvaja se za elasti#no reenje ugib preseka u sredini raspona, mada je maksimalni ugibnosa#a cca. 4% vei (Prilog 5.1, tabela 3.6, str. 497, Tom 2 PBAB 87):

86

4

b10720000105.31

0.630

384

2v

-

= = 0.8910-3m = 0.89 mm

Kod grednih nosa#a se kao reprezentativni usvaja presek u polju.

7

1025.45a1

+= = 6.07 cm h = 60 6.07 = 53.93 cm

Aa1= 26.61 cm2

(7R22)

Aa2= 7.60 cm2(2R22) Aa2/Aa1= 0.286 &0.3

Koeficijenti za prora#un krivine elementa pravougaonog preseka izloenog sloenomsavijanju su grafi#ki o#itavani (PBAB 87, Tom 2, Prilog 3.4).

0822.097.5340

61.2667.6

hb

An;075.0

60

5.4

d

a;1.0

60

07.6

d

a 1a22

11 =

=

===a==a

Ugib u trenutku t=0

Iak = 0.85 (dijagram 3.4.2) v0I= 0.850.89 = 0.76 mm

IIak = 2.25 (dijagram 3.4.6) v0

II= 2.250.89 = 2.01 mm

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

8/9



2g 0.630

128

9M = 75.9 kNm

24bzs cm

kN253.0

6.0

4.06.024.0f =

+= Mr= 0.2532400010

-2= 60.7 kNm < Mg

9.757.600.10.11

)0t(0.1)500/400RA(0.1

g,0

2

1 -=z

==b=b = 0.200

vg,0= (1 z)v0I + zv0

II= (1 0.200)0.76 + 0.2002.01 = 1.01 mm

Ugib u trenutku t

c= 0.8 ; j= 2.5 cj= 0.82.5 = 2

Ikj = 0.67 (dijagram 3.4.14) vI= (1+0.672.5)0.76 = 2.03 mm

Interpolacijom vrednosti o#itanih sa dijagrama 3.4.25 i 3.4.26 sledi:

( ) 165.016.017.005.01.0

05.0075.016.0k

17.0k10.0

16.0k05.0II

II2

II2 =-

--

+=

==a

==aj

j

j

IIkj = 0.148 (dijagrami 3.4.25, 26) vII= (1+0.1652.5)2.01 = 2.84 mm

9.75

7.605.00.11

)t(5.0

)500/400RA(0.1g,

2

1 -=z

=b

=b = 0.600

vg

= (1 z)vI

+ zv

II

= (1 0.600)2.03 + 0.6002.84 = 2.51 mm

Dimenzionisati stub pravougaonog popre#nog preseka, dimenzija b/d = 25/60cm, optereen sledeim uticajima:

Mg= 100 kNm ; Ng= 200 kN (stalno optereenje)Mp= 50 kNm ; Np= 400 kN (vertikalno povremeno optereenje)

MD= 200 kNm ; ND= 0 (dopunsko optereenje, alternativno dejstvo)

Povremeno i dopunsko optereenje mogu, ali i ne moraju delovati istovremeno. Kvalitetmaterijala: MB 30, RA 400/500.

Sva neophodna objanjenja data su u Primeru 28. Bitna razlika je to je alternativno dejs-tvo u ovom slu#aju dopunsko optereenje, o #emu treba povesti ra#una kod odre'ivanjavrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti (#lan 80. PBAB 87).

Zategnuta leva ivica preseka, G+D

MB 30 fB= 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2

pretp. a1= 7.5 cm b/d/h = 25/60/52.5 cm

kNm5.448075.02

6.0260390M

kN2602003.1N

kNm3902003.11003.1Mau

u

u =

-+=

==

=+=

32

7/23/2019 2009-04-07 - TBK novi (2)

9/9



%952.39;592.3/5.3/775.1

05.225

101.451

5.52k ab

2=m=ee=

=

2a cm37.20

40

260

40

05.2

100

5.5225952.39A =-

=

Zategnuta leva ivica preseka, G+P+D

kN8604005.12003.1N

kNm4652003.1505.11003.1M

u

u

=+=

=++=

kNm5.658075.02

6.0860465Mau =

-+=

0A0.3465.1

05.225

105.658

5.52k

2aa2

>

2009-04-07 - TBK novi (2)

Documents

Transcript of 2009-04-07 - TBK novi (2)