Model-View Controller Model view controller architecture (MVC)

FAKULTAS TEKNIKJURUSAN SIPILUNIVERSITAS BRAWIJAYA 2012MATRIKS

1DEFINISI MATRIKS3kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?3NOTASI MATRIKS4Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.

Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks

Notasi A = (aij)

A =Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,nm = barisn = kolom 4MATRIKS5Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2

Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.

5JENIS JENIS MATRIKS6Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n

Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol

6JENIS JENIS MATRIKS7Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.Contoh :

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama

7Onal JENIS JENIS MATRIKS8Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Sifat-sifat matriks identitas :A*I=AI*A=A

Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nolMatriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol

8PENJUMLAHAN MATRIKS9Penjumlahan :Definisi : jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang di peroleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. .

dan

Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.

9Jawaban :a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4}b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}2. a. Samab. EkivalenPENJUMLAHAN MATRIKS10Contoh Soal

10Jawaban :a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4}b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}2. a. Samab. EkivalenPENGURANGAN MATRIKS11A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan.

dan

11PENGURANGAN MATRIKS12Contoh :

12PERKALIAN MATRIKS DENGAN KONSTANTA13Definisi : JIka A adalah suatu matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing=masing entri dari A oleh c.

C =

Contoh : A = , maka 2A =

13Jawaban :a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4}b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}2. a. Samab. EkivalenPERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS14Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana

14PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS15Contoh :

15PERKALIAN MATRIKS16Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)Apabila AB = AC belum tentu B = CApabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau B=0Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :A(BC) = (AB)CA(B+C) = AB+AC(B+C)A = BA+CAA(B-C)=AB-AC(B-C)A = BA-CAA(BC) = (aB)C= B(aC)AI = IA = A16TRANSPOSE MATRIKS17Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.

Contoh : A = At =

Contoh : A = At =

17Jawaban :a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4}b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}2. a. Samab. EkivalenTRANSPOSE MATRIKS18Beberapa Sifat Matriks Transpose :

18Jawaban :a. D = {x | -5 < x < 5, x E N} D= {1,2,3,4}b. B = {x | x | -5 < x < 5, x E Z} D= {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}2. a. Samab. EkivalenILMU HITUNG MATRIKS19Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan-aturan ilmu hitung matriks berikut akanA + B = B + A(Hukum komutatif untuk penambahan)A + (B + C) = (A + B) + C(Hukum asosiatif untuk penambahan)A (BC) = (AB) C(Hukum asosiatif untuk perkalian)A(B + C) = AB + AC(Hukum distributif)(B + C)A = BA + CA(Hukum distributif)A(B - C) = AB AC(B - C)A = BA CA(a - b)C = aC bCa(B + C) = aB+ aC(ab)C = a(bC)a(B - C) = aB aCa(BC) = (aB)C = B(aC) (a + b)C = aC + bC

19MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-120Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.

Operasi-operasi d ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasi yang bersesuaian di ruas kiri.

Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer.

Operasi baris pada I yang menghasilkan EOperasi baris pada E yang menghasilkan IKalikanlah baris I dengan c 0.Kalikanlah baris I dengan Pertukarkan baris I dan baris j.Pertukarkan baris i dan baris j.Tambahkan c kali baris I ke baris j.Tambahkan c kali baris i ke baris j.20MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1A I =

=

=

=

=

Baris ke 2 dikurang 2 kali baris pertama dan baris ke 3 dikurang baris pertamaBaris ke 2 dibagi 5.Baris ke 3 dikurang 5 kali baris ke 2Baris 1 dikurang baris 3Contoh A = A-1 = . . . ?Jawab :

Baris 1 dikurang 2 kali baris ke 2

2121DETERMINAN MATRIKS22Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinanNilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.22NOTASI DETERMINAN23Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkarFungsi determinan dinyatakan oleh det (A)Jumlah det(A) disebut determinan Adet(A) sering dinotasikan |A|23NOTASI DETERMINAN24Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :

Contoh :

24INVERS MATRIKS25Pengertian Invers Matriks.Matriks Inversatau matrikbalikan adalahadalah matriks yangapabiladikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. JikaA merupakan suatu matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan notasi A-1Dan AA-1 = I.

Sifat invers matriks:Jika A dan B matriks bujur sangkar yang bertipe sama, maka: (AB)-1 = B-1 A-1.Invers dari invers matriks adalah matriks itu sendiri: (A-1)-1=AInvers matriks satuan adalah matriks satuan itusendiri atau I-1 = IInvers matriks tranpose adalah matriks tranpose, atau: (A )-1 = (A-1 ).

25INVERS MATRIX26Jika Maka

Contoh

Sehingga

26INVERS MATRIX27Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :-Cari determinan dari M-Transpose matriks M sehingga menjadi-Cari adjoin matriks-Gunakan rumus

27INVERS MATRIX28Contoh Soal :

A. Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1B. Transpose matriks M

28INVERS MATRIX29C. Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor- minor matriksnya

- Hasilnya :

==> ==>

29INVERS MATRIX30Hasil Adjoinnya :

Hasil akhir

30Contoh Invers Matriks31A I = B2 - 2B1 B3 - B1

B3+2B2 (-1)B3

B2 + 3B3 B1 2B2 B1 3B3

A-1 =

Contoh A = A-1 = . . . ?Jawab :

31Contoh Invers Matriks32Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan melakukan operasi terhadap baris pada matriksX1 + X2 + 2X3 = 92X1 + 4X2 3X3 = 13X1 + 6x2 5X3 = 0

PenyelesaianSistem persamaan linear terlebih dahulu disajikan dalam matriks, yaitu

32Contoh Invers Matriks33

33Contoh Invers Matriks34

34