2 Matematika 3 Matriks Part 1

Matematika 3

Vektor

Matriks dan Determinan

Matriks Invers

Sistem Persamaan Linier

1

Sistem Persamaan Linier

Transformasi Linier

Bidang Datar dan Garis Lurus

Dr. D. L. Crispina Pardede, SSi., DEA.

D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)

ReferensiReferensi[1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S.,

Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia-Indonesia, Jakarta, 1995.

[2]. Suryadi H.S., Pengantar Aljabar Linier dan Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Geometri Analitik, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1991.

[3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear Algebra, McGraw-Hill, 1968.

[4]. D. Suryadi H. S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, 1986

2 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)

MATRIKSMATRIKS

1. Pengertian Dasar

2. Transpose dari Sebuah Matriks

3. Operasi Pada Matriks

4. Transformasi Elementer Baris dan Kolom4. Transformasi Elementer Baris dan Kolom

5. Determinan

6. Matriks Invers


MatriksMatriks

Sebuah Matriks adalah sekumpulan elemen yang disusun dalam baris dan kolom.

ba

baris

• a dan d adalah elemen-

elemen diagonal.

dc

bakolom

Matriks dapat dijumlahkan, dicari selisihnya, dan dalam beberapa kasus, dikalikan dan diinversikan.

elemen diagonal.

• b dan c adalah elemen-

elemen off-diagonal


MatriksMatriks

Dimensi matriks disebut Ordo dan menunjukkan banyaknya baris dan kolom sebuah matriks.

Contoh: [ ]δβα=

−= b

d

bA ;

1

1

Ordo matriks A adalah 2x2.

5

Ordo matriks A adalah 2x2. Ordo matriks b adalah 1x3.

• Matriks yang mempunyai hanya satu kolom atau satu

baris saja disebut vektor.

• Jika banyaknya baris dan kolom sebuah matriks sama,

maka matriks tersebut adalah matriks bujursangkar.


Bentuk Umum

MatriksMatriks

a...........aa

a...........aa

An22221

n11211

=MOMM

aij adalah elemen di baris ke-i

dan kolom ke-j.

Ordo A adalah m x n

Bila m = n, maka A adalah matriks bujursangkar

Bila aij=0 ∀i, j , maka A adalah matriks nol.

a...........aa mn2m1m

MOMM Ordo A adalah m x n


MatriksMatriks

Dua buah matriks A dan B dikatakan samabila

-. ordo A sama dengan ordo B dan

-. ∀i, j berlaku aij= bij.

Contoh:Contoh:

−

−−

=

+−

−

−+

031

202

112

zxyx1

z20y

1yxx2

x =….. ; y = ….. ; z = …..7 D. L. Crispina Pardede (Mei 2012)

Operasi Pada MatriksOperasi Pada MatriksMisalkan A dan B matriks, k skalar

1.Penjumlahan Matriks A + B

Syarat: Ordo A = ordo B

C = A + B , A = (aij) ; B = (bij).

C = (cij) , cij = aij + bij , ∀i, j .

2. Perkalian Matriks A x B2. Perkalian Matriks A x B

Syarat: Banyaknya kolom A = banyaknya baris B.

D = A x B , D = (dij) ,

3. Perkalian Skalar dengan Matriks

E = k A , eij = k.aij.

.ba...baba bad njinj22ij11i

k

kjikij +++==∑


Operasi Pada MatriksOperasi Pada Matriks

Penjumlahan, Selisih, Perkalian

++

++=

+

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

−−

−−=

−

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

Penjumlahan

Selisih

−−

hdgchgdc

++

++=

dhcfdgce

bhafbgae

hg

fe .

dc

baPerkalian

=

dc

ba

dc

ba

kk

kkk Perkalian dengan Skalar


Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix … … Contoh

222222

117

25

20

13

97

12

xxxCBA =+

=

+

=

−

65

11

32

01

97

12

10

653297

222222 x

2726

34

32

01x

97

12

xxxCBA =

=

=

8143

2141

16

42

8

1


Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)

� Perkalian matriks AB harus memenuhi syarat:

Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris matriks B.

Jika ordo A adalah (mxn) dan ordo B adalah (nxp), maka AB dapat dicari. AB adalah matriks berordo (mxp)

11

(mxp)

� Penjumlahan matriks A + B harus memenuhi syarat:

Matriks A dan B memiliki ordo sama.

Jika ordo A dan B adalah (mxn), maka A + B adalah matriks berordo (mxn)


Hukum Pada Operasi Matriks

� Hukum komutatif penjumlahan matriksA + B = B + A

Operasi Pada Matrix Operasi Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)

++

++=

+

=+

1212111112111211

baba

baba

bb

bb

aa

aaBA

12

++

=

+

=+2222212122212221 bababbaa

BA

++

++=

+

=+

22222121

12121111

2221

1211

2221

1211

abab

abab

aa

aa

bb

bbAB



� Hukum asosiatif penjumlahan matriks(A + B) + C = A + (B + C)

+

+

=++

2221

1211

2221

1211

2221

1211

cc

cc

bb

bb

aa

aaCB)(A

13

++++

++++=

+

++

++=

222222212121

121212111111

2221

1211

22222121

12121111

222122212221

cbacba

cbacba

cc

cc

baba

baba

ccbbaa



� Perkalian skalar dengan matriks bersifat distributif

k (A + B) = k A + k B.

++ ++

+

=+

2221

1211

2221

1211

)ba.(k)ba.(kbaba

bb

bb

aa

aa.k B)k(A

14

++

++=

++

++=

++

++=

22222121

12121111

22222121

12121111

22222121

12121111

kbkakbka

kbkakbka

)ba.(k)ba.(k

)ba.(k)ba.(k

baba

baba.k



Misalkan A, B, C memenuhi syarat perkalian matriks.

� A (B+ C) = AB + AC

� (B+ C) A = BA + CA

� A (B C) = (A B)C

15

� A (B C) = (A B)C

� A B ≠ B A

� Jika A B = matriks nol, maka kemungkinan-. A = 0 atau B = 0

-. A ≠ 0 atau B ≠ 0


� Perkalian matriks umumnya tidak komutatif.

A B ≠ B A


−=

=

76

10B,

43

21A

16

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=

+−+

+−+=

2524

1312

74136403

72116201AB

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−=

++

−+−+=

4027

43

47263716

41203110BA


� Pengecualian pada hukum komutatif.A B = B A jika dan hanya jika

B = sebuah skalar,

B = matriks identitas, atau


17

B = invers dari A i.e., A-1.


Transpose Pada MatrixTranspose Pada Matrix

Misalkan A sebuah matriks. Transpose dari matriks A, ditulis AT, diperoleh dengan cara

Bila A = (aij ), maka AT = (aij

T) di mana

(aijT) = (aij ), ∀i, j .

a...........aa

a...........aa

a...........aa

a...........aa

A

mn2m1m

n22221

n11211

=MOMM

a...........aa

a...........aa

a...........aa

A

mnn2n1

2m2212

1m2111

T

=MOMM


Transpose Pada Matrix Transpose Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)

Contoh:

=

421

321

43

22

11

.1

T

=

=

43

22

11T

421

321

43

22

11

.2

TT


Sifat Transpose Matriks

1. (A + B) T = AT + BT .

2. (AT )T = A .

3. λ(AT ) = (λA)T .

4. (AB)T = BT AT .

Transpose Pada Matrix Transpose Pada Matrix (Lanjutan)(Lanjutan)

20

4. (AB)T = BT AT .

Latihan:

Buktikan sifat-sifat operasi matriks dan sifat-sifat pada matriks transpose.


Jenis Matriks KhususJenis Matriks Khusus

000

100

010

001� Matriks Identitas adalah sebuah matriks bujursangkar dengan semua elemen diagonal bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0.

� Matriks Nol adalah matriks dengan semua elemen bernilai 0 (nol).

21

000

000elemen bernilai 0 (nol).

� Keduanya merupakan matriks diagonal. Semua elemen off-diagonal bernilai 0.

� Keduanya merupakan Matriks Idempoten

A = AT and

A = A2 = A3 = …


Transformasi ElementerTransformasi Elementer

pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks

� Hij (A) : penukaran tempat baris ke-i dengan baris ke-j. Elemen-elemen pada baris ke-i menjadi elemen-elemen baris ke-j dan sebaliknya.dan sebaliknya.

� Kij(A) : penukaran tempat kolom ke-i dengan kolom ke-j. Elemen-elemen pada kolom ke-i menjadi elemen-elemen kolom ke-j dan sebaliknya.


�Hi(λλλλ)(A): mengalikan baris ke-i dengan

skalar λ ≠ 0 .

� Ki(λλλλ)(A): mengalikan kolom ke-i dengan

skalar λ ≠ 0 .


pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks

skalar λ ≠ 0 .

�Hij(λλλλ)(A): menambahkan baris ke-i dengan

λ kali baris ke-j.

� Kij(λλλλ)(A): menambahkan kolom ke-i dengan

λ kali kolom ke-j.


Matriks EkivalenMatriks Ekivalen

Matriks A dikatakan ekivalen

dengan matriks B, ditulis A ∼∼∼∼ B,

jika salah satunya diperoleh dari yang jika salah satunya diperoleh dari yang

lain melalui transformasi baris

dan/atau kolom.


Matriks EkivalenMatriks Ekivalen … Contoh… Contoh

A dan B ekivalen, karena B = H12(A).

132

014B H

014

132A ).1 12

=

=

∼

03151204

ekivalen, karena B = H12(K42(-2)(K12

(1)(A)))

1204

0315Bdan

2314

1204A ).2

=

=


1. Tentukan matriks hasil transformasi elementer berikut

terhadap matriks A.

a). H21(-3) b). H31

(2) c). K21(-2)

d). K23 e). K1(-1)

2(1)

2. Tentukan hasil transformasi H (1) dan K (2) secara


pada Baris dan Kolom Matrikspada Baris dan Kolom Matriks …Latihan…Latihan

2. Tentukan hasil transformasi H31(1) dan K21

(2) secara

berurutan terhadap matriks B.

=

−

−

=

021-

28-4

11-2

B

5232

2143

1021

A


2 Matematika 3 Matriks Part 1

Documents

Transcript of 2 Matematika 3 Matriks Part 1