Modul 2 Aljabar Matriks

Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning InherentFakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

Modul 2: Aljabar Matriks

Kasiyah M. JunusSiti Aminah


Cakupan materi dan prasyaratCakupan materi• Kesamaan matriks• Jumlahan matriks• Perkalian matriks dengan skalar• Perkalian dua matriks• Matriks inverse

Materi Prasyarat:

Sistem Persamaan LinierOperasi baris elementer


Matriks

• Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom.

• Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen. Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.

a11 a12…….a1j ……a1n

a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain

: : : :am1 am2……amj……. amn

A = baris

kolomNotasi:

Matriks: A = [aij]

Elemen: (A)ij = aij

Ordo A: m x n


Matriks persegi

Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolom sama.

1 2 4

2 2 2

3 3 3

Trace(A) = 1 + 2 + 3

Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama

diagonal utama


Matriks nol dan identitas

matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol

0 0 00 0

0 0

1 0

0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I2 I3 I4

matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya 0


Kesamaan dua matriks

• Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.

1 2 4

2 1 3A =

1 2 4

2 1 3B =

1 2 2

2 1 3C =

2 1 2

2 1 3D =

1 2 4

2 2 2E =

x 2 4

2 2 2F =

2 2 2

4 5 6

9 0 7

G = H =

? ? ?

? ? ?

? ? ?

A = B

C ≠ D

E = F jika x = 1

G = H2 2 2

4 5 6

9 0 7


Jumlahan dan pengurangan dua matriks

• Contoh10 22

1 -1

A = 2 6

7 5B =

10+2 22+6

1+7 -1+5A + B =

12 28

8 4=

8 16

-6 -6

= A - B = 10-2 22-6

1-7 -1-5

• Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan?•Jawab: ordo dua matriks tersebut sama

A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,

A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij


Latihan: Jumlahan dua matriks (lanjutan)

5 6 1

7 2 3C = 25 30 5

35 10 15D =

C + D = ? ? ?

? ? ?

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

K = 7 3 1-2 4 -5 9 -4 3

L =

K + L =

? ? ?

? ? ?

? ? ?

D + C =

L + K =

Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?


Quiz: Jumlahan dua matriks

• Quiz:

1. C + D =…

2. C + E = …

3. A + B = …

3 -8 0

4 7 2

-1 8 4

C = D =

3 7 2

5 2 6

-1 8 4E =

2 7 2

5 2 6

0 0 0

0 0 0 A =

0 0 0

0 0 0B =

6 -1 2

9 9 8

-2 16 8

C +D = Feedback:


Hasil kali skalar dengan matriks

• Contoh:

5 6 1

7 2 3A = 5A = 5x5 5x6 5x1

5x7 5x2 5x3

25 30 5

35 10 15=

250 300 50

350 100 150H = H = 50A

Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)

Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut:

(cA)ij = c.(A)ij = caij

Apa hubungan H dengan A?


Hasil kali skalar dengan matriks (lanjutan)

• K 3 x 3

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

K =

5 20 -4515 35 0

25 45 -655K =

4 16 -36 12 28 0

20 36 -52

4K =


Latihan: Hasil kali skalar dengan matriks

Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A dan c?

0 0 0

0 0 0 A = A =

2 7 2

5 2 6c = 0c = 7

cA = 0*2 0*7 0*2

0*5 0*2 0*6

0 0 0

0 0 0 = cA =

7*0 7*0 7*0

7*0 7*0 7*0

Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang. Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.

Contoh:

kesimpulan


Perkalian matriks

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

11 3

B =

A B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

-49 -35

-94 -55

94 -35

-49 -35

-94 -55

=


Perkalian matriks (lanjutan)Definisi:

Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka

matriks hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-

elemen yang didefinisikan sebagai berikut:r

∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj

k = 1

(C)ij = (AB)ij =

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

B = Tentukan AB dan BA

A B ABm x r r x n m x n

• Syarat:


Perkalian matriks (lanjutan)

2 3 4 5

8 -7 9 -4

1 -5 7 -8

A =

1 2

7 -6

4 -9

11 3

B =

A B = 2.1 +3.7+4.4+5.11 -35

-49 -35

-94 -55

94 -35

-49 -35

-94 -55

=

BA tidak didefinisikan


Perkalian matriks (lanjutan)

1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?

2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?

2 32 3

A = 3 -3-2 2

B = 0 00 0

AB =

B A

n x k m x n

m = k

ABmxm ABnxn

AB dan BA matriks persegi

AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol

A B

n x km x n


Latihan: Perkalian matriks (lanjutan)

Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.

• A B = ??

• AC = ??

• BD = ??

• CD = ??

• DB = ??

2 3 4 5 4 7 9 0 2 3 5 6

A = 1 2-9 0 8 0 5 6

B =

7 -11 43 5 -6

C = 1 8 9 5 6 2 5 6 -9 0 0 -4 7 8 9

D =


Perpangkatan matriks

Contoh:2 31 2

A =

A2 = 2 31 2

2 31 2

A3 = A x A2 = 2 31 2

2 31 2

2 31 2

A0 = IAn =

n faktor

An+m = An Am

A A A …A


Penyajian SPL dalam persamaan matriks

• SPL dalam bentuk:

• dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:

a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2

:

am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm

a11 a12……...a1n

a21 a22 ……..a2n : : : am1 am2…… amn

x1

x2

:xn

=

b1

b2

:bn

A: matriks koefisien

Ax = b

x b


Contoh: Penyajian SPL dengan persamaan matriks

x1 + 2x2 + x3 = 6

-x2 + x3 = 1

4x1 + 2x2 + x3 = 4

SPL

1 2 1

0 -1 1

4 2 1

x1

x2

x3

=

6

1

4

1.x1 +2.x2 + 1.x3

0.x1 + -1.x2 + 1.x3

4.x1 +2.x2 + 1.x3

=

6

1

4


Perkalian matriks sebagai fungsi: rotasi

• Matriks rotasi 45 derajat A dan vektor x

½√2 -½√2

-½√2 ½√2 A = A x =

½√2

-½√2

1

0= x

y

x

x’ = Ax =

x =π/4

1

0

½√2

-½√2


Perkalian dengan matriks identitas

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A= 1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

A.I =

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I.A = =

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7

1 2 3

7 5 6

-9 3 -7


Perkalian dengan matriks identitas

AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

AB = A dan BA = A, maka B = I

(I matriks identitas)

1 0 00 1 0 0 0 1

1 0 00 1 0 0 0 1

=

=

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

1 4 -9 3 7 0 5 9 -13

A AII A= =


Inverse matriks

B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A -1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

1 0

0 1

Contoh

A IA-1A-1 A= =

4 2

2 2

½ -½

-½ 1= =

A A-1 A-1 A I

4 2 1

2 2 1

3 3 1

½ -½ 1

-½ -½ 1

0 3 -2

= =

B B-1 B-1 B I


d -bab-cd ab-cd

-c aab-cd ab-cd

Inverse matriks 2x2

4 2

2 2

½ -½

-½ 1

1 0

0 1

d -b

-c a

1

ad - bc

Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse.

=

A IA-1

a b

c d A-1

1 0

0 1=

A-1 = =


Contoh: Inverse matriks 2x2

3 2

4 1A =

I=

1 -23.1-4.2 3.1-4.2

3-43.1-4.2 3.1-4.2

=A-1

1 25 5

345 5


Quiz: inverse matriks

1. Kapan matriks TIDAK mempunyai inverse? a b

c d

2. Tentukan inverse matriks berikut ini

1 0

0 1d.

5 1

1 2a.

0 1

0 2b.

0 0

4 1c.

1 0

0 1d.

2/3 -1/5

-1/5 5/3a.

ad-bc = 0

b. tidak mempunyai inverse

c. tidak mempunyai inverse


Transpose

Definisi:Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.

4 2 6 7

5 3 -9 7

A = AT = A’ =

4 5

2 3

6 -9

7 7

Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ………..

[AT]ij = [A]ji

n x m


Matriks Simetri

Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT

4 2

2 3A =

4 2

2 3A’ = A simetri

1 2 3 42 5 7 0

3 7 8 2 4 0 2 9

A = = AT


Matriks ortogonal

Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A –1

0 -1

1 0A =

0 1

-1 0AT=

B = ½√2 -½√2

½√2 ½√2

BT= ½√2 ½√2

-½√2 ½√2

Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1

= A-1

= B-1

(A-1)T = (AT)-1 A-1 AT


Sifat-sifat transpose matriks

A AT (AT)T

(AT )T = A1. Transpose dari A transpose adalah A:

4 2 6 7

5 3 -9 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

= A

Contoh:



2. (A+B)T = AT + BT

A+B

(A+B)T

T

BT

B

T

A

T

AT

=

=

+

+



3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k

kA

(kA)T = k(A)T

A

T T

k



4. (AB)T = BT AT

(AB)T

AB

T T

AB

T

=

AB = BTAT


Quiz:

Isilah titik-titik di bawah ini

1. A simetri maka A + AT= ……..

2. ((AT)T)T = …….

3. (ABC)T = …….

4. ((k+a)A)T = ….....

5. (A + B + C)T = ……….

Kunci:1. 2A 2. AT

3. CTBTAT 4. (k+a)AT 5. AT + BT + CT


Mengingat kembali

1. Sebutkan 3 operasi baris elementer

2. Diberikan matriks identitas 3x3. Terapkan satu, dua dan tiga kali operasi

baris elementer pada matriks identitas tersebut.

3. Berapa kali operasi baris elementer kamu terapak untuk memperoleh E dari

matriks identitas I?1 10 0 0

0 7 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

E

4. Minimal berapa kali kamu menerapkannya untuk memperoleh E?

tiga kali

Salah satu jawaban: 7 kali yaitu,[1] kalikan brs kedua dengan 7, [2-4] tiga kali tukar baris 3 dan 4, [5]kalikan 2 baris pertama, [6] kalikan 5 baris pertama


Matriks elementer

• Operasi baris elementer pada matriks1. mengalikan baris dengan kontanta tidak nol

2. menukarkan posisi dua baris

3. baris dijumlahkan dengan skalar kali baris yang lain

1

1 0 0 0

0 7 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

B

1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

E

2

0 4 0

0 0 1

1 0 0

B

2

1 9 0

0 1 0

0 0 1

E

Definisi: Matriks elementer adalah matriks yang dapat diperoleh dari matriks identitas dengan melakukan tepat satu kali operasi

B1 dan B2 bukan matriks elementer,

E1 dan E2 matriks elementer.


Matriks elementer (lanjutan)

1 0 0 0

0 7 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

R2 7* R2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

minimal 3 kali obe

1 0 0 0

0 7 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 8

0 7 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

R3 R4

minimal 2 kali obe



R2 4* R2

R3 R2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

R1 4R2+R1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 4 0

0 0 1

1 4 0

0 1 0

0 0 1


Inverse matriks elementer

1 0 0 0 0 1 0 1 0

E1 =

R2 R3

1 0 0 0 0 1 0 1 0

(E1)-1 = 1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0 1

=

1 0 0 0 2 0 0 0 1

E3=

R2 2 R2

1 2 0 0 1 0 0 0 1

E3 =

R1 R1+2R2

1 -2 0 0 1 0 0 0 1

(E3)-1 = 1 2 0 0 1 0 0 0 1

1 -2 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

=

1 0 0 0 ½ 0 0 0 1

(E2)-1 = 1 0 0 0 2 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

=1 0 0

0 ½ 0 0 0 1



R2 4* R2

R3 R2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

R1 4R2+R1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 4 0

0 0 1

1 4 0

0 1 0

0 0 1

R2 (1/4)* R2

R3 R2

1 0 0

0 0 1

0 1 0

R1 - 4R2+R1

1 0 0

0 1/4 0

0 0 1

1 -4 0

0 1 0

0 0 1

E1=E1-1=

E2=

E3=

E2-1=

E3-1=


Inverse matriks elementer (lanjutan)

I E I E-1

Mengalikan baris ke dengan konstanta tak nol k

Mengalikan baris ke i dengan konstanta tak nol 1/k

Menukar baris ke i dengan baris ke j

Menukar baris ke i dengan baris ke j

Baris ke i ditambah k kali baris ke j

Baris ke i dikurangi k kali baris ke j

Kesimpulan:Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inverse matrks elementer adalah matriks elementer


Latihan: inverse matriks elementerTentukan inverse matriks elementer berikut ini

Jawaban:

1 0 0 0 2 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 5 1

E1

E2

E3

1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0 -5 1

1 0 0 0 1/2 0 0 0 1

E1-1

E3-1

E2-1


Sifat-sifat

1. Inverse dari matriks jika ada adalah tunggal:

Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C

4 2

2 2A =

½ -½

-½ 1A-1

4 2

2 2

1 0

0 1

2. (A-1)-1 = A

?

(A-1)-1

= ½ -½

-½ 1A-1 =

A


Sifat-sifat (lanjutan)

3. Jika A mempunyai inverse maka An mempunyai inverse dan

(An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…

4 2

2 2A =

4 2

2 2A3 =

4 2

2 2

4 2

2 2

½ -½

-½ 1A-1 =

=104 64

64 40

(A3)-1 = 0.625 -1

-1 1.625

(A-1)3 = 0.625 -1

-1 1.625

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1

½ -½

-½ 1=

sama


Sifat-sifat (lanjutan)4. Jika k skalar tidak nol, maka (kA)-1 = 1/k A-1

4 2

2 2

20 10

10 10

(5 A)-1 = 0.1 -0.1

-0.1 0.2

1/5 (A)-1 = 1/5 =0.1 -0.1

-0.1 0.2

½ -½

-½ 1

(5A) = =5

sama


Sifat-sifat (lanjutan)

5. (AB)-1 = B-1 A-1

4 2

2 2A =

3 5

2 2 B = B-1 =

½ 5/4

½ - ¾

(AB)-1 = 16 24

10 14

-1=

-0.875 1.50.625 -1

A-1 B-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1=

-0.5 1 0.75 -1.375

B-1 A-1 = ½ 5/4

½ - ¾

½ -½

-½ 1=

-0.875 1.50.625 -1


Perkalian dengan matriks elementer

1 2 0

3 1 1

4 1 0

1 0 0

0 4 0

0 0 1

1 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

0 4 0

0 0 1

1 2 0

3 1 1

4 1 0

1 2 0

12 4 4

4 1 0

E

AE A

R2 4R2

R2 4R2

I

Mengalikan matriks A dari kanan dengan matriks elementer (EA) sama efeknya dengan menerapkan operasi baris elementer (yang sama dengan operasi baris elementer untuk mendapat kan E dari I) pada A.


Matriks elementer dan operasi baris elementerDiterapkan obe pada matriks A

R1 R3

I E

R1 R3

R2 ½ R2

I E

R2 ½ R2

R1 R1 + 2R2

I E

R1 R1 + 2R2

1 2 3

2 2 1

6 9 0

6 9 0

2 2 1

1 2 3

1 2 3

2 2 1

6 9 0

0 0 1 1 2 3

0 1 0 2 2 1

1 0 0 6 9 0

6 9 0

2 2 1

1 2 3

1 2 3

2 2 1

6 9 0

12

1 2 3

11

6 9 0

12

1 0 0 1 2 3

0 0 2 2 1

0 0 1 6 9 0

12

1 2 3

11

6 9 0

=

5 6 5

2 2 1

6 9 0

5 6 5

2 2 1

6 9 0

1 2 0 1 2 3

0 1 0 2 2 1

0 0 1 6 9 0

E

E

E

=

=

Hasilnya sama dengan EA

EA

EA

EA


Mengingat kembali:

Menerapkan operasi baris elementer pada matriks A sama dengan mengalikan A dari kanan dengan matriks elementer yang sesuai.

Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks persegi adalah matriks identitas atau matriks dengan baris nol

Matriks persegi yang mempunyai inverse dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan serangkaian operasi baris elementer.

Kita akan menerapkan operasi baris elementer untuk menentukan inverse matriks.


Mencari inverse dengan operasi baris elementer obe1 obe 2 ….. obe s• A--------------------------------------- I Es Es-1 ….E2 E1 ASetiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Eidari kanan dengan A.

Jadi, Es Es-1 ….E2 E1 A = I (kelompokkan Es sd E1, namakan B)

BA= IMaka B = A-1 Es Es-1 ….E2 E1 = A-1 Es Es-1 ….E2 E1 I = A-1Sehingga, jika obe1 obe 2 ….. obe s diterapkan berturut-turut pada matriks identitas I maka akan

dihasilkan A-1 obe1 obe 2 ….. obe s I ----------------------------------- A-1

• Prosedur: [A|I] [I | A-1]• [Contoh1: matriks 2x2 A [A|I] [I | A-1]• Contoh2:penerapan metode di atas untuk menentukan inverse matriks 3x3. (pilih matriks yang

sederhana) ]


Mencari inverse dengan operasi baris elementer

obe1 obe 2 ….. obe s A I Es …. E2 E1 A

Matriks persegi yang mempunyai inverse dapat direduksi menjadi matriks identitas dengan serangkaian operasi baris elementer.

Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei dari kanan dengan A.

Es Es-1 ….E2 E1 A = I

Inverse matriks A dapat diperoleh dengan serangkaian operasi baris elementer pada A.

A-1

obe1 obe 2 ….. obe s I A-1 Es …. E2 E1 A


Mencari inverse dengan operasi baris elementer (lanjutan)

Prosedur: Menentukan A-1

Diberikan matriks Anxn yang mempunyai inverse

1. Bentuk matriks [A|I]

2. Terapkan operasi baris elementer pada matriks [A|I] sedemikian hingga

A telah tereduksi menjadi matriks identitas I. maka pada saat yang sama

I berubah menjadi A-1.

[I | A-1]obe obe… obe

[A | I]


Contoh:

4 2

2 2A =

A-1= ½ -½

-½ 1

4 2 1 0

2 2 0 1

1 ½ 1/4 0

2 2 0 1

1 ½ 1/4 0

0 1 -½ 1

1 0 ½ -½

0 1 -½ 1

Baris pertama kali 1/4

Brs kedua dikurangi

2 kali brs pertama

Brs pertama dikurangi

1/2 kali brs kedua

I A-1


Quiz:

A. BENAR atau SALAH

1. Perkalian matriks bersifat komutatif komutatif.

2. Menerapkan operasi baris elementer ei pada A hasilnya sama dengan EA, dengan E matriks elementer untuk memperoleh E dari I.

3. Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inversenya juga elementer

B. Pada prodesur apa saja operasi baris elementer digunakan?

1. Menyelesaikan sistem persamaan linier

2. Mencari inverse matriks, jika ada

salah

benar

benar


Refleksi

1. Buatlah daftar konsep-konsep kunci dari modul ini. (Sebagi contoh: matriks persegi, jumlahan matriks-matriks, dsb)

2. Buatlah daftar permasalahan yang muncul pada materi yang diberikan dalam modul ini.

3. Buatlah daftar prosedur permasalahan yang ada pada daftar yang kamu hasilkan pada peranyaan nomor 2.

4. Berilah tanda pada daftar materi yang telah kamu fahami dengan baik.

Modul 2 Aljabar Matriks

Documents

Transcript of Modul 2 Aljabar Matriks