BAB 2

MATRIKS

BAB 2

MATRIKS

1. Pengertian Matriks 2. Operasi Matriks 3. Transpose Suatu Matriks 4. Kesamaan Duah Buah Matriks 5. Jenis-Jenis Matriks 6. Transformasi Elementer 7. Rank Matriks

1. Pengertian Matriks

Matriks adalah daftar bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom yang dibatasi oleh kurung biasa atau kurung siku.

• Matriks dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, ... , dst.

• Elemen atau unsur suatu matriks dilambangkan dengan huruf kecil.

• Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks.

• Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks.

• Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.

• Bentuk Umum Matriks:

i = 1,2,3, … , m (baris) j = 1,2,3, …, n (kolom) a11 = elemen baris pertama kolom pertama a21 = elemen baris kedua kolom pertama a32 = elemen baris ketiga kolom kedua, dst

mnmjmmm

inijiii

nj

nj

nj

ijmxn

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaa

aA

321

321

33333231

22232221

11131211

• Dimensi/Ordo/Ukuran Matriks :

Banyak baris dan kolom suatu matriks

• Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks berordo mxn

Contoh:

765432

;972332

;5432

233222 xxx CBA

2. Operasi pada Matriks

2.1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua matriks dapat dijumlahkan dan dikurangkan jika mempunyai ordo sama. Misalkan :

A ± B = ± =

2221

1211

bb

bbB

2221

1211

aa

aaA

22222121

12121111

baba

baba

2221

1211

aa

aa

2221

1211

bb

bb

Operasi pada Matriks (lanjutan)

Sifat Penjumlahan Matriks

1. A + B = B + A (Hukum Komutatif)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum asosiatif)

3. A + 0 = 0 + A = A

4. A + (-A) = 0

5. k (A + B) = kA + kB

Operasi pada Matriks (lanjutan)

2.2. Perkalian Skalar dengan Matriks

Jika maka

dimana k = skalar

Sifat perkalian skalar dengan matriks

• 1A = A

• 0A = 0

• k(A + B) = kA + kB

• (ck)A = c(kA) • (c + k) A =cA + kA; (c,k = skalar)

2221

1211

kaka

kakakA

2221

1211

aa

aaA

Operasi pada Matriks (lanjutan)

2.3. Perkalian Matriks dengan Matriks

Jika Amxn dan Bnxp maka AxB = Cmxp = cjxk dimana :

A x B = x = =

Sifat Perkalian Matriks 1. A x B ≠ B x A 2. A x (B x C) = (A x B) x C (Hukum asosiatif) 3. A x (B + C) = AB + AC (hukum distributif kiri) 4. (B + C) A = BA + CA (Hukum distributif kanan) 5. k x (AB) = (kA) x B = A x (kB) (k = konstanta)

n

i

lkjl pkdanmjba1

,,2,1,,2,1;

2221

1211

bb

bb

22321231

22221221

22121211

21321131

21221121

21121111

baba

baba

baba

baba

baba

baba

32

22

12

31

21

11

c

c

c

c

c

c

32

22

12

31

21

11

a

a

a

a

a

a

3. Transpose Suatu Matriks

• At matriks transpose dari matriks A jika baris/kolom dari A menjadi kolom/baris dari At

• Aturan-aturan aljabar untuk transpose

1. (At)t = A

2. (cA)t = cAt

3. (A + B)t = At + Bt

4. (AB)t = BtAt

• Contoh

,

872

153

321

A

813

752

231tA

4. Kesamaan Dua Buah Matriks

• Matriks A = B jika dan hanya jika matriks A dan B mempunyai ordo yang sama serta unsur-unsur yang bersesuaian sama

Misalkan :

A = B jika : a11 = b11; a21 = b21;

a12 = b12; a22 = b22

2221

1211

aaaa

A

2221

1211

bbbb

B

41532

Bdanwzyxwzyx

A

Jika A = B Tentukan w,x, y,dan z Jawab : x=2, y = 1, z = 3, dan w = -1

5. Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks Baris (Vektor Baris) Matriks yang terdiri dari satu baris 2. Matriks Kolom (Vektor Kolom) Matriks yang terdiri dari satu Kolom 3. Matriks Nol Matriks yang semua elemennya nol

nj aaaaaB 11131211

1

1

31

21

11

m

i

a

a

aaa

K

000000

B

Jenis-jenis Matriks (lanjutan)

4. Matriks Persegi Matriks yang banyak baris = banyak kolom 5. Matriks Diagonal matriks persegi yang semua elemennya, kecuali elemen-elemen diagonal

utama adalah nol. 6. Matriks Satuan atau Identitas (I) Matriks diagonal dimana unsur-unsur diagonal utamanya 1.

5321

B

5001

D

300

000

001

E

872

153

321

C

1001

I

100010001

I

Jenis-jenis Matriks (lanjutan)

7. Matriks Segitiga Matriks segitiga adalah matriks persegi yang elemen –

elemen di bawah atau di atas elemen diagonal bernilai nol. Matriks C disebut matriks segitiga atas Matriks D disebut matriks segitiga bawah. 8. Matriks Simetri Matriks Anxn disebut simetris jika At = A

654

032

001

D

600

540

321

C

265671514

S

Jenis-jenis Matriks (lanjutan)

9. Matriks Mendatar

Matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

10. Matriks Tegak

Matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

4. Carilah x, y, z, dan w dari = +

wz

yx

33

33 t

w

x

26

1

3

4

wz

yx

6. Transformasi Elementer

1. Penukaran tempat baris/kolom

a. Penukaran baris ke-i dgn baris ke-j, ditulis Hij(A)

b. Penukaran kolom ke-i dgn kolom ke-j, ditulis Kij(A)

2. Mengalikan baris/kolom dengan Skalar λ

a. Mengalikan baris ke-i dengan Skalar λ 0 Hi(λ)(A)

b. Mengalikan kolom ke-i dengan Skalar λ 0 Ki(λ)(A)

3. Menambah baris/kolom dengan λ kali baris/kolom

a. Menambah baris ke-i dng λ kali baris ke-j, Hij(λ)(A)

b. Menambah kolom ke-i dng λ kali kolom ke-j, Kij(λ)(A)

Penukaran Baris/Kolom

987

654

321

A

987

321

654

AH12

897

564

231

AK 23

CONTOH :

Mengalikan Baris/Kolom dng Skalar

CONTOH :

987

654

321

A

9821

6512

323

(A)K3

1

987

12108

321

(A)H2-

2

Menambah Baris ke-i dengan Skalar kali Baris ke-j

CONTOH :

15129

654

321

(A)H2

31

329228127

654

321

(A)H2

31

Menambah Kolom ke-i dengan Skalar kali Kolom ke-j

99387

66354

33321

(A)K3

23

9357

6234

3111

(A)K3

23

CONTOH :

Contoh Lain :

329322831273

654

321

(A)H)2(

1

)3(

3

332823

654

321

(A)H)2(

1

)3(

3

Selesaikan dengan menggunakan metode transformasi elementer

berdasarkan baris (H) menjadi Matriks Segitiga Bawah (MSB):

A = →

426

842

121

333231

2221

11

aaa

0aa

00a

LATIHAN

Definisi :

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A.

Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A.

Jika ternyata Rank Baris = Rank Kolom ditulis r(A)

7. Rank Matriks

Petunjuk menentukan Rank (Baris/Kolom):

1. Tentukan elemen Pivot (pada baris/kolom), untuk mempermudah pilih

elemen 1 atau –1.

2. Jadikan nol semua elemen yang sekolom/sebaris dengan pivot tersebut.

3. Sekarang kita perlu perhatikan lagi baris /kolom yang tertinggal (tanpa

baris atau kolom yang terdapat pivot):

a. apabila tinggal dua baris/kolom yang tersisa maka tinggal diperiksa

apakah baris/kolom tersebut kelipatan jika ya maka salah satu

baris/kolom tersebut dapat dijadikan nol, jika tidak langkah selesai.

b. apabila masih lebih dari dua baris/kolom lakukan lagi langkah 1 di atas

sampai langkah 3.a.

Contoh :

344

212

132

A dari matriks rank Cari

LATIHAN

1--

-21

2-3

A dari matriks rank Cari1.

21

1

1

62

1

1

4-2

3- 21-

3 2-1

B dari matriks rank Cari2.

3. Tentukan Rank dari matriks A berikut :

C =

5331

3241

4132

1321