hidhablogs.files.wordpress.com … · Web viewMatriks dan Operasinya. Matriks. Matriks adalah...

A. Matriks dan Operasinya

1. Matriks

Matriks adalah sekelompok bilangan yang tersusun dalam baris

dan kolom yang berbentuk persegi panjang dan ditulis dengan lambang

huruf besar. Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom

ditulis:

A=(a11

a 21

a12

a22

⋯⋯

a1 n

a2 n

⋮am1

⋮am2

⋯⋯

⋮amn

)Macam-macam matriks:

Matriks persegi, adalah suatu matriks yang banyak barisnya sama

dengan banyak kolomnya. Matriks persegi yang mempunyai m baris

n kolom berukuran mxn.

Contoh:

A=( 2 −1 3−2 1 1−1 −2 1)

Matriks baris, adalah suatu matriks yang terdiri dari satu baris.

Matriks baris yang mempunyai n kolom berukuran 1xn.

Contoh:

A=(1 −1 3 )

Matriks kolom, adalah suatu matriks yang terdiri dari satu kolom.

Matriks kolom yang mempunyai m baris berukuran mx1.

Contoh:

A=( 2−1)

Matriks nol, adalah suatu matriks yang semua unsurnya nol

Contoh:

A=(0 0 00 0 00 0 0)

Matriks diagonal, adalah suatu matriks persegi berukuran nxn dengan

unsur a11 , a22 , a33 ,…ann pada diagonal utamanya tidak semuanya 1

sedangkan semua unsur lainnya nol.

Contoh:

A=(2 0 00 1 00 0 −1)

Matriks identitas, adalah suatu matriks persegi berukuran nxn dengan

unsur a11 , a22 , a33 ,…ann pada diagonal utama semuanya 1 sedangkan

semua unsur lainnya nol.

Contoh:

I=(1 0 00 1 00 0 1)

Matriks segitiga atas, adalah suatu matriks persegi yang semua unsur

bawah diagonal utamanya nol

Contoh:

A=(2 1 30 1 −10 0 1 )

Matriks segitiga bawah, adalah suatu matriks persegi yang semua

unsur atas diagonal utamanya nol

Contoh:

A=(1 0 03 3 01 −1 1)

Matriks transpose, adalah suatu matriks yang diperoleh dari suatu

matriks dengan cara menukar letak baris dan kolomnya. Transpose

dari matriks A yang berukuran mxn adalah At yang berukuran nxm.

Contoh:

A=(3 2 −11 2 1 )maka A t=( 3 1

2 2−1 1)

2. Operasi Matriks

a. Penjumlahan Matriks

Niko Sentera dan Ucok mengikuti tes untuk membuat SIM C.

Tes initerdiri atas tes tertulis dan tes praktek. Hasil tes mereka ini

tampak sepertipada tabel berikut.

Penjumlahan tersebut dapat juga dilakukan dengan

menggunakanmatriks, yaitu sebagai berikut.

(45)+(4

2)=(45+4

2)=(87)Perhatikan bahwa kedua matriks yang dijumlahkan memiliki

ordoyang sama. Hasil matriks yang diperoleh adalah matriks yang

berordo sama,diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen

yang seletak.

Contoh:

( 2 3 x+ yx− y 5 )+(−4 − y

−x 2 )=( 2−4 3x+ y− yx− y−x 5+2 )

= (−2 3 x− y 7 )

b. Pengurangan Matriks

Kita telah mengetahui bahwa apabila a dan b

merupakanbilangan nyata, maka a – b = a + (–b). Dengan cara yang

sama,karena setiap matriks memiliki negatif, kita dapat menulis A +

(–B) sebagai A – B. Dengan demikian, suatu matriks

dapatdikurangkan dari matriks lain.

A – B = A + (–B)

Untuk mengurangkan matriks B dari A, jumlahkan negatif B kepada

A.

Contoh:

Hiunglah operasi pengurangan matriks berikut ini:

a. (a bc d )−(e f

g h)b. (2 8 −5 )−(5 3 −1 )

Jawab:

a. (a bc d )−(e f

g h)=(a−e b−fc−g d−h)

b. (2 8 −5 )−(5 3 −1 )= (2−5 8−3 −5+1 )= (−3 5 −4 )

c. Perkalian Matriks

Perkalian matriks dengan skalar

Jika : k adalah skalar (suatu bilangan riil), dan A adalah suatu matriks maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.

Dapat dijelaskan seperti berikut:

Jika A=[a bc d ]

maka kA= k [ a b

c d ] kA=[ka kbkc kd ]

Perkalian matriks dengan matriks

Perhatikan ilustrasi berikut yang menggambarkan konstruksi

dari perkalian dua matriks.

Ilustrasi:

Setiap bulan keluarga Pak Amir memerlukan 40 kg beras dan

20 liter minyak tanah. Sedangkan keluarga Pak Budi memerlukan 50

kg beras dan 30 liter minyak tanah. Kedua keluarga itu membeli

semua keperluannya di toko yang sama dan dengan harga yang sama

pula. Di toko itu harga setiap kg beras adalah Rp 3.000,00 dan setiap

liter minyak tanah adalah Rp 2.500,00. Kita akan menghitung

besarnya pengeluaran keluarga tersebut dalam bentuk matriks.

Pengeluaran Pak Amir selama satu bulan untuk beras dan minyak

tanah adalah

40 ∙3000+20 ∙2.500=120.000+50.000=170.000rupiah

yang dapat ditulis dalam bentuk

(40 20 )( 32,5)=40 ∙ 3+20 ∙2,5=120+50=170 ribu rupiah

Matriks baris di ruas paling kiri menyatakan banyaknya beras dan

minyak tanah yang diperlukan Pak Amir, sedangkan matriks

kolomnya menyatakan harga barang (dalam ribuan) tersebut.

Pengeluaran Pak Budi selama satu bulan untuk beras dan minyak

tanah adalah

50 ∙3000+30∙2.500=150.000+75.000=225.000 rupiah

yang dapat ditulis dalam bentuk

(50 30 )( 32,5)=50 ∙3+30 ∙2,5=150+75=225 ribu rupiah

Matriks baris di ruas paling kiri menyatakan banyaknya beras dan

minyak tanah yang diperlukan Pak Budi, sedangkan matriks

kolomnya menyatakan harga barang (dalam ribuan) tersebut

Jika pengeluaran Pak Amir dan Pak Budi dalam satu bulan untuk

beras dan minyak tanah digabungkan, maka bentuk matriksnya

adalah

(40 2050 30)( 3

2,5)=(40∙ 3+20 ∙ 2,550 ∙ 3+30 ∙ 2,5)=(120+50

150+75)=(170225)

(dalam ribuan rupiah)

Jika pada bulan berikutnya harga beras naik menjadi Rp 4.000,00

dan harga minyak tanah menjadi Rp 3.000,00, maka biaya yang

dikeluarkan Pak Amir dan Pak Budi selama satu bulan setelah

kenaikan ini bentuk matriksnya adalah

(40 2050 30)(4

3)=(40∙4+20 ∙350 ∙4+30 ∙3)=(160+60

200+90)=(220290)

(d alam ribuanrupiah)

Jika pengeluaran Pak Amir dan Pak Budi selama dua bulan saat

sebelum dan sesudah kenaikan harga digabungkan, maka bentuk

matriksnya adalah

(40 2050 30)( 3 4

2,5 3 )=(40 ∙ 3+20 ∙2,5 40 ∙ 4+20∙ 350 ∙3+30∙2,5 50 ∙ 4+30 ∙ 3)

¿(120+50 160+60150+75 200+90)=(170 220

225 290)(dalam ribuan rupiah)

Fenomena ini memberikan gambaran tentang konsep perkalian

matriks berikut:

Perkalian matriks baris ( a11 a12) dan matriks kolom (b11

b21) adalah

a11∙ b11+a12 ∙ b21 , yang ditulis dalam bentuk

( a11 a12) (b11

b21)=a11 ∙ b11+a12 ∙ b21

Perkalian matriks (a11 a12

a21 a22) dan matriks kolom (b11

b21) adalah

(a11 ∙ b11+a12 ∙ b21

a21 ∙ b11+a22 ∙ b21) , yang ditulis dalam bentuk

(a11 a12

a21 a22)(b11

b21)=( (a11 a12 )(b11

b21)(a21 a22)(b11

b21))=(a11 ∙b11+a12 ∙b21

a21 ∙ b11+a22 ∙ b21)

Perkalian matriks (a11 a12

a21 a22) dan matriks (b11 b12

b21 b22) adalah

(a11 a12

a21 a22)(b11 b12

b21 b22)=(( a11 a12 )(b11

b21) ( a11 a12 )(b12

b22)(a21 a22 )(b11

b21) ( a21 a22 )(b12

b22))¿(a11 ∙ b11+a12 ∙ b21 a11 ∙ b12+a12 ∙ b22

a21 ∙ b11+a22 ∙ b21 a21 ∙ b12+a22 ∙ b22)

Jika A=(a11 a12

a21 a22) dan B=(b11 b12

b21 b22) dan AB=C=(c11 c12

c21 c22) ,

maka

c11 adalah perkalianbaris ke−1dari A dan kolom ke−1dar i B

c12 adalah perkalianbaris ke−1dari A dan kolom ke−2dari B



Dari hasil diatas membawa kita pada definisi formal perkalian dua

matriks yang didefinisikan sebagai berikut:

Hasilkali matriks baris berukuran 1 ×n dan matriks kolom

berukuran n×1 adalah amtriks berukuran 1 ×1yang ditentukan

oleh

( a11 a12 ⋯ a1n) (b11

b21

⋮bn 1

)=a11∙ b11+a12 ∙ b21+⋯+a1n ∙ bn1

Jika matriks A berukuran m× p dan matriks B berukuran p ×n

maka hasilkali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB

adalah suatu matriks C yang berukuran m× n dimana c ij=¿

perkalian baris ke−i martiks A dengan kolom ke− j matriks B

Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya

kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Diluar

ketentuan ini, AB tidak didefinisikan.

Contoh:

Jika A=(3 2 −11 2 1 ) dan B=( 0 1

1 −13 −2) hitung matriks AB dan BA

Jawab:

AB=(3 2 −11 2 1 )( 0 1

1 −13 −2)=(0+2−3 3−2+2

0+2+3 1−2−2)=(−1 35 −3)

BA=( 0 11 −13 −2)(3 2 −1

1 2 1 )=( 0+1 0+2 0+13−1 2−2 −1−19−2 6−4 −3−2)=(1 2 1

2 0 −27 2 −5)

d. Sifat-sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Jika untuk A, B, C, matriks nol 0, dan matriks satuan I penjumlahan

dan perkaliannya terdefinisi, maka

Sifat komutatif terhadap penjumlahan : A+B = B+A

Sifat asosiatif terhadap penjumlahan : (A+B)+C = A+(B+C)

Sifat matriks nol : A + 0 = A

Sifat lawan matriks : A +(-A) = 0

Sifat asosiatif erhadap perkalian: (AB)C=A(BC)

Sifat distributif kiri : A(B+C)=AB+AC

Sifat distributive kanan : (A+B)C=AC+BC

Sifat perkalian dengan konstanta : k(AB)=(kA)B=A(kB), k

konstanta real

Sifat perkalian dengan matriks satuan: AI=IA=A

Matriks Matriks

2×3 3 ×2Matriks

2×2

Matriks Matriks

2×33×2Matriks

3 ×3

B. Determinan dan Invers Matriks Persegi

1. Determinan Matriks Persegi

Determinan untuk setiap matriks persegi A dapat menentukan tepat satu

bilangan real yang diperoleh dengan aturan tertentu terhadap unsur-unsur

di A.

a. Determinan Matriks Tingkat Dua

Determinan dari matriks A=a ij didefinisikan sebagai |A|=a ij

Determinan dari matriks A=(a11 a12

a21 a22) didefinisikan sebagai

|A|=a11∙ a22−a21 ∙ a12

Determinan dari matriks 2x2 diperoleh dengan mengambil hasil

kali unsur diagonal utama kemudiandikurangkan dengan hasilkali

unsur diagonal lainnya.

(+) ( - )

A=(a11 a12

a21 a22)=a11∙ a22−a21 ∙ a12

b. Determinan Matriks Tingkat Tiga

A = (a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33)

Determinan dari Matriks diatas adalah

|A| = |a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

Jika dalam suatu permutasi ( susunan ) bilangan-bilangan yang lebih

besar terletak di depan bilangan yang lebih kecil, maka permutasi itu

disebut mempunyai inversi. Hasil kali susunan bilangan-bilangan

dalam determinan A yang bertanda negatif apabila permutasi dari

bilangan mempunyai banyak inversi ganjil, dan bertanda positif

apabila permutasi mempunyai inversi nol atau genap.

Misalnya, permutasi dari 3 bilangan { 1 , 2 , 3 } yaitu :

123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321

Inversi dari 123 adalah 0, maka tanda perkaliannya “+”

Inversi dari 132 adalah 1, yaitu 32,maka tanda perkaliannya “-“

Inversi dari 213 adalah 1, yaitu 21,maka tanda perkaliannya “-“

Inversi dari 231 adalah 2, yaitu 21 dan 31,maka tanda

perkaliannya “+“

Inversi dari 312 adalah 2, yaitu 31 dan 32,maka tanda

perkaliannya “+“

Inversi dari 321 adalah 3, yaitu 32, 21 dan 31,maka tanda

perkaliannya “-“

|A| = |a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33| merupakan determinan dari matriks A ordo

Perkalian susunan bilangan-bilangan disesuaikan dengan permutasi n

= 3 unsur yaitu :

ε 123 , ε 132 , ε 123 , ε 213 , ε 231 , ε 312 ,dan ε 321

Lambang ε 213 artinya perkalian anggota-anggota pada baris pertama

kolom ke-2 ; baris kedua kolom ke-3 dan pada baris ketiga kolom

ke-1

|A| = |a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

= ε 123 a11 a22 a23 + ε 132 a11 a23 a32 + ε 213 a12 a21 a33 + ε 231 a12 a23 a31 + ε123

a11 a22 a23

|A| = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 - a12 a21 a33 +a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13

a22 a31

= a11 (a22 a33 - a23 a32 ) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 + a22 a31 )

= a11 |a22 a23

a32 a33| - a12 |a21 a23

a31 a33| + a13 |a21 a22

a31 a32|Determinan ordo 3 juga dapat diselesaikan dengan cara SARRUS :

(+) (+) (+) (-) (-) (-)

|A| = |a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

a11 a12

a21 a22

a31 a32

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22

a31

Contoh soal :

Jika A = ( 2 −1 3−2 1 1−1 −2 1) dan B = (−1 2 3

4 5 −1−2 0 1 )

Hitunglah

a. |A|

b. |B|

Penyelesaian :

a. |A| = | 2 −1 3−2 1 1−1 −2 1| = 2 . | 1 1

−2 1| – (-1) . |−2 1−1 1| + 3. |−2 1

−1 −2| = 2 ( 1 – (-2)) + (-2 – (-1) + 3(4 – (-1))

= 2(3) + (-1) + 3(5)

= 6 – 1 + 15

= 20

b. Dengan cara sarrus |B| ordo 3 dapat

|B| = |−1 2 34 5 −1

−1 0 1 |−1 24 5

−2 0

= (-1)(5)(1) + (2)(-1)(-2) + (3)(4)(0) – (3)(5)(-2) – (-1)(-1)(0) –

(2)(4)(1)

= -5 + 4 + 0 + 30 – 0 – 8

= 21

Penggunaan Determinan Tingkat Tiga untuk Sistem Persamaan

Linier

Aturan cramer untuk sistem persamaan linier dua persamaan

dengan dua variabel dapat diperumum untuk tiga persamaan dengan

dengan tiga variabel. Proses penyelesaiannya dengan determinan

tingkat tiga. Untuk persamaan linier

a11 + a12y + a13z = b1

a21 + a22y + a23z = b2

a31 + a32y + a33z = b3

jika D = |a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|, Dx = |b1 a12 a13

b2 a22 a23

b3 a32 a33|, Dy = |a11 b1 a13

a21 b2 a23

a31 b3 a33| ,

Dz =|a11 a12 b1

a21 a22 b2

a31 a32 b3|, dan D ≠ 0 maka sistemnya mempunyai solusi

tunggal yang ditentukan oleh x = Dx

D , y =

D y

D dan z =

Dz

D

Seperti pada sistem persamaan linier dua veriabel, D dinamakan

determinan matriks koefisien sedangkan Dx , Dy dan Dz

dinamakan determinan untuk mencari x , y dan z.

Contoh soal :

Tentukan solusi dari sistem persamaan linier :

2x – 3y – z = 5

x + 2y + 2z = 4

x + y + 3z = 7

penyelesaian :

Determinan matriks koefisiennya adalah

D = |2 −3 −11 2 21 1 3 | = 2|2 2

1 3| + 3|1 21 3| - |1 2

1 1| = 2.4+3.1 – 1.(-1) =

8+ 3+ 1=12

Hitunglah determinan Dx , Dy dan Dz (kerjakan rinciannya),

diperoleh

Dx = |5 −3 −14 2 27 1 3 | = 24, Dy = |2 5 −1

1 4 21 7 3 | = -12 , Dz = |2 −3 5

1 2 41 1 7|

=24

Jadi, solusi persamaan liniernya adalah

x = Dx

D=24

12=2 , y =

D y

D=−12

12=−1 dan z =

Dz

D =

2412

=2

2. Minor dan kofaktor

Perhatikan matriks persegi (a11 a12

a21 a22)

Buanglah baris ke-1 dan kolom ke-1, diperoleh a22 , kita namakan a22

= minor a11


= minor a12


= minor a21


= minor a22

(a11 a12

a21 a22)

a22 = minor a11

(a11 a12

a21 a22)

a21 = minor a12

(a11 a12

a21 a22)

a12 = minor a21

(a11 a12

a21 a22)

a11 = minor a22

Dengan menggunakan penulisan minor, determinan matriks persegi

2 x 2 dapat dihitung dengan empat cara berikut:

|a11 a12

a21 a22| = a11∙ a22−a12 ∙ a21

¿a11 ( minor a11)−a12(minor a12)

|a11 a12

a21 a22| = a11∙ a22−a21 ∙ a12

¿a11 ( minor a11)−a21(minor a21)

|a11 a12

a21 a22| = −a21 ∙ a12+a22 ∙ a11

(a11 a12

a21 a22)

¿

¿−a21 (minor a21 )+a22(minor a22)

|a11 a12

a21 a22| = −a12 ∙ a21+a22 ∙ a11

¿−a12 (minor a12 )+a22(minor a22)

Kotak disebelah kiri menyatakan bahwa perhitungan

determinannya bertumpu pada unsur-unsur di baris atau kolom

pada kotak itu.

Tanda positif dan negatif pada perhitungan determinannya

membentuk suatu pola berdasarkan jumlah indeks yang genap

atau ganjil, lihat gambar disebelah kanan.

Kofaktor adalah minor yang disertai tandanya. Pada matriks persegi

2x2 diatas,

Kofaktor a11 , ditulis kof a11 didefinisikan sebagai

kof a11=(−1 )1+1minor a11=a22


kof a12=(−1 )1+2 minor a12=−a21


kof a21=(−1 )2+1 minor a21=−a12


kof a22=(−1 )2+2 minor a22=a11

Dengan menggunakan penulisan kofaktor, determinan matriks

persegi 2x2 dapat dihitung dengan empat cara berikut:

Perhitungan yang bertumpu pada baris pertama:

|a11 a12

a21 a22| = a11(+minor a11)+a12(−minor a12)

¿a11 ( kof a11)+a12(kof a12)

Perhitungan yang bertumpu pada kolom pertama:

|a11 a12

a21 a22| = a11(+minor a11)+a21(−minor a21)

¿a11 ( kof a11)+a21(kof a21)

Perhitungan yang bertumpu pada baris kedua:

|a11 a12

a21 a22| = a21 (−minor a21 )+a22 (+minor a22 )

¿a21 (kof a21 )+a22(kof a22)

Perhitungan yang bertumpu pada kolom kedua:

|a11 a12

a21 a22| = a12 (−minor a12 )+a22(+minor a22)

¿a12 (kof a12 )+a22(kof a22)

3. Adjoint Matriks

Adjoint dari matriks persegi ordo 3

Jika A = (aij) adalah suatu matriks persegi ordo 3 dengan elemen-

elemen aij adalah kofaktor aij, maka didefinisikan adjoint A adalah :

adj A = |a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33|

contoh soal :

Tentukan adjoin matriks A =[ 4 2 110 6 33 2 2]

Solusi :

|M 11|=|6 32 2|=12−6=6⇒∝11=(−1)1+1 .6=6

|M 12|=|10 33 2|=20−9=11⇒∝12=(−1)1+2 .11=−11

|M 13|=|10 63 2|=20−18=2⇒∝13=(−1)1+3 .2=2

|M 21|=|2 12 2|=4−2=2⇒∝21=(−1)2+1 .2=−2

|M 22|=|4 13 2|=8−3=5⇒∝22=(−1)2+2 .5=5

|M 23|=|4 23 2|=8−6=2⇒∝23=(−1)2+3 .2=−2

|M 31|=|2 16 3|=6−6=0⇒∝31=(−1)3+1 .0=0

|M 32|=| 4 110 3|=12−10=2⇒∝32=(−1)3+2 .2=−2

|M 33|=| 4 210 6|=24−20=4⇒∝33=(−1)3+3 .4=4

Jadi ,adj A=|a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33|=| 6 −2 0

−11 5 −22 −2 4 |

4. Invers Matriks Persegi

Matriks persegi A=(aij)n xn dikatakan mempunyai inversjika terdapat

matriks B yang berukuran sama sehingga AB = BA = I matriks satuan.

Kondisi agar matriks persegi A=(aij)n xn mempunyai invers adalah

|A|≠ 0 , determinannya taknol. Invers dari matriks A ditulis A-1, dan

memenuhi AA-1 = A-1A= I

Matriks persegi A yang mempunyai invers dinamakan matriks non

singular, sedangkan yang tidak mempunyai invers dinamakan matriks

singular.

Matriks persegi paling banyak hanya mempunyai satu invers. Dengan

perkataan lain, jika A matriks persegi dan |A|≠ 0, maka invers matriks

A tunggal.

a. Invers Matriks Berordo 2x2

Menentukan invers suatu matriks berukuran 2x2 yang

determinannya tak nol. Jika A=(a bc d) dengan ad – bc ≠ 0, akan

ditentukan matriks B=(x yz u ) sehingga AB = BA = I, dengan I

matriks satuan. Kondisi AB = I memberikan

(a bc d )(x y

z u )=(1 00 1)

Kalikan matriks di ruas kiri, maka diperoleh kesamaan matriks

(ax+bz ay+bucx+dz cy+du)=(1 0

0 1)Dari sini diperoleh system persamaan linear

{ax+bz=1cx+dz=0 dan {ay+bu=0

cy+du=1 , yang solusinya adalah

x= dad−b c

, z= −cad−bc

, y= −bad−bc

,u= aad−bc

Jadi invers matriks A adalah

A−1=B=( x yz u)=(

dad−bc

−bad−bc

−cad−bc

aad−bc

)= 1ad−bc ( d −b

−c a )

Jadi proses diatas merupakan bukti dari teorema berikut

Invers dari matriks persegi 2x2

Invers dari matriks A=(a bc d)dengan ad−bc ≠ 0adalah

A−1= 1ad−bc ( d −b

−c a )Sistem Persamaan Linear dengan Invers Matriks

Sistem persamaan linear dua peubah dan dua anpeubah {ax+by=pcx+dy=q

dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks (a bc d )

−1

( xy )=( p

q ). Jika

ad-bc ≠ 0, kalikan persamaan matriks satuan, maka ruas kiri, diperoleh

(a bc d )

−1((a bc d)

−1

(xy))=(a b

c d )−1

( pq )

Karena perkalian matriks bersifat asosiatif dan perkalian

invers dengan matriksnya adalah matriks satuan, maka ruas kirinya

adalah matriks dngan unsure x dan y dicari.

( xy )=(a b

c d )−1

( pq )

Dalam konteks ini matriks dapat menjadi suatu alat dalam penyelesaian sistem persamaan linear diatas.

Contoh :

Tentukan invers dari matriks ¿(1 23 5) !

Solusi:

Invers dari matriks A=(1 23 5)adalah A−1= 1

1.5−2.3 ( 5 −2−3 1 ) =

(−5 23 −1)

Cek jawaban

(1 23 4)(−5 2

3 −1)=(1 00 1)=(−5 2

3 −1)(1 23 4)

b. Invers Matriks Berordo 3x3

jika A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 , maka invers dari

matriks A dinyatakan dengan

contoh :

Tentukan invers matriks A =[ 4 2 110 6 33 2 2]

Solusi :

determinan dari matriks A (metode sarrus)

|A|¿| 4 2 110 6 33 2 2|

4 210 63 2

¿ (4.6 .2 )+(2.3 .3 )+ (1.10 .2 )− (3.6 .1 )−(2.3.4 )− (2.10 .2 )

¿48+18+20−18−24−40

¿4

adjoin matriks A

adj A=| 6 −2 0−11 5 −2

2 −2 4 | invers matriks A

A−1= 1detA

adj A↔A−1=14 | 6 −2 0

−11 5 −22 −2 4 |

¿|32

−12

0

−114

54

−12

12

−12

1 |

jadi ,invers dari A=[ 4 2 110 6 33 2 2]adalah A−1=|

32

−12

0

−114

54

−12

12

−12

1 |c. Sifat-sifat invers matriks:

1. Jika A dan B adalah matriks yang memenuhi AB = BA = I, maka

matriks A dan B dikatakan sebagai matriks yang saling invers

karena A = B−1 dan B = A−1

2. Jika matriks A mempunyai invers, maka inversnya tunggal

3. Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai invers dan ordonya

sama maka :

a). AB mempunyai invers

b). (AB) −1= B −1 A −1

c). (A −1) −1= A

d). (kA) −1= k 1 A −1, k ≠ 0

Bila suatu matriks A mempunyai determinan nol atau det(A) = 0

maka

matriks A tidak mempunyai invers. Suatu matriks yang tidak

mempunyai invers disebut matriks singular. Bila det(A) ≠ 0, maka

matriks A pasti mempunyai invers. Suatu matriks persegi yang

mempunyai invers disebut matriks non singular.

SOAL

A. PILIHAN GANDA

1. (55)+(18)=…

a. (55) d. (18)

b. ( 613) e. (06)

c. (10)2. ( 7

−4)−( 5−6)=…

a. ( 5−6) d. ( 2

−2)b. (91) e. ( 7

−4)c. (22)

3. (3 12 21 3)+(1 3

2 23 1)=…

a. (1 32 23 1) d. (3 1

2 21 3)

b. (4 44 44 2) e. 4 (1 1

1 11 1)

c. (2 32 22 1)

4. (−4 22 2

−1 2)−( 4 42 1

−5 1)=…

a. (−8 −20 14 1 ) d. (6 −2

0 11 1 )

b. (−4 22 2

−1 2) e. ( 4 42 1

−5 1 )c. (−8 2

0 84 0)

5. Matriks A=¿ (1 2 )dan matriks B=(23), maka matriks AB adalah ...

a. 6 d. 9

b. 7 e. 10

c. 8

6. Matriks A berordo 2 ×3 dan matriks B berordo 3×3 , jika matriks AB=C ,

maka matriks C berordo ...

a. 1×2 d. 2×3

b. 1×3 e. 3×3

c. 2×2

7. Jika matriks A =(1 x4 y) matriks 2 A=(2 1

z 4), maka nilai x, y, z adalah ...

a. x=1 , y=2 , z=4 d. x=12

, y=2 , z=4

b. x=1 , y=4 , z=8 e. x=12

, y=2 , z=8

c. x= 12

, y=2 , z=2

8. Matriks A =(1 12 −1) , matriks A2 adalah ...

a. (3 24 1) d. (3 2

4 3)b. (3 2

0 1) e. (3 24 2)

c. (3 04 1)

9. Semua nilai x yang memenuhi |2−x 2 11 3−x 11 2 2−x| = 0 adalah . . .

a. x = 1 atau x = 5 d. x = -1 atau x =-5

b. x = 1 atau x =-5 e. x = 5 atau x = 0

c. x= -1 atau x = 5

10. Nilai determinan A = (1 2 32 3 23 3 4) adalah . . .

a. 7 d.-8

b. -7 e. 6

c. 8

11. Nilai determinan B = (1 0 23 4 −50 1 −2) adalah . . .

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

12. Diketahui matriks C = (1 2 32 3 23 3 4) , tentukan nilai dari adj C × C adalah...

a. -7 I d. 8 I

b. 7 I e. 1 I

c. 6 I

13. Jika (1 23 4) X=(4 3

2 1) dan X adalah matriks ordo (2x2) maka X adalah ….

a. (1 00 1) d. ( 2 −1

−12

1 12 )

b. (0 11 0) e. (−6 −5

5 4 )c. (−5 −6

4 5 )14. Jika (−1 2

2 3)(xy)=(−1

9 ) maka x dan y adalah …

a. x=1 dan y=-3 d. x=-3 dan y=1

b. x=1 dan y=3 e. x=3 dan y=1

c. x=-3 dan y=-1

15. Jika (1 11 3)( x

y)=(52) maka x dan y adalah …

a. x=−32 dan y=

132 d. x=

52 dan y=

82

b. x=32 dan y=

−132 e. x=

12 dan y=

82

c. x=35 dan y=

137

16. Invers dari matriks A=(1 25 4 ) adalah …

a. (−23

13

56

−16

) d.(−23

18

56

−16

)b. (

−25

15

56

−16

) e. (−235

13

56

−16

)c. (

−24

13

56

−7)17. Invers dari matriks B=[ 1 3 4

3 −1 6−1 5 6 ]adalah…

a. |152

−3 −9

32

−12

−2

1 5 1| d. |−5 4 5

292

−11 23

7 13

−1|b. | 9

2−5 −3

2

−1 7 52

3 11 4| e.|2 −4 −1

3 1 0

5 −1 12

|

c. |312

−172

−11

92

−52

−3

−7 4 5|

18. kofaktor a12 dari matriks [ 3 11 2−1 2 43 −2 1 ]adalah…

a. 11 d.14

b. 12 e.15

c. 13

19. Adjoin dari matriks [ 3 11 2−1 2 43 −2 1 ]adalah…

a. [−12 −18 16−10 2 −4−6 −22 8 ] d.[−3 19 −15

8 −9 316 21 −5 ]

b. [−18 9 −34 −24 172 16 20 ] e.[−23 −12 −4

8 −30 1615 7 18 ]

c. [ 5 16 −148 −12 20

−19 32 −7 ]20. Kofaktor a31dari matriks [1 3 −2

2 −4 15 2 −4 ] adalah…

a. -3 d.-6

b. -4 e.-7

c. -5

B. ESAI

1. (x yz w)−(−3 2

−4 0)=( 7 −5−6 1 ), tentukan matriks (x y

z w)!

2. Tentukan minor-minor dari matriks [ 4 2 110 6 33 2 2] !

3. Tentukan solusi dari sistem persamaan linier!

x + 2y + z = 8

x + y + z = 6

2x + y + 2z = 10

4. Hitunglah invers dari matriks

a. D = (3 24 3)

b. F = (−3 22 −1)

5. Tentukan invers dari matriks B=[7 3 64 1 58 2 9] !

KUNCI JAWABAN

A. PILHAN GANDA

1. B

2. C

3. E

4. A

5. C

6. D

7. E

8. A

9. A

10. B

11. C

12. A

13. E

14. B

15. A

16. A

17. C

18. C

19. A

20. C

1. (55)+(18)=(5+1

5+8)=( 613)

B

2. ( 7−4)−( 5

−6)=( 7−5−4+6)=(2

2)C

3. (3 12 21 3)+(1 3

2 23 1)=(3+1 1+3

2+2 2+21+3 3+1)=(4 4

4 44 4)=4 (1 1

1 11 1)

E

4. (−4 22 2

−1 2)−( 4 42 1

−5 1)=( −4−4 2−42−2 2−1

−1−(−5) 2−1)=(−8 −20 14 1 )

A

5. Matriks A=(1 2 )dan matriks B=(23)AB=(1 2 )(2

3)=1∙ 2+2 ∙3=2+6=8

C6. Matriks A berordo 2×3 dan matriks B berordo 3 ×3,

A=(a11 a12 a13

a21 a22 a23) B=(b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33)

jika matriks AB=C

AB=(a11 a12 a13

a21 a22 a23)(b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33)

¿(a11b11+a12 b21+a13 b31 a11b12+a12 b22+a13b32 a11 b13+a12b23+a13b33

a21 b11+a22b21+a23 b31 a21b12+a22 b22+a23 b32 a21 b13+a22 b23+a23 b33)

maka matriks C berordo 2 ×3 D

7. matriks A =(1 x4 y), 2 A=(2 1

z 4)2 A=(2 1

z 4)A=1

2 (2 1z 4)

¿( 2 12

12

z 2 )x=1

2, y=2 , 1

2z=4 , z=8

E

8. A =(1 12 −1)

A2=A ∙ A=(1 12 −1)(1 1

2 −1)=( 1+2 1−(−1)2−(−2) 2−1 )=(3 2

4 1) A

9. Hitung determinannya dan selesaikan persamaan yang muncul dalam x,

diperoleh

(2 - x) |3−x 12 2−x| - 2 |1 1

1 2−x| - |1 3−x1 2 | = 0

(2 – x)(x2 – 5x + 6 – 2) - 2(2 – x – 1) + (2 – 3 + x ) = 0

(x – 2 ) ( x2 – 5x + 4 ) – 2 ( x – 1) – (x – 1) = 0

(x - 2)(x - 1)(x - 4) – 2 (x - 1) – (x – 1) = 0

(x - 1)(x2 – 6x + 8 – 2 – 1) = 0

(x - 1)2(x - 5) = 0

x = 1 atau x = 5

A

10. |A|= |1 2 32 3 23 3 4| = |3 2

3 4| - 2.|2 23 4| + 3.|2 3

3 3| = (12 - 6) – 2.(8 – 6) + 3.(6 – 9)

= 6 – 4 – 9

= -7

Jadi, |A| = -7

B

11. |B| = |1 0 23 4 −50 1 −2| = 1.4.(-2) – 1.(-5).1 + 0.(-5).0 – 0.3.(-2) + 2.3.1 – 2.4.0

= -8 + 5 + 0 + 0 + 6 – 0 = 3

C

12. Adj C x C = ( 6 1 −5−2 −5 4−3 3 −1) (1 2 3

2 3 23 3 4)

= (−7 0 00 −7 00 0 −7) = -7 (−1 0 0

0 −1 00 0 −1) = -7 I

A

13. (1 23 4)X=(4 3

2 1)X= 1

4−6 ( 4 −2−3 1 )(4 3

2 1) =

−12 ( 4 −2

−3 1 )(4 32 1)

= (−2 132

−12 )(4 3

2 1)

= (−6 −55 4 )

E

14. −x+2 y=−12 x+3 y=9 |x3

x2 −3 x+6 y=−3¿

-7x =-21

x=3

disub ke pers di atas

-(3)+2y = -1

y =1

jadi, x=3 dan y=1

B

15. x + y = 5

x +3y = 2 –

y = −32

sub ke persamaan : x+−32 =5

x= 5+32

x = 132

A

16. A=(1 25 4 )=A−1= 1

4−10 ( 4 −2−5 1 )=(

−23

13

56

−16

)A

17. Invers matriks B=|29 17 22−9 5 614 −8 −10|adalah…


|B|¿| 1 3 43 −1 6

−1 5 1|1 33 −1

−1 5

¿ (1. (−1 ) .1 )+ (3.6 .(−1))+ (4.3 .5 )−( 4. (−1 ) .(−1))−(1.5.6 )−(3.3 .(−1))

¿−1−18+60−4−30−9

¿−2

kofaktor – kofaktor dari matriks B

|M 11|=|−1 65 1|=−31⇒∝11=(−1 )1+1 .(−31)=31

|M 12|=| 3 6−1 1|=9⇒∝12=(−1)1+2 .9=−9

|M 13|=| 3 −1−1 5 |=14⇒∝13=(−1)1+3 .14=14

|M 21|=|3 45 1|=−17⇒∝21=(−1 )2+1 .(−17)=17

|M 22|=| 1 4−1 1|=5⇒∝22=(−1)2+2.5=5

|M 23|=| 1 3−1 5|=8⇒∝23=(−1)2+3 .8=−8

|M 31|=| 3 4−1 6|=22⇒∝31=(−1)3+1 .22=22

|M 32|=|1 43 6|=−6⇒∝32=(−1 )3+2 .(−6)=6

|M 33|=|1 33 −1|=−10⇒∝33=(−1 )3+3 . (−10 )=−10

adjoin matriks B

adj B=|29 17 22−9 5 614 −8 −10|

invers matriks B

A−1= 1detA

adj A↔A−1=1

−2|29 17 22−9 5 614 −8 −10|

¿|−312

−172

−11

−92

−52

−3

−7 4 5|

C

18. |M 12|=|−1 43 1|=−1−12=−13⇒∝12=(−1 )1+2 . (−13 )=13

C

19. adjoin dari matriks [ 3 11 2−1 2 43 −2 1 ]adalah…

Kofaktor –kofaktor dari matriks

|M 11|=|0 43 −3|=−12⇒∝11=(−1 )1+1 . (−12 )=−12

|M 12|=|−2 44 −3|=10⇒∝12=(−1)1+2 .10=−10

|M 13|=|−2 04 3|=−6⇒∝13=(−1 )1+3 .1 (−6 )=1−6

|M 21|=|−4 −23 −3|=18⇒∝21=(−1 )2+1 . (18 )=−18

|M 22|=|2 −24 −3|=2⇒∝22=(−1)2+2.2=2

|M 23|=|2 −44 3 |=22⇒∝23=(−1)2+3 .22=−22

|M 31|=|−4 −20 4 |=−16⇒∝31=(−1 )3+1 .(−16)=216

|M 32|=| 2 −2−2 4 |=4⇒∝32=(−1 )3+2 .4=−4

|M 33|=| 2 −4−2 0 |=−8⇒∝33=(−1 )3+3 . (−8 )=8

adjoin matriks |−12 −18 16−10 2 −4−6 −22 8 |

A

20. |M 31|=| 3 −2−4 1 |=3−8=−5⇒∝31=(−1 )3+ 1 . (−5 )=−5

C

B. ESAI

1. (x yz w)−(−3 2

−4 0)=( 7 −5−6 1 ), maka matriks (x y

z w) adalah

(x+3 y−2z+4 w−0)=( 7 −5

−6 1 ),x+3=7x=4

y−2=−5y=−3

z+4=−6z=−10

w−0=1w=7

Jadi, Matriks (x yz w) = ( 4 −3

−10 1 )!

2. minor-minor dari matriks [ 4 2 110 6 33 2 2] adalah ...

|M 11|=|6 32 2|=12−6=6

|M 12|=|10 33 2|=20−9=11

|M 13|=|10 63 2|=20−18=2

|M 21|=|2 12 2|=4−2=2

|M 22|=|4 13 2|=8−3=5

|M 23|=|4 23 2|=8−6=2

|M 31|=|2 16 3|=6−6=0

|M 32|=| 4 110 3|=12−10=2

|M 33|=| 4 210 6|=24−20=4

3. Determinan matriks koefisiennya adalah

D = |1 2 11 1 12 1 2| = 1. |1 1

1 2| – 2.|1 12 2| + 1 |1 1

2 1| = 1 (1) – 2.(1) + 1(-1) = -2

Hitunglah determinan Dx , Dy dan Dz (kerjakan rinciannya), diperoleh

Dx = | 8 2 16 1 1

10 1 2| = -2 , Dy = |1 8 11 6 12 10 2| = -4 , Dz = |1 2 8

1 1 62 1 10| = -6

Jadi solusi persamaan liniernya adalah

x = Dx

D=−2

−2=1 , y =

D y

D=−4

−2=2 dan z =

Dz

D =

−6−2

=3

4. Diketahui: D = (3 24 3)

F = (−3 22 −1)

Ditanya : hitunglah invers dari matriks diatas….

Jawab :

D = (3 24 3)=

13.3−4.2 ( 3 −2

−4 3 )=(−3 24 −3)

F = (−3 22 −1) =

1(−3 ) .(−1)−2.2 (−3 2

2 −1)=( 3 −2−2 1 )

5. invers dari matriks B=[7 3 64 1 58 2 9] adalah…

Solusi:


|B|¿|7 3 64 1 58 2 9|

7 34 18 2

¿ (7.1 .9 )+ (3.5.8 )+ (6.4 .2 )−(6.1 .8 )−(7.5 .2 )− (3.4 .9 )

¿63+120+48−48−70−108

¿5

kofaktor – kofaktor dari matriks B

|M 11|=|1 52 9|=−1⇒∝11=(−1 )1+1 .(−1)=1

|M 12|=|4 58 9|=−4⇒∝12= (−1 )1+2(−4)=4

|M 13|=|4 18 2|=0⇒∝13=(−1)1+3 .0=0

|M 21|=|3 62 9|=15⇒∝21=(−1 )2+1 . (15 )=−15

|M 22|=|7 68 9|=15⇒∝22=(−1)2+2 .15=15

|M 23|=|7 38 2|=−10⇒∝23=(−1 )2+3 .(−10)=10

|M 31|=|3 61 5|=9⇒∝31=(−1)3+ 1 .9=9

|M 32|=|7 64 5|=11⇒∝32=(−1 )3+2 .11=11

|M 33|=|7 34 1|=−5⇒∝33=(−1 )3+3 . (−5 )=−5

adjoin matriks B

adj B=|a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33|=|1 −15 9

4 15 −110 10 −5 |

invers matriks B

B−1= 1detA

adj B↔B−1=15|1 −15 9

4 15 −110 10 −5 |

¿|15

−3 95

45

3 −115

0 2 −5|

jadi ,invers dari B=[7 3 64 1 58 2 9]adalah B−1=|1

5−3 9

545

3 −115

0 2 −5|

hidhablogs.files.wordpress.com … · Web viewMatriks dan Operasinya. Matriks. Matriks adalah...

Documents

Transcript of hidhablogs.files.wordpress.com … · Web viewMatriks dan Operasinya. Matriks. Matriks adalah...